河南省濮阳市2018年高考数学一模试卷(理科)
(完整版)2018年河南省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
2018年河南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B={x|x﹣1＞0}；则A∩B=（）A．（1，2）B．[1，2]C．[1，2）D．（1，2]2．（5分）已知i为虚数单位，若，则a b=（）A．1B．C．D．23．（5分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件4．（5分）已知函数f（x）=e x在点（0，f（0））处的切线为l，动点（a，b）在直线l上，则2a+2﹣b的最小值是（）A．4B．2C．D．5．（5分）展开式中x2的系数为（）A．20B．15C．6D．16．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出n的值为（）A．14B．13C．12D．117．（5分）三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角α满足sinα+cosα=，现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数，，则f（x）的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[﹣2，+∞）9．（5分）设F1、F2是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A．x±y=0B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=0 10．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积是（）A．20πB．C．25πD．22π11．（5分）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，，若，则实数=（）A．B．C．D．312．（5分）定义域为[a，b]的函数y=f（x）的图象的两个端点分别为A（a，f （a）），B（b，f（b）），M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b（0＜λ＜1），向量．若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上为“k函数”．已知函数y=x3﹣6x2+11x﹣5在[0，3]上为“k函数”，则实数k的最小值是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=x﹣2y的最小值为．14．（5分）如图，已知点A（0，1），点P（x0，y0）（x0＞0）在曲线y=x2上移动，过P点作PB垂直x轴于B，若图中阴影部分的面积是四边形AOBP面积的，则P点的坐标为．15．（5分）已知抛物线x2=4y，斜率为的直线交抛物线于A，B两点．若以线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P，则点P到直线AB的距离为．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且a n+S n=3n﹣1，则数列{a n}的通项公式a n=．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知a2+4S=b2+c2．（1）求角A；（2）若，，求角C．18．（12分）某公司要根据天气预报来决定五一假期期间5月1日、2日两天的宣传活动，宣传既可以在室内举行，也可以在广场举行．统计资料表明，在室内宣传，每天可产生经济效益8万元．在广场宣传，如果不遇到有雨天气，每天可产生经济效益20万元；如果遇到有雨天气，每天会带来经济损失10万元．若气象台预报5月1日、2日两天当地的降水概率均为40%．（1）求这两天中恰有1天下雨的概率；（2）若你是公司的决策者，你会选择哪种方式进行宣传（从“2天都在室内宣传”“2天都在广场宣传”这两种方案中选择）？请从数学期望及风险决策等方面说明理由．19．（12分）如图，在边长为的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF 翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．（1）求证：PO⊥平面ABD；（2）当PB与平面ABD所成的角为45°时，求平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知动点P与A（﹣2，0），B（2，0）两点连线的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C，过点E（1，0）的直线交曲线C于M，N两点．（1）求曲线C的方程；（2）若直线MA，NB的斜率分别为k1，k2，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（2）若函数有两个极值点，试判断函数g（x）的零点个数．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l：，曲线C：（θ为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|≥3，求实数m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a．（1）求解不等式f（x）＞3；（2）对于∀x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．2018年河南省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A中的不等式解得：﹣1≤x≤2，即A=[﹣1，2]；由集合B中的不等式解得：x＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，以及不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【分析】利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵，∴=，∴．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．【分析】A先写出逆命题再利用不等式性质判断；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可；D应为必要不充分条件．【解答】A“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，m=0时不正确；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，问题涉及不等式性质、复合命题真假判断、全称命题及特称命题、命题的否定、充要条件等，考查面较广．4．【分析】根据题意，由函数的解析式以及导数的几何意义计算可得切线l的方程，将动点（a，b）的坐标代入切线的方程可得b=a+1，进而可得2a+2﹣b=2a+2﹣（a+1）=2a+，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=e x，有f（0）=e0=1，即切点的坐标为（0，1），f（x）=e x，则f′（x）=e x，有f′（0）=e0=1，即切线的斜率为1，则函数f（x）=e x在点（0，f（0））处的切线为y﹣1=x，即y=x+1，若动点（a，b）在直线l上，则b=a+1，2a+2﹣b=2a+2﹣（a+1）=2a+≥2=，即2a+2﹣b的最小值是，故选：D．【点评】本题考查曲线的切线方程以及基本不等式的性质，关键是分析a、b的关系．5．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：=展开式中x2的系数=+=20．故选：A．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=1，n=3，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S=，n=5，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S=，n=7，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S=，n=9，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，S=，n=11，不满足退出循环的条件；第六次执行循环体后，S=，n=13，满足退出循环的条件；帮输出的n=13，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．【分析】求出sinα，从而求出三角形的三边的关系，分别表示出大正方形和小正方形的面积，求商即可．【解答】解：由，解得：sinα=，（sinα=舍），不妨，三角形斜边的长即正方形的边长是5，则较小直角边的长是3，较大直角边的长是4，故小正方形的边长是1，故大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，故满足条件的概率p=，故选：A．【点评】本题考查了几何概型问题，考查三角函数，是一道中档题．8．【分析】先利用二次函数求出内层函数u=sinx+cos2x﹣1=sinx﹣sin2x在的值域，然后利用对数函数的单调性可求出函数f（x）的取值范围．【解答】解：令u=sinx+cos2x﹣1=sinx﹣sin2x=，由于，则0＜sinx＜1，所以，0＜u，所以，log0.5u≥log0.5=2，因此，函数f（x）的取值范围是[2，+∞），故选：C．【点评】本题考察三角函数与对数函数的值域，问题的关键在于求出内层函数的值域，然后利用对数函数的单调性来求原函数的取值范围，属于中等题．9．【分析】设|PF1|＞|PF2|，由已知条件求出|PF1|=4a，|PF2|=2a，e=，进而求出b=，由此能求出双曲线C：=1的渐近线方程．【解答】解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2﹣2|PF1|•|F1F2|cos30°，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c×，同时除以a2，化简e2﹣2e+3=0，解得e=，∴c=，∴b==，∴双曲线C：=1的渐近线方程为y==±，即=0．故选：B．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．10．【分析】几何体为四棱锥，根据三视图判断四棱锥的一个侧面与底面垂直，判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量，求出外接球的半径，可得答案．【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，满足侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，且高为，可知底面外接圆心为对角线的交点，三角形PAB的外接圆O′半径为r，则（﹣r）2+4=r2．解得r=，底面外接圆E的半径为AE==．可求得球O的半径为：R==．外接球O的表面积为：=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求四棱锥外接球的半径，根据三视图判断几何体的结构特征是关键．11．【分析】由题意可设，，（k≠0）．由此求得a12，b6，则答案可求．【解答】解：由题意可设，，，（k ≠0）．则a12=S12﹣S11=288k﹣12k﹣242k+11k=45k．b6=T6﹣T5=36k+6k﹣25k﹣5k=12k．∴实数=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差数列前n项和的应用，是中档题．12．【分析】本题求解的关键是得出M、N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题．【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，||≤k恒成立，即k恒大于等于||，则k≥||的最大值，所以本题即求||的最大值．由N在AB线段上，得A（0，﹣5），B（3，1），AB方程y=2x﹣5，由图象可知，MN=y1﹣y2=x3﹣6x2+11x﹣5﹣（2x﹣5）=x3﹣6x2+9x，x∈[0，3]，设f（x）=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），x∈[0，3]，由f′（x）＞0，得0＜x＜1，由f′（x）＜0，得1＜x＜3，∴f（x）在[0，3]上的最大值为f（1）=4．∴||的最大值为4．∴实数k的最小值是4．故选：D．【点评】本题考查实数的最小值的求法，考查函数性质、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数z=x﹣2y知，当目标函数过点A时，z取得最小值，由，解得A（0，3），∴z的最小值为0﹣2×3=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，是基础题．14．【分析】由P点的坐标求出梯形AOBP的面积与阴影部分的面积，再根据面积比列方程求得结果．【解答】解：由题意点P（x0，y0），则梯形AOBP的面积为（1+y0）x0=（1+）x0，且阴影部分的面积为S=x2dx=x3=；又阴影部分的面积是梯形AOBP面积的，∴=•（1+）x0，解得x0=0或x0=±1；取x0=1，则y0=1，∴P点的坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．【点评】本题考查了利用定积分求面积的应用问题，是基础题．15．【分析】设直线AB斜率为k，求出AB的中点，根据切线的性质得出k的值，从而求出P点坐标和AB的方程，得出答案．【解答】解：设直线AB的方程为y=﹣x+b，代入x2=4y可得：y2﹣（2b+1）y+b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），则y0=（y1+y2）=，y1+y2=2b+1，y1y2=b2，∴|AB|==•．∵线段AB为直径的圆与抛物线的准线切于点P，∴2（+1）=•．解得：b=1．∴直线AB的方程为y=﹣x+1，即x+2y﹣2=0．∴P点坐标为（﹣1，﹣1），∴P到直线AB的距离为d==．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的性质，点到直线的距离计算，直线与圆的位置关系，属于中档题．16．【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式．【解答】解：数列{a n}的前n项和是S n，且a n+S n=3n﹣1①，+S n﹣1=3（n﹣1）﹣1②，当n≥2时，a n﹣1①﹣②得：2a n﹣a n﹣1=3．则：，所以：，所以：（常数）．a1+S1=3﹣1，解得：a1=1．所以：数列{a n﹣3}是以a1﹣3=﹣2为首项，以为公比的等比数列．所以：，整理得：．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．【分析】（1）根据余弦定理和三角形的面积公式化简即可得出sinA=cosA，从而得出A的值；（2）利用正弦定理求出B，再根据内角和求出C．【解答】解：（1）∵，a2=b2+c2﹣2bccosA，∴a2+4S=b2+c2﹣2bccosA+2bcsinA=b2+c2，∴tanA=1．又∵A∈（0，π），∴．（2）在△ABC中，由正弦定理，得，即．∵b＞a，0＜B＜π，∴或，∴或．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，属于中档题．18．【分析】（1）设事件A为“这两天中恰有1天下雨”，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出这两天中恰有1天下雨的概率．（2）2天都在室内宣传，产生的经济效益为16万元．设某一天在广场宣传产生的经济效益为X万元，分别求出P（X=﹣10）=0.4，P（X=20）=0.6，从而求出X的分布列和E（X），从而选择“2天都在室内宣传”．【解答】解：（1）设事件A为“这两天中恰有1天下雨”，则P（A）=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48．所以这两天中恰有1天下雨的概率为0.48．（2）2天都在室内宣传，产生的经济效益为16万元．设某一天在广场宣传产生的经济效益为X万元，P（X=﹣10）=0.4，P（X=20）=0.6，∴X的分布列为：X﹣1020P0.40.6所以E（X）=（﹣10）×0.4+20×0.6=8（万元）．所以两天都在广场宣传产生的经济效益的数学期望为16万元．因为两种方案产生经济效益的数学期望相同，但在室内活动收益确定，无风险，在广场宣传虽然冒着亏本的风险，但有产生更大收益的可能，故选择“2天都在广场宣传”【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．【分析】（1）由EF⊥AC，得PO⊥EF．再由面面垂直的性质可得PO⊥平面ABD；（2）以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，连接BO，可得∠PBO为PB与平面ABD所成的角，即∠PBO=45°，则PO=BO．设AO∩BD=H，求解三角形可得BD、HB、HC的长度．进一步求得PO、OH的长度．得到所用点的坐标，分别求出平面PAD、平面PBF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABD；（2）解：如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，连接BO，∵PO⊥平面ABD，∴∠PBO为PB与平面ABD所成的角，即∠PBO=45°，∴PO=BO．设AO∩BD=H，∵∠DAB=60°，∴△BDC为等边三角形，∴，，HC=3．设PO=x，则OH=3﹣x，由PO2=OH2+HB2，得x=2，即PO=2，OH=1．∴P（0，0，2），A（4，0，0），，，．设平面PAD、平面PBF的法向量分别为，，由，取a=1，得．同理，得，∴，∴平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．20．【分析】（1）设点P（x，y）（x≠±2），由动点P与A（﹣2，0），B（2，0）两点连线的斜率之积为，能求出曲线C的方程．（2）设MN：x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MB的斜率为k3，由题知，A（﹣2，0），B（2，0），由，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出为定值．【解答】解：（1）设点P（x，y）（x≠±2），∵动点P与A（﹣2，0），B（2，0）两点连线的斜率之积为，∴由题知，，整理，得曲线C的方程为：．（2）由题意，知直线MN的斜率不为0，故可设MN：x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MB的斜率为k3，由题知，A（﹣2，0），B（2，0），由，消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，∴，∴==．又∵点M在椭圆上，∴，∴，为定值．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．【分析】（1）令，由题意知y=ϕ（x）的图象与y=a的图象有两个交点，求出函数Φ（x）的导数，分析函数的单调性，由数形结合法分析可得答案；（2）根据题意，求出函数g（x）的导数g′（x），分析可得g′（x）=有两个不同的根，结合导数与函数单调性的关系，分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，令，由题意知y=ϕ（x）的图象与y=a 的图象有两个交点．又由．当0＜x＜1时，ϕ'（x）＞0，∴ϕ（x）在（0，1）上单调递增；当x＞1时，ϕ'（x）＜0，∴ϕ（x）在（1，+∞）上单调递减．∴ϕ（x）max=ϕ（1）=1．又∵x→0时，ϕ（x）→﹣∞，∴x∈（0，1）时，ϕ（x）∈（﹣∞，1）．又∵x＞1时，ϕ（x）∈（0，1）．综上可知，当且仅当a∈（0，1）时，y=a与y=ϕ（x）的图象有两个交点，即函数f（x）有两个零点．（2）因为函数g（x）有两个极值点，由g'（x）=lnx+1﹣ax=0，得有两个不同的根x1，x2（设x1＜x2）．由（1）知，0＜x1＜1＜x2，0＜a＜1，且，且函数g（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，则=．令，则=，所以函数h（t）在（0，+∞）上单调递增，故g（x1）＜g（1）=0，g（x2）＞g（1）=0．又x→0，；x→+∞，g （x）→﹣∞，所以函数g（x）恰有三个零点．【点评】本题考查利用函数的导数分析函数的性质，注意正确计算函数的导数．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用点到直线的距离公式求出结果．【解答】解：（1）直线l：，展开可得，化为直角坐标方程为，曲线C：，可化为（x﹣1）2+y2=3．（2）∵曲线C是以（1，0）为圆心的圆，圆心到直线l的距离，∴，∴，解得0≤m≤2．∴实数m的取值范围为[0，2]．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的最小值和g（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）由或或，解得：x＜0或x＞，∴不等式的解集为：（﹣∞，0）∪（，+∞）；（2）当x=时，f（x）min=；g（x）max=|a+1|+a，由题意得f（x）min≥g（x）max，得|a+1|+a≤，即|a+1|≤﹣a，∴，解得：a≤．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数的最值问题，考查转化思想，是一道中档题．。
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)-(含解析)
