江苏省前黄高级中学2020—2021学年高三第一学期第一次学情检测 数学试卷

各题目指．定．的区域内相应位置,否则，该答题无效. 4. 书写力求字体工整、笔迹清楚.
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题 目要求的）
1、已知集合 A = y | y =| x | −1, x R ， B = x | x 2 ，则下列结论正确的是（ ）
对数的底 e ，圆周率 ，虚数单位 i ，自然数的单位 1 和零元 0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最
i
完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数 z = e 4 的共轭复数为 z ，则 z = （ ）
A． − 2 − 2 i 22
B． − 2 + 2 i 22
C． 2 + 2 i 22
D． 2 − 2 i 22
3
4
3 4 12
所以
sin
C
=
sin
5π 12
=
sin
π 4
+
π 6
=
sin
π 4
cos
π 6
+
cos
π 4
sin
π 6
=
6+ 4
2，
所以 S△ABC
=
1 2
ab sin
=
1 2
3
2
6+ 4
2 = 3+ 3 ． 4
18、解：（Ⅰ）设公差为 d 的等差数列{an} 中， a1 = 2 ， a3 + a5 = 10 ．
省前中高三第一学期第一次学情检测
数学试卷参考答案
一、单选题：CDACB CDA 二、多选题：ABD ACD ABD
三、填空题：48
22
四、解答题：
AC
−
1 2
,
10 2
−1
3； [1, 4]
17、解：若选择① b2 + 2ac = a2 + c2 ，
则由余弦定理得 cos B = a2 + c2 − b2 = 2ac = 2 ，
.22、【本题满分 14分】
已知函数 f (x) = ex − ax2 (a R)
（1）若曲线 f (x) 与直线 l : y = (e − 2)x + b(b R) 在 x = 1 处相切. ①求 a + b 的值； ②求证：当 x 0 时， f (x) (e − 2)x + b ； （2）当 a = 0 且 x (0, +) 时，关于的 x 不等式 x2 f (x) mx + 2ln x + 1 有解，求实数 m 的取值范围.
A. 8
B. 6
C. 12
） D. 9
7、已知正方形 ABCD 的边长为 1，P 为平面 ABCD 内一点，则 (PA + PB) (PC + PD) 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C． −2
D． −1
8、已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f ( x + 4) = − f ( x) ，当 x −2, 0) 时， f ( x) = ex ，则
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13、在等差数列{an}中， a1 + 3a8 + a15 = 120，则 3a9 − a11 的值为_________．
14、公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约
为 0.618，这一数值也可以表示为 m = 2sin18 .若 m2 + n = 4 ，则 m + n =
A． −3 A
B． 3 B
C． A B = B
D． A B = B
2、据记载，欧拉公式 eix = cos x + i sin x(x R) 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中
的天桥”．特别是当 x = 时，得到一个令人着迷的优美恒等式 ei +1 = 0 ，将数学中五个重要的数（自然
(附： Z ~ N(, 2) ，则 P( − Z + ) = 0.6827, P( − 2 Z + 2 ) = 0.9545)
A．3 6014
B．72 027
C． 108 041
D． 168 222
6、若 a b a + 2b = 1, 则 2 + 3a +1 的最小值为（ ab
省前中高三第一学期第一次学情检测
数学试卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上． 2. 第Ⅰ卷的答案须用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号. 3. 答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用 0.5mm 的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的
3、我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万
事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数的图
( ) 象的特征，如函数 f (x) =
ex
−1 sin ex +1
x
在区间
−
2
, 2
上的图象的大致形状是（
）
另外，定义区间 F ( x) 的“复区间长度”为 2(b − a) ，已知函数 f ( x) = x2 −1 ，则（ ）
A. 0,1是 f ( x) 的一个“完美区间”
B.
