同步测控九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程能力提升 (新版)北师大版

二次函数与一元二次方程
能力提升
1.已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()
A.k<4
B.k≤4
C.k<4且k≠3
D.k≤4且k≠3
2.(2015陕西中考)下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是()
A.没有交点
B.只有一个交点,且它位于y轴右侧
C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧
3.关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,那么二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是()
5.若抛物线y=x2-(2k+1)x+k2+2与x轴有两个交点,则整数k的最小值是.
6.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根是.
7.已知二次函数y=x 2
+ax+a-2.
(1)求证:不论a 为何实数,此函数图象与x 轴总有两个交点.
(2)设a<0,当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式.
(3)由(2)所得二次函数图象与x 轴交于A ,B 两点,在函数图象上是否存在点P ,使得△PAB 的面积为?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
创新应用 8.据统计,每年由于汽车超速行驶而造成的交通事故是造成人员伤亡的主要原因之一.行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的原因,还要继续向前滑行一段距离才能停住,这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h),对这种汽车的刹车距离进行测试,测得的数据如下表:
刹车时
车速 (km/h)
0 5 10 15 20
25 30 刹车距离(m) 0 0.1 0.3 0.6 1 1.5 2.1
(1)在如图的直角坐标系中以车速为x轴,以刹车距离为y轴,描出这些数据所表示的点,并用光滑的曲线连接这些点,得到某函数的大致图象.
(2)观察图象估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数解析式.
(3)一辆该型号汽车在国道上发生了交通事故,现场测得刹车距离为46.5 m,请推测刹车时速度是多少?请问在事故发生时,汽车是否超速行驶?
参考答案
1.B当函数y=(k-3)x2+2x+1是二次函数时,图象与x轴有交点,
则解得
∴k≤4且k≠3.
当k=3时,函数y=2x+1,是一次函数,此时直线与x轴有交点,
综上可知,当k≤4时,函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点.
2.D y=ax2-2ax+1=a(x-1)2-a+1.∵a>1,∴-a+1<0,∴抛物线y=ax2-2ax+1的顶点在第四象限.又抛物线与y轴交于点(0,1),且开口向上,∴抛物线与x轴交点有两个,它们均位于y轴右侧.
3.A∵一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,
∴抛物线y=x2-x-n与x轴没有交点,且开口向上,对称轴x=,在y轴右侧,
∴抛物线顶点在第一象限.
4.C由x1+x2=4,x1·x2=3,知x1,x2都是正数,∴抛物线与x轴相交于x轴的正半轴.故选C.
5.2由题意,得[-(2k+1)]2-4(k2+2)>0.解得k>,∴整数k的最小值是2.
6.x1=1,x2=2∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m(m为常数),
∴该抛物线的对称轴是x=.
又二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),
∴根据抛物线的对称性质知,该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0).
∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根分别是x1=1,x2=2.
7.(1)证明:∵Δ=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,
∴不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点.
(2)解:设x1,x2是x2+ax+a-2=0的两个根,
则x1+x2=-a,x1·x2=a-2.
∵两交点的距离是,
∴|x1-x2|=,
即(x1-x2)2=13,
变形为(x1+x2)2-4x1·x2=13,
∴(-a)2-4(a-2)=13.
整理得(a-5)(a+1)=0,
解得a=5或a=-1.
∵a<0,∴a=-1.
∴此二次函数的解析式为y=x2-x-3.
(3)解:设点P的坐标为(x0,y0),
∵函数图象与x轴的两个交点间的距离等于,∴AB=.
∴S△PAB=AB·|y0|=,
即,即|y0|=3,则y0=±3.
当y0=3时,-x0-3=3,即(x0-3)·(x0+2)=0,解得x0=-2或3.
当y0=-3时,-x0-3=-3,
即x0(x0-1)=0,解得x0=0或1.
综上所述,存在这样的点P,点P坐标是(-2,3)或(3,3)或(0,-3)或(1,-3).
8.解:(1)描点,连线(画出函数图象如图).
(2)根据图象可估计为抛物线.
设y=ax2+bx+c.
把表内前三对数代入函数解析式,可得
解得
∴y=0.002x2+0.01x.
经检验,其他各数均满足这个函数.
(3)当y=46.5 m时,
即46.5=0.002x2+0.01x,
整理可得x2+5x-23 250=0,解得x1=150,x2=-155(不符合题意,舍去).
∴可以推测刹车时速度为150 km/h.
∵150>140,∴汽车发生事故时超速行驶.。