数学选修2-2教案

数学选修2-2教案
【篇一：北师大版数学选修2-2全套教案】
第一章推理与证明
课题：合情推理（一）——归纳推理
课时安排：一课时课型：新授课
教学目标：
1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发
现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现
一般性规律的重要方法。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。

教学过程：
一、课堂引入：
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，
据此可分为合情推理与演绎推理
二、新课讲解：
1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥
蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼
吸的。

2、三角形的内角和是180?，凸四边形的内角和是360?，凸五边
形的内角和是540?
由此我们猜想：凸边形的内角和是(n?2)?180?
3、22?122?222?1?,?,?,33?133?233?3，由此我们猜想：aa?m?（a,b,m均为正实数） bb?m
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象
都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为
归纳推理.(简称：归纳)
归纳推理的一般步骤：
⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；
⑵提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶检验猜想。

三、例题讲解：
例1已知数列?an?的通项公式an?1(n?n?)，
f(n)?(1?a1)(1?a2)???(1?an)，试通过计算2(n?1)
f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)的值。

【学生讨论：】（学生讨论结果预测如下）
（1）f(1)?1?a1?1?
13? 4413824f(2)?(1?a1)(1?a2)?f(1)?(1?)????)
9493612155f(3)?(1?a1)(1?a2)(1?a3)?f(2)?(1?)???
163168
1
由此猜想，f(n)?n?2 2(n?1)
学生讨论：1）哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数可以表示为两个素数的之和。

2）三根针上有若干个金属片的问题。

四、巩固练习：
11135f(n?)???????n?n(?，经)计算: f(2)?,f(4)?2,f(8)?, 23n22
7f(16)?3,f(32)?，推测当n?2时，有
__________________________. 2
332222222、已知：sin30?sin90?sin150?，sin5?sin65?sin125?。

221、已知
观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之。

3、观察（1）tan10tan20?tan20tan60?tan60tan10?1
（2）tan5tan10?tan10tan75?tan75tan5?1。

由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。

注：归纳推理的几个特点：
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了
前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因
而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的
基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带
有规律性的结论.
五、教学小结：
1.归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。

通常归纳的个
体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，
它是一种发现一般性规律的重要方法。

2.归纳推理的一般步骤：1)通过观察个别情况发现某些相同的性质。

2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。

课题：类比推理
●教学目标：
（一）知识与能力：
通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问
题的发现中去。

（二）过程与方法：
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系
就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

（三）情感态度与价值观：
1．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察
事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于
发现问题，探求新知识。

2．认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。

●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。

●教具准备：与教材内容相关的资料。

●课时安排：1课时
●教学过程：
一．问题情境
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是
木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这
桩倒霉事却使他发明了锯子.
2
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
二．数学活动
我们再看几个类似的推理实例。

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质：猜想不等式的性质：
(1) a=b?a+c=b+c; (1) a＞b?a+c＞b+c;
(2) a=b? ac=bc;(2) a＞b? ac＞bc;
(3) a=b?a2=b2;等等。

(3) a＞b?a2＞b2;等等。

问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶检验猜想。

即
papbpc???1hahbhc3 例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形abc三条边上的高.p为三角形内任一点,p到相应三边的距离分别为
pa,pb,pc,我们可以得到结论:
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
巩固提高
1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的
猜想．
么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{an}是等和数列，且a1?2，公和为5，那么a18的值为
______________，这个数列的前n项和sn的计算公式为
________________
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似
性质。

类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关
系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

2．类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命
题（猜想）
不等式证明一（比较法）
比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。

比较法分为：作
差法和作商法
一、作差法：若a，b∈r，则： a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a －b＜0?a＜b
它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论.
作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比
较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。

作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进
而判定其符号，得出结论.
4
例1、求证：x2 + 3 3x
证：∵(x2 + 3) ? 3x = x?3x?()?()?3?(x?)?
例2：已知a, b, m都是正数，并且a b，求证：23223223223?0，∴x2 + 3 3x 4a?ma? b?mb
证：a?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a) ，∵a,b,m都是正数，并且
ab， ???b?mbb(b?m)b(b?m)
a?mam(b?a)? ?0 即：b?mbb(b?m)∴b + m 0 , b ? a 0∴
变式：若a b，结果会怎样？若没有“a b”这个条件，应如何判断？
例3：已知a, b都是正数，并且a ? b，求证：a5 + b5 a2b3 +
a3b2
证：(a5 + b5 ) ? (a2b3 + a3b2) = ( a5 ? a3b2) + (b5 ? a2b3 )
= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3)= (a + b)(a ?
b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 0，又∵a ? b，∴(a ? b)2 0
∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) 0，即：a5 + b5 a2b3 + a3b2
例4：甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间
以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n行走，如果m ? n，问：甲乙谁先到达
指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为s，甲乙两人走完
全程所需时间分别是t1, t2，则：
t1tm?1n?s,222ss(m?n)ss,t2???t2 可得：t1? m?n2mn2m2n
2ss(m?n)s[4mn?(m?n)2]s(m?n)2
∴t1?t2? ????m?n2mn2(m?n)mn2mn(m?n)
∵s, m, n都是正数，且m ? n，∴t1 ? t2 0即：t1 t2从而：甲先到到达指定地点。