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题1.已知集合，，则集合中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 52.若复数i为虚数单位是纯虚数，则实数a的值为A. B. 13 C. D.3.已知，命题p：，，则A. p是假命题，￢：，B. p是假命题，￢：，C. p是真命题，￢：，D. p是真命题，￢：，4.已知程序框图如图，则输出i的值为A. 7B. 9C. 11D. 135.2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中班、班，班、班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学乘同一辆车的4名同学不考虑位置，其中班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种6.《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为A.B.C.D.7.设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为A. B.C. D.8.若等边三角形ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为A. B. C. 2 D.9.关于函数，下列命题正确的是A. 由可得是的整数倍B. 的表达式可改写成C. 的图象关于点对称D. 的图象关于直线对称10.设函数，若对于，恒成立，则实数m的取值范围为A. B. C. D.11.设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆M：所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于A. B. C. D.12.已知定义在R上的函数和分别满足，，，则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.13.设，则二项式的展开式中含项的系数为______．14.若函数为奇函数，则的值为______．15.已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则的长度为______．16.如图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区区域I和区域Ⅱ，点C在上，，，其中，半径OC 及线段CD需要用渔网制成若，，则所需渔网的最大长度为______．三、解答题17.已知为数列的前n项和，且，，，．求数列的通项公式；若对，，求数列的前2n项的和．18.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且求证：；线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19.某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩均为整数的频率分布直方图如图所示．估计这次考试数学成绩的平均分和众数；假设在段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为，求的分布列及数学期望．20.已知椭圆：的离心率为，右焦点F是抛物线：的焦点，点在抛物线上求椭圆的方程；已知斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，，直线AM与BM的斜率乘积为，若在椭圆上存在点N，使，求的面积的最小值．21.已知函数，其导函数为当时，若函数在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；设，点是曲线上的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论．22.在直角坐标系xOy中，已知直线：为参数，：为参数，其中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出，的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；设，分别与曲线C交于点A，非坐标原点，求的值．23.设函数．当时，解不等式；已知的最小值为3，且，求的最小值．答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. D5. B6. C7. A8. B9. D10. D11. C12. C13. 19214.15.16.17. 解：，．时，，化为：，，，时，，且，解得．数列是等差数列，首项为1，公差为3．．．．数列的前2n项的和．18. 证明：，，，，E为AD的中点，，≌ ，，，，，又平面ABCD，平面ABCD，，又，且PH，平面PEC，平面PEC，又平面PEC，．解：由可知 ∽ ，由题意得，，，，，，，、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，0，，0，，4，，0，，0，，假设线段PC上存在一点F满足题意，与共线，存在唯一实数，，满足，解得，设向量y，为平面CPD的一个法向量，且，，，取，得，二面角的余弦值是，，由，解得，，，线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．19. 解：分，众数为75分．分以上的人数为人．的可能取值为2，3，4，，，．的数学期望是．20. 解：点在抛物线上，，解得，椭圆的右焦点为，，椭圆：的离心率为，，，，椭圆的方程为，设直线l的方程为，设，，由，消y可得，，，，直线AM与BM的斜率乘积为，，解得，直线l的方程为，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得，，垂直平分线段AB，当时，设直线ON的方程为，同理可得，，当时，的面积也适合上式，令，，，则，当时，即时，的最小值为．21. 解：当时，，，，，由题意得，即，令，则，解得，当时，，单调弟增，当时，，单调递减，，当时，，当时，，由题意得当或时，在R上有且只有一个零点．由，得，假设存在，则有，即，，，即，，，令，则，两边同时除以，得，即，令，，令在上单调递增，且，对于恒成立，即对于恒成立，在上单调递增，，对于恒成立，不成立，同理，时，bngidnuu，不存在实数使得成立．22. 解：，的极坐标方程为，．曲线C的极坐标方程方程为即得，利用，得曲线C的直角坐标方程为．因为，，所以，所以的值为．23. 解：当时，，得，故，当时，，得，故，综上，不等式的解集是；的最小值是3，，故，，当且仅当即，时取“”．【解析】1. 解：，或；；1，2，．可先求出集合，或，然后进行交集、补集的运算即可．考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算．2. 解：由复数是纯虚数，则，解得．故选：A．利用复数的除法运算化简为的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3. 解：，，当时，，命题p：，，是真命题，命题p：，，则￢：，．故选：C．利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4. 解：当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，满足退出循环的条件，故输出的，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5. 解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为，故有种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为，这时共有种，根据分类计数原理得，共有种不同的乘车方式，故选：B．分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．6. 解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱底面ABCD，且侧棱，四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且，四棱锥的表面积为．底面故选：C．由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7. 解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，圆C：表示以为圆心，半径为r的圆，由图可得，当半径满足或时，圆C不经过区域D上的点，，当或时，圆C不经过区域D上的点，故选：A．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，而圆C表示以为圆心且半径为r的圆观察图形，可得半径或时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．8. 解：等边三角形ABC的边长为3；；；；，；．故选：B．根据条件可先求出，而由即可得出，这样即可用分别表示出，然后进行数量积的运算即可．考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9. 解：函数，周期，对于A：由，可能与关于其中一条对称轴是对称的，此时不是的整数倍；不对．对于B：由诱导公式，不对．对于C：令，可得，不对，对于D：当时，可得，的图象关于直线对称．故选：D．根据函数，结合三角函数的性质即可判断各选项．本题主要考查利用的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10. 解：由题意，，可得．当时，，不等式等价于．当时，的最小值为，若要不等式恒成立，则必须，因此，实数m的取值范围为，故选：D．利用分离参数法，再求出对应函数在上的最大值，即可求m的取值范围．本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11. 解：双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的渐近线被圆M：，即所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则，，即，即，，，由正弦定理可得，，，，，故选：C．根据垂径定理求出圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可得，得到，即可求出，根据正弦定理可得本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12. 解：，令，则．，令，则，解得．．，．令，，，函数在R上单调递减，，，可得：．．故选：C．，令，则由，令，可得进而得出，，令，及其已知，可得，利用函数在R上单调递减，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13. 解：由于，的通项公式为，令，求得，故含项的系数为．故答案为：192根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：函数为奇函数，故恒成立，故即，，，故答案为：．由已知中函数为奇函数，恒成立，可得a，b的值，进而可得的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．15. 解：由题意，的外接圆即为球的大圆，，设底面外接圆圆心G，即，从而正三角形ABC边长，设球心O，由题意，E、F在球面上，，F为DE中点，则，，在中，，，，，．故答案为：．由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出的长度．本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．16. 解：由，，，得，，；在中，由正弦定理，得，，设渔网的长度为，可得，所以，因为，所以，令，得，所以，所以．所以故所需渔网长度的最大值为．确定，在中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题，是难题．17. ，时，，化为，由，可得，时，，且，解得利用等差数列的通项公式可得．利用分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 推导出 ≌ ，，从而，由平面ABCD，得，由此能证明平面PEC，从而．推导出PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19. 把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算；根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．20. 先求出p的值，即可求出c的值，根据离心率求出a的值，即可得到椭圆方程，设直线l的方程为，设，，由，根据直线AM与BM的斜率乘积为，求出，再根据弦长公式求出和，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计算能力，属于难题．21. 当时，，，，，由题意，令，则，解得，由此能求出当或时，在R上有且只有一个零点．由，得，假设存在，则，利用导数性质推导出不存在实数使得成立．本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题．22. 考查直线，参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化重点都是消去参数t．利用，极坐标方程，结合余弦定理，计算出的长度．考查极坐标方程与参数方程，普通方程的互化记准互化公式和原则是关键，属于中档题目．23. 通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．。
2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)(2021年整理)
2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)(word版可编辑修改)的全部内容。
2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A=｛x｜﹣x2+4x≥0｝，，C=｛x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=( ）A．｛2,4} B．｛0，2} C．{0，2，4} D．｛x｜x=2n,n∈N｝2．（5分)设i是虚数单位，若，x,y∈R,则复数x+yi的共轭复数是( ）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（)A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B．C．D．6．（5分）已知函数则（）A．2+πB．C． D．7．(5分)执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（)A．B．C． D．8．(5分)已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f（x)的图象（)A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x)=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x)=cos4x的图象向右平移个单位而得9．(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为( ）A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣6310．（5分)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是( ）A．B．C． D．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1,l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE｜的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．3212．（5分）若函数y=f(x），x∈M,对于给定的非零实数a，总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af（x）=f（x+T）恒成立,此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间［0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈［0，2）时，函数．若∃x1∈[6,8]，∃x2∈（0，+∞),使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（)A． B．C．D．二、填空题(每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上)13．（5分)已知向量，，且,则= ．14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为．15．（5分)在等比数列｛a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n﹣1﹣a2n，n∈N*，则数列{b n｝的前2n项和为．16．（5分）如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC，,点E是线段CD 上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF ⊥AF，则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河南省濮阳市2018届高三第一次模拟(一模)考试数学试题(理)(答案+解析)
河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试数学试题（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数满足，其中为虚数单位，表示复数的共轭复数，则( )A. B. C. D.3. 如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )A. B. C. D.4. 函数的图象大致为( )A. B. C. D.5. 设，若，则( )A. B. C. D.6. 设点是，表示的区域内任一点，点是区域关于直线的对称区域内的任一点，则的最大值为( )A. B. C. D.7. 已知三棱锥中，与是边长为2的等边三角形且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.8. 执行如图所示的程序框图(其中表示等于除以10的余数)，则输出的为( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.10. 已知双曲线，是左焦点，，是右支上两个动点，则的最小值是( )A. 4B. 6C. 8D. 1611. 已知中，，，成等比数列，则的取值范围是( )A. B. C. D.12. 已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是( )A. B. C. D.二、填空题：每题5分，满分20分.13. 正三角形的边长为1，是其重心，则________.14. 的展开式中，的系数为________.15. 已知椭圆，和是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为1，，，则椭圆离心率为________________.16. 先将函数的图象上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的倍(其中)，得到函数的图象，若在区间上单调递增，则的最大值为____________.三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列是等差数列，，，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和.18.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量，求的分布列及数学期望.19. 如图，正方形中，，与交于点，现将沿折起得到三棱锥，，分别是，的中点.(1)求证：；(2)若三棱锥的最大体积为，当三棱锥的体积为，且二面角为锐角时，求二面角的正弦值.20. 已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点.(1)证明：直线过定点；(2)过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程.21. 已知函数.(1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围；(2)若函数在上存在两个极值点，且，证明：.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)过原点的直线分别与曲线交于除原点外的两点，若，求的面积的最大值.23. 已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若函数在上有最大值，求实数的取值范围.【参考答案】一、选择题1.C【解析】,所以，故选C.2.A【解析】设，，即，即，故选A.3.B【解析】设飞鸟图案的面积为，那么，几，故选B.4.C【解析】，所以函数是偶函数，关于轴对称，排除A.D，当时，，排除B，故选C.5.B【解析】，所以原式等于而，，又因为，所以，可求得，那么，那么，故选B.6.D【解析】如图画出可行域，根据点的对称性可知，点与点关于直线的对称点间的距离最大，最大距离就是点到直线距离的2倍，联立，解得：，点到直线的距离，那么，故选D.7.D【解析】如图，取的中点，连接，，，，连接，点是三棱锥的外接球的球心，因为棱长都是2，所以，所以在中，，那么外接球的表面积是，故选D.8.D【解析】时，第一次进入循环，时，第二次进入循环，时，第三次进入循环，，时，第四次进入循环，，当时，第五次进入循环，时，第六次进入循环，，由此可知此循环的周期为6，当时，第2016次进入循环，，所以此时，退出循环，输出的值等于8，故选D.9.A【解析】次三视图还原为如图几何体，长方体削下去等高的四棱锥，剩下一个三棱锥和一个三棱柱，，故选A.10.C【解析】，所以，当且仅当三点共线时等号成立，故选C.11.B【解析】由已知可知，即，，即，，原式等于，设即原式等于，函数是增函数，当时，函数等于0，当时，函数等于,所以原式的取值范围是，故选B.12.A【解析】原式等价于，两边取自然对数得，令，则时，，因为，当时，即时，单调递增，当时，与矛盾；当时，即时，令，解得，，单调递增，时，单调递减，若，即，当时，单调递增，，矛盾；若，即，当时，递减，，成立，综上，，最小值为，故选A.二、填空题13.【解析】且两向量的夹角为，即故填：14.56【解析】原式，其中只可能出现在的展开式中，所以的系数是,故填：56.15.【解析】设周长为，则，又，则，又，则，故填：.16.9【解析】在区间上单调递增，所以有，即，由可得，当时，，所以正整数的最大值是9.三、解答题17. 解：(1)由题意得，所以，时，，公差，所以，时，，公差，所以.(2)若数列为递增数列，则，所以，，，所以，，所以，所以.18.解：由图可知，参加送考次数为1次，2次，3次的司机人数分别为20，100，80.(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人参加次数相同”为事件.则，，.的分布列：的数学期望.19. 解：(1)依题意易知，，，∴平面，又∵平面，∴.(2)当体积最大时三棱锥的高为，当体积为时，高为，中，，作于，∴，∴，∴为等边三角形，∴与重合，即平面.以为原点，所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系.∴，，，.设为平面的法向量，∵，，∴，取，设是平面的法向量，，，∴，取，∴，设二面角大小为，∴.20. 解：(1)点在抛物线上，代入得，所以抛物线的方程为，由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，联立得，得，，由于，所以，即，即.(*)又因为，，代入(*)式得，即，所以或，即或.当时，直线方程为，恒过定点，经验证，此时，符合题意；当时，直线方程为，恒过定点，不合题意，所以直线恒过定点.(2)由(1)，设直线恒过定点，则点的轨迹是以为直径的圆且去掉，方程为.21. 解：(1)由函数在上是减函数，知恒成立，.由恒成立可知恒成立，则，设，则，由，函数在上递增，在上递减，∴，∴.(2)由(1)知.由函数在上存在两个极值点，且，知，则且，联立得，即，设，则，要证，只需证，只需证，只需证构造函数，则.故在上递增，，即，所以.22. 解：(1)曲线的普通方程为，即，所以，曲线的极坐标方程为，即.(2)不妨设，，.则，，的面积. 所以，当时，的面积取最大值为.23. 解：(1)设，根据图象，由解得或.所以，不等式的解集为.(2)由题意得，由函数在上有最大值可得解得.。
