江苏省南通市如皋中学2020届高三创新班下学期高考冲刺模拟(三)数学试题

江苏省南通市如皋中学2020届高三创新班下学期高考冲刺模
拟（三）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．已知三角形ABC ，2a =，且
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则三角形
ABC 面积的最大值为______.
2．已知4a =，2b c a =-=，则
1
2
b c -的取值范围______. 3．设函数()2
f x ax b x
=
--(),a b R ∈，若对于任意正实数a 和实数b ，总存在[]01,2x ∈，使得()0f x m ≥，则实数m 的取值范围为______.
4．已知正实数a ，b 满足22a b +=，则41a b a b ⎛⎫⎛⎫
+
+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的最小值为__________ 5．已知过点(2,0)A -的直线与2x =相交于点C ，过点(2,0)B 的直线与2x =-相交于点D ，若直线CD 与圆2
2
4x y +=相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为__________.
6．已知双曲线E ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右顶点分别为A 、B ，M 是E 上一
点，且△ABM 为等腰三角形，，则双曲线E 的离心率为______. 7．已知O 为锐角三角形ABC 的外心，若7
cos 9
BOC ∠=-
，()1212,AO AB AC R λλλλ=+∈，则124λλ+的最大值______.
8．设正项数列{}n a 满足12...n n a a a S +++=，12...n n S S S T ⋅=，且1n n S T +=，则数
列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前10项的和为______. 9．若对()0,x ∀∈+∞，不等式22ln ln 0x e a a a x --≥恒成立，则实数a 的最大值为______.
10．直角坐标系xOy 中，已知MN 是圆C ：(x ﹣2)2+(y ﹣3)2=2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点.当弦MN 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣5=0上总存在两点A ，B ，使
得2
APB π
∠≥
恒成立，则线段AB 长度的最小值是_____.
11．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移
6
π
个单位后得到函数()g x 的图象，若1x ，2x 满足()()122f x g x -=，则12x x -的最小值为______.
12．设z 为复数，且1z =，当2
3
4
13z z z z ++++取得最小值时，则此时复数z =______.
13．当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立，则7a b +的取值范围是______.
14．三角形ABC 中，3cos 2cos 6cos A B C +=，则cos C 的最大值为______.
15．在ABC 中，已知()222sin sin sin sin A A C A C C ⋅=+-. （1）求cos 3B π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
的值； （2）若D 是BC 边上一点，5AD =，7AC =，3DC =，求AB 的长.
16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上（异于点P ，C ），平面ABE 与棱PD 交于点F .
（1）求证：//AB EF ；
（2）若AF EF ⊥，求证：平面PAD ⊥平面ABCD .
17．已知椭圆C ：2
212
x y +=.
（1）曲线D ：3
y x =与C 相交于A ，B 两点，H 为C 上异于A ，B 的点，若直线HA
的斜率为1，求直线HB 的斜率；
（2）若C 的左焦点为F ，右顶点为E ，直线l ：4x =.过F 的直线l '与C 相交于P ，
Q （P 在第一象限）两点，与l 相交于M ，是否存在l '使PFE △的面积等于△MPE
的面积与QFE △的面积之和.若存在，求直线l '的方程；若不存在，请说明理由. 18．经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km 的水果批发市场.据测算，J 型卡车满载行驶时，每100km 所消耗的燃油量u （单位：L ）与速度v （单
位：km/h ）的关系近似地满足2100
23,05020,50500
v v
u v v ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩除燃油费外，人工工资、车损
等其他费用平均每小时300元.已知燃油价格为每升（L ）7.5元.
（1）设运送这车水果的费用为y （元）（不计返程费用），将y 表示成速度v 的函数关系式；
（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？ 19．已知函数()x f x e ax -=-（x ∈R ）. （1）当1a =-时，求函数()f x 的最小值；
（2）若0x ≥时，()ln(1)1f x x -++≥，求实数a 的取值范围. 20．在等比数列{}n a 中，已知141
1,.8
a a ==
设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()*111
1,2,.2
n n n b a b S n n N -=-+=-≥∈
（1）求数列{}n a 通项公式；
（2）证明：数列n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
（3）是否存在等差数列{}n c ，使得对任意*n N ∈，都有n n n S c a ≤≤？若存在，求出所有符合题意的等差数列{}n c ；若不存在，请说明理由.
