2021届黑龙江省鸡西市中考数学综合测试试题

2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，则图中阴影部分的面积等于( )
A．2﹣2B．1 C．2D．2﹣l
2．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为（）
A．（2，23）B．（﹣2，4）C．（﹣2，22）D．（﹣2，23）
3．若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为（）
A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8
4．如图，AB切⊙O于点B，OA＝23，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）
A．3
πB．
3π
C．πD．
3
2
π
5．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为( )
A 5
B
25
C．
1
2
D．2
6．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧
的三等分点，BD 的长为43π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．4633π-
B ．8933π-
C ．33223π-
D ．8633
π- 7．如图，点A ，B 为定点，定直线l//AB ，P 是l 上一动点．点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对于下列各值：
①线段MN 的长；
②△PAB 的周长；
③△PMN 的面积；
④直线MN ，AB 之间的距离；
⑤∠APB 的大小．
其中会随点P 的移动而变化的是（ ）
A ．②③
B ．②⑤
C ．①③④
D ．④⑤
8．如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB,垂足为点E,DE=1,则BC= ( )
A ．3
B ．2
C ．3
D ．3+2
9．如图，圆弧形拱桥的跨径12AB =米，拱高4CD =米，则拱桥的半径为（ ）米
A ．6.5
B ．9
C ．13
D ．15
10．如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（ ）
A ．24
B ．18
C ．12
D ．9
二、填空题（本题包括8个小题）
11．已知抛物线y=ax 2+bx+c=0(a≠0) 与 x 轴交于 A ，B 两点，若点 A 的坐标为 ()2,0-，线段 AB 的长为8，则抛物线的对称轴为直线 ________________．
12．如果某数的一个平方根是﹣5，那么这个数是_____．
13．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线2k y=x
交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜2k x ＋b 的解集是 ▲ ．
14．如图1，AB 是半圆O 的直径，正方形OPNM 的对角线ON 与AB 垂直且相等，Q 是OP 的中点.一只机器甲虫从点A 出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B ，再沿半圆爬回到点A ，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程.设甲虫爬行的时间为t ，甲虫与微型记录仪之间的距离为y ，表示y 与t 的函数关系的图象如图2所示，那么微型记录仪可能位于图1中的（ ）
A ．点M
B ．点N
C ．点P
D ．点Q
15．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为(10，8），则点E 的坐标为 .
16．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十两.牛二，羊五，值金八两。

问牛羊各值金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5
头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程为
___________________ .
17．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝15米，那么该古城墙的高度CD是_____米．
18．已知20n是整数，则正整数n的最小值为___
三、解答题（本题包括8个小题）
19．（6分）如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝k
x
(k＞0)的图像交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平
行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图像于点M，交AB于点N，连接BM.求m的值和反比例函数的表达式；直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？
20．（6分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡比DE:EC=1：12
5
，高为DE，在斜坡下
的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A、C、E在同一直线上．求斜坡CD的高度DE；求大楼AB的高度；（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2）．
21．（6分）如图,在△ABC中,点D是AB边的中点,点E是CD边的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F,连接BF.
求证:DB=CF；(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.
22．（8分）铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示：求y与x之间的函数关系式；商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？
23．（8分）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图（1）所示，成本y2与销售月份之间的关系如图（2）所示（图（1）的图象是线段图（2）的图象是抛物线）
分别求出y1、y2的函数关系式（不写自变
量取值范围）；通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？
24．（10分）为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．
求A，B两种品牌的足球的单价．求该校购买20个A品牌的足球和2个B
品牌的足球的总费用．
25．（10分）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM，垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B＝60°．求证：AM是⊙O的切线；若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
26．（12分）如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．求证：∠BAC
＝∠AED；在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证：AD AF BC AC
．
参考答案
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．D
【解析】
∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，2，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，2，
∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，
∴AD=1
2BC=1，
2
AC′=1，
∴DC′=AC′-AD=2-1，
∴图中阴影部分的面积等于：S △AFC′-S △DEC′=
12×1×1-12
×（2 -1）2=2-1， 故选D.
