第02讲-常用逻辑用语(解析版)
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第02讲常用逻辑用语
一、考情分析
1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系;
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义;
3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定;能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.
二、知识梳理
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件p q且q⇒p
p是q的充要条件p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件p q且q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
(2)存在量词:短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.
3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为⌝p,读作“非p”)
名称
全称命题存在性命题
形式
结构对M中的所有x,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立
简记∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)
否定∃x0∈M,⌝p(x0)∀x∈M,⌝p(x)
[方法技巧]
1.区别A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B A ),与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A B )
两者的不同.
2.A 是B 的充分不必要条件⇔綈B 是綈A 的充分不必要条件.
3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.
三、 经典例题
考点一 充分条件与必要条件的判断
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减,且0A π<<,0B π<<,
由cos cos A B <,可得A B >,a b ∴>,由正弦定理可得sin sin A B >. 因此,“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选:C.
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数()f x 为R 上的增函数⇒不等式()(0.001)f x f x <+恒成立,反之不成立,
∴“()f x 是增函数”是“不等式()(0.001)f x f x <+恒成立”的充分不必要条件.
故选:A
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】必要性显然成立;下面来证明充分性, 若()12
n n n a a S +=
,所以当2n 时,()
111(1)2n n n a a S ---+=,
所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+,化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①, 所以当3n 时,211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②,
①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+,所以122n n n a a a --=+,即数列{}n a 是等差数列,充分性得证,所以“()12
n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件.
故选:C.
规律方法 充要条件的两种判断方法 (1)定义法:根据p ⇒q ,q ⇒p 进行判断.
(2)集合法:根据使p ,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 考点二 全称量词与存在量词
A .[]
01,3x ∃∈-,2
00320x x -+> B .[]
1,3x ∀∉-,2320x x -+> C .[]1,3x ∀∈-,2320x x -+> D .[]
01,3x ∃∉-,2
00320x x -+>
【答案】A
【解析】因为全称命题的否定是特称命题,
所以命题“[]
1,3x ∀∈-,2320x x -+≤”的否定为“[]
01,3x ∃∈-,2
00320x x -+>”. 故选A .
A .x R ∀∈, 22x x >
B .x R ∃∈,22x x <
C .x R ∀∈,22x x ≤
D .x R ∃∈,22x x ≤
【答案】C
【解析】命题是特称命题,则命题的否定是全称命题, 即x R ∀∈,22x x ≤.
规律方法 1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和存在性命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决. 考点三 充分条件、必要条件的应用
【答案】充分不必要
【解析】若p 为真命题:当1k =时,对于任意x ∈R ,则有20>恒成立;
当1k ≠时,根据题意,有()()2
10
1810
k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩,解得19k <<. 所以19k ≤<;
若q ⌝为真命题:2x ∀>,227
2
x k x -≥-.
()()()2
222821271
228228222
x x x x x x x -+-+-==-++≥+---, 当且仅当2
22
x =+
时,等号成立,所以822k ≤+. {}19k k ≤< {}
82
2k k ≤+,所以,“p 为真命题”是“q ⌝为真命题”的充分不必要条件.
(Ⅰ)求实数m 的取值集合M ;
(Ⅱ)设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ,若x ∈N 是x M ∈的必要条件,求a 的取值范围. 【答案】(1)(2)
或
.
【解析】(1)方程在
有解,转化为函数
在上的值域,实数m 的取值集合M 可求; (2)x N ∈是x M ∈的必要条件,分、
、三种情况讨论即可求a 的取值范围.
(1) 由题意知,方程20x x m --=在上有解,
即m 的取值范围就为函数
在
上的值域,易得1|24M m m ⎧
⎫=-
≤<⎨⎬⎩⎭
7分 (2) 因为x N ∈是x M ∈的必要条件,所以8分
当时,解集为空集,不满足题意 9分 当
时,
,此时集合
则,解得12分当时,,此时集合
则
1
1 {,
4
4
22
a
a
a
<-
⇒<-
-≥
15分
综上
91
44
a a
><-
或16分
规律方法充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
(3)数学定义都是充要条件.
[思维升华]
1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
(1)定义法
(2)利用集合间的包含关系判断:设A={x|p(x)},B={x|q(x)};
①若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
②若B
A⊂≠,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件;
③若A=B,则p是q的充要条件.
2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是存在性命题,再对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结论”.
[易错防范]
1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.
2.注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定.
四、 课时作业
A .充分条件,但不是必要条件
B .必要条件,但不是充分条件
C .充要条件
D .既不是充分也不是必要条件
【答案】A
【解析】由“复数()a bi a b +∈R ,为纯虚数”,一定可以得出0a =,但反之,不一定,因为,纯虚数要求b 不为0.故选A .
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当1a >时,440a ∆=-<,由2
21y ax x =++开口向上,则2210ax x ++>恒成立; 当2210ax x ++>恒成立时,若0a =,则210x +> 不恒成立,不符合题意, 若0a ≠ 时,要使得2210ax x ++>恒成立,则0
440
a a >⎧⎨
∆=-<⎩ ,即1a > .
所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件. 故选:C.
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵直线()12:110,:20l ax a y l x ay +++=++=, 当“2a =-”时,直线12:210,:220l x y l x y --+=-+=, 满足121k k ⋅=-,∴12l l ⊥.
如果12l l ⊥,∴()110a a a ⋅++=,解得2a =-或0a =,
∴直线()12:110,:20l ax a y l x ay +++=++=,则“2a =-”是“12l l ⊥”充分不必要条件.
