天津市天津一中11-12学年高二数学上学期期中考试试题 理

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天津一中2011—2012学年第一学期期中
高二数学试卷(理科)
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图是一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为 正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（ ） A ．6
B ．12
3 C ．24
D ．3
2．已知正方体的外接球的体积为32
3
π，则该正方体的表面积为（ ）
A ．
43
3 B ．163 C ．64
3
D ．32
3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ）
A ．至多只能有一个是直角三角形
B ．至多只能有两个是直角三角形
C ．可能都是直角三角形
D ．必然都是非直角三角形
4．对于平面α和直线l ，α内至少有一条直线与直线l （ ）
A ．平行
B ． 垂直
C ．异面
D ．相交
5．已知m n ，是两条不同直线,αβγ，，是三个不同平面，正确命题的个数是（ ）
①若αγ⊥，βγ⊥，则α//β ②若m α⊥，n α⊥，则m //n
③若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ ④若m //α，n //α，则m //n
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A
B
C
S E F
⑤若m //α，m //β，则α//β
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，
那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）
A ． 90°
B ．45°
C ．60°
D ．30°
7．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ ） A ．BD ∥平面CB 1D 1
B ．A
C 1⊥BD
C ．AC 1⊥平面CB 1
D 1
D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°
8．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
9．已知平行六面体1111OABC O A B C -，OA a =，OC c =，1OO b =，D 是四边形OABC 的中心，则（ ）
A ．1O D a b c =-++
B ．111
22
O D b a c =--
-
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C
A
D
B
E
F
C ．111
22
O D a b c =
--
D ．111
22
O D a b c =
-+
10．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过
C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在（ ）
A ．直线A
B 上
B ．直线A
C 上
C ．直线BC 上
D ．△ABC 内部
二、填空题（每题4分，共24分）
11．Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕AC 边旋转一周所成的几何体的
体积为__________．
12．在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝8，B ＝30°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，P ′
是AB 边上动点，则PP ′的最小值为 ．
13．如右图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ． 14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1
BC
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与平面11BB D D 所成角的正弦值为 ．
15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于 ．
16．正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到截面1A BM 的距离为 ． 三、解答题(共4题，46分)
17．如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF//平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD
18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点. （1）求证：PB ⊥DM ；
（2）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．
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A
B
C
D E
A 1
B 1
C 1
D 1
19．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD （1）求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； （2）证明平面AMD ⊥平面CDE ； （3）求二面角A-CD-E 的余弦值．
20．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．
（1）证明：1A C ⊥平面BED ；
（2）求二面角1A DE B --的余弦值大小．
参考答案：
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一、选择题： 1．C 2．D 3．C 4．B 5．A 6．B
7．D
8．C
9．D
10．A
二、填空题： 11．
485
π 12
．13．13
14
．
5
15
16
．
2
三、解答题： 17．证明：
（1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点，
,EF PD ∴又,,P D PCD E PCD ∈∉面面 ∴直线EF ‖平面PCD
（2）
AB=AD,BAD=60,∠ F 是AD 的中点，,BF AD ∴⊥
又平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ABCD AD,⋂面面＝,BF PAD ∴⊥面 所以，平面BEF ⊥平面PAD 。

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18． （1）证明： 设BC=1 P （0，0，2） B （2，0，0） D （0，2，0） C （2，1，0） M （1，
1
2
，1） (2,0,2)PB =-
3
(1,,1)2DM =-
0PB DM ∴⋅=
∴PB ⊥DM
（2）(2,1,0)CD =-
(0,2,0)AD =
1
(1,,1)2
AM =
设平面ADMN 的法向量(,,)n x y z =
00
200
2
y n AD y y
x x z n AM =⎧⎧⋅==⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-++=⋅=⎩
⎪⎪⎩⎩
取z=-1
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(1,0,1)n ∴=-
设直线CD 与平面ADMN 成角为θ
sin |cos ,|
5210n CD θ=<>=⋅=
19． （1）BC //
=FE ……………………1分
∴BCEF 是□ ∴BF//CE
∴∠CED 或其补角为BF 与DE 所成角 ……………………2分
取AD 中点P 连结EP 和CP ∵FE //
=AP ∴FA //=EP 同理AB //=PC 又FA ⊥平面ABCD ∴EF ⊥平面ABCD ∴EP ⊥PC 、EP ⊥AD 由AB ⊥AD PC ⊥AD
设FA=a，则EP=PC=PD=a
a
∴△ECD是正三角形
∴∠CED=60o
∴BF与DE成角60o……………………2分（2）∵DC=DE，M为EC中点
∴DM⊥EC
连结MP，则MP⊥CE
又DM⋂MP=M
∴DE⊥平面ADM ……………………3分
又CE⊂平面CDE
∴平面AMD⊥平面CDE ……………………1分（3）取CD中点Q，连结PQ和EQ
∵PC=DQ
∴PQ⊥CD，同理EQ⊥CD
∴∠PQE为二面角的平面角……………………2分
在Rt△EPQ
中，,
2
PQ a EQ
==
cos
PQ PQE
EQ ∠==
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∴二面角A-CD-E
的余弦值为3
方法二：
以A 为原点以AB 、AD 、AF 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴 设AB=1 A （0，0，0） B （1，0，0） C （1，1，0） D （0，2，0） E （0，1，1） F （0，0，1） M （
12，1，12
） （1）(1,0,1)BF =-
(0,1,1)
1
cos ,2,60异面直线成角为o DE BF DE BF DE =-<>
=∴ （2）1111
(,1,)
(,1,)2222
AM DM ==-
(0,2,0)AD = (1,0,1)CE =-
可得0
0CE AM CE AD ⋅=⋅=
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∴CE ⊥AM ，CE ⊥AD 又AM ⋂AD=A
∴CE ⊥平面ADM ，而平面CDE CE ⊂，所以平面AMD ⊥平面CDE
（3）平面CDE 的法向量(,,)n x y z =
(1,1,0)
(1,0,1)(0,1,1)
000
01,(1,1,1)
(0,0,1)取为平面的另一个法向量CD CE DE n DE y z y z x z z x n CE x n AF ACD =-=-=-⎧⋅=-+==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+==⋅=⎩⎩⎪⎩=== 所以cos<n ,AF >=||||n AF n AF =33
因为二面角A －CD －E 3 20．
以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 余弦值所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建系如图所示 D （0，0，0）
A 1（2，0，4）
B （2，2，0）
E （0，2，1）
C （0，2，0）
1
(2,2,4)(2,2,0)(0,2,1)
AC DB DE =--== （1）10AC DB ⋅=
实用文档 10AC DE ⋅=
∴A 1C ⊥DB
A 1C ⊥DE
又DB ⋂DE=D
∴A 1C ⊥平面BDE
（2）由（1）知1A C 是平面BDE 的一个法向量 1A C =（-2，2，-4） 设平面A 1DE 的一个法向量n =（x ，y ，z ） 11(2,0,4)
(0,2,1)
2024020022,(4,1,2)DA DE x z n DA x z z y z y n DE z n ===-⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+==-⋅=⎩⎪⎪⎩⎩=-=-取
111cos ,4161614n A C A DE B DE B <>===+++--∴--二面角是锐二面角二面角A。