高考数学一轮复习数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题及答案

高考数学一轮复习数学数列多选题的专项培优易错试卷练习题及答案
一、数列多选题
1．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若11a >，公比1q ≠，则下列命题正确的是（ ）
A ．若59T T =，则必有141T =
B ．若59T T =，则必有7T 是n T 中最大的项
C ．若67T T >，则必有78T T >
D ．若67T T >，则必有56T T >
【答案】ABC 【分析】
根据题意，结合等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，以及等比数列的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】
由等比数列{}n a 可知1
1n n a a q -=⋅，由等比数列{}n a 的前n 项积结合等差数列性质可知：
()
12
1
1212
11111
1
123n n n n n n n n a a q a q a q
a a T a a a q a q
--+++-=⋅⋅⋅==⋅=
对于A ，若59T T =，可得51093611a q a q =，即42611a q =，()
71491426
2
11141a q q T a ∴===，故
A 正确；
对于B ，若59T T =，可得4
26
1
1a q =，即132
1
1a q
=，又11a >，故1q <，又59T T =，可知
67891a a a a =，利用等比数列性质知78691a a a a ==，可知67891,1,1,1a a a a >><<，故7T 是n T 中最大的项，故B 正确；
对于C ，若67T T >，则61572111a q a q >，即611a q <，又10a >，则1q <，可得
768118
7
1T T a a q a q <=<=，故78T T >，故C 正确； 对于D ，若67T T >，则611a q <，566
5
1T a T a q ==，无法判断其与“1”的大小关系，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了等比数列的通项公式及等差数列前n 项和公式，以及等比数列的性质的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和性质及等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于较难题.
2．设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <
C ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列
D ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S > 【答案】ABC 【分析】
由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭，可看作关于n 的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得. 【详解】
由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭， 选项A ，若0d <，由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项，故正确； 选项B ，若数列{}n S 有最大项，则对应抛物线开口向下，则有0d <，故正确； 选项C ，若对任意*n ∈N ，均有0n S >，对应抛物线开口向上，0d >， 可得数列{}n S 是递增数列，故正确；
选项D ，若数列{}n S 是递增数列，则对应抛物线开口向上， 但不一定有任意*n ∈N ，均有0n S >，故错误. 故选：ABC . 【点睛】
本题考查等差数列的求和公式的应用，()2111222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.
3．已知数列{}n a 的前n 项和为2
n 33S n n =-，则下列说法正确的是（ ）
A ．342n a n =-
B ．16S 为n S 的最小值
C ．1216272a a a +++=
D ．1230450a a a ++
+=
【答案】AC 【分析】
利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A; 根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到
121617193300()a a a S a a a ++
+=+----16302S S =-可计算后否定D.
【详解】
1133132a S ==-=,
()()()2
213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,
对于1n =也成立，
所以342n a n =-，故A 正确；
当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,
n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；
因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯=，故C 正确；
121617193300()a a a S a a a +++=+---
-
2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）
54490454=-=， 故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.
和与项的关系()()1112n n
n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前 k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前 k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.
4．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则50a >，60a <；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；
D ．若89S S <，则78S S <. 【答案】ABD 【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】
对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()
02
a a S +=
=，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确；
对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，
所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯=
==>，116891616()16()
022
a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为1158
15815()15215022
a a a S a +⨯=
==>，则80a >， 116891616()16()022
a a a a S ++=
==，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；
对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】
解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *
==∈，数列12(1)n n n n a +⎧
⎫
+⎨
⎬+⎩
⎭的前
n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ）
A ．24a =
B ．2n
n S =
C ．38
n T ≥
D ．1
2
n T <
【答案】ACD 【分析】
在1+14,()n n a S a n N *
==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；
令12(1)n n n b n n a ++=
+，13
8
b =，
2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++⋅+⋅，裂项求和3182
n
T ≤<，则CD 可判断. 【详解】
解：由1+14,()n n a S a n N *
==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；
32212822S a a =+==≠，故B 错误；
+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，
1
2n n
a a +=， 所以2n ≥时，2
42
2n n n a -=⋅=， 令12(1)n n n b n n a ++=
+，12123
(11)8
b a +==+，
2n ≥时，()()11
12211
(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++⋅+⋅，
113
8
T b ==，2n ≥时，
()()2334
113111111111
8223232422122122
n n n n T n n n ++=+-+-+
+
-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，31
82
n T ≤<，故CD 正确；
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,1
2n n n a n a S S n -=⎧
=⎨
-≥⎩递推数列的通项，注
意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.