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD ，AF ，DC′的长是解题关键．
2．D
【解析】
分析：作BC ⊥x 轴于C ，如图，根据等边三角形的性质得4,2,60OA OB AC OC BOA ====∠=，则易得A 点坐标和O 点坐标，再利用勾股定理计算出224223BC =-=，然后根据第二象限点的坐标特征可写出B 点坐标；由旋转的性质得60,AOA BOB OA OB OA OB ∠'=∠'==='='，则点A′与点B 重合，于是可得点A′的坐标．
详解：作BC ⊥x 轴于C ，如图，
∵△OAB 是边长为4的等边三角形
∴4,2,60OA OB AC OC BOA ====∠=，
∴A 点坐标为(−4,0),O 点坐标为(0,0)，
在Rt △BOC 中,224223BC =-=，
∴B 点坐标为(2,23)-；
∵△OAB 按顺时针方向旋转60,得到△OA′B′，
∴60,AOA BOB OA OB OA OB ∠'=∠'==='='，
∴点A′与点B 重合,即点A′的坐标为(2,3)-，
点睛：考查图形的旋转，等边三角形的性质.求解时，注意等边三角形三线合一的性质.
3．A
【解析】
试题分析：设正比例函数解析式为：y=kx，将点A（3，﹣6）代入可得：3k=﹣6，解得：k=﹣2，∴函数解析式为：y=﹣2x，将B（m，﹣4）代入可得：﹣2m=﹣4，解得m=2，故选A．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
4．A
【解析】
试题分析：连接OB，OC，
∵AB为圆O的切线，
∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，OA=3∠A=30°，
∴3，∠AOB=60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
又OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
则劣弧BC 6033
π⨯
=．
故选A.
考点: 1.切线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.弧长的计算．
5．A
【解析】
【详解】
解：在直角△ABD中，BD=2，AD=4，则2222
2425
BD AD
+=+=，
则cosB=
5
5
25
BD
AB
==．
6．D
【解析】
【分析】
连接BD ，BE ，BO ，EO ，先根据B 、E 是半圆弧的三等分点求出圆心角∠BOD 的度数，再利用弧长公式求出半圆的半径R ，再利用圆周角定理求出各边长，通过转化将阴影部分的面积转化为S △ABC ﹣S 扇形BOE ，然后分别求出面积相减即可得出答案.
【详解】
解：连接BD ，BE ，BO ，EO ，
∵B ，E 是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA ＝∠EOB ＝∠BOD ＝60°，
∴∠BAD ＝∠EBA ＝30°，
∴BE ∥AD ，
∵BD 的长为
43π ， ∴6041803
R ππ= 解得：R ＝4，
∴AB ＝ADcos30°＝3，
∴BC ＝12
AB ＝3 ∴AC 3＝6，
∴S △ABC ＝12×BC×AC ＝12
×23＝63 ∵△BOE 和△ABE 同底等高，
∴△BOE 和△ABE 面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S △ABC ﹣S 扇形BOE ＝2604863633603
ππ⨯-=- 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查弧长公式，扇形面积公式，圆周角定理等，掌握圆的相关性质是解题的关键.
7．B
【解析】
试题分析：
①、MN=
12
AB ，所以MN 的长度不变； ②、周长C △PAB =12
（AB+PA+PB ），变化； ③、面积S △PMN =14S △PAB =14×12AB·h ，其中h 为直线l 与AB 之间的距离，不变; ④、直线NM 与AB 之间的距离等于直线l 与AB 之间的距离的一半，所以不变；
⑤、画出几个具体位置，观察图形，可知∠APB 的大小在变化．
故选B
考点：动点问题，平行线间的距离处处相等，三角形的中位线
8．C
【解析】
试题分析：根据角平分线的性质可得CD=DE=1，根据Rt △ADE 可得AD=2DE=2，根据题意可得△ADB 为等腰三角形，则DE 为AB 的中垂线，则BD=AD=2，则BC=CD+BD=1+2=1．
考点：角平分线的性质和中垂线的性质．
9．A
【解析】
试题分析：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ．连接OA ．根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r ， 根据勾股定理， 得r 2=36+（r ﹣4）2，解得r=6.5
考点：垂径定理的应用．
10．A
【解析】
【分析】易得BC 长为EF 长的2倍，那么菱形ABCD 的周长=4BC 问题得解．
【详解】∵E 是AC 中点，
∵EF ∥BC ，交AB 于点F ，
∴EF 是△ABC 的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD 的周长是4×6=24，
故选A ．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.
二、填空题（本题包括8个小题）
11．2x =或x=-1
【解析】
【分析】
由点A 的坐标及AB 的长度可得出点B 的坐标，由抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴．
【详解】
∵点A 的坐标为（-2，0），线段AB 的长为8，
∴点B 的坐标为（1，0）或（-10，0）．
∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A 、B 两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=
262-+=2或x=2102--=-1． 故答案为x=2或x=-1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，由抛物线与x 轴的交点坐标找出抛物线的对称轴是解题的关键．
12．25
【解析】
【分析】
利用平方根定义即可求出这个数.