1−
2
5 ,1+ 2
5
是
f
(
x)
的一个“完美区间”
C. f ( x) 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 3 + 5
D. f ( x) 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 3 + 2 5
20、【本题满分 12 分】 自 2018 年 9 月 6 日美拟对华 2000 亿美元的输美商品加征关税以来，中美贸易战逐步升级，我国某种出口
产品的关税税率为 t ，市场价格 x (单位：千元)与市场供应量 p (单位：万件)之间近似满足关系式： p = 2(1−kt)(x−b)2 ，其中 k, b 均为常数．当关税税率 t = 75% 时，若市场价格为 5 千元，则市场供应量约为 1
整理得
2a1
a1 = 2 + 6d =
10
，解得
ad1
=2 =1
，
所以 an = a1 + (n −1) = n + 1．
由于 bn = 2 an ，所以 bn = 2n+1 ， bn−1 = 2n ， 整理得 bn = 2 （常数），
bn−1 所以数列{bn} 是以 b1 = 22 = 4 为首项，2 为公比的等比数列．
万件；若市场价格为 7 千元，则市场供应量约为 2 万件．
(1)试确定 k, b 的值；
(2)市场需求量 q (单位：万件)与市场价格 x 近似满足关系式：q = 2−x ，当 p = q 时，市场价格称为市
场平衡价格，当市场平衡价格不超过 4 千元时，试确定关税税率的最大值． 21、【本题满分 12 分】
的是（ ）
A. d 0
B. a7 = 0
C. S9 S5
D. S6与S7均为Sn的最大值
10、函数 y = Asin (x + ) （ A 0 ， 0 ， 0 π ）在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A．该函数的解析式为
y
=
2
sin
2 3
x
+
π 3
B．该函数的对称中心为
kπ
−
π 3
则
2
sin
B
+
π 4
=
2
，所以
sin
B
+
π 4
=
1
，
因为
B
ห้องสมุดไป่ตู้
(
0,
π
)
，所以
B
+
π 4
π 4
,
5π 4
，
所以 B + π = π ，所以 B = π ．
42
4
由正弦定理 a = b ， sin A sin B
得 a = b sin A =
2 3 2=
3．
sin B
2
2
因为 A = π ， B = π ，所以 C = π − π − π = 5π ，
C．设 x ， y R ，则“ x 2 且 y 2 ”是“ x + y 4 ”的必要不充分条件 D．设 a ， b R ，则“ a 0 ”是“ ab 0 ”的必要不充分条件
12.定义：若函数 F ( x) 在区间a，b 上的值域为a，b ，则称区间a，b 是函数 F ( x) 的“完美区间”，
6
2
（1）由| a |2 = ( 3 sin x)2 + (sin x)2 = 4sin2 x ，| b |= (cos x)2 + (sin x)2 =1 ，及| a |=| b | ，得 4sin2 x = 1，
A．
B．
C．
D．
4、 已知各项均为正数的等比数列{an}的前 4 项和为15 ，且 a5 = 3a3 + 4a1 ，则 a3 = （ ）
A．16
B． 8
C． 4
D． 2
5、已知参加 2020 年某省夏季高考的 53 万名考生的成绩 Z 近似地服从正态分布 N (453,992 ) ，估计这些
考生成绩落在（552，651]的人数约为（ ）
．
sin63
15、在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， AB ⊥ AD, DC // AB, AD = CD = 1, AB = 2 ,
E, F 分别为 AB，AC 的中点，设以 A 为圆心， AD 为半径的圆弧 DE 上的
动点为 P (如图所示)，则 AP • PF 的取值范围是 ______________.
2ac
2ac 2
因为 B (0, π) ，所以 B = π ．
4 若选择② a cos B = bsin A，
则 sin Acos B = sin Bsin A ，
因为 sin A 0 ，所以 sin B = cos B ，
因为 B (0, π) ，所以 B = π ．
4
若选择③ sin B + cos B = 2 ，
（Ⅱ）由于数列{bn} 是以 b1 = 22 = 4 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 bn = 4 2n−1 = 2n+1 ．
所以 an + bn = 2n+1 + n + 1 ，
故：
Sn
=
4(2n −1) 2 −1
+
n(2
+n 2
+ 1)
=
2n+2
+
n(n + 2
3)
−
4．
19、（1） x = π ；（2） 3 ．
．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、【本题满分 10 分】
在① b2 + 2ac = a2 + c2 ，② a cos B = b sin A ，③ sin B + cos B = 2 这三个条件中任选一个，补充在
下面的问题中，并解决该问题．
,
0
，
k
Z
C．该函数的单调递增区间是
3kπ
−
5π 4
,
3kπ
+
π 4
，
k
Z
D．把函数
y
=
2 sin
x
+
π 3
的图象上所有点的横坐标变为原来的
3 2
倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
11、下面命题正确的是（ ）
A．“ a 1”是“ 1 1 ”的充分不必要条件 a
B．命题“对任意 x R ， x2 + x +1 0 ”的否定是“存在 x R ，使得 x2 + x +1 0 ”
（Ⅱ）求数列{an + bn} 的前 n 项和． 19、【本题满分 12 分】
设向量 a = ( 3 sin x,sin x) ， b = (cos x,sin x) ， x [0, π ] ． 2
（1）若 | a |=| b | ，求 x 的值；
（2）设函数 f (x) = a b ，求 f (x) 的最大值．
已知函数 y = f ( x) ，若在定义域内存在 x0 ，使得 f (−x0 ) = − f ( x0 ) 成立，则称 x0 为函数 f ( x) 的局部对
称点.
（1）证明：函数 f ( x) = 2x −1在区间−1, 2 内必有局部对称点； （2）若函数 f ( x) = 4x − m 2x+1 + m2 − 3 在 R 上有局部对称点，求实数 m 的取值范围.
已知 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ________， A = π ，b = 3
18、【本题满分 10 分】
2 ，求△ABC 的面积．
已知在等差数列{an} 中， a1 = 2 ， a3 + a5 = 10 ．
（Ⅰ）设 bn = 2an ，求证：数列{bn} 是等比数列；
f (2018) + f (2021) + f (2022) 等于（ ）
1
A.
B. − 1
C. −e
D. e
e
e
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9、设 an(n N *) 是等差数列，d 是其公差，Sn 是其前 n 项和.若 S5 S6, S6 = S7 S8, 则下列结论正确
16、已知函数 f (x) ，对于任意实数 x [a,b] ，当 a x0 b 时，记| f (x) − f (x0 ) | 的最大值为 D[a,b](x0 ) .
①若 f (x) = (x −1)2 ，则 D[0,3](2) =
；
②若
f
(x)
=
− x 2 2 −
− 2x, x −1 ,
x 0, x 0, 则 D[a,a+2] (−1) 的取值范围是