数理方法第二章热传导方程习题答案1
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t2 t1
u dsdt ，其中 D 为 n
M D
s
u dsdt n
t2 t
浓度由 u 变到 u 2 所需之溶质为
2 u u M 1 Cu x, y, z, t 2 u x, y, z, t1 dxdydz C dtdv C dvdt t t t1 t1
dQ u 4 dsdt
今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已 知函数 f ( x, y, z, t ) ,问此 时该物体热传§ 导问题的边界条件应如何叙述？ 解：由假设，边界只有辐射的热量交换，辐射出去的热量为 的传导定律得边界条件为：
dQ1 u 4 | s dsdt, 辐射进来的热量为 dQ2 f 4 | s dsdt, 因此由热量
因此
C n 2[ x sin nxdx (1 x) sin nxdx ]
0 1 2
1 2
1
1 1 2 2[ 1 (1 x) cos nx 1 sin nx]1 2[ x cos nx 2 2 sin nx]0 1 n n n n 2 2
a 2 ( 2 n 1) 2 t 4
(n 0, 1, )
Tn (t ) C n e
u ( x, t )
由初始值得
f ( x)
n 0
Cn e
n 0
a 2 ( 2 n 1) 2 t 4
sin
2n 1 x 2
Cn sin
2n 1 x 2
27
因此
Cn
l
0
视 A, B 为未知数，此为一齐次线性代数方程组，要 X ( x) 非零，必需不同为零，即 此齐次线性代数方程组要有非零解，由代数知必需有
1 e
但
l
1 e e
l
0 e
l
1 e
x
1
l
l
e
l
0
因 l 0, 0, e 为单调增函数之故。因此没有非零解 X ( x) 。
解：设 u X ( x)T (t ) 代入方程及边值得
X " X 0 T a 2 T 0
求非零解 X ( x) 得 n 对应Ｔ为 因此得
X (0) 0
X ( ) 0
(2n 1) 2 2n 1 , X n ( x) sin x 4 2
求非零解 X ( x) 得 n n 对应Ｔ为 故解为 由始值得
2
2 , X n sin nx n=1,2,„„
2
Tn C n e n
n 1
t
2 2
u ( x, t ) C n e n t sin nx
1 0 x x 2 Cn sin nx 1 n 1 1 x x 1 2
u t sxt t
4k1 u 2u u u1 sxt s x t k s x t t x t l x 2 消去 sxt ，再令 x 0 ， t 0 得精确的关系： u 2 u 4k c k 2 1 u u1 t l x c
X ( x) Ae
x
Be
x
x
X ' ( x) A e
由边值得
B e
x
A B 0 l A e B e l 0
28
因 0 故相当于
A B 0 l Be Ae
k
u | s [u 4 | s f 4 | s ] n
§ 2 混合问题的分离变量法 1． 用分离变量法求下列定解问题的解：
2 u 2 u (t 0,0 x ) a x 2 t u ( , t ) 0 (t 0) u (0, t ) x u ( x,0) f ( x) (0 x )
所以
1
4 n
2 2
sin
2
n 2
n n2 2t e sin nx 2 2 2 n 1 n ３．如果有一长度为 l 的均匀的细棒，其周围以及两端 x 0, x l 处均匀等到为绝热，初 始温度分布为 u( x,0) f ( x), 问以后时刻的温度分布如何？且证明当 f ( x) 等于常数 u 0 时，恒有 u ( x, t ) u 0 。 u ( x, t ) 4 sin
2u 2u 2u Q0 t u a2 x 2 y 2 z 2 c e t
26
2 k a c
4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度 u 0 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程
f ( x) sin
0
2
2n 1 xdx 2
故解为
u ( x, t )
n 0
f ( ) s i n
0
2
2n 1 d e 2
a 2 ( 2n 1) 2 t 4
2n 1 sin x 2
２．用分离变量法求解热传导方程的混合问题
u 2 u (t 0,0 x 1) 2 t x 1 0 x x 2 u ( x,0) 1 1 x x 1 2 (t 0) u (0, t ) u (1, t ) 0 解：设 u X ( x)T (t ) 代入方程及边值得 X "X 0 X (0) X (1) 0 T 'T 0
dQ Q ，其中 为常数。又假设砼的比热为 c ，密度为 ，热传导系数为 k ，求 dt
dQ Q 及 Q t 0 Q0 得 Qt Q0 e t 。由假设，放热速度为 dt
Q0 e t
它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书 71 页，(1.7)式得
dQ2 k1 u u1 lxt
又在时刻 t 到 t t 在截面为 x 到 x x 这一小段内由于温度变化所需的热量为
4k1 u u1 sxt l
dQ3 c u x, t t u x, t sx c
由热量守恒原理得：
u 2u a 2 2 f x, t 即得所求： t x
u k 2 u k1 P 0.24i 2 r u u 0 t c x 2 c c 2 4 5*. 设物体表面的绝对温度为 u ，此时它向外界辐射出去的热量依斯忒---波耳兹曼(Stefan-Boltzman)定律正比于 u ，即
或 其中 2.
