1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义

第一章集合与常用逻辑用语
1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定
【课程标准】
1.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定
【知识要点归纳】
1.全称量词命题和存在量词命题的否定
1)命题的否定：一般的，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作p
“”，
⌝读作“非p”或“p的否定”（举例）
2)全称量词命题和存在量词命题的否定
全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，
⌝：
它的否定p
存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)，
⌝：
它的否定p
⌝必定一真一假
3)总结：改量词，否结论；p与p
【知识辨析】
(1)存在量词命题的否定是一个全称量词命题．()
(2)∃x ∈M ，使x 具有性质p (x )与∀x ∈M ，x 不具有性质p (x )的真假性相反．( )
(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p (x )”同时否定．( )
(4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．( )
【经典例题】
例1 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假。

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)1x x >+对所有正数，；
(3)∀a ，b ∈R ，方程ax ＝b 都有惟一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
例2写出下列存在命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.
(4)有的素数是偶数；
2:,250,p x R m x x p m ∀∈+-+>⌝例3 已知命题若为假命题，求实数的取值范围
2,+210x R x ax a ∃∈+<例4若命题p:使得3是假命题，则实数的取值范围是________
【当堂检测】
一．选择题（共5小题）
1．命题“x R ∀∈，2210x x -+”的否定是( )
A ．x R ∃∈，2210x x -+
B ．x R ∃∈，2210x x -+
C ．x R ∃∈，2210x x -+<
D ．x R ∀∈，2210x x -+<
2．命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．{|1}a a <
B ．{|1}a a
C ．{|1}a a >
D ．{|1}a a
3．已知命题“x R ∃∈，使214(2)04
x x a ++-”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．0a < B ．04a C ．4a D ．94
a > 4．命题:P x R ∀∈，211x +，则P ⌝是( )
A ．x R ∀∈，211x +<
B ．x R ∀∈，211x +
C ．200,11x R x ∃∈+<
D ．200,11x R x ∃∈+
5．已知命题:p a R ∀∈，一元二次方程210x ax -+=有实根；若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(,2)-∞-
B ．(2,2)-
C ．(4,4)-
D ．(2,4)-
二．填空题（共2小题）
6．命题“0x R ∃∈，20
0410x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 7．已知“21[,2],102
x x mx ∃∈-+”是假命题，则实数m 的取值范围为 ． 三．解答题（共1小题）
8．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）:p m R ∀∈，方程20x x m +-=必有实根；
（2）:q x R ∃∈，使得210x x ++．
当堂检测答案
一．选择题（共5小题）
1．命题“x R ∀∈，2210x x -+”的否定是(
) A ．x R ∃∈，2210x x -+
B ．x R ∃∈，2210x x -+
C ．x R ∃∈，2210x x -+<
D ．x R ∀∈，2210x x -+<
【分析】因为命题“x R ∀∈，2210x x -+”为全称命题，其否定为特称命题，将“∀”改为“∃”，“ “改为“<”即可．
【解答】解：命题“x R ∀∈，2210x x -+”为全称命题，
∴命题的否定为：x R ∃∈，2210x x -+<，
故选：C ．
【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题，注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．
2．命题2:210p ax x ++=有实数根，若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．{|1}a a <
B ．{|1}a a
C ．{|1}a a >
D ．{|1}a a
【分析】因为方程最高项系数含参，所以需分类讨论，结合命题的真假，即可求出答案．
【解答】解：p ⌝是假命题，则p 是真命题，2210ax x ∴++=有实数根，
当0a =时，方程为210x -=，解得12x =
，有根，符合题意； 当0a ≠时，方程有根，等价于△440a =-，1a ∴且0a ≠，
综上所述，a 的可能取值为1a ．
故选：B ．
【点评】本题考查命题的真题，考查一元二次方程根的存在问题，考查分类讨论，属于中档题．
3．已知命题“x R ∃∈，使214(2)04
x x a ++-”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．0a < B ．04a C ．4a D ．94
a > 【分析】根据特称命题的真假关系即可得到结论．
【解答】解：命题“x R ∃∈，使214(2)04
x x a ++-”是假命题， ∴命题“x R ∀∈，使214(2)04
x x a ++->”是真命题， 即判别式△21144(2)04
a =-⨯⨯-<， 即94
a >， 故选：D ．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键．
4．命题:P x R ∀∈，211x +，则P ⌝是( )
A ．x R ∀∈，211x +<
B ．x R ∀∈，211x +
C ．200,11x R x ∃∈+<
D ．200,11x R x ∃∈+
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其特称命题可得答案．
【解答】解：命题的否定是：0x R ∃∈，2011x +<，
故选：C ．
【点评】本题考查了全称命题的否定．
5．已知命题:p a R ∀∈，一元二次方程210x ax -+=有实根；若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(,2)-∞-
B ．(2,2)-
C ．(4,4)-
D ．(2,4)-
【分析】根据命题p 与p ⌝的真假性相反得出p 是假命题，
利用△0<求出a 的取值范围．
【解答】解：命题:p a R ∀∈，一元二次方程210x ax -+=有实根；
若p ⌝是真命题，则命题p 是假命题，
所以一元二次方程210x ax -+=没有实根；
即△240a =-<，解得22a -<<；
所以实数a 的取值范围是(2,2)-．
故选：B ．
【点评】本题考查了命题与它的否定命题真假性相反的应用问题，是基础题．
二．填空题（共2小题）
6．命题“0x R ∃∈，2
00410x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 [4-，4] ． 【分析】写出特称命题的否定，可得全称命题为真命题，再由判别式小于等于0求解．
【解答】解：命题“0x R ∃∈，2
00410x ax -+<”为假命题，
则其否定“x R ∀∈，2410x ax -+”为真命题，
∴△2160a =-，可得44a -．
∴实数a 的取值范围是[4-，4]．
故答案为：[4-，4]．
【点评】本题考查特称命题的否定，考查数学转化思想方法，是基础题．
7．已知“21[,2],102
x x mx ∃∈-+”是假命题，则实数m 的取值范围为 2m < ． 【分析】根据特称命题的性质进行求解即可．
【解答】解： “21[,2],102x x mx ∃∈-+”是假命题，∴对任意的1[2
x ∈，2]，210x mx -+>恒成立，
1m x x ∴<+，对任意的1[2
x ∈，2]恒成立， 1122x x x x +=，当且仅当1x x
=即1x =时等号成立， 2m ∴<，
故答案为：2m <．
【点评】本题主要考查特称命题的应用，将条件转化为求函数的最值是解决本题的关键．
三．解答题（共1小题）
8．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）:p m R ∀∈，方程20x x m +-=必有实根；
（2）:q x R ∃∈，使得210x x ++．
【分析】命题的否定即命题的对立面．可根据如下规则书写：“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的⋯都成立”与“至少有一个⋯不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．
【解答】解：（1）:p m R ⌝∃∈．方程20x x m +-=无实数根；
由于当1m =-时，方程20x x m +-=的根的判别式△0<，
∴方程20x x m +-=无实数根，故其是真命题．
（2）:q x R ⌝∀∈，使得210x x ++>； 由于2213
1()024x x x ++=++>，
故其是真命题．
【点评】本题考查了命题的否定的写法与判断．属于基础题．。