2018-2019高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法和分析法教案 新人教A版选修

2.2综合法和分析法
一、教学目标
1．了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．
2．会用综合法、分析法证明简单的不等式．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点．
四、教学难点
会用综合法、分析法证明简单的不等式．
五、教学过程
（一）导入新课
已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：c－c2－ab＜a.
【证明】要证c－c2－ab＜a，
只需证明c＜a＋c2－ab，
即证b－a＜2c2－ab，
当b－a＜0时，显然成立；
当b－a≥0时，只需证明b2＋a2－2ab＜4c2－4ab，
即证(a＋b)2＜4c2，
由2c＞a＋b知上式成立．
所以原不等式成立．
（二）讲授新课
教材整理1 综合法
一般地，从出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做，又叫或．
教材整理2 分析法
证明命题时，我们还常常从要证的出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做，这是一种执果索因的思考和证明方法．
（三）重难点精讲
题型一、用综合法证明不等式 例1已知a ，b ，c 是正数，求证：
b 2
c 2＋c 2a 2＋a 2b 2
a ＋
b ＋c
≥abc .
【精彩点拨】 由a ，b ，c 是正数，联想去分母，转化证明b 2c 2
＋c 2a 2
＋a 2b 2
≥abc (a ＋b ＋c )，利用x 2
＋y 2
≥2xy 可证．或将原不等式变形为bc a ＋
ac b ＋ab
c
≥a ＋b ＋c 后，再进行证明． 【自主解答】 法一 ∵a ，b ，c 是正数，
∴b 2c 2
＋c 2a 2
≥2abc 2
，b 2c 2
＋a 2b 2
≥2ab 2
c ，c 2a 2
＋a 2b 2
≥2a 2
bc ， ∴2(b 2c 2
＋c 2a 2
＋a 2b 2
)≥2(abc 2
＋ab 2
c ＋a 2
bc )， 即b 2c 2
＋c 2a 2
＋a 2b 2
≥abc (a ＋b ＋c )． 又a ＋b ＋c ＞0，
∴b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c
≥abc .
法二 ∵a ，b ，c 是正数， ∴bc a ＋ac b ≥2
bc a ·ac
b
＝2c . 同理ac b ＋ab c
≥2a ，ab c ＋
bc
a
≥2b ， ∴2⎝ ⎛⎭
⎪⎫bc a
＋ac b
＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )． 又a ＞0, b ＞0，c ＞0，
∴b 2c 2
＋a 2c 2
＋a 2b 2
≥abc (a ＋b ＋c )．
故b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c
≥abc .
规律总结：
1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键．
2．综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术­几何平均不等式等．
[再练一题]
1．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且abc ＝2. 求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )＞8 2.
【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，
∴1＋a ≥2a ，当且仅当a ＝1时，取等号， 1＋b ≥2b ，当且仅当b ＝1时，取等号， 1＋c ≥2c ，当且仅当c ＝1时，取等号． ∵abc ＝2，
∴a ，b ，c 不能同时取1，∴“＝”不同时成立． ∴(1＋a )(1＋b )(1＋c )＞8abc ＝8 2. 即(1＋a )(1＋b )(1＋c )＞8 2. 题型二、综合法与分析法的综合应用
例2设实数x ，y 满足y ＋x 2＝0，且0＜a ＜1，求证：log a (a x ＋b y
)＜18
＋log a 2.
【精彩点拨】 要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析法探路，转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明．
【自主解答】 由于0＜a ＜1，则t ＝log a x (x ＞0)为减函数．
欲证log a (a x ＋a y )＜18＋log a 2，只需证a x ＋a y
＞2a 18
.
∵y ＋x 2
＝0,0＜a ＜1，
∴x ＋y ＝x －x 2
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋14≤14
.
当且仅当x ＝12时，(x ＋y )max ＝1
4
，
∴a
x ＋y
≥a 14
，a
x ＋y
≥a 18
⎝ ⎛⎭
⎪⎫当x ＝12，y ＝－14
时取等号.① 又a x ＋a y
≥2a
x ＋y
(当且仅当x ＝y 取等号), ②
∴a x ＋a y
≥2a 1
8
.③
由于①，②等号不能同时成立，
∴③式等号不成立，即a x ＋a y
＞2a 18
成立．
故原不等式log a (a x ＋a y
)＜18＋log a 2成立．
规律总结：
1．通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．体现了分析法与综合法之间互为前提、互相渗透、相互转化的辩证关系．
2．函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用． [再练一题]
2．已知a ，b ，c 都是正数，求证：2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a ＋b 2－ab ≤3
a ＋
b ＋c
3
－3
abc .
