广东省肇庆市2022届初一下期末达标检测数学试题含解析

广东省肇庆市2022届初一下期末达标检测数学试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是（）
A．甲比乙的成绩稳定
B．乙比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，
故选B．
2．如图，直线a、b相交于点O，若∠1＝30°，则∠2等于（）
A．60°B．30°C．140°D．150°
【答案】D
【解析】
【分析】
因∠1和∠2是邻补角，且∠1＝30°，由邻补角的定义可得∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°．【详解】
解：∵∠1+∠2＝180°，且∠1＝30°，
∴∠2＝150°，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了对顶角和邻补角的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．②邻补角互补，即和为180°．
3．若M＝(x﹣3)(x﹣5)，N＝(x﹣2)(x﹣6)，则M与N的关系为( )
A．M＝N B．M＞N
C．M＜N D．M与N的大小由x的取值而定
【答案】B
【解析】
【分析】
-中，去括号合并得到结果为3大于0，可得出M大于N．
将M与N代入M N
【详解】
()()
=--，
N x2x6
M x3x5
=--，()()
()()()()
M N x3x5x2x6
∴-=-----
()
22
x5x3x15x6x2x12
=--+---+
22
=--+-++-=>，
x5x3x15x6x2x1230
>．
则M N
故选B．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
4．若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，则这个内角的度数为( )
A．90°B．105°C．130°D．120°
【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了多边形的外角和内角. 先用2570°÷180°，看余数是多少，再把余数补成180°
【详解】
解：∵2570°÷180°=14…50°，
又130°+50°=180°
∴这个内角度数为130°
故选C
5．关于x、y 的二元一次方程组
5
313
2
x y
a
x y
+=
⎧
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
的解也是二元一次方程x－y＝－1 的解，则a 的值是
( )
A．12 B．3 C．20 D．5 【答案】A
【解析】
【分析】
由题意建立关于x，y的新的方程组，求得x，y的值，再代入a
2
x+3y=13中，求得a的值即可．
【详解】
由题意得
5
1 x y
x y
+=
⎧
⎨
-=-⎩
解得x=2,y=3
代入方程a
2
x+3y=13中，解得a=12
故选A.
【点睛】
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握计算法则是解题关键.
6．某个观测站测得：空气中pm2.5含量为每立方米0.0000023g，则将0.0000023用科学记数法表示为() A．2.3×10﹣7B．2.3×10﹣6C．2.3×10﹣5D．2.3×10﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
0.0000023=2.3×10-6
故选B．
【点睛】
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为1a，第2幅图形中“●”的个数为2a，第3幅图形中“●”的个数为3a，以此类推，则
12
11
a a
++
318
11
a a
+⋯的值为( )
第1幅图第2幅图第3幅图第4幅图
A．
19
20
B．
19
40
C．
531
760
D．
589
840
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图形中的“●”的个数得到数字变化规律，进而求解.
【详解】
1
a=3=1×3；
2
a=8=2×4；
3
a=15=3×5…
n
a=n(n+2)
∴
12
11
a a
++
318
11
a a
+⋯=1111
...
1324351820
++++
⨯⨯⨯⨯
=
1111111111
1...
23435461820
2
⎛⎫
-+-+-+-+-
⎪
⎝⎭
=
1111
1
21920
2
⎛⎫
+--
⎪
⎝⎭
=
531
760
故选C.
【点睛】
此题主要考查图形的规律变化，解题的关键是找到图形之间的变化.
8．如图，直线l∥m∥n，三角形ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的角为25°，且∠ACB=60°，则∠a的度数为（）
A．25°B．30°C．35°D．45°
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，根据平行线的性质可得∠a=∠1，∠2=25°，进而可得答案.
【详解】
如图，
∵l∥m∥n，
∴∠a=∠1，∠2=25°
∵∠ACB=∠a+∠2=60°
∴∠a=60°-25°=35°
故选C.
【点睛】
本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键.
9．为了解本校学生周末玩手机所花时间的情况，七、八、九年级中各抽取50名学生（男女各25名）进行调查，此次调查所抽取的样本容量是（）
A．150 B．75 C．50 D．25
【答案】A
【解析】
【分析】
根据样本容量的定义解答即可.