21．已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，求向量α，使得2
A αβ=． 22．在极坐标系中，已知以极点O 为圆心，2为半径的圆O 与以2,2C π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为圆心，且过极点的圆C 相交于A 、B 两点. （1）分别求圆O ，圆C 的极坐标方程； （2）求弦AB 所在直线的极坐标方程.
23．已知集合的“集合价”定义：含有()k k N ∈个元素的集合其“集合价”为1
2
k +，例如含有一个元素的集合其“集合价”为
1
3
.已知一个数集{}1,2,3,...,M n =，*n N ∈，我们从集合M 的所有子集中，任意取出一个M 的子集N .
（1）求当4n =时，取出的集合N 的“集合价”为
1
4
的概率； （2）设随机变量X 为取出的集合N 的“集合价”，求X 的分布列及数学期望()E X . 24．已知非空集合M 满足()*{0,1,2,
,}2,M n n n N ⊆≥∈.若存在非负整数
()k k n ≤，使得当a M ∈时，均有2k a M -∈，则称集合M 具有性质P .记具有性质
P 的集合M 的个数为()f n .
（1）求(2)f 的值； （2）求()f n 的表达式.
参考答案
1【解析】 【分析】
首先根据正弦定理化简以及将2a =，代入化简，利用余弦定理角A ，再利用基本不等式求得bc 的最大值. 【详解】
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，
利用正弦定理可得()()()2b a b c b c +-=-，
2a =，
222a b c bc ∴-=-，
2221cos 22b c a A bc +-∴==，sin 2A =
, 22242b c a bc bc bc +=+=+≥，即4bc ≤，
1
sin 4244
ABC
S
bc A ∴==≤=
所以ABC
【点睛】
本题考查正余弦定理，以及三角形面积公式，基本不等式求最值，属于中档题型，熟练掌握定理及公式是解题的关键. 2．[]1,7 【解析】 【分析】
由向量模的几何意义，分别求出向量b 和c 的轨迹，再利用模的几何意义求1
2
b c -的取值范围.
【详解】
首先建立平面直角坐标系，设()4,0OA a ==，
2b =，1
12
b ∴=，
1
2
b 是以原点为圆心，半径为1的圆，设其上任一点为点B ， 以点A 为圆心，半径为2作圆A ，设圆上任一点为点C ，连接OC ，即OC
c =， 如图，
1
2
b c -表示两圆圆上的点的连线，
1
2
b c -的最大值是圆心距加两个圆的半径4217++=， 最小值是圆心距减两个圆的半径4211--=， 所以
1
2
b c -的取值范围是[]1,7. 故答案为：[]1,7 【点睛】
本题考查根据向量的几何意义求取值范围，重点考查数形结合分析问题的能力，属于中档题型. 3．1
2
m ≤
【解析】 【分析】
先由题意，得到()0max m f x ≤，令()2
u x ax x
=
-，[]1,2x ∈，根据函数单调性，得到()2
u x ax x
=
-在[]1,2上单调递减，得出()[]12,2u x a a ∈--，结合绝对值的几何意义，
分别讨论332a b -≥，332
a
b -<两种情况，求出()0max f x 的范围，即可求出结果. 【详解】
因为对于任意正实数a 和实数b ，总存在[]01,2x ∈，使得()0f x m ≥， 所以，只需()0max m f x ≤，
令()2
u x ax x
=
-，[]1,2x ∈， 因为a 为正实数，所以2
y x
=与y ax =-单调递减，
因此函数()2
u x ax x
=-在[]1,2上单调递减，
所以()()()21u u x u ≤≤，因为0a >，所以122a a -<-，因此()[]12,2u x a a ∈--， 由绝对值的几何意义可得，()()00f x u x b =-表示数轴上的数()0u x 与b 的距离， 又
()()122332
2
a a a -+--=，即12a -与2a -的中点值为332
a -，
若332
a
b -≥
，根据绝对值的几何意义，可知()()00f x u x b =-的最大值为()0max 1221f x a b a b =--=+-，
因为3311
2121222
a a a
b a -++-≥+
-=>， 所以()0max 1
21212f x a b a b =+-=+->，
因此为使原不等式恒成立，只需1
2
m ≤；
若332
a b -<，根据绝对值的几何意义，可知()()00f x u x b =-的最大值为
()0max 22f x a b a b =--=+-，
因为33111
222222
a a a a
b a ---++-<+
-==-<-， 所以()0max 1
22
f x a b =+->，
因此为使原不等式恒成立，只需1
2
m ≤；
综上，1
2
m ≤.
