2020-2021学年四川省成都市成华区八年级(下)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年四川省成都市成华区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.
1．当x＝1时，下列分式没有意义的是（）
A．B．C．D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）
A．a﹣1＜b﹣1B．a2＜b2C．D．﹣2a＞﹣2b 4．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
5．下列运算正确的是（）
A．B．
C．D．
6．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）
A．x（x2﹣1）B．x（1﹣x2）
C．x（x+1）（x﹣1）D．x（1+x）（1﹣x）
7．已知x＝2是分式方程+＝1的解，那么实数k的值为（）A．3B．4C．5D．6
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC
9．如图，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB 绕点O逆时针旋转90°，则点B的对应点B′的坐标是（）
A．（﹣，3）B．（﹣3，）C．（﹣，）D．（﹣2，3）10．如图，▱ABCD的面积为S，点P是它内部任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间满足的关系是（）
A．B．
C．D．无法判定
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
11．若a+b＝4，ab＝1，则a2b+ab2＝．
12．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是．
13．一次函数y＝（2m﹣1）x+2﹣m的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围为．
14．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若OA＝2，△AOE的周长等于7，则▱ABCD的周长等于．
三、解答题（本大题共6个小题，满分54分）
15．（1）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2；
（2）化简：．
16．（1）解不等式组；
（2）解方程：．
17．先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．18．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）请按下列步骤作图：
①作点A关于点O的对称点A1；
②连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得线段A1B1；
（2）请直接写出（1）中四边形ABA1B1的面积．
19．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出了两种打折优惠方案，方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为y1元，按照方案二所需费用为y2元，函数图象分别如图所示．
（1）求y1与x的函数关系式；
（2）求打折前的每次健身费用，并写出y2与x的函数关系式；
（3）小明同学计划暑期前往该俱乐部健身，应怎样选择方案？
20．已知AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作AB的平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE．
（1）【模型研究】如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）【模型推广】如图2，当点D不与M重合时，四边形ABDE还是平行四边形吗？
如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）【模型应用】若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AM的中点（如图3），请直接写出CE的长．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．若分式的值为0，则x＝．
22．若a﹣＝，则a2+值为．
23．关于x的不等式组的整数解只有4个，则m的取值范围是．24．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为．
25．将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2．将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．则EC+GC的最小值为．
二.解答题（本大题有3个小题，共30分）
26．在精准扶贫活动中，青春党支部给帮扶的某贫困家庭赠送了甲、乙两种果树树苗让其栽种．已知乙种树苗的单价比甲种树苗的单价贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元？
（2）青春党支部决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵赠送给另一贫困家庭，此时，甲种树苗的单价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的单价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么最多可购买多少棵乙种树苗？
27．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，连接NM，NP．
（1）图1中，线段NM，NP的数量关系是，∠MNP的度数为；
（2）把△ADE绕点A顺时针旋转到如图2所示的位置，连接MP．求证：△MNP是等边三角形；
（3）把△ADE绕点A在平面内旋转，若AD＝2，AB＝5，请直接写出△MNP面积的最大值．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y 轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一.选择题（共10小题，每题3分，共30分）.
1．当x＝1时，下列分式没有意义的是（）
A．B．C．D．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
解：A、，当x＝1时，分式有意义不合题意；
B、，当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义符合题意；
C、，当x＝1时，分式有意义不合题意；
D、，当x＝1时，分式有意义不合题意；
故选：B．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）
A．a﹣1＜b﹣1B．a2＜b2C．D．﹣2a＞﹣2b 【分析】选项A、C、D根据不等式的性质，分别判断各选项即可；选项B根据乘方的定义判断即可．
解：A．∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，故A不符合题意．
B．a＜b，不妨设a＝﹣2，b＝1，
则a2＞b2，故B符合题意．
C．∵a＜b，
∴，故C不符合题意．
D．∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，故D不符合题意．