例5：是一道利用不等式解决实际问题的例题.我们先用类比列方程解应用题的步骤，然后参考列方程解应用题的步骤，分析题意，设
未知数，找出数量关系(函数关系、相等关系或不等关系)，列出函数关系、等式或不等式，求解，作答等.整个解答过程体现了比较法解决不等关系等实际问题中发挥着重要的作用.
变式：若m = n，结果会怎样？
二、作商法：若a0，b0，则：aaa＞1?a＞b；＝1?a＝b；＜1?a＜
b bbb
它的三个步骤：作商——变形——判断与1的大小——结论.
作商法是当不等式两边为正的乘积形式时，通过作商把其转化为证明左/右与1的大小。

例5、设a, b ? r，求证：ab?(ab)
+aba?b2?abba 5
【篇二：高中数学选修2-2教案(完整版)(每课都有三维
目标)】
教学过程：
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了
函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科
学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变
化的快慢程度．
二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积v(单位:l)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是v(r)?
43?r 3
如果将半径r表示为体积v的函数,那么r(v)?3v 4?
分析: r(v)?3v， 4?
⑴当v从0
增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm) 气球的平均膨胀率
为
r(1)?r(0)
?0.62(dm/l)
1?0
⑵当v从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm)
1
气球的平均膨胀率为
r(2)?r(1)
?0.16(dm/l)
2?1
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从v1增加到v2时,气球的平均膨胀率是多少?
r(v2)?r(v1)
v2?v1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员
在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：
0?t?0.5和1?t?2的平均速度
h(0.5)?h(0)
?4.05(m/s)；
0.5?0h(2)?h(1)
??8.2(m/s) 在1?t?2这段时间里，v?
2?165
探究：计算运动员在0?t?这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49
在0?t?0.5这段时间里，v?
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(
65
)?h(0)， 49
65
)?h(0)
所以v??0(s/m)，
65?049
65
虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是
运动员仍然运动，并非静
49
h(
止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子
f(x2)?f(x1)
表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
x2?x1
2．若设?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1) (这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+?x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1)) 3．则平均变化
率为
f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f
?? ??x?xx2?x1?x
思考：观察函数f(x)的图象
2
平均变化率
?f
??x
三．典例分析
2
例1．已知函数f(x)=?x?x的图象上的一点a(?1,?2)及临近一点
b(?1??x,?2??y),则解：?2??y??(?1??x)2?(?1??x)，
?y
?． ?x
?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x ∴?x?x
例2．求y?x2在x?x0附近的平均变化率。