【详解】
设这个数是x （x≥0），所以x ＝（-5）2＝25.
【点睛】
本题解题的关键是掌握平方根的定义.
13．－2＜x ＜－1或x ＞1．
【解析】
不等式的图象解法，平移的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，对称的性质．
不等式k 1x ＜2k x ＋b 的解集即k 1x －b ＜2k x
的解集，根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，可以理解
为直线y ＝k 1x －b 在双曲线2k y=x
下方的自变量x 的取值范围即可．
而直线y ＝k 1x －b 的图象可以由y ＝k 1x ＋b 向下平移2b 个单位得到，如图所示．根据函数2k y=
x 图象的对称性可得：直线y ＝k 1x －b 和y ＝k 1x ＋b 与双曲线2k y=x
的交点坐标关于原点对称． 由关于原点对称的坐标点性质，直线y ＝k 1x －b 图象与双曲线2k y=x
图象交点A′、B′的横坐标为A 、B 两点横坐标的相反数，即为－1，－2． ∴由图知，当－2＜x ＜－1或x ＞1时，直线y ＝k 1x －b 图象在双曲线2k y=
x 图象下方． ∴不等式k 1x ＜
2k x
＋b 的解集是－2＜x ＜－1或x ＞1． 14．D
【解析】
D ．
试题分析：应用排他法分析求解：
若微型记录仪位于图1中的点M ，AM 最小，与图2不符，可排除A.
若微型记录仪位于图1中的点N ，由于AN=BM ，即甲虫从A 到B 时是对称的，与图2不符，可排除B. 若微型记录仪位于图1中的点P ，由于甲虫从A 到OP 与圆弧的交点时甲虫与微型记录仪之间的距离y 逐渐减小；甲虫从OP 与圆弧的交点到A 时甲虫与微型记录仪之间的距离y 逐渐增大，即y 与t 的函数关系的图象只有两个趋势，与图2不符，可排除C.
故选D ．
考点：1.动点问题的函数图象分析；2.排他法的应用.
15．（10，3）
【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到AF=AD ，所以在直角△AOF 中，利用勾股定理求得OF=6，然后设EC=x ，则EF=DE=8-x ，CF=10-6=4，根据勾股定理列方程求出EC 可得点E 的坐标．
【详解】
∵四边形AOCD 为矩形,D 的坐标为(10,8),
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
∵矩形沿AE 折叠，使D 落在BC 上的点F 处，
∴AD=AF=10，DE=EF ，
在Rt △AOF 中,OF=
22AF AO - =6， ∴FC=10−6=4，
设EC=x ，则DE=EF=8−x ，
在Rt △CEF 中,EF 2=EC 2+FC 2，
即(8−x)2=x 2+42，
解得x=3，即EC 的长为3.
∴点E 的坐标为(10,3).
16． 5210258?x y x y +=⎧⎨+=⎩
【解析】
【分析】牛、羊每头各值金x 两、y 两，根据等量关系：“牛5头，羊2头，共值金10两”，“牛2头，羊5头，共值金8两”列方程组即可.
【详解】牛、羊每头各值金x 两、y 两，由题意得：
5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 故答案为：5210258
x y x y +=⎧⎨+=⎩. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是关键.
17．10
【解析】
【分析】
首先证明△ABP ∽△CDP ，可得
AB BP =CD PD
，再代入相应数据可得答案． 【详解】
如图，
由题意可得：∠APE=∠CPE ，
∴∠APB=∠CPD ，
∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，
∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，
∴AB
BP =
CD PD
，
∵AB=2米，BP=3米，PD=15米，
∴2
3=
15 CD
，
解得：CD=10米.
故答案为10.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.