【高三数学试题精选】2018年高考理科数学一模考试试题(带答案)
∵平面，平面，平面；---4分
（其它证法，请参照给分）
（2）依题意知且
∴平面
∵平面，∴，------------------5分
∵为中点，∴
结合，知四边形是平行四边形
∴，----------------------------------------------------7分
∵，
∴--------------------------------11分
2018年高考理科数学一模考试试题（带答案）
5绝密★启用前
揭阳市--2分
从而，，-----------------------------------------------4分
∵，∴；--------------------------------------------------------------6分
把代入并去绝对值整理，
或者
前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成立
则，解得；----------------------------------------------------------------------12分
②当直线斜率不存在时，其方程为和，---------------------------13分
而，∴∴，即-----8分
又∴平面，
∵平面，∴------------------------------------------------9分
（3）解法一如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系
设，则
易知平面的一个法向量为，-----------10分
设平面的一个法向量为，则
2018年河南省高考数学一模试卷理科含解析
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题1.已知集合A={x|x2−2x−3>0}，B=N，则集合(∁R A)∩B中元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 52.若复数a+3i1+2i(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A. −6B. 13C. 32D. √133.已知f(x)=sinx−tanx，命题p：∃x0∈(0,π2)，f(x0)<0，则()A. p是假命题，￢p：∀x∈(0,π2)，f(x)≥0B. p是假命题，￢p：∃x0∈(0,π2)，f(x0)≥0C. p是真命题，￢p：∀x∈(0,π2)，f(x)≥0D. p是真命题，￢p：∃x0∈(0,π2)，f(x0)≥04.已知程序框图如图，则输出i的值为()A. 7B. 9C. 11D. 135.2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班，(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种1/ 166. 《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( ) A. 1+√2 B. 1+2√2 C. 2+√2 D. 2+2√27. 设不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域为D ，若圆C ：(x +1)2+y 2=r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围为( ) A. (0,√5)∪(√13,+∞) B. (√13,+∞) C. (0,√5) D. [√5,√13]8. 若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. −152B. −2C. 2D. 1529. 关于函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，下列命题正确的是( )A. 由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1−x 2是π的整数倍B. y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x +π6)+1 C. y =f(x)的图象关于点(3π4,1)对称 D. y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称10. 设函数f(x)=mx 2−mx −1，若对于x ∈[1,3]，f(x)<−m +4恒成立，则实数m的取值范围为( )A. (−∞,0]B. [0,57)C. (−∞,0)∪(0,57)D. (−∞,57)11. 设双曲线的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，若双曲线的渐近线被圆M ：x 2+y 2−10x =0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sinP||sinA−sinB|的值等于( )A. 35B. √73C. 53D. √712. 已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=f′(1)2，e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，g′(x)+2g(x)<0，则下列不等式恒成立的是( ) A. g(2016)<f(2)⋅g(2018) B. f(2)⋅g(2016)<g(2018) C. g(2016)>f(2)⋅g(2018) D. f(2)⋅g(2016)>g(2018) 二、填空题13.设a=∫(π0cosx−sinx)dx，则二项式(a√x−√x)6的展开式中含x2项的系数为______．14.若函数f(x)={ax(x+2),x<0x(x−b),x≥0(a,b∈R)为奇函数，则f(a+b)的值为______．15.已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为______．16.如图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区−区域I和区域Ⅱ，点C在AB⌢上，∠COA=θ，CD//OA，其中AC⌢，半径OC及线段CD需要用渔网制成.若∠AOB=π3，OA=1，则所需渔网的最大长度为______．三、解答题17.已知S n为数列{a n}的前n项和，且a1<2，a n>0，6S n=a n2+3a n+2，n∈N∗．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若对∀n∈N∗，b n=(−1)n a n2，求数列{b n}的前2n项的和T2n．18.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠BAD=90∘，DC=DA=2AB=2√5，点E为AD的中点，BD∩CE=H，PH⊥平面ABCD，且PH=4.(1)求证：PC⊥BD；(2)线段PC上是否存在一点F，使二面角B−DF−C的余弦值是√1515？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．3/ 1619.某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；(2)假设在(90,100]段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同.现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．20.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，右焦点F是抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点，点(2,4)在抛物线C2上.(1)求椭圆C1的方程；(2)已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M(0,2)，直线AM与BM的斜率乘积为−12，若在椭圆上存在点N，使|AN|=|BN，求△ABN的面积的最小值．21.已知函数f(x)=ae x+x2−bx(a,b∈R)，其导函数为y=f′(x).(1)当b=2时，若函数y=f′(x)在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；(2)设a≠0，点P(m,n)(m,n∈R)是曲线y=f(x)上的一个定点，是否存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)−n=f′(x0+m2)(x0−m)成立？并证明你的结论．5 / 1622. 在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：{y =tsinαx=tcosα(t 为参数)，l 2：{x =tcos(α+π4)y =tsin(α+π4)(t为参数)，其中α∈(0,3π4)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ−4cosθ=0． (1)写出l 1，l 2的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设l 1，l 2分别与曲线C 交于点A ，B(非坐标原点)，求|AB|的值．23. 设函数f(x)=|x −a|(a >0)．(1)当a =2时，解不等式f(x)≥1−2x ； (2)已知f(x)+|x −1的最小值为3，且m 2n =a(m >0,n >0)，求m +n 的最小值．答案和解析【答案】 1. C 2. A 3. C 4. D 5. B 6. C7. A8. B 9. D 10. D 11. C 12. C13. 192 14. −1 15. 2√316. π+6+2√3617. 解：(1)6S n =a n2+3a n +2，n ∈N ∗． n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1=a n 2+3a n +2−(a n−12+3a n−1+2)，化为：(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0， ∵a n >0，∴a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1=1．∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为3． ∴a n =1+3(n −1)=3n −2．(2)b n =(−1)n a n 2=(−1)n (3n −2)2．∴b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21．∴数列{b n }的前2n 项的和T 2n =36(1+2+⋯…+n)−21n =36×n(n+1)2−21n =18n 2−3n ．18. 证明：(1)∵AB//CD ，∠BAD =90∘，∴∠EDC =∠BAD =90∘，∵DC =DA =2AB ，E 为AD 的中点，∴AB =ED ， ∴△BAD≌△EDC ，∴∠DBA =∠DEH ，∵∠DBA +∠ADB =90∘，∴∠DEH +∠ADB =90∘，∴BD ⊥EC ，又∵PH ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PH ， 又∵PH ∩EC =H ，且PH ，EC ⊄平面PEC ，∴BD ⊥平面PEC ，又∵PC ⊂平面PEC ，∴PC ⊥BD ． 解：(2)由(1)可知△DHE∽△DAB ，由题意得BD =EC =5，AB =DE =√5， ∴DH DA=EH BA=DE DB，∴EH =1，HC =4，DH =2，HB =3， ∵PH 、EC 、BD 两两垂直，建立以H 为坐标原点，HB 、HC 、HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的坐标系， H(0,0，0)，B(3,0，0)，C(0,4，0)，D(−2,0，0)，P(0,0，4)， 假设线段PC 上存在一点F 满足题意， ∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，∴存在唯一实数λ，(0≤λ≤1)，满足CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 解得F(0,4−4λ,4λ)，设向量n ⃗ =(x,y ，z)为平面CPD 的一个法向量，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,4)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,0)，∴{n ⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4y +4z =0n⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −2y =0，取x =2，得n⃗ =(2,−1,−1)， 同理得平面CPD 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,λ,λ−1)，7 / 16∵二面角B −DF −C 的余弦值是√1515，∴|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√6⋅√2λ2−2λ+1=√1515， 由0≤λ≤1，解得λ=34， ∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =34CP⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵CP =4√2，∴线段PC 上存在一点F ，当点F 满足CF =3√2时，二面角B −DF −C 的余弦值是√1515．19. 解：(1)x =45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72(分)， 众数为75分．(2)90分以上的人数为160×0.005×10=8人． ∴ξ的可能取值为2，3，4， P(ξ=2)=C 33⋅C 51+C 32⋅C 22C 84=435，P(ξ=3)=C 32⋅C 21⋅C 31+C 31⋅C 22⋅C 31+C 32⋅C 32+C 22⋅C 32C 84=3970，P(ξ=4)=C 32⋅C 31⋅C 21+C 33⋅C 51C 84=2370．∴ξ的数学期望是E(ξ)=2×435+3×3970+4×2370=4514．20. 解：(1)∵点(2,4)在抛物线y 2=2px 上，∴16=4p ，解得p =4，∴椭圆的右焦点为F(2,0)， ∴c =2， ∵椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，∴ca =√22， ∴a =2√2，∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1，(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x 2+2y 2=8y=kx+m，消y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， ∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2∵M(0,2)，直线AM与BM的斜率乘积为−12，∴k1⋅k2=y1−2x1⋅y2−2x2=y1y2−2(y1+y2)+4x1x2=m−22(m+2)=−12，解得m=0，∴直线l的方程为y=kx，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√32(k2+1)1+2k2，∵|AN|=|BN|，∴ON垂直平分线段AB，当k≠0时，设直线ON的方程为y=−1kx，同理可得|ON|=12√32(1k2+1)2×1k2+1=12√32(k2+1)k2+2，∴S△ABN=12|ON|⋅|AB|=8√(k2+1)2(k2+2)(2k2+1)，当k=0时，△ABN的面积也适合上式，令t=k2+1，t≥1，0<1t≤1，则S△ABN=8√t2(t+1)(2t−1)=8√1−1t2+1t+2=8√1−(1t−12)2+94，∴当1t =2时，即k=±1时，S△ABN的最小值为163．21. 解：(1)当b=2时，f(x)=ae x+x2−2x，(a∈R)，f′(x)=ae x+2x−2，(a∈R)，由题意得ae x+2x−2=0，即a=2−2xe x，令ℎ(x)=2−2xe x ，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x=2，当x<2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调弟增，当x>2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)min=ℎ(2)=−2e2，∵当x=−1时，ℎ(−1)=4e>0，当x>2时，ℎ(x)=2−2xe x<0，由题意得当a=−2e2或a∈[0,+∞)时，f′(x)在R上有且只有一个零点．(2)由f(x)=ae x+x2−bx，得f′(x)=ae x+2x−b，假设存在x0，则有f(x0)=f′(x0+m2)(x0−m)+n=f′(x0+m2)(x0−m)+f(m)，即f(x0)−f(m)x0−m =f′(x0+m2),(x0≠m)，∵f′(x0+m2)=ae x0+m2+2⋅x0+m2−b，f(x0)−f(m)x0−m =a(e x0−e m)+(x02−m2)−b(x0−m)x0−m=a(e x0−e m)x0−m+(x0+m)−b，∴ae x0+m2+2⋅x0+m2−b=a(e x0−e m)x0−m+(x0+m)−b，即ae x0+m2=a(e x0−e m)x0−m，∵a≠0，∴ex0+m2=e x0−e mx0−m，令t=x0−m>0，则e t2−m=e t+m−e mt，两边同时除以e m，得e t2=e t−1t，即te t2=e t−1，令g(t)=e t−te t2−1，∴g′(t)=e t−(e t2+t2e t2)=e t2(e t2−t2−1)，令ℎ(t)=e t2−t2−1在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(0)=0，∴ℎ(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，即g′(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，∴g(e)在(0,+∞)上单调递增，g(0)=0，∴g(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，∴ae x0+m2=a(e x0−e m)x0−m不成立，同理，t=x0−m<0时，bngidnuu，∴不存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)−n=f′(x0+m2)(x0−m)成立．22. 解：(1)l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0.即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．(2)因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1.ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．23. 解：(1)当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；(2)∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥33m2⋅m2⋅n=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．【解析】1. 解：A={x|x<−1，或x>3}；∴∁R A={x|−1≤x≤3}；∴(∁R A)∩B={0,1，2，3}．故选：C．9/ 16可先求出集合A ={x|x <−1，或x >3}，然后进行交集、补集的运算即可． 考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算．2. 解：由复数a+3i 1+2i =(a+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=(a+6)+(3−2a)i5=a+65+3−2a 5i 是纯虚数，则{a+65=03−2a5≠0，解得a =−6．故选：A ．利用复数的除法运算化简为a +bi(a,b ∈R)的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3. 