【证明】 法一 要证2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫a ＋b 2－ab ≤3
a ＋
b ＋c
3
－3
abc ，只需证a ＋b －2ab ≤a ＋b ＋c －
33
abc ，
即－2ab ≤c －33
abc ， 移项，得c ＋2ab ≥33
abc .
由a ，b ，c 都为正数，得c ＋2ab ＝c ＋ab ＋ab ≥33
abc ，∴原不等式成立． 法二 ∵a ，b ，c 都是正数，
∴c ＋ab ＋ab ≥33c ·ab ·ab ＝33
abc ， 即c ＋2ab ≥33
abc ， 故－2ab ≤c －33
abc ，
∴a ＋b －2ab ≤a ＋b ＋c －33
abc ， ∴2⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 2－ab ≤3⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b ＋c 3－3
abc .
题型三、分析法证明不等式
例3已知a ＞b ＞0，求证：(a －b )2
8a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )2
8b
.
【精彩点拨】 本题要证明的不等式显得较为复杂，不易观察出怎样由a ＞b ＞0得到要证明的不等式，因而可以用分析法先变形要证明的不等式，从中找到证题的线索．
【自主解答】 要证原不等式成立， 只需证(a －b )2
4a ＜a ＋b －2ab ＜(a －b )2
4b
，
即证⎝
⎛⎭⎪⎫a －b 2a 2
＜(a －b )2
＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －b 2b 2
. 只需证
a －
b 2a ＜a －b ＜a －b
2b
， 即
a ＋
b 2a ＜1＜a ＋b 2b ， 即
b
a ＜1＜a b
. 只需证b a
＜1＜a b .
∵a ＞b ＞0，∴b
a ＜1＜a b
成立． ∴原不等式成立． 规律总结：
1．解答本题的关键是在不等式两边非负的条件下，利用不等式的开方性质寻找结论成立的充分条件，采用分析法是常用方法．证明过程一要注意格式规范，二要注意逻辑关系严密、准确．
2．当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．常常利用移项、去分母、平方、开方等方法进行分析探路．
[再练一题]
3．已知a ＞0，求证：
a 2＋1a 2－2≥a ＋1
a
－2.
【证明】 因为a ＞0，要证原不等式成立，只需证
a 2＋1a 2＋2≥a ＋1
a
＋2，
即证a 2
＋1a
2＋4
a 2＋1
a
2＋4
≥⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋1a 2
＋22⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋1a ＋2， 只需证2·
a 2＋1a 2≥a ＋1
a
，
即证2⎝
⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥a 2＋1
a
2＋2，
只需证a 2
＋1a
2≥2.
由基本不等式知a 2
＋1a
2≥2显然成立，
所以原不等式成立． （四）归纳小结
综合法与分析法—⎪⎪
⎪
—综合法
—分析法
—综合法与分析法的区别与联系
（五）随堂检测
1．已知a ＜0，－1＜b ＜0，则( ) A ．a ＞ab ＞ab 2
B ．ab 2
＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab
2
D.ab ＞ab 2
＞a
【解析】 ∵－1＜b ＜0， ∴1＞b 2
＞0＞b . 又a ＜0，∴ab ＞ab 2
＞a . 【答案】 D
2．下列三个不等式：①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a .其中能使1a ＜1
b
成立的充分条件有( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D.①②③
【解析】 ①a ＜0＜b ⇒1a ＜1b ；②b ＜a ＜0⇒1a ＜1b ；③b ＜0＜a ⇒1a ＞1
b
.故选A.
【答案】 A
3．已知a ，b ∈(0，＋∞)，Ρ＝a ＋b
2
，Q ＝a ＋b ，则P ，Q 的大小关系是________.
【解析】 ∵a ＋b ≥， ∴a ＋b ≥
a ＋b
2
.
【答案】 P ≤Q
六、板书设计
七、作业布置
同步练习：2.2综合法和分析法八、教学反思。