山东省菏泽市2015届高三数学上学期联考试题 理

2014—2015学年度第一学期期中考试
高三理科数学试题
本试卷分第1卷和第2卷两局部，总分为150分。

考试用时120分钟。

第I 卷〔选择题 共5分〕
一、选择题(本大题共10题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪
一项符合题目要求的．〕
1．集合M ={0,1,2,3}，N =2{|30}x x x -<，如此M
N =〔 〕
A ．{0}
B ．{|0}x x <
C ．{|03}x x <<
D ． {1,2}
2．函数32(0)
()tan (0)2
x x f x x x π⎧<⎪
=⎨-≤<⎪
⎩，如此(())4f f π= ( ) A ．1 B ．－2C ．2 D ．1-
3．要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象〔 〕
A ．向左平移2
π
个单位长度 B ．向右平移2
π
个单位长度
C ．向左平移
4
π
个单位长度 D ．向右平移
4
π
个单位长度 4．
由曲线y ，直线2y x =-与y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．103 B ．4 C ．16
3
D ．6
5．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC △的面积，假设
2221
cos cos sin ,()4a B b A c C S b c a +==+-，如此B ∠=〔 〕
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
6．假设a ，b 为实数，如此“01ab <<〞是“1
b a
<
〞的〔 〕 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7． 函数()()1
ln 1
f x y f x x x =
=--，则的图象大致为〔 〕
8． 锐角βα,满足5310sin αβ==,如此βα+= 〔 〕
A ．
4π B ．34π C． 4π或34π D．2
π
9．如果实数y x ,满足不等式组30
2301x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
，目标函数z kx y =-的最大值为6，最小值为0，
如此实数k 的值为〔 〕 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．定义域为R 的函数()y f x =,假设对任意两个不相等的实数12,x x ，都有
11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，如此称函数为“H 函数〞，现给出如下函数：
①31y x x =-++②32(sin cos )y x x x =--③1+=x
e y ④ln ,0
()0,0x x f x x ⎧≠=⎨=⎩
其中为“H 函数〞的有〔 〕
A ．①② B．③④ C． ②③ D． ①②③
二、填空题〔大题共5题，每一小题5，共25分，把答案填写在答题卡中横线上〕 11． 复数1242,z i z k i =+=+,且12z z ⋅是实数，如此实数k ＝
12． 角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，如此
cos2θ=__________
13． 假设两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a
=-=+，如此向量a b +与b a -的夹
角为____
14．定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x R ∈，都有
1
(1)()
f x f x +=
；②函数(1)y f x =+的图象关于y 轴对称；③对于任意的12,[0,1]x x ∈，
且
12x x <，都有12()()f x f x >。

如此3
(),(2),(3)2
f f f 从小到大排列是________
15．如下4个命题：
①“如果0x y +=，如此x 、y 互为相反数〞的逆命题 ②“如果260x x +-≥，如此2x >〞的否命题 ③在△ABC 中，“30A >〞是“1
sin 2
A >
〞的充分不必要条件 ④“函数)tan()(ϕ+=x x f 为奇函数〞的充要条件是“)(Z k k ∈=πϕ〞 其中真命题的序号是_________
三、解答题〔本大题共6小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕 16．〔本小题总分为12分〕
p ：函数2()24f x x mx =-+在[)2,+∞上单调递增；q ：关于x 的不等式
24(2)40mx m x +-+>的解集为R ．假设p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求m 的取值范
围．
17．〔本小题总分为12分〕
函数)0(3sin 32
cos
6)(2
>-+=ωωωx x
x f 在一个周期内的图象如下列图，A 为图
象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形。

〔1〕求ω的值与函数()f x 的值域； 〔2〕假设083()f x ，且0102
(,)33
x ∈-，求0(1)f x +的值。

18．〔本小题总分为12分〕
在三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a b c 、、且2
2
2
b c bc a +=+ 〔1〕求∠A； 〔2〕假设3a =22b c +的取值范围
19．〔本小题总分为12分〕
某公司生产品牌服装的年固定本钱是10万元，每生产一千件，需另投入2．7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，
且2
210.8,01030()1081000,103x x R x x x
x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ 〔1〕写出年利润W 〔万元〕关于年产量x 〔千件〕的函数解析式
〔2〕年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？ 〔注：年利润=年销售收入-年总本钱〕
20．〔本小题总分为13分〕
1
()2ln f x x x
=+
〔1〕求()f x 的单调区间和极值
〔2〕假设[1,)x ∀∈+∞与[1,2]t ∈不等式2()22f x t mt ≥-+恒成立，求实数m 的范围
21．〔本小题总分为14分〕
设3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点． 〔1〕求a 与b 的关系式〔用a 表示b 〕，并求()f x 的单调区间；
〔2〕设()2250,4x a g x a e ⎛
⎫>=+ ⎪⎝
⎭，假设存在．．[]12
,0,4ξξ∈，使得()()12254f g ξξ-<成立，求实数a 的取值范围．
2014—2015学年度第一学期期中考试 高三理科数学试题〔A 〕参考答案
1-5:DBCCC 6-10:DAABC
11．2 12．35
- 13．60 14．3(3)()(2)2
f f f << 15．①② 16．解：假设命题p 为真，因为函数的对称轴为x m =，如此2m ≤
假设命题q 为真，当0m =时原不等式为840x -+>，显然不成立 当0m ≠时，如此有2
1416(2)160
m m m m >⎧
⇒<<⎨
∆=--<⎩
由题意知，命题p 、q 一真一假 故214
m m m ≤⎧
⎨
≤≥⎩或或2
14m m >⎧⎨
<<⎩
解得1m ≤或24m << 17．〔1
〕由可得：2
()6cos 3(0)2
x
f x x ωωω=->
)3
x x π
ωω=+
又由于正三角形ABC 的高为23，如此BC=4 所以，函数2()42884
f x T π
π
ωω
=⨯===
的周期，即
，得
所以，函数]32,32[)(-的值域为x f 。