解：f(x)=sinx −tanx ，x ∈(0,π2)，当x =π4时，∴f(x)=√22−1<0，命题p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)<0，是真命题，命题p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)<0，则￢p ：∀x ∈(0,π2)，f(x)≥0．故选：C ．利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 4. 解：当S =1时，不满足退出循环的条件，故S =1，i =3； 当S =1时，不满足退出循环的条件，故S =3，i =5； 当S =3时，不满足退出循环的条件，故S =15，i =7； 当S =15时，不满足退出循环的条件，故S =105，i =9； 当S =105时，不满足退出循环的条件，故S =945，i =11； 当S =945时，不满足退出循环的条件，故S =10395，i =13； 当S =10395时，满足退出循环的条件， 故输出的i =13， 故选：D ．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5. 解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C 32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C 21C 21=4，故有3×4=12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C 31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C 21C 21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式， 故选：B ．分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．11 / 166. 解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， ∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD ⊥底面ABCD ，且侧棱AD =1，∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA =PC =√2， ∴四棱锥的表面积为S =S 底面ABCD +2S △SAD +2S △SAB =1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2． 故选：C ．由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥， 画出图形结合图形求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题． 7. 解：作出不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域， 得到如图的△MNP 及其内部，其中M(1,1)，N(2,2)，P(1,3)∵圆C ：(x +1)2+(y +1)2=r 2(r >0)表示以C(−1,−1)为圆心，半径为r 的圆，∴由图可得，当半径满足r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点，∵CM =√(1+1)2+(1+1)2=2√2，CP =√(1+1)2+(3+1)2=2√5∴当0<r <2√2或r >2√5时，圆C 不经过区域D 上的点， 故选：A ．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP 及其内部，而圆C 表示以(−1,−1)为圆心且半径为r 的圆.观察图形，可得半径r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r 的取值范围． 本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r 的取值范围.着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．8. 解：等边三角形ABC 的边长为3； ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60∘=92； 6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗=−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−94+94−2=−2． 故选：B ．根据条件可先求出CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =92，而由6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样即可用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后进行数量积的运算即可． 考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9. 解：函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，周期T =2π2=π，对于A ：由f(x 1)=f(x 2)=1，可能x 1与x 2关于其中一条对称轴是对称的，此时x 1−x 2不是π的整数倍；∴A 不对． 对于B ：由诱导公式，3sin(2x −π3)+1=3cos[π2−(2x −π3)]+1=3cos(2x −5π6)+1.∴B 不对． 对于C ：令x =3π4，可得f(3π4)=3sin(2×3π4−π3)+1=3×(−12)−1=−52，∴C 不对， 对于D ：当x =−π12时，可得f(−π12)=3sin(−π6−π3)+1=−1×3+1=−2， f(x)的图象关于直线x =−π12对称． 故选：D ．根据函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，结合三角函数的性质即可判断各选项． 本题主要考查利用y =Asin(ωx +φ)的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10. 解：由题意，f(x)<−m +4，可得m(x 2−x +1)<5． ∵当x ∈[1,3]时，x 2−x +1∈[1,7]， ∴不等式f(x)<0等价于m <5x 2−x+1． ∵当x =3时，5x 2−x+1的最小值为57， ∴若要不等式m <5x 2−x+1恒成立， 则必须m <57，因此，实数m 的取值范围为(−∞,57)，故选：D ．利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1,3]上的最大值，即可求m 的取值范围．本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11. 解：双曲线的一条渐近线方程为y=bax，双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0，即(x−5)2+y2=25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则d=√25−9=4，∴√a2+b2=4，即5b=4c，即b=45c∵a2=c2−b2=925c2，∴a=35c，∴|AP−BP|=2a，由正弦定理可得APsinB =PBsinA=ABsinP=2R，∴sinB=AP2R ，sinA=BP2R，sinP=2c2R，∴|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53，故选：C．根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再根据点到直线的距离公式可得5b√a2+b2=4，得到5b=4c，即可求出a=35c，根据正弦定理可得|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12. 解：f(x)=f′(1)2e2x−2+x2−2f(0)⋅x，令x=0，则f(0)=f′(1)2e2．∵f′(x)=f′(1)⋅e2x−2+2x−2f(0)，令x=1，则f′(1)=f′(1)+2−2f(0)，解得f(0)=1．∴f′(1)=2e2．∴f(x)=e2x+x2−2x，∴f(2)=e4．令ℎ(x)=e2x g(x)，∵g′(x)+2g(x)<0，∴ℎ′(x)=e2x g′(x)+2e2x g(x)=e2x[g′(x)+2g(x)]<0，∴函数ℎ(x)在R上单调递减，∴ℎ(2016)>ℎ(2018)，∴e2016×2g(2016)>e2018×2g(2018)，可得：g(2016)>e4g(2018)．∴g(2016)>f(2)g(2018)．故选：C．13/ 16f(x)=f′(1)2e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，令x =0，则f(0)=f ′(1)2e 2.由f′(x)=f′(1)⋅e 2x−2+2x −2f(0)，令x =1，可得f(0).进而得出f′(1)，f(x)，f(2).令ℎ(x)=e 2x g(x)，及其已知g′(x)+2g(x)<0，可得ℎ′(x)=e 2x [g′(x)+2g(x)]<0，利用函数ℎ(x)在R 上单调递减，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13. 解：由于a =∫(π0cosx −sinx)dx =(sinx +cosx)| 0π=−1−1=−2，∴(−2√x −1√x)6=(2√x +1√x)6的通项公式为T r+1=26−r C 6r⋅x 3−r ，令3−r =2，求得r =1，故含x 2项的系数为26−1C 61=192． 故答案为：192根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题得以解决．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：∵函数f(x)={ax(x +2),x <0x(x−b),x≥0={ax 2+2ax,x <0x 2−bx,x≥0为奇函数，故f(−x)=−f(x)恒成立， 故{−b =2a a=−1.即{b =2a=−1， ∴f(x)={−x 2−2x,x <0x 2−2x,x≥0，∴f(a +b)=f(1)=1−2=−1， 故答案为：−1．由已知中函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)恒成立，可得a ，b 的值，进而可得f(a +b)的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档． 15. 解：由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2， 设底面△ABC 外接圆圆心G ，即GA =GB =GC =2，从而正三角形ABC 边长2√3， 设球心O ，由题意，E 、F 在球面上，OE =OD =2， F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =GD =12GC =1，在Rt △OEF 中，OE =2，OF =1，∴EF =√3， ∴DE =2√3， ∴AA 1=2√3． 故答案为：2√3．由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度．本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．16. 解：由CD//OA ，∠AOB =π3，∠AOC =θ，得∠OCD =θ，∠ODC =2π3，∠COD =π3−θ； 在△OCD 中，由正弦定理，得CD =√3sin(π3−θ)，θ∈(0,π3)， 设渔网的长度为f(θ)，可得f(θ)=θ+1+√3sin(π3−θ)，15 / 16所以f′(θ)=1−√3cos(π3−θ)，因为θ∈(0,π3)， 所以π3−θ∈(0,π3)，令f′(θ)=0，得cos(π3−θ)=3，所以π3−θ=π6，所以θ=π6．所以f(θ)∈(2,π+6+2√36]. 故所需渔网长度的最大值为π+6+2√36． 确定∠COD ，在△OCD 中利用正弦定理求得CD 的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题，是难题．17. (1)6S n =a n2+3a n +2，n ∈N ∗.n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1，化为(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0，由a n >0，可得a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1.利用等差数列的通项公式可得a n ．(2)b n =(−1)n a n 2=(−1)n (3n −2)2.b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21.利用分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. (1)推导出△BAD≌△EDC ，∠DBA =∠DEH ，从而BD ⊥EC ，由PH ⊥平面ABCD ，得BD ⊥PH ，由此能证明BD ⊥平面PEC ，从而PC ⊥BD ．(2)推导出PH 、EC 、BD 两两垂直，建立以H 为坐标原点，HB 、HC 、HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC 上存在一点F ，当点F 满足CF =3√2时，二面角B −DF −C 的余弦值是√1515．本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 19. (1)把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算； (2)根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．20. (1)先求出p 的值，即可求出c 的值，根据离心率求出a 的值，即可得到椭圆方程， (2)设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 2+2y 2=8y=kx+m，根据直线AM 与BM 的斜率乘积为−12，求出m =0，再根据弦长公式求出|AB|和|ON|，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计算能力，属于难题．21. (1)当b =2时，f(x)=ae x +x 2−2x ，(a ∈R)，f′(x)=ae x +2x −2，(a ∈R)，由题意a =2−2x e x，令ℎ(x)=2−2x e x，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x =2，由此能求出当a =−2e 2或a∈[0,+∞)时，f′(x)在R上有且只有一个零点．= (2)由f(x)=ae x+x2−bx，得f′(x)=ae x+2x−b，假设存在x0，则f(x0)−f(m)x0−m ),(x0≠m)，利用导数性质推导出不存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)−n=f′(x0+m2f′(x0+m)(x0−m)成立．2本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题．22. (1)考查直线l1，l2参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化.重点都是消去参数t．(2)利用l1，l2极坐标方程，结合余弦定理，计算出|AB|的长度．考查极坐标方程与参数方程，普通方程的互化.记准互化公式和原则是关键，属于中档题目．23. (1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出m+n的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．。
2018年河南省高考数学一诊试卷(理科)
2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知a ∈R ，复数z =(a−i)(1+i)i，若z =z ，则a =( )A.1B.−1C.2D.−22. 已知集合M ={x|x−3x−1≤0}，N ={x|y =log 3(−6x 2+11x −4)}，则M ∩N =( ) A.[1, 43]B.(12, 3]C.(1, 43)D.(43, 2)3. 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C ）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温C.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D.最低气温低于0∘C 的月份有4个4. 在等比数列{a n }中，若a 2=√22,a 3=√43，则a 1+a 15a 7+a 21=( )A.23B.12C.32D.25. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( ) A.128π平方尺 B.138π平方尺 C.140π平方尺 D.142π平方尺6. 定义[x]表示不超过x 的最大整数，(x)=x −[x]，例如[2.1]=2，(2.1)=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x =5.8，则输出的z =( )A.−1.4B.−2.6C.−4.6D.−2.87. 若对于任意x ∈R 都有f(x)+2f(−x)=3cosx −sinx ，则函数f(2x)图象的对称中心为（ ）A.(kπ−π4,0)(k ∈Z) B.(kπ−π8,0)(k ∈Z) C.(kπ2−π4,0)(k ∈Z)D.(kπ2−π8,0)(k ∈Z)8. 设x ，y 满足约束条件{2x −y ≥0x +13y ≤1y ≥0，若z =−ax +y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A.2或−3B.3或−2C.−13或12D.−13或29. 函数f(x)=x(e −x −e x )4x 2−1的部分图像大致是( )A.B.C.D.10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.20+12√2+2√14B.20+6√2+2√14C.20+6√2+2√34D.20+12√2+2√3411. 设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(1, 0)，点A(−1, 1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|＝9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A.[12,1) B.[13,12] C.[15,14] D.[12,23]12. 已知函数f(x)=lnx+(2e2−a)x−b2，其中e是自然对数的底数，若不等式f(x)≤0恒成立，则ba的最小值为（）A.−1e2B.−2e2C.−1eD.−2e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）在△ABC中，|AB→+AC→|=|AB→−AC→|，|AB→|=2，则AB→⋅BC→=________已知(1+x)(a−x)6=a0+a1x+a2x2+...+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+...+a6+ a7=0，则a3=________．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n−S n2成立，若设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A(m, 18)在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取得标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．(1)求甲获得奖品的概率；(2)设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90∘．（1）证明：B1C // 平面A1DE；（2）求二面角A−BB1−C的正弦值．已知抛物线E:y2=2px(p>0)，斜率为k且过点M(3, 0)的直线l与E交于A，B两点，（1）求抛物线E 的方程；（2）设点N(−3, 0)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：1k 12+1k 22−2k 2为定值．已知函数f(x)=(x +1)e ax (a ≠0)，且x =2a 是它的极值点．（1）求a 的值；（2）求f(x)在[t −1, t +1]上的最大值；（3）设g(x)=f(x)+2x +3xlnx ，证明：对任意x 1，x 2∈(0, 1)，都有|g(x 1)−g(x 2)|<2e 3+3e +1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m 3k （m 为参数），设直线l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C 1．（1）求出曲线C 1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，点Q 为曲线C 1的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|x +a|(a ∈R)．（1）若f(x)≥|2x +3|的解集为[−3, −1]，求a 的值；（2）若∀x ∈R ，不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】复数的运算【解析】根据复数的基本运算进行化简，结合z=z，进行求解即可．【解答】解:z=(a−i)(1+i)i =a+1+(a−1)ii=a+1i+a−1=(a−1)−(a+1)i，则z=(a−1)+(a+1)i，∵z=z，∴a+1=0，得a=−1，故选B.2.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】求解分式不等式化简集合M，求解一元二次不等式化简集合N，再由交集运算性质得答案．