故答案为：1
2
m ≤.
【点睛】
本题主要考查求绝对值不等式中的参数范围，根据绝对值的几何意义求解即可，涉及由单调性求函数的值域，属于常考题型. 4．
25
2
【解析】 【分析】
先由22a b =+以及基本不等式得ab 范围，再利用22a b =+将41a b a b ⎛⎫⎛⎫
+
+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
转化为关于ab 的函数，最后根据函数()8
4f t t t
=+-单调性求得结果. 【详解】
解：
正实数a ，b 满足22a b +=，∴22a b =+≥12
≤
ab . 则()()()2
2
2
222
2414424414ab a b ab a b ab a a b a b a b a b b b a ++⎛⎫⎛⎫++=⋅=+++++- ⎪= ⎪⎝+⎝
⎭⎭ 8
4ab ab
=+
-. 令ab
t ，10,2t ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
.即有8844ab t ab t +-=+-， 又函数()84f t t t =+
-在10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递减，∴()12522f t f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭.
故答案为：25
2
. 【点睛】
本题考查均值不等式的应用，考查了函数思想、转化思想，属于中档题.
5．2
21(0)4
x y y +=≠
【解析】 【分析】 【详解】
设直线AC ，BD 的斜率分别为12,k k ，则直线AC ，BD 的方程分别为：
()()122,2y k x y k x =+=- ，据此可得：()()122,4,2,4C k D k -- ，
则：()
12
124422CD k k k k k +=
=+-- ，
直线CD 的方程为：()()11242y k k k x -=+- ， 整理可得：()()121220k k x y k k +-+-=
2= ，
据此可得：1214
k k =-
， 由于：()()122,2y k x y k x =+=-， 两式相乘可得：(
)
2
2
2
121414
y k k x x =-=-
+ 即直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为()2
2104
x y y +=≠.
点睛：求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：
一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 6【解析】 【分析】
若M 在第一象限，令BAM BMA
θ∠=∠=，由条件可知△ABM 中
2sin a
θ
=、222||||2||||cos ||AM AB AM AB BM θ+
-=即可求得||AM ，进而得到5(,)33
a M ，
结合双曲线方程可得222a b =，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率 【详解】
由题意，可得如下示意图：若M 在第一象限
由已知有：||||2AB BM a ==，令BAM BMA θ∠=∠=且△ABM ，
∴根据正弦定理：
2sin a θ=，即sin 3θ=，故cos θ=，
又余弦定理知：2
2
2
||||2||||cos ||AM AB AM AB BM θ+-=，即有||3
AM =
，
∴5(,)33
a M ，由M 在E 上，则222532199a
b -=，有222a b =，
又222
2
22
3c a b e a a
+===，
∴e =
【点睛】
本题考查了求双曲线离心率，根据双曲线上的三点构成等腰三角形及其外接圆半径，结合正余弦定理求未知点坐标，根据点在曲线上，以及双曲线参数关系、离心率公式求离心率 7．
3316
【解析】 【分析】
设ABC 外接圆的半径为r ，,AB c AC b ==,求出AO AB ⋅，AO AC ⋅，在
12AO AB AC λλ=+两别分别乘以,AB AC ，可表示出12,λλ，利用基本不等式可求出最值. 【详解】
设ABC 外接圆的半径为r ，,AB c AC b ==,如图，
27
cos cos 22cos 19
BOC BAC BAC ∠=∠=∠-=-，1cos 3
BAC
， 可得
2112cos 2
c AO AB
AO AB BAO r c c r
， 同理可得2
12
AO AC
b ， 在12AO AB AC λλ=+两别分别乘以,AB AC 得
22
1222121123
1123c c bc b bc b λλλλ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩，整理得12
931616931616b c c b λλ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪=-⋅
⎪⎩
， 1293934533441616161616164b c b c c b c b λλ⎛⎫⎛⎫
∴+=
-⋅+-⋅=-⋅
+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
4533
1616
≤
-=
， 当且仅当
33164b c
c b
⋅=⋅，即2b c =
等号成立, 则124λλ+的最大值为
3316
. 故答案为：
3316
.