【详解】
∵从七、八、九年级中各抽取50名学生进行调查，
∴一共抽了150名学生，
∴样本容量是150.
故选A.
【点睛】
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义,解题要分清具体问题中的总体、个体与样本,关键是明确
考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的,所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位.
10．如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF，∠BEF，∠EFD，则图中与∠DFM相等的角（不含它本身）的个数为（）.
A．7B．6C．5D．4
【答案】A
【解析】
∵FM平分∠EFD，∴∠EFM=∠DFM=1
2
∠CFE，
∵EG平分∠AEF，∴∠AEG=∠GEF=1
2
∠AEF，
∵EM平分∠BEF，∴∠BEM=∠FEM=1
2
∠BEF，
∴∠GEF+∠FEM=1
2
（∠AEF+∠BEF）=90°，即∠GEM=90°，∠FEM+∠EFM=
1
2
（∠BEF+∠DFE），
∵AB∥CD，∴∠EGF=∠AEG，∠CFE=∠BEF
∴∠FEM+∠EFM=1
2
（∠BEF+∠CFE）=
1
2
（BEF+∠AEF）=90°，
∴在△EMF中，∠EMF=90°，∴∠GEM=∠EMF，∴EG∥FM，
∴与∠DFM相等的角有：∠EFM、∠GEF、∠EGF、∠AEG以及∠GEF、∠EGF、∠AEG三个角的对顶角．
故选．
点睛：本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义、余角的判定等，熟练掌握和应用这些知识是解题的关键.
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点A（2，1）关于x轴对称的点的坐标是_____．
【答案】（2，﹣1）
【解析】
【分析】
平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．【详解】
解：点（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点睛】
熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是本题的解题关键.关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．关于y轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
12．如图，线段AB表示一根对折以后的绳子，现从P处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段12cm，
若AP＝2
3
PB，则这条绳子的原长为_____cm．
【答案】20或1．
【解析】
【分析】
根据题意对折点可能是点A，也可能是点B，根据不同情况确定最长线段即可求出原线段的长度．【详解】
解：根据题意对折点可能是点A，也可能是点B，分两种情况．
①点A是对折点，则剪断后最长线段应该是2AP＝4
3
PB＝12
∴AP＝6，BP＝9
∴绳子原长为（6+9）×2＝1
②点B是对折点，则剪断后最长线段是2BP＝12 ∴BP＝6
而AP＝2
3 PB
∴AP＝4
∴绳子原长为（6+4）×2＝20.
故答案为：20或1．
【点睛】
本题考查两点间的距离，线段长度的计算，对每种情况全面思考是解题的关键．13．如果点P（a，2）在第二象限，那么点Q（﹣3，a﹣1）在第____象限．
【答案】三.
【解析】
【分析】
首先根据第二象限内点的坐标特点得出a的取值范围，进而确定Q点的所在的象限。

. 【详解】
解：∵点P（a，2）在第二象限，
∴a<0，
∴a-1＜0
∴（-3，a-1）在第三象限.
故答案为：三.
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键.
14．计算：()322177a a
a -÷=__________.
【答案】23a a -
【解析】
【分析】
根据整式的除法法即可求解.
【详解】 ()322177a a a -÷=23a a -
故填：23a a -
【点睛】
此题主要考查整式的除法，解题的关键是熟知多项式除单项式的运算法则.
15．如图，△ABC 中，DE 垂直平分AC ，与AC 交于E ，与BC 交于D ，∠C ＝15°，∠BAD ＝60°．若CD ＝10，则AB 的长度为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到DA ＝DC ＝10，根据三角形的外角的性质得到∠ADB ＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得到答案．
【详解】
解：∵DE 垂直平分AC ，
∴DA ＝DC ＝10，
∴∠DAC ＝∠C ＝11°，
∴∠ADB ＝30°，
又∠BAD ＝60°，
∴∠B＝90°，又∠ADB＝30°
∴AB＝1
2
AD＝
1
2
×10＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．如图，AB∥CD，∠1=43°，∠C和∠D互余，则∠B=____________.
