七年级数学上册难点突破04绝对值试题含解析新版北师大版

专题04 绝对值
【专题说明】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2．进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
【知识点总结】
一、绝对值
1.定义:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a |.
要点诠释:
（1）绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有:
（2）绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大；离原点的距离越近,绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或0．
二、有理数的大小比较
1.数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小. 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a ＜b ．
2.法则比较法:
两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下: 两数同号
同为正号:绝对值大的数大
同为负号:绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数 (0)||0(0)(0)
a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
要点诠释:
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小:
（3）判定两数的大小．
3. 作差法:设a 、b 为任意数,若a －b ＞0,则a ＞b ；若a －b ＝0,则a ＝b ；若a －b ＜0,a ＜b ；反之成立．
4. 求商法:设a 、b 为任意正数,若1a b >,则a b >；若1a b =,则a b =；若1a b
<,则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反．
5. 倒数比较法:如果两个数都大于零,那么倒数大的反而小.
【精典例题】
一、绝对值的概念
1、求下列各数的绝对值．
1
12-,－0.3,0,132⎛⎫-- ⎪⎝⎭
【思路点拨】112,－0.3,0,132⎛⎫-- ⎪⎝⎭
在数轴上位置距原点有多少个单位长度,这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．
【答案与解析】
方法1:因为1
12-到原点距离是112
个单位长度,所以111122-=． 因为－0.3到原点距离是0.3个单位长度,所以|－0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度,所以|0|＝0．
因为132⎛
⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度,所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭
． 方法2:因为1102-<,所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭
． 因为－0.3＜0,所以|－0.3|＝－(－0.3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身,所以|0|＝0
因为
1
30
2
⎛⎫
-->
⎪
⎝⎭
,所以
11
33
22
⎛⎫
--=
⎪
⎝⎭
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1),一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2),后种方法的具体做法为:首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是零．从而求出该数的绝对值．
2、已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是________．
【答案】2009或－2009
【解析】根据绝对值的定义,到原点的距离是2009的点有两个,从原点向左侧移动2009个单位长度,得到表示数－2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度,得到表示数2009的点．
【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数.
3、计算:（1）
1
4
5
--（2）|－4|+|3|+|0| （3）－|+(－8)|
【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.
(1)
111
444
555
⎡⎤
⎛⎫
--=---=-
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
,
(2)|－4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7,
(3)－|+(－8)|＝－[－(－8)]＝－8．
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法:一种是利用绝对值的几何意义求解,一种是利用绝对值的代数意义求解,后种方法的具体做法为:首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的代数意义,确定去掉绝对值符号的结果是它本身,是它的相反数,还是零．从而求出该数的绝对值．
4、如果|x|＝6,|y|＝4,且x＜y．试求x、y的值．
【思路点拨】6和－6的绝对值都等于6,4和－4的绝对值都等于4,所以要注意分类讨论．
【答案与解析】因为|x|＝6,所以x＝6或x＝－6；
因为|y|＝4,所以y＝4或y＝－4；
由于x＜y,故x只能是－6,因此x＝－6,y＝±4．
【总结升华】已知绝对值求原数的方法:(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数,则此数有两个,且互为相反数.此外,此题x＝－6,y＝±4,就是x＝－6,y＝4或x＝－6,y＝－4.
二、比较大小
1、比较下列有理数大小:(1)－1和0； (2)－2和|－3| ；(3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭和12- ；（4）1--______0.1-- 【答案】(1)0大于负数,即－1＜0；
(2)先化简|－3|＝3,负数小于正数,所以－2＜3,即－2＜|－3|；
(3)先化简1133⎛⎫
--= ⎪⎝⎭,1122-=,1123>,即1132⎛⎫--<- ⎪⎝⎭
． (4)先化简11--=-,0.10.1--=-,这是两个负数比较大小:因为11-=,0.10.1-=,而10.1>, 所以10.1-<-,即1--＜0.1--
【解析】(2)、(3)、（4）先化简,再运用有理数大小比较法则．
【点评】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断．
2、比较下列每组数的大小:
(1)－(－5)与－|－5|；(2)－(+3)与0；(3)45
-与34--；(4)π-与| 3.14|--． 【思路点拨】先化简符号,去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”,然后比较．
【答案与解析】 (1)化简得:－(－5)＝5,－|－5|＝－5．
因为正数大于一切负数,所以－(－5)＞－|－5|．
(2)化简得:－(+3)＝－3．因为负数小于零,所以－(+3)＜0．
(3)化简得:3344--=-．这是两个负数比较大小,因为44165520-==,33154420
-==,且16152020
>．所以4354-<--． (4)化简得:－|－3.14|＝－3.14,这是两个负数比较大小,因为 |－π|＝π,|－3.14|＝3.14,而π＞
3.14,所以－π＜－|－3.14|．
【总结升华】在比较两个负数的大小时,可按下列步骤进行:先求两个负数的绝对值,再比较两个绝对值的大
小,最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断．
三、绝对值非负性的应用
1、已知|2－m|+|n－3|＝0,试求m－2n的值．
【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知,｜2－m｜≥0,｜n－3｜≥0,而它们的和为0．所以｜2－m｜＝0,|n－3|＝0．因此,2－m＝0,n－3＝0,所以m＝2,n＝3．
【答案与解析】因为|2－m|+|n－3|＝0
且|2－m|≥0,|n－3|≥0
所以|2－m|＝0,|n－3|＝0
即2－m＝0,n－3＝0
所以m＝2,n＝3
故m－2n＝2－2×3＝－4．
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+…+|m|＝0时,则a＝b＝…＝m＝0．
2、已知a、b为有理数,且满足:1
2
,则a=_______,b=________．
【答案与解析】由,,,可得∴
【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0,要使这两个数的和为0,需要这两个数都为0．几个非负数的和为0,则每一个数均为0．
四、含有字母的绝对值的化简
1、把下列各式去掉绝对值的符号．
(1)|a－4|(a≥4)；(2)|5－b|(b＞5)．
【答案与解析】
(1)∵ a≥4,∴a－4≥0,∴ |a－4|＝a－4．
(2)∵ b＞5,∴ 5－b＜0,∴ |5－b|＝－(5－b)＝b－5．
【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况,再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.
五、绝对值的实际应用
1、正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定,下面是6个足球的质量检测结果,用正数记超过规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位:克):－25,+10,－20,+30,+15,－40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
【答案】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜－20｜＜｜－25｜＜｜+30｜＜｜－40｜,所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
【解析】根据实际问题可知,哪个足球的质量偏离规定质量越小,则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示,即绝对值越小偏差也就越小,反之绝对值越大偏差也就越大．
【点评】绝对值越小,越接近标准.。