【点睛】
本题考查向量关系的处理，考查基本不等式的应用，属于较难题. 8．440 【解析】 【分析】
对n 进行取值，计算n S ，通过观察可归纳n S 的表达式，进一步求得n a ，然后可得1
n
a ，最后可得结果. 【详解】
由12...n n S S S T ⋅=，1n n S T += 所以12...1⋅=-n n S S S S
当1n =时，112S =
，当2n =时，223S =，当3n =时，334
S = 所以猜想可知：1n n S n =+，1
1n T n =+，则121 (1)
⋅==+n n S S S T n
用数学归纳法证明：当1n =时，左边=
1
2
=右边 假设n k =时，等式成立，即121 (1)
⋅=+k S S S k 则当1n k =+时，左边=1211111 (122)
+++⋅⋅=
⋅==+++k k k k S S S S T k k k 所以深对任意的n *∈N ，1
n n
S n =+
所以()
()11
21n n n a S S n n n -=-=
≥+
当1n =时，112
a =符合上式，所以()11n a n n =+ 则
1
1n
a n n
所以数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前10项的和为1223 (1011440)
故答案为：440 【点睛】
本题考查数列的应用以及数学归纳法的应用，考查分析问题的能力，属中档题. 9．2e 【解析】 【分析】 令()22ln ln x
f x e
a a a x =--，即()min 0f x ≥，利用导数研究函数的性质，由
()24x a f x e x
'=-
递增，由零点存在性定理可知存在0x 使()00f x '=，可得0204x
a x e =，()020min 2ln ln x f x e a a a x =--，代入0
204x
a x e =，得关于0x 的不等式，再通过构造函数，
利用函数的单调性求得0x 的取值范围，再由0
204x a x e =，求a 的最大值.
【详解】 令()22ln ln x
f x e
a a a x =--，所有()24x a
f x e x
'=-，
ln a 有意义，所以0a >，所以()f x '在()0,∞+单调递增，
因为当0x →时，()0f x '<，且()2410a
f a e '=->，
所以()00,x a ∃∈使得()00f x '=，
并且当()00,x x ∈时，()0f x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，
所以()()0200min 2ln ln x
f x f x e a a a x ==--，且()0
200
4x a f x e x '=-
所以0
204x a x e
=，00ln ln 4ln 2a x x =++，
所以()()0
0002222000000min 2ln ln 24ln 4ln 24ln x x x x f x e
a a a x e x e x x x e x =--=-++-，
()022*******ln 44ln 4x e x x x x =---
()()()022
0000212122ln ln 40x e x x x x ⎡⎤=-+-+≥⎣⎦ ， 所以()()()
2
000012122ln ln 40x x x x ⎡⎤-+-+≥⎣⎦，
考虑函数()()()()
2
2212122ln ln 4142ln 2ln 4h x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-+=---⎣⎦
， 其中()0,x ∈+∞，
根据复合函数单调性可知()h x 在()0,∞+上单调递减， 因为102h ⎛⎫=
⎪⎝⎭，所以解()0h x >，得到10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以010,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
， 因为0
204x a x e
=在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以a 的最大值为1
221
422
e e ⨯⨯=. 故答案为：2e 【点睛】
本题主要考查导数的计算，和导数在研究函数中的应用，重点考查逻辑分析问题的能力，推理能力，运算能力，属于难题.