18．1
【解析】
【分析】
，则1n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为1．
【详解】
∵
∴
1n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为1．
故答案为：1．
【点睛】
主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．（1）m＝8，反比例函数的表达式为y＝8
x
；（2）当n＝3时，△BMN的面积最大．
【解析】
【分析】
（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）构造二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题. 【详解】
解：（1）∵直线y=2x+6经过点A（1，m），
∴m=2×1+6=8，
∴A（1，8），
∵反比例函数经过点A（1，8），
∴8=1
k ， ∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x
． （2）由题意，点M ，N 的坐标为M （
8n ，n ），N （62n -，n ）， ∵0＜n ＜6， ∴62
n -＜0， ∴S △BMN =12×（|62n -|+|8n |）×n=12×（﹣62n -+8n
）×n=﹣14（n ﹣3）2+254， ∴n=3时，△BMN 的面积最大．
20．（1）斜坡CD 的高度DE 是5米；（2）大楼AB 的高度是34米．
【解析】
试题分析：（1）根据在大楼AB 的正前方有一斜坡CD ，CD=13米，坡度为1：
125，高为DE ，可以求得DE 的高度；
（2）根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB 的高度．
试题解析：（1）∵在大楼AB 的正前方有一斜坡CD ，CD=13米，坡度为1：125
， ∴1512125
DE EC ==，
设DE=5x 米，则EC=12x 米，
∴（5x ）2+（12x ）2=132，
解得：x=1，
∴5x=5，12x=12，
即DE=5米，EC=12米，
故斜坡CD 的高度DE 是5米；
（2）过点D 作AB 的垂线，垂足为H ，设DH 的长为x ，
由题意可知∠BDH=45°，
∴BH=DH=x ，DE=5，
在直角三角形CDE 中，根据勾股定理可求CE=12，AB=x+5，AC=x-12，
∵tan64°=
AB AC ， ∴2=AB AC
， 解得，x=29，AB=x+5=34，
即大楼AB 的高度是34米．
21． (1)证明见解析；（2）四边形BDCF 是矩形，理由见解析.
【解析】
(1)证明：∵CF ∥AB ，
∴∠DAE ＝∠CFE ．又∵DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC ，
∴△ADE ≌△FCE ，∴AD ＝CF ．∵AD ＝DB ，∴DB ＝CF ．
(2)四边形BDCF 是矩形．
证明：由(1)知DB ＝CF ，又DB ∥CF ，
∴四边形BDCF 为平行四边形．
∵AC ＝BC ，AD ＝DB ，∴CD ⊥AB ．
∴四边形BDCF 是矩形．
22． (1)y ＝10x+100；(2)这种干果每千克应降价9元；(3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元．
【解析】
【分析】
（1）由待定系数法即可得到函数的解析式；
（2）根据销售量×每千克利润＝总利润列出方程求解即可；
（3）根据销售量×每千克利润＝总利润列出函数解析式求解即可．
【详解】
(1)设y 与x 之间的函数关系式为：y ＝kx+b ，
把(2，120)和(4，140)代入得，21204140k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：10100k b =⎧⎨=⎩
， ∴y 与x 之间的函数关系式为：y ＝10x+100；
(2)根据题意得，(60﹣40﹣x)(10x+100)＝2090，
解得：x ＝1或x ＝9，
∵为了让顾客得到更大的实惠，
∴x ＝9，
答：这种干果每千克应降价9元；
(3)该干果每千克降价x 元，商贸公司获得利润是w 元，
根据题意得，w ＝(60﹣40﹣x)(10x+100)＝﹣10x 2+100x+2000，
∴w ＝﹣10(x ﹣5)2+2250，
∵a=-100<，∴当x ＝5时，w 2250=最大
故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元．
【点睛】
本题考查的是二次函数的应用，此类题目主要考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好地考查学生“用数学”的意识．
23．（1）y1＝
2
7
3
x
-+;y2＝
1
3
x2﹣4x+2；（2）5月出售每千克收益最大，最大为
7
3
．
【解析】
【分析】
（1）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1和y2的解析式；
（2）由收益W=y1-y2列出W与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值．【详解】
解：（1）设y1＝kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得，
35
63
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
2
3
7
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
．
∴y1＝﹣2
3
x+1．
设y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得，
4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝1
3
．
∴y2＝1
3（x﹣6）2+1，即y2＝
1
3
x2﹣4x+2．
（2）收益W＝y1﹣y2，
＝﹣2
3
x+1﹣（
1
3
x2﹣4x+2）
＝﹣1
3
（x﹣5）2+
7
3
，
∵a＝﹣1
3
＜0，
∴当x＝5时，W最大值＝7
3
．
故5月出售每千克收益最大，最大为7
3
元．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方法是求二次函数最大值常用的方法
24．（1）一个A品牌的足球需90元，则一个B品牌的足球需100元；（2）1．