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若1x y +=得1y x =-,
则由OA xOB yOC =+得()1OA xOB x OC xOB OC xOC =+-=+- ,即()
=OA OC x OB OC --, 则CA xCB =,即CA xCB =,即A ,B ,C 共线,即充分性成立 反之若A ,B ,C 共线,则存在一个实数x ,满足CA xCB =,
即()
=OA OC x OB OC --,则()
()1OA OC x OB OC xOB x OC ++-=+-,令1y x =-, 则1x y +=,即必要性成立,
则“1x y +=”是“A ,B ,C 共线”的充要条件, 故选C .
A .30m -<<
B .13m -<<
C .34m -<<
D .23m -<< 【答案】B
【解析】方程22
123
x y m m +=+-表示双曲线()()23023m m m ⇔+-<⇔-<<,
选项是23m -<<的充分不必要条件,
∴选项范围是23m -<<的真子集,
只有选项B 符合题意,故选B .
A .3
002,80x x ∃>-≤ B .32,80x x ∀>-≤ C .3002,80x x ∃≤-≤ D .32,80x x ∀≤-≤
【答案】B
【解析】已知命题0:2p x ∃>,3
80x ->,那么p ⌝是32,80x x ∀>-≤. 故选:B .
A .p ⌝:x R ∃∈,2210x x ++<
B .p ⌝:x R ∃∈,2210x x ++≤
C .p ⌝:x R ∀∈,2210x x ++<
D .p ⌝:x R ∀∈,2210x x ++≤
【答案】A
【解析】由命题p :x R ∀∈,2210x x ++≥ 所以命题p 的否定是:x R ∃∈,2210x x ++< 故选:A
【答案】存在2
,20x R x x ∈-<
【解析】由全称命题的否定是特称命题,可得命题“任意2
,20x R x x ∈-≥”的否定是“存在
2,20x R x x ∈-<”,
故答案为:存在2
,20x R x x ∈-<.
【答案】5m ≤-
【解析】∵命题“()2
0001,2,+m 40x x x ∃∈+≥满足不等式”是假命题,
∴()x 1,2∀∈,不等式240x mx ++<恒成立. 设()2
()4,1,2f x x mx x =++∈,
则有(1)50
()280
f m f x m =+≤⎧⎨
=+≤⎩,解得5m ≤-,
∴实数m 的取值范围为(,5]-∞-.
【答案】充分不必要
【解析】“3x >”则“29x >”,但是“29x >”可得“3x >或3x <-”,所以“3x >”是“29x >”的充分不必要
条件.
【答案】充分不必要
【解析】“||||||x y x y +=+” ||0xy xy xy ⇔=⇔ 若“0xy >”成立,则“0xy ”成立,则“||||||x y x y +=+” 反之,若“||||||x y x y +=+”成立,不一定有“0xy >” 所以“0xy >”是“||||||x y x y +=+”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要.
(1)若p 是q 的必要条件,求m 的取值范围;
(2)若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求m 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)⎡⎣;(Ⅱ)(,3][3,)-∞-+∞.
【解析】由x 2﹣8x ﹣20≤0得﹣2≤x ≤10,即P :﹣2≤x ≤10, 又q :1﹣m 2≤x ≤1+m 2. (1)若p 是q 的必要条件,
则22
12110m m ⎧-≥-⎨+≤⎩,即223
9m m ⎧≤⎨≤⎩,即m 2≤3,解得m ≤≤,
即m 的取值范围是⎡⎣.
(2)∵¬p 是¬q 的必要不充分条件, ∴q 是p 的必要不充分条件.
即22
12110
m m ⎧-≤-⎨+≥⎩,即m 2≥9,解得m ≥3或 m ≤﹣3 即m 的取值范围是(﹣∞,﹣3]∪[3,+∞).
(1)当1a =时,求A
B ;
(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(1,0]-;(2)(,0]-∞.
【解析】(1)1a =时,2()lg(1)f x x =-,由210x ->得11x -<<,即(1,1)A =-, 由2011x <-≤得(,0]B =-∞,
∴(1,0]A B =-;
(2)“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件,则B 是A 的真子集,若0a >, 则由210ax ->
得x <<
(A =,与(1)类似得(,0]B =-∞,不合题意, 若0a =,则()lg10f x ==,即,{0}A R B ==,满足题意, 若0a <,则211ax -≥,A R =,[0,)B =+∞,满足题意. 综上a 的取值范围是(,0]-∞.
(1)若P 为真命题,求实数a 的取值范围; (2)若()p q -∧为真命题,求实数a 的取值范围.
【答案】(1)1,12⎛⎫
⎪⎝⎭;(2)1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝
⎦
【解析】(1)由命题P
为真命题,即(
)(1
21
2
22
2
2220a a
a a a +
+--+=--<,
22a <<,可得
112
a <<,即实数a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.
(2)若命题q 为真命题,由(0,)x ∀∈+∞,不等式210x ax -+≥恒成立,
即21x ax +在(0,)x ∈+∞上恒成立,即1
a x x
≤+对(0,)x ∈+∞恒成立, 当(0,)x ∈+∞
时,12x x +
≥=,当且仅当1x x =,即1x =时等号成立,
所以q 为真命题时,可得2a ≤,
又因为()p q ⌝∧为真命题,则p 为假命题且q 为真命题,
所以112
2
a a a ⎧
≤≥⎪⎨⎪≤⎩或,解得12a 或12a . 所以实数a 的取值范围是1,[1,2]2
⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝
⎦
.。