10．2 【解析】 【分析】
依题意,点P 在以C 为圆心以1为半径的圆上,要使得∠APB 2
π
≥恒成立,则点P 在以AB 为
直径的圆内部,所以AB 的最小值为圆的直径的最小值. 【详解】
因为P 为MN 的中点,所以CP ⊥MN ,
又因为CM ⊥CN ,所以三角形CMN 为等腰直角三角形,所以CP =1,
即点P 在以C 为圆心,以1为半径的圆上,点P 所在圆的方程为(x ﹣2)2+(y ﹣3)2=1, 要使得∠APB 2
π
≥
恒成立,则点P 所在的圆在以AB 为直径的圆的内部,
而AB 在直线l ：x ﹣y ﹣5=0上,
C 到直线l ：x ﹣y ﹣5=0的距离d =
=.
所以以AB 为直径的圆的半径的最小值为r =1,
所以AB 的最小值为2r =2.
故答案为：2. 【点睛】
本题考查了直线和圆的关系的应用,考查了点与圆的位置关系,圆的性质等,属于难题.
11．
3
π 【解析】 【分析】
先利用平移变换得到()sin 23g x x π=-
⎛⎫
⎪⎝
⎭
，然后根据1x ，2x 满足()()122f x g x -=，利用正弦函数的性质得到()()1,1f x g x ==-或()()1,1f x g x =-=，即
1122322,222
3
2x k x k π
π
πππ=
+-
=
+或1324322,22232
x k x k πππππ=+-=+求解. 【详解】
函数()sin 2f x x =的图象向右平移
6
π
个单位后得到函数()sin 2sin 263x g x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦=，
因为()[]()[]
1,1,1,1f x g x ∈-∈-，由()()122f x g x -=， 得()()1,1f x g x ==-或()()1,1f x g x =-=， 当1122322,222
3
2
x k x k π
π
π
ππ=
+-
=
+时， ()1212122,,3k k x k Z x k ππ-+-=∈-， 当121k k -=时12
min
3
x x π
-=
，
当1324322,22232
x k x k πππ
ππ=
+-=+，()123434,,3k x x k k k Z ππ+-=∈-，
当340k k -=时12
min
3
x x π
-=
，
综上：12x x -的最小值为3
π
故答案为：3
π 【点睛】
本题主要考查三角函数图象的变换以及正弦函数性质的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
12
．14-
± 【解析】 【分析】
设复数z 的辐角为θ，将2
3
4
13z z z z ++++用θ表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得cos θ与sin θ的值，即可得复数z . 【详解】
设复数z 的辐角为θ，
234
13z z z z ++++=
=
2cos22cos 3θθ=++ 24cos 2cos 1θθ=++ 2
1334cos 444θ⎛
⎫=++≥ ⎪⎝
⎭
所以1cos 4θ=-
，sin
θ= 所以14z
=-
±， 故答案为：14- 【点睛】
本题主要考查了复数的三角形形式，涉及三角恒等变换及二次函数性质，属于中档题. 13．[]4,8- 【解析】 【分析】
根据题意可得：[]1,4x ∈时，不等式2
404a ax b x
≤++
≤恒成立，求得24
()f x x x =+的导数，可得单调区间和最值，讨论0a =，0a >，0a <，运用不等式恒成立的思想，可得7a b +的范围. 【详解】
当[]1,4x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤恒成立 即是当[]1,4x ∈时，不等式2404a
ax b x
≤++
≤恒成立， 也即是2440a x b x ≤≤⎛⎫
+
+ ⎪⎝⎭
， 令24()f x x x =+，可得333
48
()12x f x x x -'=-⨯=，
可得：当[]
1,2x ∈，()0f x '
≤；当[]
2,4x ∈，()0f x '≥，
所以24
()f x x x
=+
在[]1,2单调递减，在[]2,4单调递增， min 24()(2)232f x f ==+=，24
(1)151
f =+=，
2417
(4)444
f =+=，
所以[]24
()3,5f x x x
=+∈，令()f x t =，则[]3,5t ∈，
所以40at b ≤+≤，[]3,5t ∈
（1）当0a =时，04b ≤≤，此时074a b ≤+≤， （2）当0a >时，y at b =+在[]3,5t ∈上单调递增， 此时需满足y at b =+的最小值30y a b =+≥①，
y at b =+的最大值54y a b =+≤②，
②2⨯得1028a b +≤且(3)0a b -+≤，两式相加得78a b +≤， （3）当0a <时，y at b =+在[]3,5t ∈上单调递减， 此时需满足y at b =+的最小值50y a b =+≥③，
y at b =+的最大值34y a b =+≤④，
③2⨯得：1020a b +≥，且(3)4a b -+≥-，两式相加得74a b +≥-， 综上所述784a b ≤+≤- 故答案为：[]4,8-
【点睛】
本题主要考查了利用导数和函数的单调性、恒成立问题，并求参数的取值范围，属于较难题.