故选：B．
4．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．
解：去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，
移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，
合并同类项，得：x＞﹣1，
故选：A．
5．下列运算正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】利用分式的加减法的法则对各项进行运算，即可得出结果．
解：A、，故A不符合题意；
B、
＝
＝，
故B不符合题意；
C、
＝
＝1，
故C符合题意；
D、
＝
＝，
故D不符合题意．
故选：C．
6．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（）
A．x（x2﹣1）B．x（1﹣x2）
C．x（x+1）（x﹣1）D．x（1+x）（1﹣x）
【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
解：x﹣x3＝x（1﹣x2）
＝x（1﹣x）（1+x）．
故选：D．
7．已知x＝2是分式方程+＝1的解，那么实数k的值为（）A．3B．4C．5D．6
【分析】把x＝2代入分式方程计算即可求出k的值．
解：把x＝2代入分式方程得：﹣1＝1，
解得：k＝4．
故选：B．
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．OA＝OC，OB＝OD D．AB∥DC，AD＝BC
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
解：A、∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意，
故选：D．
9．如图，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB 绕点O逆时针旋转90°，则点B的对应点B′的坐标是（）
A．（﹣，3）B．（﹣3，）C．（﹣，）D．（﹣2，3）【分析】如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出OH，B′H即可．解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（﹣，3），
故选：A．
10．如图，▱ABCD的面积为S，点P是它内部任意一点，△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则S，S1，S2之间满足的关系是（）
A．B．
C．D．无法判定
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．
解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴S＝BC•EF，，，
∵EF＝PE+PF，AD＝BC，
∴S1+S2＝，
故选：C．
二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
11．若a+b＝4，ab＝1，则a2b+ab2＝4．
【分析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案．
解：∵a+b＝4，ab＝1，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝1×4
＝4．
故答案为：4．
12．一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是6．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得，n＝6．
故答案为：6．
13．一次函数y＝（2m﹣1）x+2﹣m的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围为m ＜．
【分析】根据一次函数的性质即可求出m的取值范围．
解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2﹣m的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴m＜，
故答案为m＜．
14．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若OA＝2，△AOE的周长等于7，则▱ABCD的周长等于20．
【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝5，则AB+AD＝2AE+2OE＝10，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB＝2OE，AD＝2AE，
∵△AOE的周长等于7，
∴OA+AE+OE＝7，
∴AE+OE＝7﹣OA＝7﹣2＝5，
∴AB+AD＝2AE+2OE＝10，
∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×10＝20；
故答案为：20．
三、解答题（本大题共6个小题，满分54分）
15．（1）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2；
（2）化简：．
【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解，然后再提取公因式；
（2）先算小括号里面的，然后算括号外面的．
解：（1）原式＝[（2a+b）+（a+2b）][（2a+b）﹣（a+2b）]
＝（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）
＝（3a+3b）（a﹣b）
＝3（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝
＝
＝．
16．（1）解不等式组；
（2）解方程：．
【分析】（1）由①得，x≥﹣3，由②得，x＜2，即可解不等式组；
（2）方程两边同时乘以x﹣2，整理得x＝2，检验后即可求解．解：（1），
由①得，x≥﹣3，
由②得，x＜2，
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜2；
（2），
方程两边同时乘以x﹣2得，
1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2）
整理得，x＝2，
经检验，x＝2是方程的增根，
∴原方程无解．
17．先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，再根据x是不等式组
的整数解，然后即可得到x的值，再将使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．
解：•（+1）
＝
＝
＝，
由不等式组，得﹣1≤x＜1，
∵x是不等式组的整数解，
∴x＝﹣1，0，
∵当x＝﹣1时，原分式无意义，
∴x＝0，
当x＝0时，原式＝＝﹣．
18．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．
（1）请按下列步骤作图：
①作点A关于点O的对称点A1；
②连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得线段A1B1；
（2）请直接写出（1）中四边形ABA1B1的面积．
【分析】（1）①根据对称性即可作点A关于点O的对称点A1；
②根据旋转的性质即可将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得线段A1B1；