【解析】
【分析】
（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需y元，根据“购买2个A品牌的足球和3个B 品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元”列出方程组并解答；
（2）把（1）中的数据代入求值即可．
【详解】
（1）设一个A 品牌的足球需x 元，则一个B 品牌的足球需y 元，依题意得：23380{42360x y x y +=+=，解得：40{100
x y ==． 答：一个A 品牌的足球需40元，则一个B 品牌的足球需100元；
（2）依题意得：20×40+2×100=1（元）．
答：该校购买20个A 品牌的足球和2个B 品牌的足球的总费用是1元．
考点：二元一次方程组的应用．
25． (1)见解析；（2）83
π
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可得△BOC 的等边三角形，进而可得∠BCO ＝∠BOC ，根据角平分线的性质，可证得BD ∥OA ，根据∠BDM ＝90°，进而得到∠OAM ＝90°，即可得证；
（2）连接AC ，利用△AOC 是等边三角形，求得∠OAC ＝60°，可得∠CAD ＝30°，在直角三角形中，求出CD 、AD 的长，则S 阴影＝S 梯形OADC ﹣S 扇形OAC 即可得解．
【详解】
（1）证明：∵∠B ＝60°，OB ＝OC ，
∴△BOC 是等边三角形，
∴∠1＝∠3＝60°，
∵OC 平分∠AOB ，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴OA ∥BD ，
∵∠BDM ＝90°，
∴∠OAM ＝90°，
又OA 为⊙O 的半径，
∴AM 是⊙O 的切线
（2）解：连接AC ，
∵∠3＝60°，OA ＝OC ，
∴△AOC 是等边三角形，
∴∠OAC ＝60°，
∴∠CAD ＝30°，
∵OC ＝AC ＝4，
∴CD＝2，
∴AD＝23，
∴S阴影＝S梯形OADC﹣S扇形OAC＝1
2×（4+2）×23﹣
2
6048
=63-
3603
π
π．
【点睛】
本题主要考查切线的性质与判定、扇形的面积等，解题关键在于用整体减去部分的方法计算．26．见解析
【解析】
【分析】
（1）欲证明∠BAC＝∠AED，只要证明△CBA∽△DAE即可；
（2）由△DAE∽△CBA，可得AD DE
BC AC
＝，再证明四边形ADEF是平行四边形，推出DE＝AF，即可解决问
题；
【详解】
证明（1）∵AD∥BC，
∴∠B＝∠DAE，
∵AB·AD＝BC·AE，
∴AB BC
AE AD
＝，
∴△CBA∽△DAE，
∴∠BAC＝∠AED．
（2）由（1）得△DAE∽△CBA
∴∠D＝∠C，AD DE
BC AC
＝，∵∠AFE＝∠D，
∴∠AFE＝∠C，
∴EF∥BC，
∵AD∥BC，
∴EF∥AD，
∵∠BAC＝∠AED，
∴DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE＝AF，
∴AD AF
＝．
BC AC
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图所示的几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
2．点M(a，2a)在反比例函数y＝
8
x
的图象上，那么a的值是( )
A．4 B．﹣4 C．2 D．±2
3．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则BC的长是( )
A．πB．
1
3
πC．
1
2
πD．
1
6
π
4．下列计算正确的是（）
A．235
+=B．a a a
+=2
22C．(1)
x y x xy
+=+D．236
()
mn mn
=
5．二次函数2(0)
y ax bx c a
=++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )
A．0
abc>B．20
a b
+<C．30
a c
+<D．230
ax bx c
++-=有两个不相等的实数根
6．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目里程费时长费远途费
单价 1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（）
A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．19分钟
7．下列四个多项式，能因式分解的是()
A．a－1 B．a2＋1
C．x2－4y D．x2－6x＋9
8．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是()
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
9．如图所示，90,,
E F B C AE AF
∠=∠=∠=∠=，结论：①EM FN
=；②CD DN
=；
③FAN EAM
∠=∠；④ACN ABM
∆≅∆，其中正确的是有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为1．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）
A．
4
23
3
π
-B．
8
3
3
π
-C．
8
23
3
π
-D．
8
4
3
π
-
二、填空题（本题包括8个小题）
11．分解因式：4ax2-ay2=________________.
12．如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是____．
13．如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体分别从正面看和从上面看得到的平面图形，则搭成该几何体的小正方体最多是_______个．
14．分解因式：3m2﹣6mn+3n2＝_____．
15．计算tan260°﹣2sin30°﹣2cos45°的结果为_____．
16．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____．
17．如图所示，在长为10m、宽为8m的长方形空地上，沿平行于各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃则其中一个小长方形花圃的周长是______m.