【解答】∵集合M={x|x−3x−1≤0}={x|1<x≤3}，N={x|y=log3(−6x2+11x−4)}={x|−6x2+11x−4>0}={x|12<x<43}，∴M∩N={x|1<x≤3}∩{x|12<x<43}=(1, 43)．3.【答案】D【考点】频率分布折线图、密度曲线由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C）的数据的折线图，得最低气温低于0∘C的月份有3个．【解答】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0∘C的月份有3个，故D错误．4.【答案】B【考点】等比数列的通项公式【解析】利用等比数列通项公式先求出公比q=a3a2=√43√2=216，再由a1+a15a7+a21=a1+a15q6(a1+a15)=1q6，能求出结果．【解答】∵在等比数列{a n}中，若a2=√2，a3=√43，∴公比q=a3a2=√43√2=216，∴a1=a2q =√2216=213，∴a1+a15a7+a21=a1+a15q6(a1+a15)=1q6=12．5.【答案】B【考点】球内接多面体球的体积和表面积【解析】构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由此能求出这个四棱锥的外接球的表面积．【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R=√72+52+822=√1382（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积S=4π×R2=4π×1384=138π（平方尺）．6.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得x=5.8y=5−1.6=3.4x=5−1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1−1.4=−0.4，x=1−1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=−0.2，y=−1−1.6=−2.6，x=−1−1=−2不满足条件x≥0，退出循环，z=−2+(−2.6)=−4.6．输出z的值为−4.6．7.【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】根据题意求出函数f(x)的解析式，再化f(x)为正弦型函数，可得函数f(2x)的解析式，根据正弦函数的对称性，求出f(2x)图象的对称中心．【解答】∵对任意x∈R，都有f(x)+2f(−x)=3cosx−sinx①，用−x代替x，得f(−x)+2f(x)=3cos(−x)−sin(−x)②，即f(−x)+2f(−x)=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f(x)=sinx+cosx，∴f(x)=√2sin(x+π4)，∴f(2x)=√2sin(2x+π4)．令2x+π4=kπ，k∈Z，求得x=kπ2−π8，故函数f(2x)图象的对称中心为(kπ2−π8, 0)，k∈Z，8.【答案】A【考点】含参线性规划问题简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB），由z=y−ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a>0，目标函数y=ax+z的斜率k=a>0，要使z=y−ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x−y=0平行，此时a=2，若a<0，目标函数y=ax+z的斜率k=a<0，要使z=y−ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+13y=1平行，此时a=−3，综上a=−3或a=2.故选A.9.【答案】B【考点】函数的图象变化【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数f(x)的定义域为{x|x≠±12}，关于原点对称，f(−x)=−x(e x−e−x) 4x2−1=x(e−x−e x)4x2−1=f(x)，∴f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称，故排除选项A.令f(x)=0，即x(e −x−e x)4x2−1=0，解得x=0，∴函数f(x)只有一个零点，故排除选项D.当x=1时，f(1)=1e−e3<0，故排除选项C.故选B．10.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】【解答】由三视图可知该几何体为侧放的四棱柱，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×4√2=12√2，S△PBC=12×4×4=8，S△PCD=S△PBA=12×3×4=6，△PAD中AP=PD=5，AD=4√2，∴AD边上的高为√25−8=√17，∴S△PAD=12×4√2×√17=2√34，则该几何体的表面积为12√2+8+6+6+2√34=12√2+20+2√34，11.【答案】C【考点】椭圆的离心率【解析】通过记椭圆的左焦点为F1(−1, 0)，则|AF1|＝1，利用|PF1|≤|PA|+|AF1|可知a≤5；利用|PF1|≥|PA|−|AF1|可知a≥4，进而可得结论4≤a≤5．【解答】记椭圆的左焦点为F1(−1, 0)，则|AF1|＝1，∵|PF1|≤|PA|+|AF1|，∴2a＝|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+9＝10，即a≤5；∵|PF1|≥|PA|−|AF1|，∴2a＝|PF1|+|PF|≥|PA|−|AF1|+|PF|≥9−1＝8，即a≥4，∴4≤a≤5，∴ca ∈[15,14]12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性导数求函数的最值【解析】求得f(x)的导数，讨论a≤2e2时，不恒成立；a>2e2时，求得f(x)的最大值，12b≥−1−ln(a−2e2)，可得12⋅ba≥−1−ln(a−2e2)a(a>2e2)，令F(x)=−1−ln(x−2e2)x，x>2e2，求得导数和单调区间，可得F(x)的最小值，即可得到所求最小值．【解答】∵函数f(x)=lnx+(2e2−a)x−b2，其中e为自然对数的底数，∴f′(x)=1x+(2e2−a)，x>0，当a≤2e2时，f′(x)>0，∴ f(x)≤0不可能恒成立， 当a >2e 2时，由f′(x)=0，得x =1a−2e 2，∵ 不等式f(x)≤0恒成立，∴ f(x)的最大值为0， 当x ∈(0, 1a−2e 2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x ∈(1a−2e 2, +∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， ∴ 当x =1a−2e 2时，f(x)取最大值， f(1a−2e 2)=−ln(a −2e 2)−12b −1≤0，∴ ln(a −2e 2)+12b +1≥0， ∴ 12b ≥−1−ln(a −2e 2)， ∴ 12⋅ba ≥−1−ln(a−2e 2)a(a >2e 2)，令F(x)=−1−ln(x−2e 2)x，x >2e 2，F′(x)=−xx−2e 2+1+ln(x−2e 2)x 2=(x−2e 2)ln(x−2e 2)−2e 2(x−2e 2)x 2，令H(x)=(x −2e 2)ln(x −2e 2)−2e 2， H′(x)=ln(x −2e 2)+1， 由H′(x)=0，得x =2e 2+1e ，当x ∈(2e 2+1e , +∞)时，H′(x)>0，H(x)是增函数， x ∈(2e 2, 2e 2+1e )时，H′(x)<0，H(x)是减函数，∴ 当x =2e 2+1e 时，H(x)取最小值H(2e 2+1e )=−2e 2−1e ， ∵ x →2e 2时，H(x)→0，x >3e 2时，H(x)>0，H(3e 2)=0， ∴ 当x ∈(2e 2, 3e 2)时，F′(x)<0，F(x)是减函数， 当x ∈(3e 2, +∞)时，F′(x)>0，F(x)是增函数， ∴ x =3e 2时，F(x)取最小值，F(3e 2)=−1−23e 2=−1e2，∴ 12⋅ba 的最小值为−1e 2，即有ba 的最小值为−2e 2．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −4【考点】【解析】运用向量的平方即为模的平方，对等式两边平方，可得A 为直角，再由向量数量积的定义和解直角三角形，即可得到所求值． 【解答】在△ABC 中，|AB →+AC →|=|AB →−AC →|， 可得|AB →+AC →|2=|AB →−AC →|2，即有AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →=AB →2+AC →2−2AB →⋅AC →， 即为AB →⋅AC →=0，则△ABC 为直角三角形，A 为直角， 则AB →⋅BC →=−BA →⋅BC →=−|BA →|⋅|BC →|⋅cosB =−|BA →|2=−4．【答案】 −5【考点】二项式定理的应用 【解析】在二项式展开式中，令x =1得a 0+a 1+...+a 7的值，从而求得a 的值，再由a 3表示x 3的系数求得a 3的值． 【解答】(1+x)(a −x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 7x 7中， 令x =1得，a 0+a 1+...+a 7=2⋅(a −1)6=0， 解得a =1，而a 3表示x 3的系数，所以a 3=C 63⋅(−1)3+C 62⋅(−1)2=−5． 【答案】 2【考点】 数列的求和 【解析】由题意可得(k −S n )(S n −S n−1)=−Sn 2，化为1S n−1Sn−1=1k ，再利用等差数列的通项公式即可得出k 的值． 【解答】当n ≥2时，恒有ka n =a n S n −S n 2成立， 即为(k −S n )(S n −S n−1)=−S n 2， 化为1S n−1Sn−1=1k ，可得1S n=1+n−1k，由S99=150，可得150=kk+98，解得k=2．【答案】2√21【考点】双曲线的离心率【解析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120∘，利用余弦定理算出c2=7a2，b2=6a2，结合双曲线的第二定义，可得m，A在双曲线上，代入双曲线的方程，即可得出a，即有实轴长．【解答】根据双曲线的定义，可得|AF1|−|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|−|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120∘，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1|⋅|BF2|cos120∘，即4c2=4a2+16a2−2×2a×4a×(−12)=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得ca =|AF2|m−a2c=4am−a√7=√7，则m=√7，由A在双曲线上，可得257−1826a2=1，解得a=√21，则2a=2√21．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC=b2c =14；又由cosC=a2+b2−c22ab =4+a2−162×2×a=14，解可得a=4，即BC=4，则CD=2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2−2AC⋅CDcosC=6，则AD=√6；根据题意，AE平分∠BAC，则CEBE =ACAB=12，cosC =14，则sinC =√1−(14)2=√154，S △ADE =S △ACD −S △ACE =12×2×2×√154−12×2×43×√154=√156． 【考点】 余弦定理 【解析】（1）在△ABC 中，利用余弦定理计算BC ，再在△ACD 中利用余弦定理计算AD ； （2）根据角平分线的性质得出CE ，于是S △ADE =S △ACD −S △ACE ． 【解答】根据题意，b =2，c =4，2ccosC =b ，则cosC =b2c =14； 又由cosC =a 2+b 2−c 22ab=4+a 2−162×2×a=14，解可得a =4，即BC =4，则CD =2， 在△ACD 中，由余弦定理得：AD 2=AC 2+CD 2−2AC ⋅CDcosC =6， 则AD =√6；根据题意，AE 平分∠BAC ， 则CEBE =ACAB =12，变形可得：CE =13BC =43，cosC =14，则sinC =√1−(14)2=√154，S △ADE =S △ACD −S △ACE =12×2×2×√154−12×2×43×√154=√156． 【答案】解：(1)设甲获得奖品为事件A ，在每轮游戏中， 甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关， 则P(A)=612×36×23×12=112．(2)随机变量X 的取值可以为1，2，3，4． P(X =1)=612=12， P(X =2)=612×36=14， P(X =3)=612×36×13=112， P(X =4)=612×36×23=16． 随机变量X 的概率分布列为：所以数学期望E(X)=1×12+2×14+3×112+4×16=2312．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列古典概型及其概率计算公式【解析】（1）甲获得奖品的事件为A，在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲拿到礼物的概率．（2）随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的概率分布列及数学期望．【解答】解：(1)设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则P(A)=612×36×23×12=112．(2)随机变量X的取值可以为1，2，3，4．P(X=1)=612=12，P(X=2)=612×36=14，P(X=3)=612×36×13=112，P(X=4)=612×36×23=16．随机变量X的概率分布列为：所以数学期望E(X)=1×12+2×14+3×112+4×16=2312．【答案】因为A1B1 // AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1 // BD，A1B1=BD，所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1 // A1D．又BB1平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以B1B // 平面A1DE，因为DE是△ABC的中位线，所以DE // BC，同理可证，BC // 平面A1DE．因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC // 平面A1DE，又B1C⊂平面B1BC，所以B1C // 平面A1DE．以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E−设平面ABB 1的一个法向量m =(x 1,y 1,z 1)， 则{m →⋅AB 1→=0m →⋅AB →=0 ，即{ay 1+√3az 1=0ax 1+2ay 1=0， 取z 1=1，得m →=(2√3,−√3,1)．同理，设平面BB 1C 的一个法向量n →=(x,y,z)， 又CB 1→=(0,−a,√3a)，BC →=(−a,0,0)， 由{n →⋅BC →=0n →⋅CB 1→=0 ，得{−ax =0−ay +√3az =0 ， 取z =−1，得n →=(0,−√3,−1)， 所以cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=14，故二面角A −BB 1−C 的正弦值为：√1−(14)2=√154．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】（1）推导出四边形A 1B 1BD 为平行四边形，从而BB 1 // A 1D ，进而B 1B // 平面A 1DE ，由DE 是△ABC 的中位线，得DE // BC ，从而BC // 平面A 1DE ．进而平面B 1BC // 平面A 1DE ，由此能证明B 1C // 平面A 1DE ．（2）以ED ，EC ，EB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E −xyz ，利用向量法能求出二面角A −BB 1−C 的正弦值． 【解答】因为A 1B 1 // AB ，AB =2A 1B 1，D 为棱AB 的中点， 所以A 1B 1 // BD ，A 1B 1=BD ，所以四边形A 1B 1BD 为平行四边形，从而BB 1 // A 1D ． 又BB 1平面A 1DE ，A 1D ⊂平面A 1DE ， 所以B 1B // 平面A 1DE ，因为DE 是△ABC 的中位线，所以DE // BC ， 同理可证，BC // 平面A 1DE ．因为BB 1∩BC =B ，所以平面B 1BC // 平面A 1DE ， 又B 1C ⊂平面B 1BC ，所以B 1C // 平面A 1DE ．以ED ，EC ，EB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，设平面ABB 1的一个法向量m =(x 1,y 1,z 1)， 则{m →⋅AB 1→=0m →⋅AB →=0 ，即{ay 1+√3az 1=0ax 1+2ay 1=0， 取z 1=1，得m →=(2√3,−√3,1)．同理，设平面BB 1C 的一个法向量n →=(x,y,z)， 又CB 1→=(0,−a,√3a)，BC →=(−a,0,0)， 由{n →⋅BC →=0n →⋅CB 1→=0 ，得{−ax =0−ay +√3az =0 ， 取z =−1，得n →=(0,−√3,−1)， 所以cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=14，故二面角A −BB 1−C 的正弦值为：√1−(14)2=√154．【答案】根据题意，设直线l 的方程为y =k(x −3)，联立方程组{y 2=2pxy =k(x −3)得y 2−2p k y −6p =0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 所以y 1+y 2=2p k，y 1y 2=−6p ，又OA →∗OB →=x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24p 2+y 1y 2=9−6p =−3，所以p =2，从而抛物线E 的方程为y 2=4x ．证明：因为k 1=y1x 1+3=y1y 1k+6，k 2=y2x 2+3=y2y 2k+6，所以1k 1=1k +6y 1，1k 2=1k +6y 2，因此1k 12+1k 22−2k 2=(1k +6y 1)2+(1k +6y 2)2−2k 2=2k 2+12k∗(1y 1+1y 2)+36(1y 12+1y 22)−2k 2=12k∗y 1+y 2y 1y 2+36×(y 1+y 2)2−2y 1y 2y 12y 22，又y 1+y 2=2p k=4k ，y 1y 2=−6p =−12，16即1k 12+1k 22−2k 为定值．【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）根据题意，设直线l 的方程为y =k(x −3)，联立直线与抛物线的方程，得y 2−2p ky −6p =0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，利用根与系数的关系分析用p 表示OA →∗OB →+3=0，解可得p 的值，即可得抛物线的标准方程；（2）根据题意，由两点间连线的斜率公式可得k 1、k 2的值，将其值代入1k 12+1k 22−2k 2中，结合抛物线的焦点弦公式分析可得结论． 【解答】根据题意，设直线l 的方程为y =k(x −3)，联立方程组{y 2=2pxy =k(x −3)得y 2−2p k y −6p =0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 所以y 1+y 2=2p k，y 1y 2=−6p ，又OA →∗OB →=x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24p 2+y 1y 2=9−6p =−3，所以p =2，从而抛物线E 的方程为y 2=4x ．证明：因为k 1=y 1x 1+3=y 1y 1k+6，k 2=y 2x 2+3=y2y 2k+6，所以1k 1=1k +6y 1，1k 2=1k +6y 2，因此1k 12+1k 22−2k 2=(1k +6y 1)2+(1k +6y 2)2−2k 2=2k 2+12k∗(1y 1+1y 2)+36(1y 12+1y 22)−2k 2=12k∗y 1+y 2y 1y 2+36×(y 1+y 2)2−2y 1y 2y 12y 22，又y 1+y 2=2p k=4k ，y 1y 2=−6p =−12，所以1k 12+1k 22−2k 2=12k×(−1)3k+36×16k 2+24144=6，即1k 12+1k 22−2k 2为定值．【答案】f(x)=(x +1)e ax (a ≠0)的导数f′(x)=e ax +a(x +1)e ax =(ax +a +1)e ax ， 因为x =2a 是f(x)的一个极值点， 所以f ′(2a )=(a +3)e 2=0，所以a =−3．由（1）知f(x)=(x +1)e −3x ，f′(x)=(−3x −2)e −3x ，当t −1≥−23，即t ≥13时，f(x)在[t −1, t +1]上递减，f(x)max =f(t −1)=te −3(t−1)；当t −1<−23<t +1，即−53<t <13时，f(x)max =f(−23)=e 23．证明：g(x)=(x +1)e −3x +2x +3xlnx ， 设g(x)=m 1(x)+m 2(x)，x ∈(0, 1)，其中m 1(x)=(x +1)e −3x +2x ，m 2(x)=3xlnx ，则m 1′(x)=(−3x −2)e −3x +2，设ℎ(x)=(−3x −2)e −3x +2，则ℎ′(x)=(9x +3)e −3x >0，可知m 1′(x)在(0, 1)上是增函数， 所以m 1′(x)>m 1′(0)=0，即m 1(x)在(0, 1)上是增函数， 所以1<m 1(x)<2+2e 3．