（2）根据网格即可求出（1）中四边形ABA1B1的面积．
解：（1）①如图，对称点A1即为所求；
②如图，线段A1B1即为所求；
（2）四边形ABA1B1的面积为：
6×8﹣2×2﹣4×4﹣4×4﹣2×6＝48﹣2﹣8﹣8﹣6＝24．
19．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出了两种打折优惠方案，方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为y1元，按照方案二所需费用为y2元，函数图象分别如图所示．
（1）求y1与x的函数关系式；
（2）求打折前的每次健身费用，并写出y2与x的函数关系式；
（3）小明同学计划暑期前往该俱乐部健身，应怎样选择方案？
【分析】（1）设y1与x的函数关系式为y1＝k1x+b，把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x+b，得到关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出y2与x的函数关系式；
（3）根据y1，y2的函数关系式求出当两种方案费用相等时健身的次数．再就三种情况讨论．
解：（1）设y1与x的函数关系式为y1＝k1x+b，
∵y1＝k1x+b过点（0，30），（10，180），
∴，解得，
∴y1＝15x+30；
（2）k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元；
∴打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），
设y2＝k2x．
则k2＝25×0.8＝20，
∴y2＝20x；
（3）由题意可知，y1＝15x+30，y2＝20x．
15x+30＝20x，
解得：x＝6，
∴健身6次时，选择两种打折优惠方案所需费用相等，
健身小于6次时，选择方案二所需费用少，
健身大于6次时，选择方案一所需费用少．
20．已知AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作AB的
平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE．
（1）【模型研究】如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）【模型推广】如图2，当点D不与M重合时，四边形ABDE还是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）【模型应用】若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AM的中点（如图3），请直接写出CE的长．
【分析】（1）在△ABC中利用中位线性质定理，再利用三角形全等判定平行四边形．（2）延长BD交EC于点F，再证△BDA与三角形DEF全等即可，
（3）利用等腰三角形的三线合一，AM垂直BC，再构造直角三角形，分段求出EC的长．解：（1）设AC与ME交于点F，如图，
，
在△ABC中，M为BC中点，ME∥AB，
∴MF为△ABC中位线，
∴F为AC中点，
∴AF＝AC，
∵AM∥CE，
∴∠AMF＝∠CEF，
∵∠AFM＝∠CFE，
∴△AFM≌△CFE（AAS），
∴AM＝CE，
∵AM∥CE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）延长BD交CE于点F，如图，
，
在△AFC中，M为BC中点，AM∥CE，∴DM为△AFC中位线，
∴D为BF中点，
∴BD＝DF，
∵AB∥DE，AM∥CE，
∴∠ABD＝∠EDF，∠BDA＝∠DFE，
∴△BDA≌△DFE（ASA），
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（3）过点D作DF⊥BC，如图，
，
∵△ABC为等边三角形，M为BC中点，∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，AB＝4，BM＝＝2，
∴AM＝＝2，
∵点D为AM中点，
∴DM＝，
∴CF＝，
由（2）可知四边形ABDE为平行四边，
∴AB＝AE＝4，
在Rt△DFE中，DE＝4，DF＝MC＝2，
∴EF＝＝2，
∴CE＝EF+CF＝3．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．若分式的值为0，则x＝2．
【分析】分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．解：∵x2﹣4＝0，
∴x＝±2，
当x＝2时，x+2≠0，
当x＝﹣2时，x+2＝0．
∴当x＝2时，分式的值是0．
故答案为：2．
22．若a﹣＝，则a2+值为8．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：∵a﹣＝
∴（a﹣）2＝6
∴a2﹣2+＝6
∴a2+＝8
故答案为：8
23．关于x的不等式组的整数解只有4个，则m的取值范围是﹣2≤m＜﹣1．【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．
解：不等式组整理得：，
解集为m＜x＜3，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，﹣1，
∴﹣2≤m＜﹣1．
故答案为：﹣2≤m＜﹣1．
24．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为．
【分析】根据折叠的性质可得出DC＝DE、CP＝EP，由∠EOF＝∠BOP、∠B＝∠E、GE＝GB可得出△GEF≌△GBP，根据全等三角形的性质可得出GF＝GP、EF＝BP，设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝4﹣x，BP＝3﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1，在Rt△ADF中，依据AF2+AD2＝DF2，可得到x的值．
解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，
∴DC＝DE＝4，CP＝EP．
在△GEF和△GBP中，
，
∴△OEF≌△OBP（ASA），
∴EF＝BP，GF＝GP，
∴BF＝EP＝CP，
设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝4﹣x，BP＝3﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1，
∵∠A＝90°，
∴Rt△ADF中，AF2+AD2＝DF2，
∴（4﹣x）2+32＝（1+x）2，
∴x＝，
∴CP＝，
故答案为：．
25．将两个全等的等腰直角三角形纸片的斜边重合，按如图位置放置，其中∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2．将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC．则EC+GC的最小值为2．
【分析】连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，先证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE＝CG，推出EC+GC＝EC+ED＝HE+ED≥DH，再证明四边形ABCD为正方形，从而H、A、C三点共线，再用勾股定理求出HD即可．
解：如图，连接DE，直线AE，作点C关于直线AE的对称点H，连接DH，