14．
1
6
. 【解析】 【分析】
把3cos 2cos 6cos A B C +=化成()32cos cos 2sin sin 6cos C A A C C -+=，用辅助角公式后再解不等式即可求解. 【详解】
解：()()cos cos cos sin sin cos cos B A C A C A C A C π=--=-+=-，
()3cos 2sin sin cos cos 6cos A A C A C C +-=，
()32cos cos 2sin sin 6cos C A A C C -+=，
由辅助角公式()32cos cos 2sin sin 6cos C A A C C -+=≤
所以6cos C ≤236cos +12cos 130C -≤，
11
cos 66
C ≤≤
，
则cos C 的最大值为
1
6
.
故答案为: . 【点睛】
考查用辅助角公式以及解不等式求最值，难题.
15．（1（2）2AB =. 【解析】 【分析】
（1）由正弦定理边角互化得222BC AB AC AB -⋅=-，再由余弦定理可得解；
（2）在ACD
△中，由余弦定理可得cos C，进而得sin C，在ABC中，由正弦定理可得解.
【详解】
（1）因为A B Cπ
++=，
()
22222
sin sin sin sin=sin sin
A A C A C C
B C
⋅=+--，
所以由正弦定理可知222
BC AB AC AB
⋅=-
，222
BC AB AC AB
+-=⋅，
222
cos
2
BC AB AC
B
BC AB
+-
==
⋅
.
因为在ABC中，()
0,
Bπ
∈，所以
4
B
π
=
所以
1
cos cos cos sin sin
33322224
B B B
πππ
⎛⎫
+=-=⨯-⨯=
⎪
⎝⎭
.
（2）由余弦定理可知，在ACD
△中，
222222
37511
cos
227314
DC AC AD
C
AC DC
+-+-
===
⋅⨯⨯
，因为()
0,
Cπ
∈，所以sin0
C>
，sin C===
由正弦定理可知，在ABC中，
sin sin
AB AC
C B
=
2
=
，所以AB=.
【点睛】
本题主要考查了应用正余弦定理解三角形，属于中档题.
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据四边形ABCD是矩形，得到//
AB CD，利用线面平行的判定定理得到//
AB平面PDC，再由线面平行的性质定理得到//
AB EF.
（2）根据四边形ABCD是矩形，所以AB AD
⊥，再由AF EF
⊥，//
AB EF，得到AB AF
⊥，又AB AD
⊥，利用线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理
证明. 【详解】
（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以//AB CD . 又AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ， 所以//AB 平面PDC . 因为AB
平面ABE ，平面ABE
平面PDC EF =，
所以//AB EF .
（2）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥. 因为AF EF ⊥，//AB EF ，所以AB AF ⊥. 又AB AD ⊥，点E 在棱PC 上（异于点C ）， 所以F 点异于点D ，所以AF
A AD =.
