高考领航新一轮数学理科总复习基础盘点AB演练专题一函数图象与性质的综合应用(含答案详析)

A 组
基础操练
1．假如 log x<log y<0，那么
()
A ．y<x<1
B ． x<y<1
C ．1<x<y
D ．1<y<x
log x<log y ，
分析：不等式转变为
? 1<y<x.
log y<0
答案： D
x
－ x
2．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)知足 f(x)＋g(x)＝a － a
＋ 2(a>0，
且 a ≠1)．若 g(2)＝a ，则 f(2)等于
(
)
A ．2
B. 15 4
17
2
C. 4 D ．a 分析： ∵f(x)是奇函数， g(x)是偶函数， ∴由f(x)＋ g(x)＝a x － a －x
＋ 2，①
得－ f(x)＋g(x)＝a
－x
－ a x ＋2，②
①＋②，得 g(x)＝ 2，①－②，得 f(x)＝a x
－a
－x
.
又 g(2)＝a ，∴a ＝2，∴f(x)＝2x －2
－x
，
2
2 15
∴f(2)＝2 － 2－
＝ 4 .
答案： B
．函数 1 的图象与函数 y ＝2sin x(π－2≤x ≤4)的图象全部交点的横坐标之
3
y ＝
1－x
和等于
( )
A ．2B． 4
C．6D．8
分析：令 1－ x＝ t，则 x＝1－t.
由－ 2≤ x≤ 4，知－ 2≤1－t≤4，所以－ 3≤ t≤3.
又 y＝ 2sin xπ＝2sin π－(1t)＝ 2sin tπ.
1
在同一坐标系下作出y＝t和 y＝2sin tπ的图象．
由图可知两函数图象在 [ －3,3]上共有 8 个交点，且这8 个交点两两对于原点对称．
所以这 8 个交点的横坐标的和为0，即 t1＋ t2＋＋t8＝ 0.
也就是 1－x1＋1－ x2＋＋ 1－ x8＝0，
所以 x1＋ x2＋＋x8＝8.
答案： D
4．定义在R上的函数知足以下三个条件：①对随意的 x∈R，都有 f(x＋ 4)＝f(x)；②对随意的 x1，x2∈ [0,2]且 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)；③函数 f(x＋2)的图象对于
y轴对称，则以下结论正确的选项是
() A．f(4.5)<f(7)<f(6.5)
B．f(7)<f(4.5)<f(6.5)
C．f(7)<f(6.5)<f(4.5)
D．f(4.5)<f(6.5)<f(7)
答案： A
5．设 a>0， a ≠ 1，函数 f(x)＝ log a (x 2－ 2x ＋3)有最小值，则不等式 log a (x －1)>0
的解集为 ________．
分析： ∵x 2－2x ＋ 3>0，即 (x －1)2＋ 2>0 的解集为 R ，
∴函数f(x)＝log a (x 2－2x ＋3)的定义域为 R .
又∵函数 y ＝x 2－2x ＋3 有最小值 2，无最大值．
据题意有 a>1.
x － 1>0，
∴log a (x －1)>0＝ log a 1 等价于
x － 1>1，
解得 x>2，即不等式 log a (x －1)>0 的解集为 (2，＋ ∞ )．
答案： (2，＋∞ )
2
1
6．已知不等式 x － log a x<0，当 x ∈ 0，2 时恒建立，实数 a 的取值范围是 ________．
分析：由 x 2－log a x<0，
得 x 2<log a x.
设 f(x)＝x 2，g(x)＝ log a x.
1
由题意知，当 x ∈0，2 时，函数 f(x)的图象在函数 g(x)的图象的下方，如图，
0<a<1，
0<a<1， 1
1 1
1 2 1 ，解得
可知
即
16≤ a<1.∴实数a 的取值范围是
f 2 ≤
g 2 ， 2 ≤log a 2
1
，1 .
16
答案： 1 ，1
16
a x －5 x>6 ，
7．已知函数 f(x)＝
a
在 R 上是单一递加函数，则实数
a 的
4－2 x ＋4 x ≤6 ，
取值范围为 ________．
a>1
a>1
a
分析：由题意知，实数 a 应知足
4－2>0
，即 a<8 ，解
a
×6＋4≤a
6－5
a ≥7
4－2
得 7≤a<8.
答案： [7,8)
a
1
8．已知 a>0，且 a ≠1，f(log a x)＝ a 2－ 1 x －x .
(1)求 f(x)；
(2)判断 f(x)的单一性；
(3)求 f(x 2－ 3x ＋2)<0 的解集． 分析： (1)令 t ＝log a
∈ ，则 ＝ t
，
x(t R ) x a
且 f(t)＝
a
t 1
2 a － a t .
a －1
∴f(x)＝ 2 a (a x
－a
－x
)(x ∈R )．
a － 1
(2)当 a>1 时， a x
－ a
－x
为增函数，
又 2 a
>0，∴f(x)为增函数；
a －1
当 0<a<1 时， a x － a
－x
为减函数，
又 2 a
<0，∴f(x)为增函数．
a －1
∴函数f(x)在 R 上为增函数．
a
(3)∵f(0)＝ 2 (a 0－ a 0 )＝0，
a －1
∴f(x 2－3x ＋ 2)<0＝f(0)．
由 (2)知： x 2
－3x ＋ 2<0，∴1<x<2.
