宁夏育才中学高三文科数学二模考试试题

宁夏育才中学高三文科数学二模试题
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的． 1．i 为虚数单位，复数
1
+i i
在复平面内对应的点到原点的距离为（ ） A ．
2
1 B.
2
2
C. 1
D. 2
2. 已知集合A=｛1，2a
｝，B=｛a ，b ｝，若A ∩B=｛
21
｝，则A ∪B 为（ ） A ．｛-1，
21
，1｝ B. ｛-1，21
｝
C ．｛1，2
1
｝
D. ｛2
1
，1，b ｝
3. 某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与
由表中数据及线性回归方程a bx y
+=ˆ，其中b =-2 预测当气温为-4℃时，用电量的度数约为（ ） A ．65.5
B. 66.5
C. 67.5
D. 68.5
4. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列， 若2a =2，243a a +=16，则5a =( ) A. 32 B. 16
C. 8
D. 4
5. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面， 下列命题中正确的是（ ）（其中l 为直线） A. l ⊥m ，l ⊥n ，且α⊂n m ,，则l ⊥α
B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//
C ．若α⊥m ，n m ⊥，则α//n
D ．若n m //，α⊥n ，则α⊥m
6. 向量=（2，0），=（x ，y ），若与-的夹角为6
π
， 则｜b ｜的最大值为（ ） A ．4
B. 32
C. 2
D.
3
3
4 7. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内 一动点，则三棱锥P —BCD 的主视图与左视图的面积之比为 （ ） A ．1:1 B. 2:1
C. 2:3
D. 3:2
8．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ） A ．10
B. -6
C. 3
D. -15
9. 已知
A （A x ，A y ）是单位圆上（圆心在坐标原点上）任意一点，且射线OA 绕原点逆时针旋转300
到OB 交单位圆于B （B x ，B y ），则A x -B y 的最大值为（ ）
A ．
2
1
B. 1
C.
2
3
D. 2
10. 下列说法：
（8题图）
（1）“R x ∈∃，使得32>x ”的否定是”R x ∈∀，使得32≤x
”
（2）命题“函数()x f 在0x x =处有极值，则()00='x f ”的否命题是真命题
（3）()x f 是（∞-，0）∪（0，∞+）上的奇函数，0>x 时的解析式是()x
x f 2=，则0<x
的解析式为()x
x f --=2
其中正确的说法的个数是（ ）
A ．0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
11. 斜率为2的直线l 过双曲线122
22=-b
y a x ()0,0>>b a 的左焦点，且与双曲线的左、右支
分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．（1，2）
B.（1，3）
C. （1，5）
D.（5，∞+）
12. 已知()x x f x
2log 3)3
1(2-=，实数c b a ,,满足()()()()c b a c f b f a f <<<<⋅⋅00，若
实数0x 是函数()x f y =的一个零点，那么下列不等式中不可能．．．
成立的是（ ） A ．0x a <
B. 0x b >
C. 0x c <
D. 0x c >
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第
22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．小明和小华约定第二天早上8:00～9:00在图书馆门口见
面，并约定一方先到要等另一方半小时，若等半小时不见另一方可离开，问两人碰面的概率是__________. 14. 设等差数列{}
n a 的前n 项和为n S ，若1-m S =-2，m S =0，
1+m S =3，则m =___________.
15. 已知0<ω≤
45，函数())4sin(πω+=x x f 在（2
π
，π）内单调递减，则ω的取值范围是_______.
16. 已知动圆M 过两定点A （1，2），B （-2，-2），则下列说法正确的是__________.
（写出所有正确结论的序号） （1）动圆M 与x 轴一定有交点
（2）圆心M 一定在直线2
1
-=x 上 （3）动圆M 的最小面积为
π4
25 （4）直线2+-=x y 与动圆M 一定相交 （5）点（0，
3
2
）可能在动圆M 外
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本大题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为c b a ,,满足：22)(2c b a +-=⋅，
（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求)B 3
4
sin(2cos 322
--πC 的最大值，并求取得最大值时角B ，C 的大小.
18．（本大题满分12分）
某校学生会组织部分同学用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度，现从调查人
群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）.
（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则该人的幸福度为“很幸福”， 按分层抽样的方法从16人
中抽取8人，并从8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人“很幸福”的概率.
19．（本大题满分12分）
如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，
AE=BE=2，平面ABCD ⊥平面ABE ， （Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求三棱锥D —ACE 的体积.
20.（本大题满分12分）
已知点M （-1，0），N （1，0），动点P （x ，y ）满足｜PM ｜+｜PN ｜=32，
（Ⅰ）求P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）是否存在过点N （1，0）的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，并且曲线C 上存在点Q ，
使四边形OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
21．（本大题满分12分）
设函数()1-+=ax e x f x
（e 为自然对数的底数），
（Ⅰ）当a =1时，求过点（1，()1f ）处的切线与坐标轴围成的面积； （Ⅱ）若()2
x x f ≥在（0，1）恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时用2B 铅笔在答题纸卡上把所选的题目对应的标号涂黑。

（10分）
22. [平面几何证明选讲]
已知，在△ABC 中，D 是AB 上一点，△ACD 的外接圆交BC 于E ，AB=2BE ， （Ⅰ）求证：BC=2BD ；
（Ⅱ）若CD 平分∠ACB ，且AC=2，EC=1，求BD 的长.
23. [极坐标与参数方程选讲]
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，
已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t
y t
x 2（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=1，
（Ⅰ）求直线l 与圆C 的公共点的个数； （Ⅱ）在平面直角坐标中，圆C 经过伸缩变换⎩⎨
⎧='='y
y x
x 2得到曲线c '，设M （),y x 为曲线c '
上一点，求42
2
y xy x ++的最大值，并求相应点M 的坐标.
24. [不等式证明选讲]
已知函数()|1|-=x x f ，
（Ⅰ）解不等式()()≤-+-x f x f 112； （Ⅱ）若0<a ，求证：()()
()a f x af ax f ≥-.。