又AF ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD . 又AB
平面ABCD ，
所以平面PAD ⊥平面ABCD . 【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理，性质定理以及线面垂直，面面垂直的判定定理，还考查了转化回归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题. 17．（1）1
2
-；（2）直线l '不存在，理由见解析 【解析】 【分析】
(1)设(),H x y ,()11,A x y ,()11,B x y --,利用点差法可得
221112211112
HA HB
y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-,从而求出HB k ; (2)假设存在l '满足题意,设()04,M y ,()33,P x y ,()44,Q x y ,由()031
2
MPE
S
FE y y ⋅⋅-=,312PFE S
FE y =⋅⋅,()412QFE S FE y =⋅⋅-,可得0342y y y =+①,设l :1x my =-,令4x =,得05y m =,故3452y y m
+=②,再联立直线l 与椭圆方程,得到韦达定理,将之与②联立求解m ,若m 有解,则直线l '存在,若m 无解,则直线l '不存在. 【详解】
(1)由已知设(),H x y ,()11,A x y ,()11,B x y --, 因为点,H A 均在椭圆C 上,
所以22
22x y +=,22
1122x y +=,
两式相减得(
)22
22
112x x y y -=-,
又221112211112
HA HB y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==--+-,且1HA k =, ∴12
HB k =-
; (2)设()04,M y ,()33,P x y ,()44,Q x y , 则()0303111
222
MPE S FE y FE y FE y y =
⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-△, 31
2PFE
S FE y =⋅⋅, ()41
2
QFE
S
FE y =⋅⋅-, 假设存在l '使得PFE △的面积等于△MPE 的面积与QFE △的面积之和, 则PFE MPE QFE S S S =+△△△,即0342y y y =+①, 设l :1x my =-,令4x =,得05y m =
,∴3452y y m
+=②, 把1x my =-,将之代入2212
x y +=,整理得()
22
2210m y my +--=,
∴342
22m
y y m +=
+③, 3421
2
y y m =-+④,
②③联立得32
522m y m m =-+,4245
2m y m m
=-+⑤, 把⑤代入④得22252451222m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭
, 化简得4219500m m ++=,
由于此方程无解,故所求直线l '不存在. 【点睛】
本题考查了直线与椭圆相交的综合应用,考查了相关的面积问题,需要学生具备一定的计算分
析能力,有一定难度.
18．（1）21230000
690,0503120000600,5050
v v
y v v v ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩；（2）卡车以100km/h 的速度行驶.
【解析】 【分析】
（1）由题意，分050v <与50v >两种情况，分别计算，由此能将y 表示成速度v 的函数关系式．
（2）当050v <时，123000
690y v
=
+是单调减函数，故50v =时，y 取得最小值，当50v >时，23120000
60050v y v
=++，由导数求得当100v =时，y 取得最小值，比较即可
得解． 【详解】
解：（1）由题意，当050v <≤时，
400400
7.5300100y u v
=⋅
+⋅
1004003023300v v ⎛⎫
=⋅++⋅ ⎪⎝⎭
123000
690v
=
+， 当50v >时，400400
7.5300100y u v
=⋅
+⋅ 240
3020300500v v ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭
23120000
60050v v
=++， ∴2
1230000
690,0503120000600,5050
v v
y v v v ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩. （2）当050v <≤时，
123000
690y v
=
+是单调减函数， 故50v =时，y 取得最小值min 123000
6903150y v =+=， 当50v >时，23120000
60050v y v
=++，
由()3622
310312000002525v v y v v
-'=-==， 得100v =.
当50100v <<时，0y '<，
函数2312000060050v y v
=++单调递增，
∴当100v =时，y 取得最小值2min 3100120000600240050100
y ⨯=++=，
由于31502400>，
所以，当100v =时，y 取得最小值.