【答案】133°
【解析】
【分析】
利用平行，求得∠D；∵∠C和∠D互余，可求∠C；再利用平行，即可求得∠B.
【详解】
∵AB∥CD
∴∠D=∠1=43°
∵∠C和∠D互余
∴∠C+∠D=90°
∴∠C=47°
∵AB∥CD
∴∠B+∠C=180°
∴∠B=133°
故答案为：133°
【点睛】
本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线性质定理以及互余定理是解题关键.
17．当a=__________时，分式
3
2
a+
没有意义.
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据分母等于零时，分式无意义列式求解即可.
【详解】
由题意得
a+2=0,
∴a=-2.
故答案为：-2.
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义.分式是否有意义与分子的取值无关.
三、解答题
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC 与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)请在图中直接画出O点，并直接填空：OA=______
(2)将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
【答案】(1)3；(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)分别连接BF、AD、CE，它们的交点即为O点，从而得到OA的长；
(2)利用网格的特点和平移的性质分别画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可．
【详解】
解：(1)如图，点O为所作，OA=3，
故答案为：3；
(2)如图，△A1B1C1为所作；
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
19．解下列方程(组)： (1)30564
x x --= (2)2 6.38.x y x y +=⎧⎨+=⎩
①② 【答案】 (1)30x =；(2)22
x y =⎧⎨
=⎩. 【解析】
【分析】
（1）根据解一元一次不等式的方法求解即可.（2）根据解二元一次方程的方法求解即可.
【详解】
(1)解：去分母，得23(30)60x x --=
去括号、移项，得236090x x +=+.
合并同类项，得5150x =.
系数化为1，得30x =.
经检验x=30. (2) x+2y=63x+y=8⎧⎨⎩
①② 解：由②，得83y x =- ③
把③代入①，得
2(83)6x x +-=.
2x =.
将2x =带入③可得862y =-=.
∴22x y =⎧⎨=⎩
经检验x=2，y=2.
【点睛】
本题考察了一元一次方程的求解和一元二次方程的求解，学生们熟练掌握求解方法即可，但是需要认真的计算.
20． (1)已知 xy=2,2225x y +=,求x-y 的值・
（2）求证：无论x 、y 为何值，代数式22
245x y x y +--+的值不小0
【答案】（1）x-y=±21；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）把x-y 两边平方，然后把xy=2，x 2+y 2=25代入进行计算即可求解．
（2）将式子配方，再判断式子的取值范围即可．
【详解】
（1）解：∵（x-y ）2=x 2+y 2-2xy
=25-2×2
=21，
∴x-y=±21；
（2）证明∵x 2+y 2-2x-4y+5= x 2-2x+1+ y 2-4y+4
=（x-1）2+（y-2）2≥1，
∴无论x 、y 为何值，代数式x 2+y 2-2x-4y+5的值不小于1．
【点睛】
本题考查了配方法的应用、完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，熟练掌握完全平方式的各种变形是解答此类题目的关键.