〔2
〕因为0()f x =
〔Ⅰ〕有
0()sin(
)43x f x ππ=+=04
sin()435
x ππ+=即 由x 00102()(,)334322
x ππππ∈-
+∈-（，），得
所以，0
3
cos(
)435
x ππ+==即 故=+)1(0x f 0
3sin(
)4
43x ππ
π
+
+=03sin[()]434
x πππ++
03[sin(
)cos cos()sin 434434
433(55x x ππππππ
=+++=
=
18．解〔1〕由余弦定理有2221
cos 22
b c a A bc +-==
0A π<<，3
A π
∴=
〔2〕
3a =且222b c bc a +=+，223b c bc ∴+=+
2202b c bc +<≤ ，22
6b c ∴+≤，
〔当且仅当b c ==
2239b c ∴<+≤
方法二、由正弦定理
2sin sin sin sin 3
b c a B C A ==== 2sin ,2sin b B c C ==
2224sin sin 34sin sin()32sin cos 33
b c B C B B B B B π
∴+=+=++=++
2cos 242sin(2)46
B B B π
-+=-+
因为203B π<<
，所以72666
B πππ-<-< 所以1sin(2)126
B π
-<-≤即2239b c ∴<+≤
19．解〔1〕由题意3
8.110,01030() 2.710100098 2.7,103x x x W xR x x x x x ⎧--<≤⎪⎪=--=⎨⎪-->⎪⎩
〔2〕①当010x <≤时，2
8.109,10x W x '=-+=⇒=或9(x =-舍）
009,0910W x W x ''>⇒<<<⇒<≤
所以W 在(0,9)上单调递增，在(9,10]上单调递减 故当9x =时W 取到最大值38.6
②当10x >
时100098( 2.7)98383W x x =-+≤-
当且仅当
1000 2.73x x =即100
9
x =
时取等号 综上，当年产量为9万件时利润最大为38.6万元 20．解：〔1〕2221211
()02x f x x x x x
-'=-==⇒=
列表如下：
所以，()f x 单调递减区间为1(0,)2
，单调递增区间为1(,)2
+∞，极小值是2ln2-，无极大值.
〔2〕由〔1〕可知()f x 在(1,)+∞上单调递增
所以2min 22()(1)1t mt f x f -+≤==即2210t mt -+≤对[1,2]t ∀∈恒成立 所以12104410
m m -+≤⎧⎨
-+≤⎩，解得5
4m ≥
21． (此题总分为14分)
解：〔Ⅰ〕∵()()23x f x x ax b e -=++ ∴()()()()'
'
32321x x f x x a e x ax b e --=++++-
()232x
x a x b a e -⎡⎤=-+-+-⎣⎦
由题意得：()'30f =，即()23320a b a +-+-=，23b a =-- ∴()()2323x f x x ax a e -=+--且()()()'331x f x x x a e -=--++ 令()'0f x =得13x =，21x a =--
∵3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点 ∴12x x ≠，即4a ≠-
故a 与b 的关系式()23,4b a a =--≠-〔1〕当4a <-时，213x a =-->，由()'0f x >得单增区间为：()3,1a --；
由()'0f x <得单减区间为：(),3-∞、()1,a --+∞；
〔2〕当4a >-时，213x a =--<，由()'0f x >得单增区间为：()1,3a --； 由()'
0f
x <得单减区间为：(),1a -∞--、()3,+∞；
〔2〕由〔1〕知：当0a >时，210x a =--<，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,4上单调递减，()()(){}()3min min 0,423f x f f a e ==-+，()()max 36f x f a ==+
()f x ∴在[0,4]上的值域为3[2(3),6]a e a -++
易知，225()()4
x
g x a e =+
在[0,4]上是增函数 ()g x ∴在[0,4]上的值域为224
2525[,()]44
a a e +
+ 由于22251
()6)()042
a a a +-+=-≥（ 又
要存在存在．．[]12,0,4ξξ∈，使得()()1225
4f g ξξ-<成立，
∴必须且只须202525()(6)44
a a a >⎧
⎪
⎨+-+<⎪⎩，解得03a <<
所以，实数a 的取值范围为03a <<.。