∴不等式的解集为 { x|1<x<2} ．
9．已知定义在区间 [0,1] 上的两个函数 f(x)和 g(x)，此中 f(x)＝x 2
－ ax ＋2(a ≥0)，
x 2
g(x)＝ x ＋ 1.
(1)求函数 f(x)的最小值 m(a)；
(2)若对随意 x 1， x 2∈[0,1]， f(x 2)>g(x 1)恒建立，求 a 的取值范围．
解： (1)由 f(x)＝ a 2
a 2
x － 2 ＋2－ 4
a 2
2－ 4 ，0≤a<2，
得 m(a)＝
3－ a ， a ≥ 2.
≤ 0
′0≤ 1 ， 则g(x 0
－
0′) ＝
2
－
2
＝
(2) 令
x 0
x ′ 0
0 x <x
)
g(x
＋1
x ＋ 1 x ′
x 0－x ′0 x 0x ′0＋x 0＋x ′0
x 0＋1 x ′ 0＋ 1
∵x 0<x ′ 0，∴x 0－x ′0<0，
x － x ′
0 x x ′ ＋ x ＋x ′
0 0
)，
∴
<0，即 g(x )<g(x ′
0 0′＋1
x ＋1 x
∴函数 g(x)在 [0,1] 上为增函数，值域为 0，
1
，由题设，得2
min
1
max
2
f(x )
>g(x ) ，
0≤ a<2， a ≥ 2，
故
a 2 1 或
1
2－ 4 >
2
3－ a>2，
5
0， 5
解得 0≤a<2，所求 a 的取值范围为 2 .
B 组 能力打破
1．已知函数 f(x)＝|lg x|，若 0<a<b ，且 f(a)＝f(b)，则 a ＋ 2b 的取值范围是 (
)
A ．(2 2，＋∞ )
B ． [2 2，＋∞ )
C ．(3，＋∞ )
D ．[3，＋∞ )
分析：由已知条件 0<a<1<b 和 f(a)＝f(b)得，－ lg a＝lg b，则 lg a＋lg b＝ 0，
ab＝1，所以
2
a＋2b＝ a＋ a，由对勾函数知
2
y＝x＋ x在 (0,1)单一递减，得a＋
2b>3，即 a＋2b 的取值范围是 (3，＋∞)．
答案： C
2．设 f(x)是定义在R上的偶函数，对随意的x∈R，都有 f(x－ 2)＝f(x＋ 2)，且当
x ∈－
2,0]
时，
f(x)
＝
1x
－1，若在区间 (－2,6]内对于 x 的方程 f(x)－log a＋[2(x
2)＝ 0(a>1)恰有 3 个不一样的实数根，则 a 的取值范围是
() A ．(1,2)B． (2，＋∞ )
C．(1，3
4)D．(
3
4，2)
分析：由 f(x－2)＝f(x＋ 2)，知 f(x)是以 4 为周期的周期
函数，于是可得 f(x)在(－ 2,6]上的大概图象如图中实线
所示，令 g(x)＝log a(x＋2)(a>1)，则 g(x)的大概图象如
图所示，联合图象可知，要使得方程f(x)－log (x＋ 2)＝0(a>1)在区间 (－ 2,6]
a
g 2 <3log 4<3
，解得3
内恰有 3 个不一样的实数根，则只要，即a4<a<2.
a
g 6 >3log 8>3
答案： D
3．函数 f(x)＝log0.5(3x2－ax＋5)在(－1，＋∞ )上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ________．
分析：设 g(x)＝3x2－
a
＋，由已知6≤－1
ax 5
g －1 ≥0，
解得－ 8≤a≤－6.
答案： [ －8，－ 6]
4．已知函数 f(x)＝ ax2＋ (b－8)x－a－ab(a≠ 0)，当 x∈(－3,2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－ 3)∪ (2，＋∞ )时， f(x)<0.
(1)求 f(x)在 [0,1]内的值域；
(2)c为什么值时，不等式 ax2＋bx＋c≤0 在[1,4] 上恒建立？解：由题意得 x＝－ 3 和 x＝2 是函数 f(x)的零点且 a≠ 0，
则0＝a·－3 2＋ b－8 ·－ 3 －a－ab，0＝a·22＋ b－8 ·2－ a－ ab，
a＝－ 3，
2
解得∴f(x)＝－ 3x －3x＋ 18.
(1)由图象知，函数在 [0,1] 内单一递减，
∴当x＝ 0 时， y＝18；当 x＝1 时， y＝ 12，
∴f(x)在[0,1] 内的值域为 [12,18] ．
(2)法一：令 g(x)＝－ 3x2＋5x＋ c.
5
∵g(x)在6，＋∞上单一递减，
要使 g(x)≤ 0 在[1,4] 上恒建立，
则需要 g(x)max＝g(1)≤0，
即－ 3＋ 5＋ c≤ 0，解得 c≤ －2.
∴当c≤ －2 时，不等式 ax2＋ bx＋c≤0 在[1,4] 上恒建立．法二：不等式－ 3x2＋5x＋c≤0 在[1,4] 上恒建立，
即 c≤ 3x2－ 5x 在 [1,4] 上恒建
立．令 g(x)＝3x2－5x，
∵x∈[1,4] ，且 g(x)在[1,4] 上单一递加，
∴g(x)min＝ g(1)＝3×12－ 5× 1＝－ 2，∴c≤－ 2.
即 c≤ －2 时，不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 [1,4] 上恒建立．。