21．如图①②，点E 、F 分别是线段AB 、线段CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接AG 、BG 、CG 、DG ，且∠AGD ＝∠BGC ．
（1）线段AD 和线段BC 有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）当DG ⊥GC 时，试判断直线AD 和直线BC 的位置关系，并说明理由．
【答案】 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）由GF 垂直平分DC ，可得GD=GC ，同理可得，GA=GB ，又由∠AGD=∠BGC ，即可证得△ADG ≌△BCG （SAS ），继而证得结论；
（2）首先延长AD ，与CG 相交于点O 、与BC 的延长线相交于点Q ，由（1）可证得∠ADG=∠BCG ，继而可求得∠Q 的度数，
【详解】
（1）AD ＝BC ．
理由：∵GF 垂直平分DC ，
∴GD ＝GC
同理，GA ＝GB ，
在△ADG 和△BCG 中，
GD GC AGD BGC GA GB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADG ≌△BCG （SAS ），
∴AD ＝BC ；
（2）AD ⊥BC ．
理由：延长AD ，与CG 相交于点O 、与BC 的延长线相交于点Q ．
∵△ADG ≌△BCG ，
∴∠ADG ＝∠BCG ，
则∠GDO ＝∠QCO ，
∴∠QDC+∠QCD ＝∠QDC+∠DCG+∠QCG ＝∠QDC+∠GDQ+∠DCG ＝∠CDG+∠DCG ，
∵DG ⊥GC ，
∴∠QDC+∠QCD ＝∠CDG+∠DCG ＝90°，
∴∠Q ＝90°，
∴AD ⊥BC ．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 22．定义：对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为()f a ．
例如：12a =，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为211233+=，和与11的商为33113÷=，所以()123f =．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：①下列两位数：20，21，22中，“迥异数”为________．
②计算：()35f =_________，()10f m n +=________．
（2）如果一个“迥异数”b 的十位数字是k ，个位数字是()21m +，且()9f b =；另一个“迥异数”c 的十位数字是4m +，个位数字是21k -，且()11f c =，请求出“迥异数”b 和c ．
（3）如果一个“迥异数”m 的十位数字是x ，个位数字是3x -，另一个“迥异数”n 的十位数字是4x -，个位数字是2，且满足()()7f m f n -<，请直接写出满足条件的所有x 的值________．
【答案】（1）①21；②8；m n +；（2）3665b c ==，；（3）5或7
【解析】
【分析】
（1）①由“迥异数”的定义可得；②根据定义计算可得；
（2）由()10f m n m n +=+，可求k 的值，即可求b ；
（3）根据题意可列出不等式，可求出5<x<9，即可求x 的值.
【详解】
（1）①∵对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”
∴“迥异数”为21；
②()()()()35533511810101011f f m n m n n m m n =+÷=+=+++÷=+，；
（2）∵()10f m n m n +=+，且()()911f b f c ==，
∴2(1)942111k m m k ++=⎧⎨++-=⎩
∴32k m =⎧⎨=⎩
∴102(1)3610(4)(21)65b k m c m k =++==++-=，；
（3）∵()()7f m f n -<
∴()3427x x x +---+<，解得x<8
∵x−3>0，x−4>0
∴x>4
∴4<x<8，且x 为正整数
∴x=5，6，7
当x=5时，m=52，n=12，
当x=6时，m=63，n=22(不合题意，舍去)，
当x=7时，m=74，n=32，
综上所述：x 为5或7.
【点睛】
本题属于新定义题目，准确结合题目所给定义进行计算求解是解决本题的关键.
23．某商店决定购进A 、B 两种纪念品.若购进A 种纪念品10件，B 种纪念品5件，需要1000元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品3件，需要550元.
（1）求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A 种纪念品的数量不少于B 种纪念品数量的6倍，且不超过B 种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件B 种纪念品可获利润30元，在（2）的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）购进一件A 种纪念品需要50元，购进一件B 种纪念品需要100元
（2）共有6种进货方案
（3）当购进A 种纪念品160件，B 种纪念品20件时，可获最大利润，最大利润是3800元
【解析】
【分析】
（1）设我校购进一件A 种纪念品需要a 元，购进一件B 种纪念品需要b 元，根据条件建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设我校购进A 种纪念品x 个，购进B 种纪念品y 个，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解即可；
（3）设总利润为W 元，根据总利润=两种商品的利润之和建立解析式，由解析式的性质就可以求出结论．
【详解】
（1）设我校购进一件A 种纪念品需要a 元，购进一件B 种纪念品需要b 元，由题意，得
1051000{53550
a b a b +=+=， ∴解方程组得：
50{100
a b == 答：购进一件A 种纪念品需要50元，购进一件B 种纪念品需要100元．
（2）设我校购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，由题意，得
则
5010010000? {
68?
