甘肃省民乐一中高二数学第一学期期中试题 文(特部)

民乐一中2014——2015学年第二学期期中考试
高二文科（特部）数学试卷
I 卷
一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．=-+a i i
ai
则实数是虚数单位）为纯虚数（已知
,11（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-
2．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A ．c b c a -≥+
B ．bc ac >
C ．
02
>-b
a c D ．0)(2≥-c
b a 3．不等式21
≥-x
x 的解集为（ ）
A ．)0,1[-
B ．),1[∞+-
C ．]1,(--∞
D ．),0(]1,(∞+--∞
4. “0<mn ”是“方程12
2=+ny mx 表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5.已知数列1121231234,,,,2334445555
++++++则这个数列的第100项为( )
A.49
B.49.5
C.50
D 、50.5
6.抛物线px y 22
=上一点Q ),6(0y ,且知Q 点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（ ）
A . 4 B. 8 C . 12 D. 16 7．命题“对任意的3
2
10x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3
210x R x x ∈-+，≤ B ．存在32
10x R x x ∈-+，≤
C ．存在3
210x R x x ∈-+>，
D ．对任意的3
2
10x R x x ∈-+>，
8．函数)0(1
32<++=
x x x x
y 的值域是( )
A ．(－1,0)
B ．[－3,0)
C ．[－3,1]
D ．(－∞，0)
9．已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是
( ）
A ．
191622=+y x B ．1121622=+y x C ．13422=+y x D ．14
32
2=+y x 10．某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：
根据上表可得回归直线方程+=a x b y 中b 为4.9，据此模型预报广告费用为6万元时，销
售额为 ( )
A . 6.63万元
B .5.65万元 C. 7.67万元 D. 0.72万元 11．已知直线kx y =与曲线x y ln =相切，则k 的值为（ ）
A . e
B . e -
C .
e 1 D . e
1- 12.若椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 和圆为椭圆的半焦距）c c b y x ()2(2
22+=+有四个不同的
交点，则椭圆的离心率e 的范围是（ ）
A.
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53,55 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛55,52 C. ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛53,52 D. ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛550，
第II 卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡中对应题号后 的横线上.
13.函数1)(2
3+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则m 的取值范围为 .
14.命题p ：若10<<a ，则不等式0122
>+-ax ax 在R 上恒成立，命题q ：1≥a 是函数
x
ax x f 1
)(-
=在),0(+∞上单调递增的充要条件；在命题①“p 且q ”、
②“p 或q ”、③“非p ”、④“非q ”中，假命题是 ，真命题是 .
15.双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ，双曲线122
22=-a
y b x 的离心率为2e ，则21e e +的最小值
为 。

16．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，
y －2≤0，
则u ＝y x －x
y
的取值范围是________．
三、解答题
17.（本小题满分10分）
已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=±x ，且双曲线过点（，）
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线右焦点F 作倾斜角为
的直线交双曲线于A ，B ，求|AB|．
18.（本小题满分12分）
在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人． （1）根据以上数据建立一个22⨯列联表； （2）试问有多大的把握认为晕机与性别有关？ (参考数据：2
2.706K >时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联；2
3.841K >时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联；2
6.635K >时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联.
19.（本小题满分12分）
已知a>0,且a ≠1,设命题）上单调递减。

，）在（函数∞++=01(log :x y p a 命题轴交于不同的两点。

与曲线x x a x y q 1)32(:2=-+=如果的取值范围。

是真命题，求是假命题，a q p q p ∨∧ 20.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a,b,c,且角A 、B 、C 成等差数列，
求证 ：1a+b +1b+c =3
a+b+c
21.（本小题满分12分）
椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的一个顶点为)2,0(A ，离心率36
=e 。

（1）求椭圆的方程；
（2）直线l 与椭圆相交于不同的两点N M ,且)1,2(P 为MN 中点，求直线l 的方程。

22.（本小题满分12分）
已知二次函数c bx ax x f ++=2)(，满足)(,0)1()0(x f f f 且==的最小值是4
1-。

（1）求)(x f y =的解析式；
（2）设函数)()(ln )(x f x f x x g '-=,求)(x g 的最大值及相应的x 的值。

（3）对任意正整数x ，恒有,ln )1()1
()(m x
x x f x f +≥+求实数m 的取值范围。

高二第一学期期中考试（文科特部）数学答案
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1——5：ADABC ； 2——10：BCBCB ； 11、12：CA. 二、填空题：（每小题5分，共20分）
13. ),3
1[+∞； 14. ①、③, ②、④．； 15. 22 ； 16. [－83，3
2]。