2 4k1 u k 2 u 4k1 2 u u u1 u u a 1 t c x 2 cl x 2 cl k a2 c
试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面 s ，其包围的区域 为 ，则从时刻 t1 到 t 2 流入此闭曲面的溶质，由 dM D 扩散系数，得
因此单位体积时间所产生的热量为其中l为细杆直径故有设物体表面的绝对温度为u此时它向外界辐射出去的热量依斯忒波耳兹曼stefanboltzman定律正比于今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导又假设物体周围介质的绝对温度为已知函数时该物体热传导问题的边界条件应如何叙述
第 二 章
1.
热 传 导 方 程
2 u k 2 u k1 P u u0 0.24i 2r t c x c c
其中 i 及 r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长， 表示横截面面积，而 k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原 71 页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为
其中 a
2
i2
r
由常温度的热交换所产生的(视为“被动”的热源)，从本节第一题看出为
4k1 u u 0 l p l 2 4 其中 l 为细杆直径，故有 l / ，代入得 4 l k1 p u u0 F2 x, t
因热源可迭加，故有 F x, t F1 x, t F2 x, t 。将所得代入
(2) 当 0 时，通解为 X ( x) ax b
X ' ( x) a
X ' (0) X ' (l ) a 0 即 b 可任意，故 X ( x) 1 为一非零解。 (3) 当 0 时，通解为
由边值得
X ( x) A cos x B sin x X ' ( x) A sin x B cos x X ' (0) B 0 X ' (l ) A sin l B cos l 0 B0 因 0, 故相当于 A sin l 0
§1 热传导方程及其定解问题的提 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律
dQ k1 (u u1 )dsdt 又假设杆的密度为 ，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。
l 2 解：引坐标系：以杆的对称轴为 x 轴，此时杆为温度 u u( x, t ) 。记杆的截面面积 为 S 。由假设，在任意时刻 t 到 t t 内流入 4 截面坐标为 x 到 x x 一小段细杆的热量为 u u 2u dQ1 k x x st k x st k x sxt x x x 2 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻 t 到 t t 在截面为 x 到 x x 一小段中产生的热量为
解：即解定解问题
2 u 2 u a t x 2 u u | x l 0 | x 0 x x u |t 0 f ( x ) 设 u X ( x)T (t ) 代入方程及边值得 X ' (0) X ' (l ) 0 X "X 0 2 T ' a T 0 求非零解 X ( x) ： (1) 当 0 时，通解为
两者应该相等，由奥、高公式得：
t2 u u u u M D D D dvdt M 1 C dvdt x x y y z z t t1 t1 其中 C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形 C 1 。由于 , t1 , t 2 的任意性即得方程： t2
C
3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以 Qt 表示它在单位体 积中所储的热量， Q0 为初始时刻所储的热量，则 它在浇后温度 u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由
u u u u D D D t x x y y z z
2 u 2 u a f x, t t x 2
k , f x, t F x, t / c , F x, t 为单位体积单位时间所产生的热量。 c r 2 2 由常电流 i 所产生的 F1 x, t 为 0.24i r / 。因为单位长度的电阻为 ，因此电流 i 作功为 2 乘上功热当量得单位长度产生的热量为 0.24i r / 其中 0.24 为功热当量。 2 2 因此单位体积时间所产生的热量为 0.24i r /
u dsdt ，其中 D 为 n
M D
s
u dsdt n
t2 t
浓度由 u 变到 u 2 所需之溶质为
2 u u M 1 Cu x, y, z, t 2 u x, y, z, t1 dxdydz C dtdv C dvdt t t t1 t1
dQ u 4 dsdt
