2019_2020学年高中数学第一章1.1.7柱、锥、台和球的体积练习(含解析)新人教B版必修2

1．1．7 柱、锥、台和球的体积
A ．13
B ．2
3 C ．1 D ．2 答案 C
解析 该几何体的直观图如图所示，为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其体积为V ＝12×1×2×2
＝1．故选C ．
A ．955π B．955 C ．355π D．355 答案 C
解析 设圆锥底面圆的半径为r ，则2πr＝6π，∴r＝3． 设圆锥的高为h ，则h ＝82
－32
＝55， ∴V 圆锥＝13
πr 2
h ＝355π．
3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )
A ．16
B ．13
C ．2
3 D ．1 答案 B
解析 根据三视图，该三棱锥的体积V ＝13×12×1×1×2＝13
．
答案 1∶22∶3 3
解析 直接利用公式计算可得：r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，r 3
1∶r 3
2∶r 3
3＝13
∶(2)3
∶(3)3
＝1∶22∶33．
5．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2
，试求此球的表面积和体积．
解 如图，设截面圆的圆心为O 1，
则OO 1⊥O 1A ，O 1A 为截面圆的半径，OA 为球的半径．∵48π＝π·O 1A 2
，∴O 1A 2
＝48． 在Rt△AO 1O 中，OA 2
＝O 1O 2
＋O 1A 2
，
即R 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12R 2＋48，∴R＝8(cm)，
∴S 球＝4πR 2
＝4π×64＝256π(cm 2
)， ∴V 球＝43πR 3＝20483
π(cm 3
)．
答：球的表面积为256π cm 2，体积为20483
π cm 3
．
6．
如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF ＝2，则该多面体的体积为( )
A ．
23 B ．33 C ．43 D ．3
2
答案 A
解析 该多面体不是规则的几何体，只能将其分割或补成锥体或柱体，化未知为已知． 易知面ABFE 、面CDEF 为全等的等腰梯形．在EF 上取两点M ，N ，使EM ＝12，FN ＝12，连
接AM ，DM ，BN ，CN ，则得到直三棱柱ADM －BCN(可证BN⊥FN，CN⊥FN)，
所以V ＝V ADM －BCN ＋V E －ADM ＋V F －BCN ＝S △ADM ·MN＋13S △ADM ·EM＋1
3
S △BCN ·FN
＝S △ADM ·MN＋1
3S △ADM (EM ＋FN)
＝4
3S △ADM ·MN ＝43×1
2×1× 34－14×1＝23
．
一、选择题
1．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是( ) A ．839 B ．43
9
C ．239
D ．439或839
答案 D
解析 当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ＝23，底面面积S ＝
34a 2
＝
39，正三棱柱的高h ＝4，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝43
9
；同理，当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a′＝43，底面面积S′＝34a′2
＝439，正三棱柱的高
h′＝2，所以正三棱柱的体积V′＝S′h′＝839．所以正三棱柱的体积为439或83
9
．
2．球面上有三点A ，B ，C ，且AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，又球心到平面ABC 的距离为半径
的1
3
，那么该球的体积为( ) A ．11252π64 B ．642π3 C ．11253π64 D ．643π3
答案 A
解析 因为AB 2
＋BC 2
＝AC 2
，所以△ABC 为直角三角形，∠ABC＝90°，过A ，B ，C 三点截面圆的半径为12AC ＝52，故R 32＋522＝R 2，得R 2＝22532，R ＝1528，所以该球的体积V ＝43πR 3
＝
11252π64
． 3．如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆和圆心，那么这个几何体的体积为( )
A ．
3π3 B ．23π3 C ．3π D．π
3
答案 A
解析 由题知，该几何体是底面半径为1，高为3的圆锥，故V ＝π3×12×3＝3π3．
4．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
A ．4
B ．143
C ．16
3 D ．6
答案 B
解析 由四棱台的三视图可知，台体上底面面积S 1＝1×1＝1，下底面面积S 2＝2×2＝4，高h ＝2，代入台体的体积公式得V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h ＝13×(1＋1×4＋4)×2＝14
3
．
5．如图(1)，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，
把一个侧面作为底面，如图(2)所示，这时水面恰好为中截面，则图(1)中容器内水面的高度是( )
A ．3
2a B ．a C ．2a D ．不确定 答案 A
解析 设题图(1)中容器内液面的高度为h ，液体的体积为V ，则V ＝S △ABC ·h，又如题图(2)中，液体组成了一个直四棱柱，其底面积为34S △ABC 、高度为2a ，则V ＝3
4S △ABC ·2a．∴h＝
3
4S △ABC ·2a S △ABC ＝3
2
a ．
二、填空题
6．
如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放了一个半球形的冰淇淋，则冰淇淋融化后
________(填“会”或“不会”)溢出杯子．
答案 不会
解析 V 半球＝12×4π3R 3＝12×4π3×43＝128π3，V 圆锥＝13Sh ＝13×π×R 2×h＝13×π×42
×12
＝64π，显然V 半球<V 圆锥，所以冰淇淋融化后不会溢出杯子．
7．
如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为______．
答案 1
6
解析 三棱锥A －DED 1的体积等于三棱锥E －DD 1A 的体积，即V 三棱锥A －DED 1＝V 三棱锥E －DD 1A ＝13×12×1×1×1＝16
．
8．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_______．
答案 12
解析 设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h′． 由题意，得13×6×1
2×2×3×h＝23，
∴h＝1，∴斜高h′＝ 12
＋3
2
＝2，
∴S 侧＝6×1
2×2×2＝12．
三、解答题
9．有一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．
解 由三视图可知此几何体是圆锥，根据图中的数据可得r ＝3(cm)，l ＝5(cm)，则h ＝4(cm)，所以该几何体的体积为V ＝13πr 2·h＝13
π×32×4＝12π(cm 3
)．
10．如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA⊥平面ABCD ，且PA ＝a ，AB ＝AD ＝b ，已知P ，A ，B ，C ，D 五点都在一个球面上，求该球的体积．
解 本题关键是找出球心的位置，以PA ，AB ，AD 为一个长方体的邻边把该四棱锥补成一个长方体，则过A ，B ，C ，D ，P 五点的球的球心为PC 的中点，PC 为球的直径．设球的半径为R ，于是2R ＝a 2
＋b 2
＋b 2
＝a 2
＋2b 2
，∴R＝a 2
＋2b
2
2
，
故V 球＝43πR 3
＝43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2b 223
＝π
a 2
＋2b
2
·a 2＋2b 2
6
．
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