桂林电子科技大学第五届数学竞赛试卷(非数学专业)

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………………………………………………………………… 密 封 线 内 不 得 答 题 ………………………………………………… 桂林电子科技大学第五届大学生数学竞赛试卷(非数学专业)
（时长：120分钟，请直接在本卷上作答，请写好学院和学号）
题号 一
二
三
四
五
六
七
八
成绩
满分 20
10
10
10
15
15
10
10
100
得分
一、填空题（每小题5分，共20分）
1. ()n
f x x =过点（1,1）的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则lim ()n n f ξ→∞
=________. 2. 当0x →时，()⎰+2
02
1ln x dt t 是23
x 的________ 阶无穷小.
3. 有向曲线L 是以（1,0）为圆心，2为半径的正向圆周，则=+-⎰L
y
x ydx
xdy 2
24_______. 4. 直线11:011x y z L -==与直线22
:210
x y z L +==-之间的距离为________. 二、（10分）求极限n
n n n n n 1
22
22
2
1211
1lim ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+∞
→ .
三、（10分）设1)0(=g ，)(x g 有连续二阶导数，⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0,
,
0,cos )()(x a x x
x x g x f (1) 确定a 值，使得()f x 在0x =处连续; (2) 当()f x 连续时，讨论/()f x 的连续性.
四、（10分）求定积分dx x n ⎰-π
02sin 1 （n 为正整数）.
五、（15分）设()f x 在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且0)(1
0=⎰dx x f ，证明：存
在(0,1)ξ∈，使得 /()2()0f f ξξξ+=.
六、（15分）若(
)dxdy y x y
x f x t f D ⎰⎰⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+++
=22221)(，0,0,:222
≥≥≤+y x t y x
D ，求().f t
七、（10分）求椭球面2222321x y z ++=上点0000(,,)P x y z 处的切平面，使该切平面过
已知直线L ：
6321
212
x y z ---==-.
八、（10分）（从下列两题中任选一题做，选多也只算一题的得分）
1. 判定111(ln )n n n
n ∞
=+-∑的敛散性，并证明11
1 (2)
lim 1ln n n n →∞+++=. 2. 设2
2
2
:1,x y z Ω++≤ 证明：33428225.33x y z dv ππ
Ω
≤+-+≤⎰⎰⎰。