6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a >
B ．数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是递增数列
C ．0n S <时，n 的最小值为13
D ．数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为第7项
【答案】ACD 【分析】 由已知得()
()612112712+12+2
2
0a a a a S ==
>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知
得出24
37
d -
<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1n a 在1,6n n N
上单调递增，
1
n
a 在7n
n
N ，
上单调递增，可判断B ；由
()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性
可判断D ； 【详解】
由已知得311+212,122d a a a d ===-，()
()612112712+12+2
2
0a a a a S =
=
>，又
70a <，所以6>0a ，故A 正确；
由716167
1+612+40
+512+3>0+2+1124+7>0
a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪
==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，
当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()11
12+3n a n d =-，所以[]1,6n ∈时，1>0n
a ，7n ≥时，1
0n a <，
所以1
n
a 在1,6n
n N
上单调递增，1
n
a 在7n
n N
，上单调递增，所
以数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
不是递增数列，故B 不正确；
由于()
313117
713+12
2
03213a a a S a ⨯=
=<=
，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；
当[]
1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]
1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，
0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，
0n
n
S a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】
本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.
7．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}
F n ，则(){}
F n 的通项公式为（ ）
A ．(1)1()2
n n
F n -+=
B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==
C ．(
)1122n n
F n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．(
)n n F n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦
【答案】BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】
解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，
，
()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；
由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以(
)(
)(
)()11F n n F n n ⎤+-
=--⎥⎣⎦
所以数列(
)()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
是以
12
为首项，12为公比的等比数列， 所以(
)(
)1n
F n n +-=⎝⎭
11515()n F F n n -
+=+， 令
1
n
n n F
b -=
⎝⎭
，则11n n b ++，
所以1
n n b b +
=-， 所以n
b ⎧⎪
⎨⎪⎪
⎩⎭3
2-为公比的等比数列，
所以1
n n b -
+， 所以
()11
15n n n n
F n --⎤
⎤⎛⎫
+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎣⎦
； 即C 满足条件；
故选：BC 【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（ ） A ．2
n S n = B ．
122310*********
a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-
【答案】ACD 【分析】
先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得
,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到1223101111110
21
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误. 【详解】
依题意，95981S a ==，解得59a =； 而713a =，故75
275
a a d -=
=-，则1541a a d =-=， 则21n a n =-，2
n S n =，故D 、A 正确：
因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，
故()2
2
3171617k S S S S a =-=，
则22933k =，解得11k =，故C 正确； 而
1223101111110
21
a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误． 故选：ACD ． 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下： （1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和； （2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值；
（3）利用裂项相消法，对12231011
111
a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和； （4）对选项逐个判断正误，得到结果.
二、平面向量多选题
9．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足AB a =、AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．2b = B ．a b ⊥
C ．2a b ⋅=
D ．(2)a b BC +⊥
【答案】AD 【分析】
本题首先可以根据向量的减法得出BC b =，然后根据ABC 是边长为2的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a 、b 之间的夹角为120计算出2a b ⋅=-，C 错误，最后通过计算得出(2)0a b BC +⋅=，D 正确. 【详解】
因为AB a =，AC a b =+，所以BC AC AB a b a b =-=+-=， 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2b BC ==，A 正确， 因为AB a =，BC b =，
所以向量a 、b 之间的夹角为120，B 错误， 所以1cos1202222a b a b ⎛⎫
⋅=⋅⋅=⨯⨯-
=- ⎪⎝⎭
，C 错误， 因为()2
2(2)(2)22220a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯-+=， 所以(2)a b BC +⊥，D 正确， 故选：AD. 【点睛】
本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a 、b 之间的夹角为θ，则
cos a b a b θ⋅=⋅⋅，若0a b ⋅=，则a b ⊥，考查推理能力与计算能力，是中档题.
10．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直
C ．a 与a b -的夹角为4
π D ．||1a b -=
【答案】BC 【分析】
(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；
||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.
【详解】
由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=
，所以A 选项错误；
因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=
，所以D 选项错误；
2()cos ,2||||1a a b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4
π
.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:
(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝
(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22
•a a a a ＝＝或
222
2
||)2?(a b a b a
a b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求
解．
判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a b
cos a b ＝＝求解出这两个
向量夹角的余弦值.。