?y(x0??x)2?x02
解：?y?(x0??x)?x0，所以 ?
?x?x
2
2
x0?2x0?x??x2?x0??2x0??x
?x
所以y?x2在x?x0附近的平均变化率为2x0??x
四．课堂练习
1．质点运动规律为s?t?3，则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为． 3
2
22
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 25?3?t
五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率
六．布置作业
教后感：
4
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率
65
这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
65
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h()?h(0)，
49
65h()?h(0)
所以v
?49?0(s/m
)，
65?
049
65
虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情
49
二．新课讲授
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不
能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t?2时的瞬时速度是多少？考察t?2附近的情况：
（二）探究：计算运动员在0?t?
思考：当?t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？
5
【篇三：选修2-2数学归纳法教案】
高中选修2-2 2.3《数学归纳法》教学设计
一、教材分析数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数
学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步
学习数学、领悟数学思想至关重要.数学归纳法的证明过程中展现的
推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范.学习数学归纳法后
学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的
解决有了新的方法.首先，我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例
得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，这是研究数学问题，
猜想或发现数学规律的重要手段.但是，由有限多个特殊事例得出的
结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法.因此，在不
完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——
数学归纳法，这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节，
掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维
能力、体验数学内在美的好素材.
二、教学目标
1．知识目标
（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，初步理
解数学归纳法原理.
（2）能以递推思想为指导，理解数学归纳法证明数学命题的两个步
骤一个结论.
（3）初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式.
2. 能力目标
（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力.
（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识
的构建过程, 体会类比的数学思想.
（3）在学习中培养学生大胆猜想，小心求证的辨证思维素质以及
发现问题、
提出问题的意识和数学交流的能力.
3. 情感目标
（1）通过对数学归纳法原理的探究，亲历知识的构建过程，领悟其
中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点.
（2）体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟数学的内在美，激
发学生学习热情，使学生喜欢数学.
（3）学生通过置疑与探究，初步形成正确的数学观，创新意识和严
谨的科学精神.
三、教学重点与难点
1．教学重点
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运
用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中
归纳假设的运用和恒等变换的运用.
2．教学难点
（1 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性.
（2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当
n?k?1时结论正确.
四、教学方法
本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切
从学生出发.在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望.
师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米
诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数n有关
的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力.既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又
强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性.
五、教学过程
（一）创设情境，提出问题
情景一：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学
写字.这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横??”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的.
情境二：平面内三角形内角和是180?，四边形内角和是2?180?，
五边形内角和是3?180?，于是得出：凸n边形内角和
是?n?2??180? .
情境三：数列{an}的通项公式为an??n2?5n?5?可以求得2
a1?1,a2?1,a3?1,a4?1于是猜想出数列{an}的通项公式为an?1.
情景四：粉笔盒中有10支白色粉笔，怎么证明它们是白色的呢？
结论：情景一到情景三都是由殊事例得出的一般性结论，即不完全
归纳法不一定正确.因此,它不能作为一种论证方法，情景四是完全归
纳法，结论可靠但要一一核对,工作量大.
提出问题：如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？我
们本节课要学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一.
（二）实验演示，探索解决问题的方法
1．几何画板演示动画多米诺骨牌游戏，师生共同探讨：要让这些骨牌全部倒下，必须具备哪些条件呢①第一块骨牌必须倒下.
②两块连续的骨牌，当前一块倒下一定导致后一块倒下.
可以看出，条件②事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，
相邻的第k?1 块也倒下.
这样，只要第1块倒下，其他所有的就能够相继倒下.无论多少块，
只要①②成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.
演示小节：数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样.
2．数学归纳法原理
证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）当n取第一个值n0（n0??*）时命题成立；（2）（归纳递推）假设当n?k?k??*,k?n0?时命题成立，证明当n?k?1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n 都成立.
上述证明方法称为数学归纳法.
主要有两个步骤、一个结论: 其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡.这两步缺一不可.只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础.
（注：数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的重要方法.在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.”）
（三）迁移应用，理解升华
例1 用数学归纳法证明：如果{an} 是一个等差数列，那么
an?a1??n?1?d 对于一切n??* 都成立.
证明: (1)当n?1 时,左边?a1, 右边?a1??1?1?d?a1,结论成立
(2)假设当n?k 时结论成立，即 ak?a1??k?1?d
则当n?k?1 ak?1?ak??a1??k?1?d?d 用假设
?a1?[?k?1??1]d
? 当n?k?1时，结论也成立.
由(1)和(2)知,等式对于任何n??*都成立.
例2 已知数列{an}其通项公式为an?2n?1,试猜想该数列的前n项和公式sn,并凑结论 n?k 到n?k?1 有什么变化
用数学归纳法证明你的结论.
解：（1）s1?a1?1s2?s1?a2?1?3?4
s3?s2?a3?4?5?9 s4?s3?a4?9?7?16
(2) 猜想sn?n2,问题转化为证明1?3?5???2n?1?n2.
证明:（1）当n?1时,左边=1,右边=1,等式是成立的.
(2) 假设当n?k时等式成立，即有
1?3?5????2k?1??k2
则当n?k?1,有
1?3?5????2k?1??[?2k?1??1]
?k2?[?2k?1??1]
?k?2k?1
??k?1?2
因此，当n?k?1时，等式也成立
由(1)和(2)知,等式对于任何n??*都成立.
（四）反馈练习，巩固提高
课堂练习：课本第95页练习1，2
（五）课堂小结：让学生归纳本节课所学内容，不足的老师补充.
1. 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法
2. 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推思想，证明程序为，两个步骤一个结论.
3数学归纳法的科学性：基础正确，可传递.用有限的步骤证明无限的结论.
（六）布置作业
课本第96页习题 2.3 a组1、2. 2。