又m 2′(x)=3(1+lnx)，由m 2′(x)>0，得x >1e ；由m 2′(x)<0，得0<x <1e ， 所以m 2(x)在(0,1e )上递减，在(1e ,1)上递增，所以−3e ≤m 2(x)<0，从而1−3e <m 1(x)+m 2(x)<2+2e 3．所以，对任意x 1，x 2∈(0, 1)，|g(x 1)−g(x 2)|<(2+2e 3)−(1−3e )=2e 3+3e +1． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）求得f(x)的导数，可得f′(2a )=0，解方程可得a 的值；（2）由（1）可得极值点，讨论区间与极值点的关系，结合单调性，即可得到所求最大值；（3）g(x)=(x +1)e −3x +2x +3xlnx ，设g(x)=m 1(x)+m 2(x)，x ∈(0, 1)，其中m 1(x)=(x +1)e −3x +2x ，m 2(x)=3xlnx ，分别求得导数和单调性，可得它们的取值范围， 即可得证． 【解答】f(x)=(x +1)e ax (a ≠0)的导数f′(x)=e ax +a(x +1)e ax =(ax +a +1)e ax ， 因为x =2a 是f(x)的一个极值点， 所以f ′(2a )=(a +3)e 2=0，所以a =−3．由（1）知f(x)=(x +1)e −3x ，f′(x)=(−3x −2)e −3x ，当t −1≥−23，即t ≥13时，f(x)在[t −1, t +1]上递减，f(x)max =f(t −1)=te −3(t−1)；当t −1<−23<t +1，即−53<t <13时，f(x)max =f(−23)=e 23．证明：g(x)=(x +1)e −3x +2x +3xlnx ， 设g(x)=m 1(x)+m 2(x)，x ∈(0, 1)，其中m 1(x)=(x +1)e −3x +2x ，m 2(x)=3xlnx ，则m 1′(x)=(−3x −2)e −3x +2，设ℎ(x)=(−3x −2)e −3x +2，则ℎ′(x)=(9x +3)e −3x >0，可知m 1′(x)在(0, 1)上是增函数， 所以m 1′(x)>m 1′(0)=0，即m 1(x)在(0, 1)上是增函数， 所以1<m 1(x)<2+2e 3．又m 2′(x)=3(1+lnx)，由m 2′(x)>0，得x >1e ；由m 2′(x)<0，得0<x <1e ， 所以m 2(x)在(0,1e )上递减，在(1e ,1)上递增，所以−3e ≤m 2(x)<0，从而1−3e <m 1(x)+m 2(x)<2+2e 3．所以，对任意x 1，x 2∈(0, 1)，|g(x 1)−g(x 2)|<(2+2e 3)−(1−3e )=2e 3+3e +1． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】∵ 直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），∴ 直线l 1的普通方程为y =k(x +√3)，①∵ 直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m 3k （m 为参数），∴ 直线l 2的普通方程为y =13k (√3−x)，② ①×②，消k ，得：x 23+y 2=1．∵ k ≠0，∴ y ≠0，∴ 曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1(y ≠0)．∵ 直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2， ∴ 直线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0， 由（1）知曲线C 1与直线C 2无公共点，∵ 曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα ，(α为参数，α≠kπ，k ∈Z)，∴ 曲线C 1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为： π∴ 当sin(α+π3)=1时，d 取最小值3√2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）求出直线l 1的普通方程为y =k(x +√3)，①，直线l 2的普通方程为y =13k (√3−x)，②，①×②，消k ，能求出曲线C 1的普通方程． （2）直线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0，曲线C 1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为：d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，当sin(α+π3)=1时，d 取最小值3√2． 【解答】∵ 直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt（t 为参数）， ∴ 直线l 1的普通方程为y =k(x +√3)，①∵ 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m 3k（m 为参数）， ∴ 直线l 2的普通方程为y =13k (√3−x)，②①×②，消k ，得：x 23+y 2=1．∵ k ≠0，∴ y ≠0，∴ 曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1(y ≠0)． ∵ 直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，∴ 直线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0，由（1）知曲线C 1与直线C 2无公共点，∵ 曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα，(α为参数，α≠kπ，k ∈Z)， ∴ 曲线C 1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为： d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2， ∴ 当sin(α+π3)=1时，d 取最小值3√2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)≥|2x +3|即|x +a|≥|2x +3|，平方整理得：3x 2+(12−2a)x +9−a 2≤0，所以−3，−1是方程 3x 2+(12−2a)x +9−a 2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到{12−2a −3=−49−a 23=3 ...4分解得a =0...5分因为f(x)+|x −a|≥|(x +a)−(x −a)|=2|a|...7分 所以要不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立只需2|a|≥a 2−2a...8分 当a ≥0时，2a ≥a 2−2a 解得0≤a ≤4，当a <0时，−2a ≥a 2−2a 此时满足条件的a 不存在，综上可得实数a 的范围是0≤a ≤4...10分【考点】绝对值三角不等式【解析】（1）根据二次函数的性质得到关于a 的方程组，解出即可； （2）问题转化为2|a|≥a 2−2a ，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】f(x)≥|2x +3|即|x +a|≥|2x +3|，平方整理得：3x 2+(12−2a)x +9−a 2≤0，所以−3，−1是方程 3x 2+(12−2a)x +9−a 2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到{12−2a −3=−49−a 23=3 ...4分解得a =0...5分因为f(x)+|x −a|≥|(x +a)−(x −a)|=2|a|...7分 所以要不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立只需2|a|≥a 2−2a...8分 当a ≥0时，2a ≥a 2−2a 解得0≤a ≤4，当a <0时，−2a ≥a 2−2a 此时满足条件的a 不存在， 综上可得实数a 的范围是0≤a ≤4...10分。
2018高考数学(理科)模拟试卷一含答案解析(K12教育文档)
2018高考数学(理科)模拟试卷一含答案解析(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学(理科)模拟试卷一含答案解析(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高考数学(理科)模拟试卷一含答案解析(word版可编辑修改)的全部内容。
2018年高考数学(理科）模拟试卷（一）（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2016年四川)设集合A＝｛x｜1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( ）1．A．6 B。
5 C．4 D．31.B 解析：由题意，A∩Z＝｛1,2,3，4，5｝,故其中的元素的个数为5。
故选B.2．(2016年山东）若复数z满足2z＋错误!＝3－2i, 其中i为虚数单位，则z＝( ) A．1＋2i B．1－2iC．－1＋2i D．－1－2i2．B 解析:设z＝a＋b i(a,b∈R），则2z＋错误!＝3a＋b i＝3－2i，故a＝1，b＝－2，则z＝1－2i.故选B.3．(2015年北京)某四棱锥的三视图如图M1。
1,该四棱锥最长棱的棱长为（）图M11A．1 B。
错误! C。
错误! D．23．C 解析:四棱锥的直观图如图D188：由三视图可知,SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，SA＝错误!＝错误!＝错误!.故选C。
图D1884．曲线y＝x3－2x＋4在点(1，3）处的切线的倾斜角为（）A.错误! B。
2018年河南省六市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B 等于（）A．（2，12）B．（﹣1，3）C．（﹣1，12）D．（2，3）2．（5分）已知i为虚数单位，若复数＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（）A．﹣i B．i C．﹣1D．13．（5分）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）A．5m B．C．6m D．5．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．47．（5分）已知数列{a n}满足＝2，则其前100项和为（）A．250B．200C．150D．1008．（5分）已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝a（a+c），则的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．9．（5分）设a1，a2，…，a2017是数列1，2，…，2017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F的值为（）A．2015B．2016C．2017D．201810．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB ＝SC，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．1B．2C．3D．411．（5分）椭圆+＝1（a＞b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在P处的切线过椭圆的左焦点F（﹣1，0），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）若关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.71828……，则的值为（）A．1B．1﹣m C．1+m D．e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，，则＝．14．（5分）已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是15．（5分）已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值是．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣6x的最小值是．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项的和为S n，且满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当n≥2时，．18．（10分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．20．（10分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值．21．（10分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．2018年河南省六市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B 等于（）A．（2，12）B．（﹣1，3）C．（﹣1，12）D．（2，3）【解答】解：集合A＝{x|lg（x﹣2）＜1}＝{x|0＜x﹣2＜10}＝{x|2＜x＜12}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜12}＝（﹣1，12）．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，若复数＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（）A．﹣i B．i C．﹣1D．1【解答】解：∵a+bi＝＝＝＝i，∴a＝0，b＝1．∴a+b＝1．故选：D．3．（5分）现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将5张奖票不放回地依次取出共有A＝120种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有3A A＝36种取法，∴P＝＝．故选：C．4．（5分）汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）A．5m B．C．6m D．【解答】解：根据题意，汽车以v＝（3t+2）m/s作变速运动时，则汽车在第1s至2s之间的1s内经过的路程S＝（3t+2）dt＝（+2t）＝；故选：D．5．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A、B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A、B对该疾病均没有预防效果【解答】解：由A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到的等高条形图，知：药物A的预防效果优于药物B的预防效果．故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．4【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD＝DC＝BD ＝2，∠ADC＝120°，BD⊥平面ADC，其直观图如图所示：AB＝BC＝2，AC＝2，底面△BCD的面积为：×2×2＝2，侧面△ABD的面积为：×2×2＝2，侧面△ADC的面积为：×2×2×＝，侧面△ACB是腰长为2，底长2的等腰三角形，故底边上的高为＝，其面积为：×2 ×＝，综上可知，最大的面的面积为，故选：B．7．（5分）已知数列{a n}满足＝2，则其前100项和为（）A．250B．200C．150D．100【解答】解；n＝2k﹣1（k∈N*）时，a2k+a2k﹣1＝2．∴其前100项和＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a99+a100）＝2×50＝100．故选：D．8．（5分）已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝a（a+c），则的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【解答】解：由b2＝a（a+c），利用余弦定理，可得：c﹣a＝2a cos B，利用正弦定理边化角，得：sin C﹣sin A＝2sin A cos B，∵A+B+C＝π，∴sin（B+A）﹣sin A＝2sin A cos B，∴sin（B﹣A）＝sin A，∵ABC是锐角三角形，∴B﹣A＝A，即B＝2A．∵0＜B＜，＜A+B＜π，那么：＜A＜，则＝sin A∈（，）．故选：B．9．（5分）设a1，a2，…，a2017是数列1，2，…，2017的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的F的值为（）A．2015B．2016C．2017D．2018【解答】解：分析题中程序框图的功能是先求这2 017个数的最大值，然后进行计算F＝b+sin；因为b＝max{1，2，…，2 017}＝2 017，所以F＝2 017+sin＝2 018．故选：D．10．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，AB ＝SC，且三棱锥S﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的半径为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图，取SC的中点O，连接OB，OA，∵SB⊥BC，SA⊥AC，SB＝BC，SA＝AC，∴OB⊥SC，OA⊥SC，OB＝SC，OA＝SC，∴SC⊥平面OAB，O为三棱锥的外接球的球心，SC为球O的直径，设球O得半径为R，则AB＝SC＝R，∴△AOB为正三角形，则∠BOA＝60°，∴V S﹣ABC ＝V S﹣OAB+V C﹣OAB＝，解得R＝3．故选：C．11．（5分）椭圆+＝1（a＞b＞0）与函数y＝的图象交于点P，若函数y＝的图象在P处的切线过椭圆的左焦点F（﹣1，0），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，左焦点F为（﹣1，0），设P（t，），k PF＝，由y＝，求导y′＝，则k PF＝，即＝，解得t＝1，即P（1，1），设椭圆M的右焦点为F2（1，0），则2a＝|PF1|+|PF2|＝1+，∴椭圆M的离心率为e＝＝＝，故选：B．12．（5分）若关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.71828……，则的值为（）A．1B．1﹣m C．1+m D．e【解答】解：由方程⇒，令，则有t++m＝0．⇒t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0，令函数g（x）＝，，∴g（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，其图象如下，要使关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3结合图象可得关于t的方程t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0一定有两个实根t1，t2，（t1＜0＜t2）且，∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2．（t1﹣1）（t2﹣1）＝t1t2﹣（t1+t2）+1＝（1﹣m）﹣（1﹣m）+1＝1．∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2＝1．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，，则＝5．【解答】解：∵，，∴＝＝（﹣3，4），∴．故答案为：5．14．（5分）已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是10【解答】解：由题意可得2n＝32，n＝5，展开式的通项公式为T r+1＝•x10﹣2r•x ﹣r＝•x10﹣3r．令10﹣3r＝1，r＝3，故展开式中含x项的系数是＝10，故答案为10．15．（5分）已知P是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值是．【解答】解：设右焦点分别为F2，∵∴|PF1|﹣|PF2|＝2，∴|PF1|＝|PF2|+2，∴|PF1|+|PQ|＝|PF2|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，可得l的方程为y＝±x，F2（，0），F2到l的距离d＝1∴|PQ|+|PF1|的最小值为2+1．故答案为：1+2．16．（5分）已知动点P（x，y）满足，则x2+y2﹣6x的最小值是﹣．【解答】解：动点P（x，y）满足，x≥1时，x+≥1+；∴要使（x+）（﹣y）≤1，只要﹣y≤，﹣y≤﹣x（*），设f（x）＝﹣x，x∈R，则f（x）是单调减函数，（*）可化为y≥x；∴动点P满足，该不等式组表示的平面区域如图所示：又x2+y2﹣6x＝（x﹣3）2+y2﹣9，由两点间的距离公式可得，M（3，0）到区域中A的距离最小，由，解得A（，）；∴x2+y2﹣6x＝（x﹣3）2+y2﹣9≥|AM|2﹣9＝+﹣9＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项的和为S n，且满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）证明：当n≥2时，．【解答】证明：（1）当n≥2时，，S n﹣1﹣S n＝2S n S n﹣1，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知，，∴，∴当n≥2时，，从而．18．（10分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如图：（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老：人每月发放生活补贴，标准如下①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）【解答】解：（1）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：人，80岁以下应抽取：人（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：用样本估计总体，80岁及以上长者为：万，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为．