今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已 知函数 f ( x, y, z, t ) ,问此 时该物体热传§ 导问题的边界条件应如何叙述？ 解：由假设，边界只有辐射的热量交换，辐射出去的热量为 的传导定律得边界条件为：
dQ1 u 4 | s dsdt, 辐射进来的热量为 dQ2 f 4 | s dsdt, 因此由热量
因此
C n 2[ x sin nxdx (1 x) sin nxdx ]
0 1 2
1 2
1
1 1 2 2[ 1 (1 x) cos nx 1 sin nx]1 2[ x cos nx 2 2 sin nx]0 1 n n n n 2 2
a 2 ( 2 n 1) 2 t 4
(n 0, 1, )
Tn (t ) C n e
u ( x, t )
由初始值得
f ( x)
n 0
Cn e
n 0
a 2 ( 2 n 1) 2 t 4
sin
2n 1 x 2
Cn sin
2n 1 x 2
27
因此
Cn
l
0
视 A, B 为未知数，此为一齐次线性代数方程组，要 X ( x) 非零，必需不同为零，即 此齐次线性代数方程组要有非零解，由代数知必需有
1 e
但
l
1 e e
l
0 e
l
1 e
x
1
l
l
e
l
0
因 l 0, 0, e 为单调增函数之故。因此没有非零解 X ( x) 。
解：设 u X ( x)T (t ) 代入方程及边值得
X " X 0 T a 2 T 0
求非零解 X ( x) 得 n 对应Ｔ为 因此得
X (0) 0
X ( ) 0
(2n 1) 2 2n 1 , X n ( x) sin x 4 2
求非零解 X ( x) 得 n n 对应Ｔ为 故解为 由始值得
2
2 , X n sin nx n=1,2,„„
2
Tn C n e n
n 1
t
2 2
u ( x, t ) C n e n t sin nx
1 0 x x 2 Cn sin nx 1 n 1 1 x x 1 2
u t sxt t
4k1 u 2u u u1 sxt s x t k s x t t x t l x 2 消去 sxt ，再令 x 0 ， t 0 得精确的关系： u 2 u 4k c k 2 1 u u1 t l x c
X ( x) Ae
x
Be
x
x
X ' ( x) A e
由边值得
B e
x
A B 0 l A e B e l 0
28
因 0 故相当于
A B 0 l Be Ae
k
u | s [u 4 | s f 4 | s ] n
§ 2 混合问题的分离变量法 1． 用分离变量法求下列定解问题的解：
2 u 2 u (t 0,0 x ) a x 2 t u ( , t ) 0 (t 0) u (0, t ) x u ( x,0) f ( x) (0 x )
所以
1
4 n
2 2
sin
2
n 2
n n2 2t e sin nx 2 2 2 n 1 n ３．如果有一长度为 l 的均匀的细棒，其周围以及两端 x 0, x l 处均匀等到为绝热，初 始温度分布为 u( x,0) f ( x), 问以后时刻的温度分布如何？且证明当 f ( x) 等于常数 u 0 时，恒有 u ( x, t ) u 0 。 u ( x, t ) 4 sin
2u 2u 2u Q0 t u a2 x 2 y 2 z 2 c e t
26
2 k a c
4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度 u 0 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程
f ( x) sin
0
2
2n 1 xdx 2
故解为
u ( x, t )
n 0
f ( ) s i n
0
2
2n 1 d e 2
a 2 ( 2n 1) 2 t 4
2n 1 sin x 2
２．用分离变量法求解热传导方程的混合问题
u 2 u (t 0,0 x 1) 2 t x 1 0 x x 2 u ( x,0) 1 1 x x 1 2 (t 0) u (0, t ) u (1, t ) 0 解：设 u X ( x)T (t ) 代入方程及边值得 X "X 0 X (0) X (1) 0 T 'T 0
dQ Q ，其中 为常数。又假设砼的比热为 c ，密度为 ，热传导系数为 k ，求 dt
dQ Q 及 Q t 0 Q0 得 Qt Q0 e t 。由假设，放热速度为 dt
Q0 e t
它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书 71 页，(1.7)式得
dQ2 k1 u u1 lxt
又在时刻 t 到 t t 在截面为 x 到 x x 这一小段内由于温度变化所需的热量为
4k1 u u1 sxt l
dQ3 c u x, t t u x, t sx c
由热量守恒原理得：
u 2u a 2 2 f x, t 即得所求： t x
u k 2 u k1 P 0.24i 2 r u u 0 t c x 2 c c 2 4 5*. 设物体表面的绝对温度为 u ，此时它向外界辐射出去的热量依斯忒---波耳兹曼(Stefan-Boltzman)定律正比于 u ，即
或 其中 2.