三、解答题：（共70分）
17.（本小题共10分）
，点
所以所求双曲线方程为：
由
∴
18.（本小题共12分）
解：（1）解：2×2列联表如下：
（2）假设是否晕机与性别无关，
则2k 的观测值2
140(28562828)35 3.888568456849
k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯
又知k ︽3.888>3.841，
所以有95％的把握认为是否晕机与性别有关 19.（本小题12分）
解：因为函数）上单调递减，）在（函数∞++=01(log x y a ，所以p:0<a<1.又因为轴交于不同的两点
与曲线x x a x y 1)32(2=-+=，所以,04)322>--=∆a （解得,2
5
21><a a q 或：因为是真命题，
是假命题，q p q p ∨∧所以命题p 与q 一真一假。

;12
1
,2521101<≤≤≤<<a a a q p 所以且假，则真）若（
（2）.2
5,25211>><
>a a a a q p 所以或且真，则假若 故实数a 的取值范围是⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫
⎢⎣⎡，，25121。

20.（本小题12分）
证明：(分析法) 要证 1a+b +1b+c =3
a+b+c
需证: a+b+c a+b +a+b+c b+c
=3
即证:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c)
即证:c 2+a 2=ac+b 2
因为△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列,所以B=600,由余弦定理b 2= c 2+a 2
-2cacosB
即b 2= c 2+a 2-ca 所以c 2+a 2=ac+b 2
因此 1a+b +1b+c =3a+b+c
21.（本小题12分）
解：（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x 由已知得⎪⎩⎪
⎨⎧=
=362
a
c b
又因为2
22c b a += 解得⎪⎩⎪⎨⎧==4
1222
b a
所以椭圆方程为
14
1222=+y x ………. 6分 （2）设),(),,(2211y x N y x M 把M ，N 代入椭圆方程得：
481242
121=+y x ① 481242
22
2=+y x ②
①- ②得：0))((12))((421212121=-++-+y y y y x x x x 又因为)1,2(P 为MN 的中点 ，上式化为 03
22
121=--+x x y y ，即32
-=MN k
所以直线MN 的方程为)2(3
2
1--=-x y 即 0732=-+y x 。

………. 12分 22. （本小题12分）
解：解析：（1）由二次函数的对称性，可设)(x f =4
1
)2
1(2
-
-x a .又0)0(=f 求得a =1，所以x x x f -=2)(。

（2）由（1）知，x x x f -=2)(，对)(x f 求导，得12)(-='x x f ，所以
x x x x x x x x x g -+-=---=23232ln )12)((ln )(。

则x
x x x x x x g )16)(1(1661)(22
+-=-+-='。

又)(x g 的定义域为），（∞+0，所以
0162>+x x 。

所以，当10<<x 时，;0)(>'x g 当1=x 时，;0)(='x g 当1>x 时，0)(<'x g 。

因此，(][)上时是减函数，上是时增函数，在在∞+11,0)(x g ，所以，当1=x 时，)(x g 取得最大值0)1(=g 。

（3）由（1）知，)1
(2)1(11)1()(222
x
x x x x x x x x
f x f +--+=-+
-=+。

不等式m x x x f x f ln )1()1()(+≥+可化为m x x x x x x ln )1
()1(2)1(2+≥+--+ ①
因为0>x ，所以时取等号）当且仅当1(21
=≥+x x
x 。

设)2(1≥=+t t x x ，不等式①可化为12ln ,ln 22
--≤≥--t
t m m t t t 即。

②
由已知，不等式②对2≥t 恒成立。

令12)(--=t t t h ，因为函数[)+∞--=,212)(在t t t h 上是增函数，所以12
)(--=t t t h 的
最小值为012
2
2)2(=--=h ，所以10,0ln ≤<≤m m 即。