∵将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，
∴GE＝CD且GE∥CD，
∴四边形GEDC为平行四边形，
∴ED＝CG，
∴EC+GC＝EC+ED＝HE+ED≥DH，
∵CH⊥AE，AE∥BD，
∴CH⊥BD，
∵∠A＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝CB＝CD＝2，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∴H、A、C三点共线，
记HC与BD相交于M，
∴MD＝，HM＝3AM＝3MD，
∵BD＝＝2，
∴HD＝＝2，
∴EC+GC的最小值为2．
故答案为：2．
二.解答题（本大题有3个小题，共30分）
26．在精准扶贫活动中，青春党支部给帮扶的某贫困家庭赠送了甲、乙两种果树树苗让其栽种．已知乙种树苗的单价比甲种树苗的单价贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗的单价各是多少元？
（2）青春党支部决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵赠送给另一贫困家庭，此时，甲种树苗的单价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的单价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么最多可购买多少棵乙种树苗？
【分析】（1）设甲种树苗的单价是x元，则乙种树苗的单价是（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买m棵乙种树苗，则购买（50﹣m）棵甲种树苗，利用总价＝单价×数量，结合再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
解：（1）设甲种树苗的单价是x元，则乙种树苗的单价是（x+10）元，
依题意得：＝，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝30+10＝40．
答：甲种树苗的单价是30元，乙种树苗的单价是40元．
（2）设购买m棵乙种树苗，则购买（50﹣m）棵甲种树苗，
依题意得：30×（1﹣10%）（50﹣m）+40m≤1500，
解得：m≤，
又∵m为整数，
∴m的最大值为11．
答：最多可购买11棵乙种树苗．
27．如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，连接NM，NP．
（1）图1中，线段NM，NP的数量关系是NM＝NP，∠MNP的度数为60°；
（2）把△ADE绕点A顺时针旋转到如图2所示的位置，连接MP．求证：△MNP是等边三角形；
（3）把△ADE绕点A在平面内旋转，若AD＝2，AB＝5，请直接写出△MNP面积的最大值．
【分析】（1）根据点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，得MN＝，PN＝，MN∥AB，PN∥AC，可知MN＝PN，而∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，即可求出∠MNP＝60°；
（2）先证△ABD≌△ACE（SAS），得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，然后由（1）同理可得MN＝PN，∠MNP＝60°；
（3）先求出MN的最大值，由（2）知△MNP为等边三角形知，MN最大时，△MNP面积的最大，求出此时的面积即可．
解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，
∴MN＝，PN＝，MN∥AB，PN∥AC，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，
∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，
∴∠MNP＝60°，
故答案为：NM＝NP，60°；
（2）由旋转得：∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点，
∴MN＝，PN＝，MN∥BD，PN∥CE，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，
∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，
∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，
∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△MNP是等边三角形；
（3）由题意知BD≤AB+AD，
即BD≤7，
∴MN≤，
由（2）知△MNP是等边三角形，
∴MN＝时，S△MNP最大，
∴S△MNP最大为．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y 轴于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐标；
（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由旋转可知∠OAB＝60°，AC＝AB＝2，∠BAC＝90°，B（0，），过C点作CG⊥x轴于G点，求出C（1+，1），再由待定系数法求直线BC的解析式y＝（﹣2+）x+；
（2）设Q（x，y），分三种情况讨论：①当AB、CQ为平行四边形的对角线时，Q（﹣，﹣1）；②当AC、BQ为平行四边形的对角线时，Q（2+，1﹣）；③当AQ、BC为平行四边形的对角线时，Q（，1+）；
（3）设M（t，（﹣2+）t+），N（0，n），分三种情况讨论：①当AC、MN为平行四边形的对角线时，M（2+，﹣1）；②当AM、CN为平行四边形的对角线时，M（，3﹣）；③当AN、CM为平行四边形的对角线时，M（﹣，﹣3+3）．解：（1）∵x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴于点B，
∴∠OAB＝60°，
∵点A（1，0），
∴OA＝1，
∴AB＝2，OB＝，
∴B（0，），
∵点B绕点A顺时针旋转90°得到点C，
∴AC＝AB＝2，∠BAC＝90°，
过C点作CG⊥x轴于G点，
∴∠CAG＝30°，
∴CG＝1，AG＝，
∴C（1+，1），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴y＝（﹣2+）x+；
（2）设Q（x，y），
①当AB、CQ为平行四边形的对角线时，
AB的中点（，），CQ的中点（，），∴＝，＝，
∴x＝﹣，y＝﹣1，
∴Q（﹣，﹣1）；
②当AC、BQ为平行四边形的对角线时，
AC的中点（，），BQ的中点（，），
∴＝，＝，
∴x＝2+，y＝1﹣，
∴Q（2+，1﹣）；
③当AQ、BC为平行四边形的对角线时，
AQ的中点（，），BC的中点（，），∴＝，＝，
∴x＝，y＝1+，
∴Q（，1+）；
综上所述：点Q的坐标为（﹣，﹣1）或（2+，1﹣）或（，1+）；（3）∵M在直线BC上，N在y轴上，
设M（t，（﹣2+）t+），N（0，n），
①当AC、MN为平行四边形的对角线时，
AC中点的横坐标为，MN中点的横坐标为，
∴＝，
∴t＝2+，
∴M（2+，﹣1）；
②当AM、CN为平行四边形的对角线时，
AM中点的横坐标为，CN中点的横坐标为，
∴＝，
∴t＝，
∴M（，3﹣）；
③当AN、CM为平行四边形的对角线时，
AN中点的横坐标为，CM中点的横坐标为，
∴＝，
∴t＝﹣，
∴M（﹣，﹣3+3）；
综上所述：点M的坐标为（2+，﹣1）或（，3﹣）或（﹣，﹣3+3）．。