2 4k1 u k 2 u 4k1 2 u u u1 u u a 1 t c x 2 cl x 2 cl k a2 c
试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面 s ，其包围的区域 为 ，则从时刻 t1 到 t 2 流入此闭曲面的溶质，由 dM D 扩散系数，得
因此单位体积时间所产生的热量为其中l为细杆直径故有设物体表面的绝对温度为u此时它向外界辐射出去的热量依斯忒波耳兹曼stefanboltzman定律正比于今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导又假设物体周围介质的绝对温度为已知函数时该物体热传导问题的边界条件应如何叙述
第 二 章
1.
热 传 导 方 程
2 u k 2 u k1 P u u0 0.24i 2r t c x c c
其中 i 及 r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长， 表示横截面面积，而 k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原 71 页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为
其中 a
2
i2
r
由常温度的热交换所产生的(视为“被动”的热源)，从本节第一题看出为
4k1 u u 0 l p l 2 4 其中 l 为细杆直径，故有 l / ，代入得 4 l k1 p u u0 F2 x, t
因热源可迭加，故有 F x, t F1 x, t F2 x, t 。将所得代入
(2) 当 0 时，通解为 X ( x) ax b
X ' ( x) a
X ' (0) X ' (l ) a 0 即 b 可任意，故 X ( x) 1 为一非零解。 (3) 当 0 时，通解为
由边值得
X ( x) A cos x B sin x X ' ( x) A sin x B cos x X ' (0) B 0 X ' (l ) A sin l B cos l 0 B0 因 0, 故相当于 A sin l 0
§1 热传导方程及其定解问题的提 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律
dQ k1 (u u1 )dsdt 又假设杆的密度为 ，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。
l 2 解：引坐标系：以杆的对称轴为 x 轴，此时杆为温度 u u( x, t ) 。记杆的截面面积 为 S 。由假设，在任意时刻 t 到 t t 内流入 4 截面坐标为 x 到 x x 一小段细杆的热量为 u u 2u dQ1 k x x st k x st k x sxt x x x 2 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻 t 到 t t 在截面为 x 到 x x 一小段中产生的热量为
解：即解定解问题
2 u 2 u a t x 2 u u | x l 0 | x 0 x x u |t 0 f ( x ) 设 u X ( x)T (t ) 代入方程及边值得 X ' (0) X ' (l ) 0 X "X 0 2 T ' a T 0 求非零解 X ( x) ： (1) 当 0 时，通解为
两者应该相等，由奥、高公式得：
t2 u u u u M D D D dvdt M 1 C dvdt x x y y z z t t1 t1 其中 C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形 C 1 。由于 , t1 , t 2 的任意性即得方程： t2
C
3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以 Qt 表示它在单位体 积中所储的热量， Q0 为初始时刻所储的热量，则 它在浇后温度 u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由
u u u u D D D t x x y y z z
2 u 2 u a f x, t t x 2
k , f x, t F x, t / c , F x, t 为单位体积单位时间所产生的热量。 c r 2 2 由常电流 i 所产生的 F1 x, t 为 0.24i r / 。因为单位长度的电阻为 ，因此电流 i 作功为 2 乘上功热当量得单位长度产生的热量为 0.24i r / 其中 0.24 为功热当量。 2 2 因此单位体积时间所产生的热量为 0.24i r /