杨府山高复数学寒假作业杨府山高复学校

杨府山高复数学寒假作业３
一、选择题:本大题共１０小题,每小题４分,共40分
1．已知全集R U =，集合},1|||{R x x x A ∈≤=，集合},12|{R x x B x ∈≤=，则集合B C A U
９.若函数)(x f 在定义域上存在区间],[b a (0>ab )，使)(x f 在],[b a 上值域为]1
,1[a
b ，则称)(x f 在],[b a 上具有“反衬性”。

下列函数①2
5)(+-=x x f ②x x x f 4)(2
+-=③x x f 2sin )(π
=④⎪⎩⎪
⎨⎧>-≤+--=2),1(2
1
2,1|1|)(x x f x x x f ，具有“反衬性”的为( ) A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
１０.将2个相同的a 和2个相同的b 共4个字母填在33⨯的方格内，每个小方格内至多填
1 个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数为 （ ） A ．196 B ．197 C ．198 D ．199 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
１１.设}{n a 是首项为1a ，公差为2-的等差数列，n S 为其前n 项和，若1,1,1752+++a a a 成等比数列，则1a =________，当n =________时，n S 有最大值. １２.函数x x x x f 2cos cos sin 3)(+=
的最大值为________,设)(x f 在0x x =时取得最
大值，则0tan x =________.
１３.直线l 过抛物线px y 22=焦点F ，且交抛物线于B A ,两点，满足2=，则直线l 斜率为________.
１４.已知函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>-+≤=0,220,)2
1()(x x x x x f x
，则)(x f 的最小值为________，满足方程1
))((=t f f 不同的t 的值有________个.
１５.四边形A B C 中，AD CD AB CB CAD CAB ⊥⊥=∠=∠,,45,3000，
AD AB AC μλ+=，则
=μλ
________=________. １６.已知实数x,y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥-+≥0
40621
y mx y x x ，若2
2y xy x xy z ++=最小值为133，则m 的值为_____.
１７.边长为2的正方形ABCD 中，E 、F 分别为CD 、AD 中点，AE 与BF 交于点M.现三角形ABF 沿BF 翻折、四边形DFME 沿ME 翻折，则在任意翻折中，A 、D 两点距离最小值为________.
三、 解答题: 本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

１８.（14
分）A B C ∆中，内角C B A ,,对边分别为c b a ,,，函数
2
1
c o s c o s s i n 3)(2+
-=x x x x f . 且对任意的R x ∈，均有)()(A f x f ≤恒成立. （1）求A 的值；
（2）若实数m 满足c b ma +=，2224)(a c b m =+，求m 的值.
１９.（15分）正三棱柱111C B A ABC -底边长为2，F E ,分别为AB BB ,1的中点. （I ）求证：平面⊥CF A 1平面EF A 1； （II ）若二面角F C A E --1所成角的余弦值为77
2，求1AA 的值.
第17题图
F
E
A B
C
C 1
B 1
A 1
２０ （15分）已知M 为直角坐标平面上一动点，直线M A 1,M A 2斜率21k k 、满足
4
3
21-
=k k ，其中)0,2(1-A ,)0,2(2A . （1）求动点M 满足的轨迹方程C ；
（2）过点)0,1(直线与轨迹C 交于Q P ,两点，求证：直线P A 1与Q A 2的交点N 在一条定直线上。

２１.数列}{n b 满足11=b ，121+=+n n b b ，若数列}{n a 满足11=a ，
)1...11(
1
21-+++=n n n b b b b a ),2(*N n n ∈≥且. （1）求n b . （2）求证：
1
11++=
+n n
n n b b a a ),2(*N n n ∈≥且. （3）求证：)(3
10
)11)...(11)(11(*21N n a a a n ∈<+++
.
２２.已知R ∈a ，函数)1(ln )(--=x a x x f ．
（1）若1
1
-=
e a ，求函数|)(|x
f y =的单调区间； （2）若不等式e x
ea a e
ax x f )21()(22-++-≤恒成立，求a 的取值范围．
（e 为自然对数的底数）
１１.19，10 １２.
3
3,23 １３. 22± １４. 222-，6 １５. 332,23
１６.1 １７. 5
)
510(2-
１８（1）)6
2sin(22cos 2sin 3)(π
-
=-=x x x x f
因为对任意的R x ∈，均有)()(A f x f ≤恒成立，所以2)()(max ==x f A f . 即2)6
2sin(2=-π
A ，得Z k k A ∈+=
-
,22
6
2ππ
π
，故Z k k A ∈+=
,3
ππ
，得3
π
=
A .…7分
（2）由3π
=
A ，得bc c b a -+=222
因为a
c
b m +=，
故413
131222222222222
≤-++=-++=-+++=++=b c c b bc c b bc bc c b c bc b a c bc b m ，有22≤≤-m .
且2)1(4)(442
2222222
2≥+-=+-+=+=c b bc c b bc c b c b a m . 故2=m ，且此时c b =. ……14分
１９：（I ）因为正三棱柱111C B A ABC -，所以ABC AA 平面⊥1. 所以CF AA ⊥1，且AB CF ⊥，故EF A CF 1平面⊥且
CF A CF 1平面⊂，所以平面⊥CF A 1平面EF A 1. ……6分
（II ）如图，以F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设a AA =1。