18．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P= 40°，则∠BAC= .
三、解答题（本题包括8个小题）
19．（6分）深圳某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：
“读书节“活动计划书
书本类别科普类文学类
进价（单位：元）18 12
备注
（1）用不超过16800元购进两类图书共1000本；科普类图书不
少于600本；
…
（1）已知科普类图书的标价是文学类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买科普
类图书的数量恰好比单独购买文学类图书的数量少10本，请求出两类图书的标价；经市场调査后发现：他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，科普类图书每本标价降低a（0＜a＜5）元销售，文学类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
20．（6分）某校有3000名学生．为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了该校部分学生的主要上学方式(参与问卷调查的学生只能从以下六个种类中选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
种类 A B C D E F
上学方式电动车私家车公共交通自行车步行其他
某校部分学生主要上学方式扇形统计图某校部分学生主要上学方式条形统计图
根据以上信息，回答下列问题：参与本次问卷调查的学生共有____人，其中选择B类的人数有____人．在扇形统计图中，求E类对应的扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图．若将A、C、D、E这四类上学方式视为“绿色出行”，请估计该校每天“绿色出行”的学生人数．
21．（6分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．求证：AE与⊙O相切于点A；若AE∥BC，BC=27，AC=22，求AD的长．
22．（8分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相较于A（2，3），B（﹣3，n）两点．求一次函数与反比例函数的解析式；根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集；过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．
23．（8分）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，
求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．
24．（10分）如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C，对称轴为直线x=1，且经过点A（3，-1），与y轴交于点B．
求抛物线的解析式；判断△ABC的形状，并说
明理由；经过点A的直线交抛物线于点P，交x轴于点Q，若S△OPA=2S△OQA，试求出点P的坐标．25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点D、E位于AB两侧的半圆上，射线DC切⊙O于点D，已知点E 是半圆弧AB上的动点，点F是射线DC上的动点，连接DE、AE，DE与AB交于点P，再连接FP、FB，且∠AED＝45°．求证：CD∥AB；填空：
①当∠DAE＝时，四边形ADFP是菱形；
②当∠DAE＝时，四边形BFDP是正方形．
26．（12分）为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元。

求文具袋和圆规的单价。

学校准备购买文具袋20个，
圆规若干，文具店给出两种优惠方案：
方案一：购买一个文具袋还送1个圆规。

方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折.
①设购买面规m个，则选择方案一的总费用为______，选择方案二的总费用为______.
②若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由.
参考答案
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．A
【解析】
【分析】
找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】
解：从正面可看到从左往右2列一个长方形和一个小正方形，
故选A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2．D
【解析】
【分析】
根据点M(a，2a)在反比例函数y＝8
x
的图象上,可得:2
28
a=,然后解方程即可求解.
【详解】
因为点M(a，2a)在反比例函数y＝8
x
的图象上,可得:
2
28
a=,
24
a=,
解得:2
a=±,
故选D.
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象的上点的特征,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.
3．B 【解析】 【分析】
连接OB ，OC ．首先证明△OBC 是等边三角形，再利用弧长公式计算即可． 【详解】
解：连接OB ，OC ．
∵∠BOC ＝2∠BAC ＝60°， ∵OB ＝OC ，
∴△OBC 是等边三角形， ∴OB ＝OC ＝BC ＝1， ∴BC 的长＝6011803
ππ
⋅⋅=， 故选B ． 【点睛】
考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 4．C 【解析】
解：A 、不是同类二次根式，不能合并，故A 错误； B ．23a a a += ，故B 错误；
C ．1x y x xy +=+（
） ，正确； D ．23
26mn m n =（），故D 错误．
故选C ． 5．C 【解析】
【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2b
a
-
=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程
230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.
【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线
与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误； ∵对称轴x=2b
a
-
=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误； 当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确； ∵抛物线的顶点为（1，3），
∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误， 故选C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b
a
-
，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点．
6．D 【解析】 【分析】
设小王的行车时间为x 分钟，小张的行车时间为y 分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解. 【详解】
设小王的行车时间为x 分钟，小张的行车时间为y 分钟，依题可得： 1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）, 10.8+0.3x=16.5+0.3y, 0.3（x-y ）=5.7, x-y=19, 故答案为D. 【点睛】
本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键. 7．D 【解析】
试题分析：利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可． 试题解析：x 2-6x+9=（x-3）2． 故选D ．
考点：2．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法． 8．D 【解析】。