陕西省西安市高三数学第一次质量检测试题 理(含解析)

西安市2021届高三年级第一次质量检测
理科数学
注意事项：
1. 本卷共150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则集合（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由题意可得：，
则集合.
本题选择A选项.
2.在复平面内，为虚数单位，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
,选D.
3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）
（A）直线AA1 （B）直线A1B1
（C）直线A1D1（D）直线B1C1
【答案】D
【解析】
试题分析：
只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中直线与都是异面直线，故选D．考点：异面直线
4.的展开式的常数项是（）
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．
【详解】，∴展开式的常数项.
故选:D.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，求展开式中指定项的系数，属于基础题．
5.函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
因为有两个零点，所以排除B；当时，，排除C；当
时，，排除D,故选A．
6.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）
A. 192种
B. 216种
C. 240种
D. 288种【答案】B
【解析】
试题分析：完成这件事件，可分两类：第一类，最前排甲，其余位置有中不同的排法；第二类，最前排乙，最后有4种排法，其余位置有种不同的排法；所以共有种不同的排法.
考点：1.分类加法计数原理；2.分步乘法计数原理；3.排列知识.
7.若直线：与圆：无交点，则点与圆的位置关系是（）
A. 点在圆上
B. 点在圆外
C. 点在圆内
D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知圆心到直线的距离大于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，再利用两点间的距离公式判断，可得出结论．
【详解】直线：与圆：无交点，则，即，
∴点在圆内部.
故应选C.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直
线的距离公式，以及两点间的距离公式，属于基础题.
8.已知函数的图象最新轴对称，且函数在上单调，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前21项之和为（）
A. 0
B.
C. 21
D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数y＝f（x+1）的图象最新y轴对称，可得y＝f（x）的图象最新x＝1对称，由题意可得，运用等差数列的性质和求和公式，计算可得到所求和．
【详解】函数的图象最新轴对称，平移可得的图象最新对称，且函数在上单调，由数列是公差不为0的等差数列，且，可得，所以，可得数列的前21项和. 故选：C.
【点睛】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．
9.中，，，，则外接圆的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件利用余弦定理可求c，再利用正弦定理求得外接圆半径，即可求得面积．
【详解】中，，，且，
由余弦定理可知，∴；
又，
∴由正弦定理可知外接圆半径为.
所以外接圆面积为.
故应选C.
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，及三角形外接圆面积的计算，属于基础题．
10.已知，，在球的球面上，，，，直线与截面所成的角为，则球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件，分析得到BC即为A，B，C所在平面截球得到的圆的直径，根据直线AO与平面ABC成30°角，求出球半径后，代入球的表面积公式，即可得到答案．
【详解】在中，由余弦定理得到求得，由勾股定理得为直角，∴中点即所在小圆的圆心，
∴平面，且小圆半径为1，
又直线与截面所成的角为，
∴在直角三角形中，球的半径为,
∴球的表面积为.
故应选D.
【点睛】本题考查了球的截面问题，考查了球的表面积公式，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键，属于中档题．
11.设为双曲线：的右焦点，，若直线的斜率与的一条渐近线的斜率的乘积为3，则的离心率为（）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
设出焦点坐标，根据已知列出最新a、b、c的方程，然后求解离心率．
【详解】设为，，若直线与的一条渐近线的斜率乘积为3，可得：，可得，即，
可得，，解得.
故应选B.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及斜率公式，考查计算能力，属于基础题．
12.设函数，若实数满足，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：对函数求导得，函数单调递增，
，由知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知，所以.
考点：利用导数求函数的单调性.
【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数求导得，函数单调递增，，进一步求得函数的零点；同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由
知的零点，所以.
二、填空题：本题共4小题.
13.已知向量与的夹角为，，，则_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意，设||＝t，（t＞0），由数量积的计算公式可得•，进而由||，平方可得9+3t+t2＝13，解得t的值，即可得答案．
【详解】根据题意，设||＝t，（t＞0），
向量与的夹角为60°，||＝3，则•，
又由||，则（）22+2•2＝9+3t+t2＝13，
变形可得：t2+3t﹣4＝0，
解可得t＝﹣4或1，
又由t＞0，则t＝1；
故答案为1．
【点睛】本题考查向量数量积的计算公式，考查了向量的模的转化，属于基础题．
14.设函数在点处的切线方程为，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】
对求导，得在点处的切线斜率，由切线方程的斜率，即可得到a的值．
【详解】函数的导数为，得在点处的切线斜率为，因为函数在点处的切线方程为，所以，解得. 故答案为：
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，导数的几何意义，属于基础题．
15.设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求得a、b即可．
【详解】∵对于任意实数都有，
则函数的周期相同，若，
此时，
此时，
若，则方程等价为，
则，则，
综上满足条件的有序实数组为，，共有2组.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．
16.已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为______．
【答案】
【解析】
试题分析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m++n+= m+n+=3，故m+n=，，故线段AB的中点到y轴的距离为
考点：本题考查了抛物线的性质
点评：抛物线的定义是解决抛物线的距离问题的常见方法
三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）.