（3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，X的可能取值为0，120，200，220，300，，，，，，则随机变量X的分布列为：，全市老人的总预算为28×12×66×104＝2.2176×108元政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元．19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．【解答】解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD＝D∴AC⊥平面PBD又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；（II）连接OE，∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD＝OE，PD⊂平面PBD∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，∵平面EAC∩平面ABCD＝AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO＝45°设AD＝BD＝a，则OB＝a，OA＝a，在Rt△BOF中，tan∠BFO＝，可得OF＝Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE＝OF•AE即a•OE＝a•，解之得OE＝∴PD＝2OE＝，可得PD：AD＝：2即PD：AD的值为．20．（10分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F旋转时，求的最大值．【解答】解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，，当l的倾斜角为45°时，l的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x2﹣2px﹣p2＝0，x1+x2＝2p，y1+y2＝x1+x2+p＝3p，得AB中点为…（3分）AB中垂线为，x＝0代入得．∴p＝2…（6分）（2）设l的方程为y＝kx+1，代入x2＝4y得x2﹣4kx﹣4＝0，，AB中点为D（2k，2k2+1）令∠MDN＝2α，，∴…（8分）D到x轴的距离|DE|＝2k2+1，…（10分）当k2＝0时cosα取最小值，α的最大值为．故的最大值为．…（12分）21．（10分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：．【解答】解：（1），x∈（0，+∞）所以①当k≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增②当k＞0时，令t（x）＝x2﹣2kx+1，当△＝4k2﹣4≤0即0＜k≤1时，t（x）≥0恒成立，即f'（x）≥0恒成立所以f（x）在（0，+∞）上单调递增当△＝4k2﹣4＞0，即k＞1时，x2﹣2kx+1＝0，两根所以，f'（x）＞0，f'（x）＜0，f'（x）＞0故当k∈（﹣∞，1）时，f（x）在（0，+∞）上单调递增当k∈（1，+∞）时，f（x）在和上单调递增f （x）在上单调递减．（2）证明：，，由（1）知k≤1时，f（x）（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值当k＞1时，由f'（x）＝0得x2﹣2kx+1＝0，△＝4k2﹣4＞0，设两根x1，x2，则x1+x2＝2k，x1•x2＝1其中f（x）在（0，x1）上递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，＝＝．令，所以t（x）在（1，+∞）上单调递减，且故．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为y＝x﹣1，∵圆C的极坐标方程为：，∴ρ2＝4ρsinθ+4ρcosθ∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0．（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，由已知直线l的参数方程是（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y＝0，得，设两个实根为t1，t2，则，即t 1，t2异号所以．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|2x|+|2x﹣1|≥|2x﹣（2x﹣1）|＝1，故m≥1；…（5分）（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，∴a+2b＞0，2a+b＞0故＝＝a2+b2+2ab＝（a+b）2，即由（Ⅰ）知a+b＝m≥1，∴．…（10分）。
河南濮阳市2018届高三数学一模试卷理科附解析
河南濮阳市2018届高三数学一模试卷（理科附解析）濮阳市2018届高三毕业班第一次模拟考试数学(理科)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】,所以，故选C.2.若复数满足，其中为虚数单位，表示复数的共轭复数，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】设，，即，即，故选A.3.如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为()A.B.C.D.【答案】B【解析】设飞鸟图案的面积为，那么，几，故选B.4.函数的图象大致为()A.B.C.D.【答案】C【解析】，所以函数是偶函数，关于轴对称，排除A.D，当时，，排除B，故选C.5.设，若，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】，所以原式等于而，，又因为，所以，可求得，那么，那么，故选B.6.设点是，表示的区域内任一点，点是区域关于直线的对称区域内的任一点，则的最大值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】如图画出可行域，根据点的对称性可知，点与点关于直线的对称点间的距离最大，最大距离就是点到直线距离的2倍，联立，解得：，点到直线的距离，那么，故选D.7.已知三棱锥中，与是边长为2的等边三角形且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为()A.B.C.D.【答案】D【解析】如图，取的中点，连接，，，，连接，点是三棱锥的外接球的球心，因为棱长都是2，所以，所以在中，，那么外接球的表面积是，故选D.【点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.8.执行如图所示的程序框图(其中表示等于除以10的余数)，则输出的为()A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】时，第一次进入循环，时，第二次进入循环，时，第三次进入循环，，时，第四次进入循环，，当时，第五次进入循环，时，第六次进入循环，，由此可知此循环的周期为6，当时，第2016次进入循环，，所以此时，退出循环，输出的值等于8，故选D.9.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】次三视图还原为如图几何体，长方体削下去等高的四棱锥，剩下一个三棱锥和一个三棱柱，，故选A. 10.已知双曲线，是左焦点，，是右支上两个动点，则的最小值是()A.4B.6C.8D.16【答案】C【解析】，所以，当且仅当三点共线时等号成立，故选C.11.已知中，，，成等比数列，则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由已知可知，即，，即，，原式等于，设即原式等于，函数是增函数，当时，函数等于0，当时，函数等于,所以原式的取值范围是，故选B.【点睛】本题有两个难点，一个是根据正弦定理转化为，再利用余弦定理求角的取值范围，二是将转化为的函数，最后利用函数的单调性求解，本题考查的三角函数的知识点非常全面，而且运用转化与化归的思想，属于难题了.12.已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】原式等价于，两边取自然对数得，令，则时，因为当时，即时，单调递增，当时，与矛盾；当时，即时，令，解得，，单调递增，时，单调递减，若，即，当时，单调递增，，矛盾；若，即，当时，递减，，成立，综上，，最小值为，故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立的问题，可以通过变形将不等式整理为需要研究的函数，比如本题设，讨论的取值范围，使函数满足，转化为求函数的单调性，根据单调性可求得函数的最值.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.正三角形的边长为1，是其重心，则________.【答案】【解析】且两向量的夹角为，即故填：14.的展开式中，的系数为________.【答案】56【解析】原式其中只可能出现在的展开式中，所以的系数是,故填：56.15.已知椭圆，和是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为1，，，则椭圆离心率为________________.【答案】【解析】设周长为，则，又，则，又，则，故填：.16.先将函数的图象上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的倍(其中)，得到函数的图象，若在区间上单调递增，则的最大值为____________.【答案】9【解析】在区间上单调递增，所以有，即由可得，当时，，所以正整数的最大值是9.【点睛】本题考查了三角函数的图像变换，以及根据函数的性质求解参数的最值，当图像是先平移再伸缩时，注意是前的系数改变，与无关，函数在上单调递增，即先求的范围，其是函数单调递增区间的子集，求出的范围，确定最值三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列是等差数列，，，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）根据等差数列的性质，可知，解出，得到数列的通项公式；（2）根据（1）可知，求得，，采用错位相减法求和.试题解析：(1)由题意得，所以，时，，公差，所以，时，，公差，所以.(2)若数列为递增数列，则，所以，，，所以，，所以，所以.18.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量，求的分布列及数学期望.【答案】(1)2.3；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）人均次数等于总的“爱心送考”次数/200；（2）该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人参加次数相同”为事件.，根据事件列式求分布列和数学期望.试题解析：由图可知，参加送考次数为1次，2次，3次的司机人数分别为20，100，80.(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人参加次数相同”为事件.则，，.的分布列：012的数学期望.19.如图，正方形中，，与交于点，现将沿折起得到三棱锥，，分别是，的中点.(1)求证：；(2)若三棱锥的最大体积为，当三棱锥的体积为，且二面角为锐角时，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）要证明线线垂直，一般需证明线面垂直，易证，即平面；（2）是二面角的平面角，根据，可知，是等边三角形，平面，以为原点，所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角.试题解析：(1)依题意易知，，，∴平面，又∵平面，∴.(2)当体积最大时三棱锥的高为，当体积为时，高为，中，，作于，∴，∴，∴为等边三角形，∴与重合，即平面.以为原点，所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.∴，，，.设为平面的法向量，∵，，∴，取，设是平面的法向量，，，∴，取，∴，设二面角大小为，∴.【点睛】用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．20.已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点.(1)证明：直线过定点；(2)过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）代入点的坐标得到抛物线方程，设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，利用，代入根与系数的关系，求得，代入直线方程，得到定点；（2）根据（1）可知，点的轨迹满足圆的方程，以为直径的圆去掉，写出圆的方程即可.试题解析：(1)点在抛物线上，代入得，所以抛物线的方程为，由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，联立得，得，，由于，所以，即，即.(*)又因为，，代入(*)式得，即，所以或，即或.当时，直线方程为，恒过定点，经验证，此时，符合题意；当时，直线方程为，恒过定点，不合题意，所以直线恒过定点.(2)由(1)，设直线恒过定点，则点的轨迹是以为直径的圆且去掉，方程为.21.已知函数.(1)若函数在上是减函数，求实数的取值范围；(2)若函数在上存在两个极值点，且，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由条件可知恒成立，通过参变分离的方法得到恒成立，即转化为利用导数求函数的最大值，即求的取值范围；（2）根据条件可知，和，经过变形整理为，经过换元，可将问题转化为证明，利用导数求函数的最小值，即可证明.试题解析：(1)由函数在上是减函数，知恒成立，.由恒成立可知恒成立，则，设，则，由，知，函数在上递增，在上递减，∴，∴.(2)由(1)知.由函数在上存在两个极值点，且，知，则且，联立得，即，设，则，要证，只需证，只需证，只需证.构造函数，则.故在上递增，，即，所以.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，考查了转化与化归的鞥努力，尤其是第二问，利用条件可变形为，这样通过换元设，转化为关于的函数.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)过原点的直线分别与曲线交于除原点外的两点，若，求的面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）首先将曲线C的参数方程化简为普通方程，再根据直角坐标与极坐标的互化关系，，化简为曲线的极坐标方程；（2），根据极坐标方程转化为关于的三角函数，利用三角函数的有界性求函数的最大值.试题解析：(1)曲线的普通方程为，即，所以，曲线的极坐标方程为，即.(2)不妨设，，.则，，的面积.所以，当时，的面积取最大值为.23.已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若函数在上有最大值，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）根据零点分段法去绝对值，再求解不等式；（2）同样根据零点分段法，分去绝对值，若函数有最大值，可判断函数的单调性，即可求得的取值范围.试题解析：(1)设，根据图象，由解得或.所以，不等式的解集为.(2)由题意得，由函数在上有最大值可得解得.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设全集U=R，A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|y=lg（x+1）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|﹣3＜x＜0}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|x＞﹣1}2．计算=（）A．﹣2i B．0 C．2i D．23．若向量=（1，2），=（4，5），且•（λ+）=0，则实数λ的值为（）A．3 B．﹣C．﹣3 D．﹣4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．命题p：若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α；命题q：若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．那么下列命题中的真命题是（）A．p∧q B．p∨￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q5．在利用最小二乘法求回归方程时，用到了如表中的5组数据，则表格a中的值为（）A．68 B．70 C．75 D．726．某几何体的三视图如图所示，图中四边形都是边长为2的正方形，两条虚线相互垂直，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，D为BC边上的一点，AD=BD=5，DC=4，∠BAD=∠DAC则AC=（）A．9 B．8 C．7 D．68．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为圆x2+y2﹣6x=0的圆心，过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M，N两点，则|MN|=（）A．30 B．25 C．20 D．159．某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有（）A．60种B．120种C．144种D．300种10．已知函数的图象的相邻两对称轴之间的距离为π，且在时取得最大值2，若，且，则的值为（）A．B．C．D．11．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则实数a的取值范围是（）A．[，]∪{}B．[，）∪{}C．[，]∪{}D．[，）∪{}二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为．14．运行程序框图，若输出的S的值为，则判断框内的整数a为．15．若实数x，y满足不等式组，则的取值范围是为．16．设f'（x）是函数f（x）在定义域R上的导函数，若f（0）=1且f'（x）﹣2f（x）=0，则不等式f（ln（x2﹣x））＜4的解集为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和S n满足S5=15，且2a2，a6，a8+1成公比大于1的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）为了更好地让学生适应高考网上阅卷，某学校针对该校20个班级进行了“汉字与英语书法大赛”如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，．（1）线段BC上是否存在一点E，使平面PBC⊥平面PDE？若存在，请给出的值，并进行证明；若不存在，请说明理由．（2）若，线段PC上有一点F，且PC=3PF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，点在椭圆C上，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点B，且．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点Q（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得36|QP|2=35|QM|•|QN|？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）=alnx﹣bx2．（1）当b=1时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=1，b=0时，函数g（x）=f（x）﹣kx，k为常数，若函数g（x）有两个相异零点x1，x2，证明：．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在直角坐标系xoy中，圆的参数方程为（θ为参数），直线C1的参数方程为（t为参数）．（1）若直线C1与O圆相交于A，B，求弦长|AB|；（2）以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为，圆O和圆C2的交点为P，Q，求弦PQ所在直线的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|，不等式f（x+5）≤3m（m＞0）的解集为[﹣7，﹣1]（1）求m的值；（2）已知a＞0，b＞0，且2a2+b2=3m，求2a的最大值．2018年河南省濮阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．设全集U=R，A={x|x2﹣x﹣6＜0}，B={x|y=lg（x+1）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|﹣3＜x＜0}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|x＞﹣1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】阴影部分表示的集合为A∩B，解出A，B，再求交集．【解答】解：阴影部分表示的集合为A∩B，而A={x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x ＜3}，B={x|y=lg（x+1）}={x|x＞﹣1}，故A∩B={x|﹣1＜x＜3}，故选C．【点评】本题考查了求Venn图表示的集合，关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素特征，再通过集合运算求出．2．计算=（）A．﹣2i B．0 C．2i D．2【考点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算．【分析】由于===i，==﹣i．i4=1．即可得出．【解答】解：∵===i，==﹣i．i4=1．∴=（i4）504•i+[（﹣i）4]504•（﹣i）=i﹣i=0．