江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测七函数的图象理含解析

课时跟踪检测（七） 函数的图象
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知函数f (x )＝x 2
＋1，若0＜x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为________． 解析：作出函数图象(图略)，知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)＜f (x 2)． 答案：f (x 2)＞f (x 1)
2．(2018·常州一中期末)将函数y ＝e x
的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，再向右平移2个单位，所得函数的解析式为________．
解析：将函数y ＝e x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，可得y ＝e 2x
，再向右平移2个单位，可得y ＝e
2(x －2)
＝e
2x －4
.
答案：y ＝e
2x －4
3．(2018·前黄中学月考)设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．
解析：y ＝f (x ＋1)向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象，由已知可得f (x )的图象的对称轴为x ＝1，过定点(2,0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f (x )的大致图象如图所示．
不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＞1，f x
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜1，
f x
由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1,2]． 答案：(－∞，0]∪(1,2]
4．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．
解析：在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．
答案：(－1,0)
5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意a ＝|x |＋x
令y ＝|x |＋x ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ，x ≥0，
0，x ＜0，图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x
只有一解，则a ＞0.
答案：(0，＋∞)
6．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋x ，x ＜0，
－x 2
，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．
解析：函数f (x )的图象如图所示，令t ＝f (a )，则f (t )≤2，由图象知t ≥－2，所以
f (a )≥－2，当a ＜0时，由a 2＋a ≥－2，即a 2＋a ＋2≥0恒成立，当a ≥0时，由－a 2≥－2，
得0≤a ≤2，故a ≤ 2.
答案：(－∞， 2 ]
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1．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则
g (x )的表达式为________．
解析：设g (x )上的任意一点A (x ，y )，则该点关于直线x ＝1的对称点为B (2－x ，y )，
而该点在f (x )的图象上．所以y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫132－x ＝3x －2，即g (x )＝3x －
2
.
答案：g (x )＝3
x －
2
2．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段
及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．
解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
－k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝1，
b ＝1.
∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.
当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2
－1(a ＞0)， ∵图象过点(4,0)，
∴0＝a (4－2)2
－1，∴a ＝14
，
∴当x ＞0时，f (x )＝14(x －2)2
－1＝14
x 2－x .
故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，－1≤x ≤0，14
x 2
－x ，x ＞0.
答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，－1≤x ≤0，14
x 2
－x ，x ＞0
3．(2019·江阴中学检测)方程x 2
－|x |＋a ＝1有四个不同的实数解，则a 的取值范围是________．
解析：方程解的个数可转化为函数y ＝x 2
－|x |的图象与直线y ＝
1－a 交点的个数，作出两函数的图象如图，易知－1
4＜1－a ＜0，所以
1＜a ＜54
.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，54 4．(2019·启东中学期中)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当
x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f x x －1
≤0的解集为________．
解析：不等式
f x
x －1≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧
f x ，x －1＜0
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
f x ，
x －1＞0.
由图象可知：当1＜x ≤5时，由f (x )≤0，解得2≤x ≤5. 当0≤x ＜1时，由f (x )≥0，解得0≤x ＜1，
因为f (x )为奇函数，当－2＜x ＜0时，由f (x )≥0，此时无解， 当－5≤x ≤－2时，由f (x )≥0，解得－5≤x ≤－2， 故不等式的解集为[－5，－2]∪[0,1)∪[2,5]． 答案：[－5，－2]∪[0,1)∪[2,5]
5．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
2－x
－1，x ≤0，f x －
，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a
有两个不同实根，则a 的取值范围为________．
解析：x ≤0时，f (x )＝2－x
－1， 0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，
f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.
故x ＞0时，f (x )是周期函数， 如图所示．
若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不
同交点，
故a ＜1，即a 的取值范围是(－∞，1)． 答案：(－∞，1)
6．(2019·镇江中学测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
lg x ，0＜x ≤10，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不
相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．
解析：作出函数f (x )的图象如图所示，
不妨设a ＜b ＜c ，则b ＋c ＝2×12＝24，a ∈(1,10)，则a ＋b ＋c ＝24＋a ∈(25,34)． 答案：(25,34)
7．(2019·徐州调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －[x ]，x ≥0，f x ＋
，x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最
大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，若直线y ＝kx ＋k (k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则k 的取值范围是________．
解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －[x ]，x ≥0，f
x ＋，x ＜0，
∴作出函数f (x )的图象如图所示．
∵y ＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，故该直线的图象一定过点(－1,0)，
若y ＝kx ＋k 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则f (x )＝kx ＋k 有三个不同的根， ∵k ＞0，∴当y ＝kx ＋k 过点(2,1)时，k ＝13，当y ＝kx ＋k 过点(3,1)时，k ＝1
4
，
要使f (x )＝kx ＋k 有三个不同的根，则实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13.
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，13
8．(2019·金陵中学月考)已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域均为[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )·g (x )＜0的解集是________．
解析：f (x )·g (x )＜0⇒f (x )与g (x )在同一区间内符号相反，
由图可知，当x ∈[0，π]时，两者异号的区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π. 又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，
∴当x ∈[－π，0)时，两者异号的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0， ∴f (x )·g (x )＜0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π
9．(2018·盐城一中测试)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R)，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；
(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )＞0的解集；
(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}． 解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.
(2)因为f (x )＝x |4－x |＝
⎩⎪⎨⎪⎧
x x －
，x ≥4，－x x －，x ＜4.
即f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －
2
－4，x ≥4，－x －2＋4，x ＜4，
所以函数f (x )的图象如图所示． 由图象知函数f (x )有两个零点．
(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]．
(4)从图象上观察可知：不等式f (x )＞0的解集为{x |0＜x ＜4或x ＞4}． (5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0＜m ＜4， 所以集合M ＝{m |0＜m ＜4}． 10．已知函数f (x )＝2x
，x ∈R.
(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？
(2)若不等式f 2
(x )＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x
－2|，
G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．
由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；
当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2
＋t ，
因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1
4
在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H (t )＞H (0)＝0.
因此要使t 2
＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为 (－∞，0]．
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1．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确命题的个数为________．
解析：因为函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，
所以函数f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)是偶函数； 由y ＝lg x ――――――――――→图象向左平移1个单位长度
y ＝lg(x ＋1)
――――――――――――――――――――――――――→去掉y 轴左侧的图象，以y 轴为对称轴，作y 轴右侧的对称图象
y ＝lg(|x |＋1)
――――――――――→图象向右平移2个单位长度
y ＝lg(|x －2|＋1)，如图，可知f (x )在(－∞，
2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0.所以①②正确．
答案：2
2．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1
x
＋2的图象关于点A (0,1)对称．
(1)求f (x )的解析式；
(2)若g (x )＝f (x )＋a x
，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在
h (x )的图象上，
即2－y ＝－x －1x ＋2，所以y ＝f (x )＝x ＋1
x
(x ≠0)．
(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋
a ＋1
x
， g ′(x )＝1－a ＋1
x
2.
因为g (x )在(0,2]上为减函数， 所以1－
a ＋1
x 2
≤0在(0,2]上恒成立， 即a ＋1≥x 2
在(0,2]上恒成立， 所以a ＋1≥4，即a ≥3，
故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．。