（1）证明：成等比数列；
（2）设，若数列为等比数列，求的通项公式.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）代入n＝1得a1＝t．当n≥2时，由（1﹣t）S n＝﹣ta n+t，得，（1﹣t）S n﹣1＝﹣ta n﹣1+t．作差得a n＝ta n﹣1，由此能证明{a n}是等比数列．
（2）由，分别求得，利用数列{b n}为等比数列，则有，能求出t的值．
【详解】（1）由，
当时，，得，
当时，，即，，
∴，
故成等比数列.
（2）由（1）知是等比数列且公比是，∴，
故，即，
若数列是等比数列，则有，
而，，.
故，解得，
再将代入得：.
【点睛】本题考查了由递推关系证明等比数列，考查了等比数列的应用，考查了运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．
18.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：
喜欢不喜欢合计
大于40岁20 5 25
20岁至40岁10 20 30
合计30 25 55
（1）判断是否有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？
（2）已知20岁到40岁喜欢“人文景观”景点的市民中，有3位还比较喜欢“自然景观”景点，现在从20岁到40岁的10位市民中，选出3名，记选出喜欢“自然景观”景点的人数为，求的分布列、数学期望.
（参考公式：，其中）
【答案】（1）有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）计算K2的值，与临界值比较，即可得到结论；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和．【详解】（1）由公式，所以有的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关.
（2）随机变量可能取得值为0，1，2，3.
∴，
，
，
，
∴的分布列为
0 1 2 3
则.
【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
19.如图所示，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，，，
.
（1）求证：平面平面；
（2）若为中点，求二面角的大小.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）取AB中点H，连结PH，推导出PH⊥AB，由勾股定理得PH⊥HC，从而PH⊥平面ABCD，由此能证明平面PAB⊥平面ABCD．
（2）以H为原点，HA为x轴，在平面ADCB过H作AB的垂线为y轴，以HP为z轴，建立空间直角坐标系H﹣xyz，利用向量法能求出二面角．
【详解】（1）取中点，连接，∵是正三角形，为中点，，
∴，且.∵是矩形，，，
∴.又∵，∴，∴.
∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.
（2）以为原点,HA为x轴，在平面ADCB过H作AB的垂线为y轴，以HP为z轴，建立建立如图所示的空间之间坐标系，则，，，，，则，.设平面的法向量为，由，解得，即平面的一个法向量为.又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，
∴，又∵，∴，
∴二面角的平面角为.
【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查二面角平面角的值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，利用向量法是解决问题的常用方法，属于中档题．
20.已知椭圆：的短轴长为，离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点，.线段的垂直平分线交轴于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知：2b＝2，，则a＝2c，代入a2＝b2+c2，求得a，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）分类讨论，设直线MN的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x＝0，得，利用基本不等式，即可求的取值范围，再考虑斜率不存在的情况，取并集得到的取值范围．
【详解】（1）由题意可得：，，又，
联立解得，，.
∴椭圆的方程为.
（2）当斜率存在时，设直线的方程为，，，中点，把代入椭圆方程，得到方程，
则，，，，
所以的中垂线的方程为，令，得，当时，，则；
当时，，则，
当斜率不存在时，显然，
当时，的中垂线为轴.
综上，的取值范围是.
【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基
本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键，属于中档题．
21.已知函数.
（1）若，且函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（2）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）＝，求其导函数，利用F（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，得≥0在（0，+∞）上恒成立，得，设，利用导数求最大值可得正实数p的取值范围；
（2）设函数＝f（x）﹣g（x）＝px﹣，x∈[1，e]，转化为在[1，e]上至少存在一点x0，使得求函数的导函数，然后对p 分类求的最大值即可.
【详解】（1），.
由定义域内为增函数，所以在上恒成立，
所以即，对任意恒成立，
设，=0的根为x=1
得在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，即.
（2）设函数，，
因为在上至少存在一点，使得成立，则
，
①当时，，则在上单调递增，，
舍；
②当时，，
∵，∴，，，则，舍；
③当时，，
则在上单调递增，，得，
综上，.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的范围，不等式能成立问题转化为研究新函数的最值，体现了转化与分类讨论的数学思想方法，属于中档题．
22.[选修4-4：坐标系及参数方程]
已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；（2）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值.
【答案】（1），（2）
【解析】
【试题分析】(I)将方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得
的值.
【试题解析】
（Ⅰ）由得，
即曲线的直角坐标方程为
根据题意得，
因此曲线上的动点到原点的距离的最大值为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线与轴交点的坐标为，曲线的参数方程
为:，曲线的直角坐标方程为
联立得……8分
又，
所以
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用绝对值的定义，去掉绝对值号，转化为一般不等式，即可求解不等式的解集；
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式，即可求解最小值，得，即可求解实数的取值范围.
试题解析：
（Ⅰ）当时，.由，解得.
所以，不等式的解集为.
（Ⅱ）
（当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号）.
综上，当时，有最小值.故由题意得，解得，或. 所以，实数的取值范围为.。