x y
y x y
+=
≤≤
，
解得
2002
{
620028
x y
y y y
=-
≤-≤
，
解得：20≤y≤25
∵y为正整数
∴y=20，21，22，23，24，25
答：共有6种进货方案；
（3）设总利润为W元，由题意，得
W=20x+30y=20（200-2 y）+30y，
=-10y+4000（20≤y≤25）
∵-10＜0，
∴W随y的增大而减小，
∴当y=20时，W有最大值
W最大=-10×20+4000=3800（元）
答：当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获最大利润，最大利润是3800元．
考点：1.一次函数的应用；2.二元一次方程组的应用；3.一元一次不等式组的应用．
24．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1，可以得到(a+1b)(a+b)＝a1+3ab+1b1．请解答下问题：
(1)写出图1中所表示的数学等式_____；
(1)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，ab+bc+ac＝12，求a1+b1+c1的值；
(3)小明同学用1张边长为a的正方形、3张边长为b的正方形、5张边长为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
(4)小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为(15a+7b)(1a+5b)长方形，求9x+10y+2．
【答案】(1)(a+b+c)1＝a1+b1+c1+1ab+1bc+1ca；(1)19；(3)较长的一边长为1a+3b；(4)802．
【解析】
【分析】
(1)直接求得正方形的面积,然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可;
(1)将a+b+c=9,ab+bc+ac=12代入(1)中得到的关系式,然后进行计算即可;
(3)先列出长方形的面积的代数式,然后分解代数式,可得到矩形的两边长
(4)长方形的面积xa1+yb1+zab=(15a+7b)(9a+5b),然后运算多项式乘多项式法则求得(15a+7
b)(1a+45b)的结果,从而得到x、y、z的值,代入即可求解
【详解】
解：(1)正方形的面积可表示为＝(a+b+c)1；
正方形的面积＝a1+b1+c1+1ab+1bc+1ca，
所以(a+b+c)1＝a1+b1+c1+1ab+1bc+1ca．
故答案为：(a+b+c)1＝a1+b1+c1+1ab+1bc+1ca．
(1)由(1)可知：a1+b1+c1＝(a+b+c)1﹣1(ab+bc+ca)＝91﹣12×1＝81﹣51＝19．
(3)长方形的面积＝1a1+5ab+3b1＝(1a+3b)(a+b)．
所以长方形的边长为1a+3b和a+b，
所以较长的一边长为1a+3b．
(4)∵长方形的面积＝xa1+yb1+zab＝(15a+7b)(1a+5b)＝50a1+14ab+115ab+35b1＝50a1+5ab+35b1，
∴x＝50，y＝35，z＝5．
∴9x+10y+2＝450+350+2＝802．
【点睛】
此题考查多项式乘多项式，掌握运算法则是解题关键
25．某商场计划购进A、B两种新型节能台灯，已知B型节能台灯每盏进价比A型的多40元，且用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同．
（1）求每盏A型节能台灯的进价是多少元？
（2）商场将购进A、B两型节能台灯100盏进行销售，A型节能台灯每盏的售价为90元，B型节能台灯每盏的售价为140元，且B型节能台灯的进货数量不超过A型节能台灯数量的2倍．应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时利最多？此时利润是多少元？
【答案】（1）每盏A型节能台灯的进价是60元；（2）A型台灯购进34盏，B型台灯购进66盏时获利最多，利润为3660元．
【解析】
【分析】
（1）设每盏A型节能台灯的进价是x元，则B型节能台灯每盏进价为（x+40）元，根据用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同，列方程求解；
（2）设购进B型台灯m盏，根据商场购进100盏台灯且规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的2倍，列不等式求解，进一步得到商场在销售完这批台灯时获利最多时的利润．
【详解】
解：（1）设每盏A型节能台灯的进价是x元，则B型节能台灯每盏进价为（x+40）元，
根据题意得，30005000
40
x x
=
+
，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原方程的解，
故x+40＝100，
答：每盏A型节能台灯的进价是60元，则B型节能台灯每盏进价为100元；（2）设购进B型节能台灯m盏，购进A型节能台灯（100﹣m）盏，
依题意有m≤2（100﹣m），
解得m≤662
3
，
90﹣60＝30（元），
140﹣100＝40（元），
∵m为整数，30＜40，
∴m＝66，即A型台灯购进34盏，B型台灯购进66盏时获利最多，
34×30+40×66
＝1020+2640
＝3660（元）．
此时利润为3660元．
答：（1）每盏A型节能台灯的进价是60元；（2）A型台灯购进34盏，B型台灯购进66盏时获利最多，利润为3660元．
【点睛】
本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．。