则)0,3,0(),2
,0,1(),,0,1(),0,0,0
(1C a
E a A
F -，
),3,1(),2,0,2(),0,3,0(),2,3,1(11a C A a
E A FC a EC -=-==--=设平面C
F A 1法向量为
),,(z y x =，设平面EF A 1法向量为),,(z y x =.
则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=-+=⋅0
3031y m FC az y x A 不妨取)1,0,(a =； ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=⋅=-+=⋅0
220311z a
x A az y x n C A 不妨取)4,3,(a a =； 设二面角F C A E --1的平面角为θ， 容易判断7
7
216
415,cos cos 222=
+⋅++>=
<=a a a θ， 设t a =2，则01111092=-+t t ，得3=t ，即32=a ，所以31=AA . ……15分
２０.（1）设),(y x M ，则由4
3
21-=k k ，得4322-=-+x y x y ，整理得
)0(13422≠=+y y x .……5分
（2）),(),,(2211y x Q y x P 设， 则P A 1直线方程为)2(2
11
++=
x x y y ， Q A 2直线方程为)2(2
22
--=
x x y y ， 联立方程，消y 得，)
(2)
(2)(4212112122121y y y x y x y x y x y y x +--+--=
且设PQ 直线方程为1+=my x 代入椭圆方程消去x 并整理得，
096)43(22=-++my y m
4
39
,43622
1221+-=+-
=+m y y m m y y 2121122112)1()1(y y y my y my y x y x -=+-+=-
)(42)1()1(21212112211221y y y y y my y my y my y x y x +=++=+++=+
所以4)
(2)()
(8)(4)(2)(2)(421212121212112122121=+--+--=+--+--=
y y y y y y y y y y y x y x y x y x y y x
所以交点N 在定直线4=x 上。

……15分
２１：（1）1221)1(211211-=⇒=+⇒+=+⇒+=++n n n n n n n n b b b b b b ……4分 （2）
1211...11-+++=n n n b b b b a ①，n
n n b b b b a 1
...112111+
++=++②， ②—①得
n n n n n n n n n n n n b a b b a b a b b a b a 1111111+=+=⇒=-++++即1
1
1++=
+n n n n b a b a ，得证. ……8分 )1
21
311(2)1...11(
2232111111)1
1)...(11)(11)(3(21111143321132211221121-+⋯++=+++==⋅⋅⋯⋅⋅⋅=⋅+⋅⋯⋅+⋅+=
+⋅⋯⋅+⋅+=+++++++++n n n n n n n n n n n
n n b b b b a a b b b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a a 当2≥k 时，1
21
121)12)(12(2)12)(12()12(1211
1111---=--<---=-+++++k k k k k k k k k 故)]121121()121121()121121[(2112131114332---+⋯+---+---+<-+⋯++
+n n n 3
5)12131(211<--+=+n
所以3
10
)11)...(11)(11(21<+++
n a a a ，得证。

……15分 ２２. （Ⅰ）若11
-=
e a ，则11ln )(---=e x x x
f ，1
11)('--=e x x f ． 当)1,0(-∈e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； 当),1(+∞-∈e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减． …2分
又因为0)1(=f ，0)(=e f ，所以
当)1,0(∈x 时，0)(<x f ；当)1,1(-∈e x 时，0)(>x f ； 当),1(e e x -∈时，0)(>x f ；当),(+∞∈e x 时，0)(<x f ． …4分 故|)(|x f y =的极小值点为1和e ，极大值点为1-e ．
…6分
（Ⅱ）不等式e
x
ea a e ax x f )21()(22
-++
-
≤，
整理为0)21(ln 22≤++-
+a e x
a e
ax x ．…（*） 设a e x
a e
ax x x g ++-
+=)21(ln )(22， 则e
a
e ax x x g 2121)('2+-+=（0>x ）
x
e e ex a ax 22
2)21(2++-=
x
e e ax e x 2)
2)((--=
． …8分
①当0≤a 时，
02<-e ax ，又0>x ，所以，
当),0(e x ∈时，0)('>x g ，)(x g 递增； 当),(+∞∈e x 时，0)('<x g ，)(x g 递减． 从而0)()(max ==e g x g ． 故，0)(≤x g 恒成立． …11分
②当0>a 时，
x e e ax e x x g 2)
2)(()('--=
)1
2)(
(2
ex
e a
e x -
-=． 令2212e a ex e a =-，解得a e x =1，则当1x x >时，2212e a ex e a >-；
再令1)(2=-e a
e x ，解得e a e x +=2
2，则当2x x >时，1)(2>-e
a e x ．
取),max(210x x x =，则当0x x >时，1)('>x g ．
所以，当),(0+∞∈x x 时，00)()(x x x g x g ->-，即)()(00x g x x x g +->． 这与“0)(≤x g 恒成立”矛盾． 综上所述，0≤a ．
…14分。