七年级下册数学课件(湘教版)提单项式公因式
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z2的因式是 z 和 z 每一项中均有因式 z
yz的 因式是 y 和 z
提单项式公因式分解因式
合作探究
问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
pa+pb+pc x2＋x
相同因式p
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个
多项式的公因式.
pa+ pb +pc = p ( a+b+c )
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以 把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与 另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法 叫做提公因式法.
典例精析
分析：第3项的因式有哪些？
例1 把 5x2 3xy x 因式分解．
解：原式 x 5x x 3y x 1
x5x 3y 1
注意:例1中括号内的第3项为1
例2 把
因式分解.
分析：先确4定x2公 6因x 式的系数，再确定字母.系数为4和
6，最大公因数是2；两项的字母部分x2与x都含有字
例4 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
解：(1)原式＝3×13×37－13×91 ＝13×(3×37－91) ＝13×20＝260；
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公 因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
例5 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所 求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b 和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带 入即可.
1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（ C ）
解：原式= - x(x+y-z).
提出负号时括号里的 项没变号
错误
正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z)
注意：首项有负常提负.
归纳总结
找多项式的公因式的方法 （1）系数——各项系数的最大公因数; （2）字母——各项相同字母； （3）指数——各项相同字母的最低次幂.
一看系数 二看字母 三看指数
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)9 m 2n-6mn (5)-6 x 2 y-8 xy 2
3 a a2
3mn -2xy
小亮的解法有误吗？ 把3x2 - 6xy+x分解因式. 解：原式 =x(3x-6y).
错误
当多项式的某一项和公因式相同 时，提公因式后剩余的项是1.
问题2 如何确定一个多项式的公因式？ 找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
3
系数：最 大公约数
x
1
字母：相同
的字母
指数：相同字母的 最低次数
所以公因式是3x
正确找出多项式的公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母的最低次数.
正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x =x(3x-6y+1)
注意：某项提出莫漏1.
小明的解法有误吗？ 把12x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y).
错误
公因式没有提尽，还可以提 出公.
注意：公因式要提尽.
小华的解法有误吗？ 把 - x2+xy-xz分解因式.
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n
D ．5mn2
2.下列多项式的分解因式，正确的是（ A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz） B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2） C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z） D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）
B）
3.把下列各式分解因式： (1)8 m2n+2mn=__2_m_n_(_4_m__+_1_)__； (2)12xyz-9x2y2=_3_x_y_(_4_z_-3_x_y_)___； (3) -x3y3-x2y2-xy=_-_x_y_(_x_2y_2_+_x_y_+_1_)__；
第3章 因式分解 3.2 提公因式法
第1课时
学习目标
1.理解公因式及提公因式法的概念.（重点） 2.能运用提公因式法分解因式.（难点）
回顾与思考
问题：整数18，42，60的最大公因数是什么？ 6 18=6×3 42=6×7 60=6×10
思考：多项式 z2+yz 中每一项的因式分别是什么？ 你发现什么？
1.提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式. 2.确定公因式的方法：
一看系数 二看字母 三看指数 3.用提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）小心漏掉； （3）多项式的首项取正号.
(2) 原式=2013(2013+1)-20142 =2013×2014-20142=2014×(2013-2014) =-2014．
(3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100.
6.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. 解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
4.把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
解：原式= ( 24x312x2 28x) = 4x ( 6x2 3x 7)
5.简便计算： (1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013-20142; (3)(-2)101+(-2)100. 解：(1) 原式=1.99(1.99+0.01)=3.98；
母x，且x的最低次数是1，所以公因式为2x.
解：原式 2x 2x 2x 3 2x(2x 3)
找出公因式 提取公因式得到另一个因式写成积的形式
例3 把 8x2 y4 12xy2 z 因式分解．
解: 8x2 y4 12xy2 z
4xy2 2xy2 4xy2 3z
4xy2 2xy2 3z
yz的 因式是 y 和 z
提单项式公因式分解因式
合作探究
问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
pa+pb+pc x2＋x
相同因式p
相同因式x
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个
多项式的公因式.
pa+ pb +pc = p ( a+b+c )
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以 把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与 另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法 叫做提公因式法.
典例精析
分析：第3项的因式有哪些？
例1 把 5x2 3xy x 因式分解．
解：原式 x 5x x 3y x 1
x5x 3y 1
注意:例1中括号内的第3项为1
例2 把
因式分解.
分析：先确4定x2公 6因x 式的系数，再确定字母.系数为4和
6，最大公因数是2；两项的字母部分x2与x都含有字
例4 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
解：(1)原式＝3×13×37－13×91 ＝13×(3×37－91) ＝13×20＝260；
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公 因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
例5 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． 解：∵a＋b＝7，ab＝4， ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所 求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b 和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带 入即可.
1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（ C ）
解：原式= - x(x+y-z).
提出负号时括号里的 项没变号
错误
正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z)
注意：首项有负常提负.
归纳总结
找多项式的公因式的方法 （1）系数——各项系数的最大公因数; （2）字母——各项相同字母； （3）指数——各项相同字母的最低次幂.
一看系数 二看字母 三看指数
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)9 m 2n-6mn (5)-6 x 2 y-8 xy 2
3 a a2
3mn -2xy
小亮的解法有误吗？ 把3x2 - 6xy+x分解因式. 解：原式 =x(3x-6y).
错误
当多项式的某一项和公因式相同 时，提公因式后剩余的项是1.
问题2 如何确定一个多项式的公因式？ 找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
3
系数：最 大公约数
x
1
字母：相同
的字母
指数：相同字母的 最低次数
所以公因式是3x
正确找出多项式的公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母的最低次数.
正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x =x(3x-6y+1)
注意：某项提出莫漏1.
小明的解法有误吗？ 把12x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y).
错误
公因式没有提尽，还可以提 出公.
注意：公因式要提尽.
小华的解法有误吗？ 把 - x2+xy-xz分解因式.
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n
D ．5mn2
2.下列多项式的分解因式，正确的是（ A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz） B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2） C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z） D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）
B）
3.把下列各式分解因式： (1)8 m2n+2mn=__2_m_n_(_4_m__+_1_)__； (2)12xyz-9x2y2=_3_x_y_(_4_z_-3_x_y_)___； (3) -x3y3-x2y2-xy=_-_x_y_(_x_2y_2_+_x_y_+_1_)__；
第3章 因式分解 3.2 提公因式法
第1课时
学习目标
1.理解公因式及提公因式法的概念.（重点） 2.能运用提公因式法分解因式.（难点）
回顾与思考
问题：整数18，42，60的最大公因数是什么？ 6 18=6×3 42=6×7 60=6×10
思考：多项式 z2+yz 中每一项的因式分别是什么？ 你发现什么？
1.提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式. 2.确定公因式的方法：
一看系数 二看字母 三看指数 3.用提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）小心漏掉； （3）多项式的首项取正号.
(2) 原式=2013(2013+1)-20142 =2013×2014-20142=2014×(2013-2014) =-2014．
(3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100.
6.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. 解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
4.把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
解：原式= ( 24x312x2 28x) = 4x ( 6x2 3x 7)
5.简便计算： (1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013-20142; (3)(-2)101+(-2)100. 解：(1) 原式=1.99(1.99+0.01)=3.98；
母x，且x的最低次数是1，所以公因式为2x.
解：原式 2x 2x 2x 3 2x(2x 3)
找出公因式 提取公因式得到另一个因式写成积的形式
例3 把 8x2 y4 12xy2 z 因式分解．
解: 8x2 y4 12xy2 z
4xy2 2xy2 4xy2 3z
4xy2 2xy2 3z