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．若向量=（1，2），=（4，5），且•（λ+）=0，则实数λ的值为（）A．3 B．﹣C．﹣3 D．﹣【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标运算法则与数量积运算，列出方程即可求出实数λ的值．【解答】解：向量=（1，2），=（4，5），所以=+=﹣=（3，3），λ+=（λ+4，2λ+5），又且•（λ+）=0，所以3（λ+4）+3（2λ+5）=0，解得λ=﹣3．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，是基础题目．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．命题p：若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α；命题q：若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．那么下列命题中的真命题是（）A．p∧q B．p∨￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】判断命题p与q的真假，命题的发的真假，然后推出结果即可．【解答】解：垂直平面的内的一条直线，不能确定直线与平面垂直，所以命题p 是假命题；命题q满足直线与平面平行的性质定理，所以命题q是真命题；所以￢p是真命题；可得￢p∧q是真命题；故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假的判断，空间直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．5．在利用最小二乘法求回归方程时，用到了如表中的5组数据，则表格a中的值为（）A．68 B．70 C．75 D．72【考点】线性回归方程．【分析】由题意回归直线方程，过样本点的中心点，即可得a的值．【解答】解：由题意可得=（10+20+30+40+50）=30，=（62+a+75+81+89），因为回归直线方程，过样本点的中心点，所以（a+307）=0.67×30+54.9，解得a=68故选A．【点评】本题考查线性回归方程，利用回归直线过样本点的中心点是解决问题的关键，属基础题．6．某几何体的三视图如图所示，图中四边形都是边长为2的正方形，两条虚线相互垂直，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一圆锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、圆锥的表面积．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一圆锥得到的，该圆锥的底为正方形的内切圆，高为1，∴该几何体的体积为6×22﹣π+π×1×=24+（）π．故选B．【点评】本题主要考查三视图的应用，以及空间几何体的表面积计算，要求熟练掌握常见几何体的表面积公式．7．在△ABC中，D为BC边上的一点，AD=BD=5，DC=4，∠BAD=∠DAC则AC=（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】正弦定理．【分析】设∠B=θ，则∠ADC=2θ，在△ADC中，由正弦定理可求AC=8cosθ，在△ABC中，由正弦定理得=，联立可求cosθ的值，即可得解AC的值．【解答】解：设∠B=θ，则∠ADC=2θ，在△ADC中，由，所以，AC=8cosθ，在△ABC中，由=，可得：=，所以，16cos2θ=9，可得：cosθ=，所以：AC=8×=6．故选：D．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为圆x2+y2﹣6x=0的圆心，过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M，N两点，则|MN|=（）A．30 B．25 C．20 D．15【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求出抛物线方程，直线l的方程为：y=x﹣1，与抛物线方程联立化为：y2+6y+1=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义即可得出．【解答】解：圆x2+y2﹣6x=0的圆心（3，0），焦点F（3，0），抛物线y2=12x，设M（x1，y1），N（x2，y2）．直线l的方程为：y=2x﹣6，联立，化为：x2+﹣9x+9=0，∴x1+x2=9，∴|MN|=x1+x2+p=9+6=15，故选：D．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有（）A．60种B．120种C．144种D．300种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】要在该时间段只保留其中的2个商业广告，有A52=20种方法，增播一个商业广告，利用插空法有3种方法，再在2个空中，插入两个不同的公益宣传广告，共有2种方法，利用乘法原理，可得结论．【解答】解：由题意，要在该时间段只保留其中的2个商业广告，有A52=20种方法，增播一个商业广告，利用插空法有3种方法，再在2个空中，插入两个不同的公益宣传广告，共有2种方法根据乘法原理，共有20×3×2=120种方法．故选：B．【点评】本题考查乘法原理，考查插空法的运用，正确分步是关键．10．已知函数的图象的相邻两对称轴之间的距离为π，且在时取得最大值2，若，且，则的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知可求周期，利用周期公式可求ω，由x=时，f（x）取得最大值，结合范围φ∈[0，]，可求φ，求得函数f（x）的解析式，由，可得sin（α+）的值，可求范围＜α+＜π，利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+）的值，利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：∵若f（x）图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，∴三角函数的周期T=2π，即T==2π，即ω=1，则f（x）=sin（x+φ）+1，当x=时，f（x）取得最大值，即：sin（+φ）=1，即： +φ=+2kπ，k∈Z，即：φ=+2kπ，k∈Z，∵φ∈[0，]，∴φ=，则函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（x+）+1．∵f（α）=sin（α+）+1=，可得：sin（α+）=，∵＜α＜，可得：＜α+＜π，∴cos（α+）=﹣=﹣．∴=2sin（α+）cos（α+）=2××（﹣）=﹣．故选：D．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数化简求值，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．11．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线的通径与，得到a，b，c的关系，运用离心率公式，求出双曲线的离心率的范围．【解答】解：由题意可知，双曲线的通径为：，因为过焦点F1且垂直于x轴的弦为AB，若，所以=tan∠AF2B＜，e=＞1，所以，，由解得e∈（1，）．故选：A．【点评】本题考查双曲线的基本性质，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．12．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则实数a的取值范围是（）A．[，]∪{}B．[，）∪{}C．[，]∪{}D．[，）∪{}【考点】分段函数的应用．【分析】若函数f（x）=（a＞0，a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，则函数y=log a x与y=2|x﹣5|﹣2在[3，7]上有且只有一个交点，解得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=（a＞0，a≠1）的图象上关于直线x=1对称的点有且仅有一对，∴函数y=log a x，与y=2|x﹣5|﹣2在[3，7]上有且只有一个交点，当对数函数的图象过（5，﹣2）点时，由log a5=﹣2，解得a=；当对数函数的图象过（3，2）点时，由log a3=2，解得a=；当对数函数的图象过（7，2）点时，由log a7=2，解得a=．故a∈[，）∪{}，故选：D．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，注意运用转化思想，转化为函数的图象的交点问题，考查数形结合思想，难度中档．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为﹣．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用展开式的所有二项式系数的和，然后求出n的值，利用二项式的通项，求出常数项即可．【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n=512，则n=9，=（﹣）r C9r，T r+1令=0，则r=3，所以该展开式中的常数项为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质，特定项的求法，考查计算能力．14．运行程序框图，若输出的S的值为，则判断框内的整数a为10．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，可知输出结果是首项为，公比为的等比数列的前k项和，由输出的S的值为1﹣，可求判断框中的整数a的值．【解答】解：=1﹣，由程序框图可知，输出结果是首项为，公比为的等比数列的前k项和，若输出的S的值为1﹣，则判断框中的整数a为10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了算法和程序框图的应用，着重考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题．15．若实数x，y满足不等式组，则的取值范围是为[，3）．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵=1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，如果A在可行域则k的最大为：=2，最小为：=，即k＜2，则≤k+1＜3，故的取值范围是[，3），故答案为：[，3）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及斜率的计算，通过数形结合是解决本题的关键．16．设f'（x）是函数f（x）在定义域R上的导函数，若f（0）=1且f'（x）﹣2f（x）=0，则不等式f（ln（x2﹣x））＜4的解集为（﹣1，0）∪（1，2）．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意，不妨设f（x）=e2x，x∈R，则f（x）在R上是单调增函数，把不等式f（ln（x2﹣x））＜4化为ln（x2﹣x）＜ln2，从而求出不等式的解集．【解答】解：根据题意，不妨设f（x）=e2x，x∈R，则f′（x）=2e2x，满足f（0）=e0=1，且f′（x）﹣2f（x）=0；所以f（x）在R上是单调增函数；又4=e ln4=e2ln2=f（ln2），所以不等式f（ln（x2﹣x））＜4等价于ln（x2﹣x）＜ln2，即，解得，即﹣1＜x＜0或1＜x＜2；所以该不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，2）．故答案为：（﹣1，0）∪（1，2）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了构造函数的解题方法，是综合性题目．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）（2018•濮阳一模）设等差数列{a n}的前n项和S n满足S5=15，且2a2，a6，a8+1成公比大于1的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）利用等差数列的首项与公差通过数列的和求出a3，利用2a2，a6，a8+1成公比大于1的等比数列，求出公差，然后求解数列的通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，S5=15，所以a3=3，2a2，a6，a8+1成公比大于1的等比数列，所以a62=2a2（a8+1），即：（a3+3d）2=2（a3﹣d）（a3+5d+1），所以d=1或d=（舍去），所以a1=a3﹣2d=3﹣2=1．所以a n=n，数列{a n}的通项公式为：a n=n；（2）由（1）可知：设，=n•（）n，T n=1×+2×（）2+3×（）3+…+n•（）n…①；①×2可得：T n=1×（）2+2×（）3+3×（）4+…+（n﹣1）（）n+n•（）n+1…②，①﹣②得：T n=+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1﹣n•（）n+1==1﹣（）n ﹣n•（）n +1．∴T n =2﹣．【点评】本题考查数列求和，数列通项公式的应用，考查计算能力．18．（12分）（2018•濮阳一模）为了更好地让学生适应高考网上阅卷，某学校针对该校20个班级进行了“汉字与英语书法大赛”（2018•濮阳一模）如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ，∠BAD=∠ADC=90°，．（1）线段BC 上是否存在一点E ，使平面PBC ⊥平面PDE ？若存在，请给出的值，并进行证明；若不存在，请说明理由．（2）若，线段PC 上有一点F ，且PC=3PF ，求直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结DE ，PE ，BD ，便可得到BD=DC ，而E 又是BC 中点，从而得到BC ⊥DE ，而由PD ⊥平面ABCD 便可得到BC ⊥PD ，从而得出BC ⊥平面PDE ，根据面面垂直的判定定理即可得出平面PBC ⊥平面PDE ；（2）建立如图所示的坐标系，求出平面PBC 的法向量，即可求直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）=1时，平面PBC ⊥平面PDE ．证明：连结DE ，PE ，BD ，∠BAD=90°，AB=1，DA=，∴BD=DC=2a，E为BC中点，∴BC⊥DE；又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD；∴BC⊥PD，DE∩PD=D；∴BC⊥平面PDE；∵BC⊂平面PBC；∴平面PBC⊥平面PDE；（2）建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），P（0，0，），A（，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），∵PC=3PF，∴F（0，，），∴=（﹣，，），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），∵=（﹣，1，0），=（0，2，﹣），∴，取=（1，，2）．∴直线AF与平面PBC所成角的正弦值=||=．【点评】本题考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．．20．（12分）（2018•濮阳一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，点在椭圆C上，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点B，且．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在过点Q（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得36|QP|2=35|QM|•|QN|？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）设出B的坐标，根据•=0，以及F1为F2B的中点，求出a=2c，得到关于a，b，c的方程，求出椭圆的方程即可；（2）设直线m的范围为y=k（x﹣4），联立方程组得到（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，求出k的范围，设M（x1，y1），N （x2，y2），得到关于k的方程，解出即可．【解答】解：（1）设B（x0，0），由F2（c，0），A（0，b），得=（﹣c，b），=（x0，﹣b），∵•=0，∴﹣cx0﹣b2=0，∴x0=﹣，∵2+=0，∴F1为F2B的中点，∴﹣+c=﹣2c，∴b2=3c2=a2﹣c2，∴a=2c，由，解得，∴椭圆的方程是+=1；（2）由题意得直线m的斜率存在，∴可设直线m的范围为y=k（x﹣4），由，消去y，整理得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由△=（32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，解得：﹣＜k＜，设M（x1，y1），N （x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∵|PQ|2=，∴|QM|•|QN|=，又|QM|•|QN|=×=（k2+1）[x1x2﹣4（x1+x2）+16]=（k2+1）•，∴（k2+1）•=，解得：k=，经检验成立，∴直线方程是y=±（x﹣4）即x+4y﹣4=0或x﹣4y﹣4=0．【点评】本题考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆位置关系的问题，考查分析理解与计算能力．21．（12分）（2018•濮阳一模）设函数f（x）=alnx﹣bx2．（1）当b=1时，讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=1，b=0时，函数g（x）=f（x）﹣kx，k为常数，若函数g（x）有两个相异零点x1，x2，证明：．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出=k，问题转化为证明＞，即证明ln＞，设t=，则t＞1，设h（t）=lnt﹣，（t＞1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）b=1时，f（x）=alnx﹣x2，定义域是（0，+∞），∴f′（x）=（x＞0），①a≤0时，a﹣2x2≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）递减；②a＞0时，f′（x）=，（x＞0），x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（，+∞）递减，在（0，）递增；证明：（2）a=1，b=0时，g（x）=f（x）﹣kx=lnx﹣kx，由g（x）=0，得：lnx=kx，设x1＞x2，∵lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0，∴lnx1+lnx2=k（x1+x2），lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2），∴=k，要证明x1x2＞e2，只需证明lnx1+lnx2＞2，即证明k（x1+x2）＞2，即证明k＞，即证明＞，即证明ln＞，设t=，则t＞1，设h（t）=lnt﹣，（t＞1），则h′（t）=＞0，∴函数h（t）在（1，+∞）递增，∵h（1）=0，∴h（t）＞h（1）=0，∴lnt＞，∴x1x2＞e2．【点评】本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分析理解与计算能力，是一道综合题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）（2018•濮阳一模）在直角坐标系xoy中，圆的参数方程为（θ为参数），直线C1的参数方程为（t为参数）．（1）若直线C1与O圆相交于A，B，求弦长|AB|；（2）以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为，圆O和圆C2的交点为P，Q，求弦PQ所在直线的直角坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）将参数方程化为普通方程，求圆心到直线的距离，利用勾股定理即可求弦长|AB|；（2）将圆C2的极坐标方程化为普通方程，整体代换可得弦PQ所在直线的直角坐标方程．【解答】解：（1）由直线C1的参数方程为（t为参数）消去参数t，可得：x﹣y+1=0，即直线C1的普通方程为x﹣y+1=0．圆的参数方程为（θ为参数），根据sin2θ+cos2θ=1消去参数θ，可得：x2+y2=2．那么：圆心到直线的距离d=故得弦长|AB|=2=．（2）圆C2的极坐标方程为，利用ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，可得圆C2的普通方程为．∵圆O为：x2+y2=2．∴弦PQ所在直线的直角坐标方程为：2=，即．【点评】本题考查点的参数方程和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决问题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018•濮阳一模）已知函数f（x）=|x﹣1|，不等式f（x+5）≤3m（m＞0）的解集为[﹣7，﹣1]（1）求m的值；（2）已知a＞0，b＞0，且2a2+b2=3m，求2a的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）解绝对值不等式求得它的解集为[﹣4﹣3m，3m﹣4]，再根据它的解集为[﹣7，﹣1]，可得，从而求得m的值．（2）根据2a=•a•，利用基本不等式求得它的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣1|，不等式f（x+5）≤3m（m＞0），即|x+4|≤3m，即﹣3m≤x+4≤3m，即﹣4﹣3m≤x≤3m﹣4，即不等式的解集为[﹣4﹣3m，3m﹣4]．再根据它的解集为[﹣7，﹣1]，可得，∴m=1．（2）已知a＞0，b＞0，且2a2+b2=3m=3，∴2a=•a•≤•=2，当且仅当a=时，即a=b=1时，等号成立，故2a的最大值为2．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．。