答：当卡车以100km/h 的速度行驶时，运送这车水果的费用最少. 【点睛】
本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答． 19．(1)1；(2)[2,)-+∞. 【解析】
试题分析：
(1)当1a =-时，函数的解析式为()x
f x e x -=+，据此求得导函数，结合导函数确
定函数的单调性，据此可得函数的最小值为()01f =；
(2)结合题意构造函数()()11x
g x e ax ln x =+++-，然后分类讨论2a ≥-和2
a <-两种情况可得实数a 的取值范围是[)2,-+∞. 试题解析：
(1) 当1a =-时，函数的解析式为()x
f x e x -=+，则：()'10x x f e -=-+≥，
结合导函数与原函数的关系可得函数在区间()0,∞+上单调递增，在区间(),0-∞上单调递减，
函数的最小值为：()0
011f e =+=.
（2）若0x ≥时，()()11f x ln x -++≥，即()110x
e ax ln x +++-≥（*） 令()()11x g x e ax ln x =+++-，则()1
'1
x
g x e a x =+
++ ①若2a ≥-，由（1）知1x e x -+≥，即1x e x -≥-，故1x e x ≥+
()()
11'12011
x g x e a x a a a x x =+
+≥+++≥=+≥++ ∴函数()g x 在区间[)0,+∞上单调递增，∴()()00g x g ≥=. ∴（*）式成立.
②若2a <-，令()11x
x e a x φ=+++，则()()()()
2
22
111'011x
x x e x e x x φ+-=-=≥++ ∴函数()x φ在区间[)0,+∞上单调递增，由于()020a φ=+<，
()111
110111a a e a a a a a a
φ--=+
+≥-++=+>---. 故()00,x a ∃∈-，使得()00x φ=，
则当00x x <<时，()()00x x φφ<=，即()'0g x <. ∴函数()g x 在区间()00,x 上单调递减， ∴()()000g x g <=，即（*）式不恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[)2,-+∞.
点睛：利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
20．（1）1
1
2
n n a -=；（2）详见解析；（3）存在，且0n c =. 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件求得q ，由此求得数列{}n a 通项公式.
（2）利用11,1
,2n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩，证得数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列.
（3）由（2）求得n b 和n S ，假设存在符合题意的等差数列{}n c ，结合n n n S c a ≤≤求得0n c =. 【详解】
（1）依题意13411
18a a a q =⎧⎪
⎨==⎪⎩
，解得12q =，所以1
12n n a -=. （2）依题意11b =-，112n n n a b S -+=-，即11111111
2222
n n n n n n b S b S ----+=-⇒=--①， 所以111
22
n n n b S +=-
-②， ②-①并化简得()111
222
n n n b b n +=+≥，
故1
1
1
1122n n n
n b b +--
=⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，即
*111,2,n n
n n
b b n n N a a ++-=≥∈. 令2n =代入11
2
n n n a b S -+=-
得 221122111111
0222222
a b S b b a +=-=-=⇒=-=-=.
所以
21211b b a a -=.所以*111,n n n n
b b n N a a ++-=∈. 所以数列n n b a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以11
1b a =-为首项，公差为1的等差数列.
（3）由（2）得112n n b n n a =-+-=-，所以122n n n b --=. 所以()11111222
22n n n n n n n n S a b ++--⎛⎫
=-+=-+=- ⎪
⎝⎭.
假设存在满足题意的等差数列{}n c ，使得对任意*n N ∈，都有n n n S c a ≤≤，设n c dn c =+， 即对任意*n N ∈，都有11122n n n n c ---
≤≤，即11
1
22
n n n dn c ---≤+≤③. 首先证明满足③的0d =：
（i ）当0d >时，若1c n d ->，*n N ∈，则11
12n n c dn c -=+>>，不满足③； （ii ）当0d <时，若1c
n d
+>-，*n N ∈，则1n c dn c =+<-.
而1111
0222n n n n n n n n S S +-+--=-+=≥，则1121S S S -==<<，
所以112n n n S --=≥-，则12
1n n n c dn c S n
-=+<-≤-=，不满足③；
所以0d =.
令()()()1ln 22ln 7f x x x x =--≥，()'
22
ln 2ln 207
f x x =-
>->， 所以()f x 在[)7,+∞上递增.
所以当7x ≥时，()()64
76ln 22ln 7ln 049
f x f ≥=-=>. 即当7x ≥时，()1
21ln 22ln 0ln 2ln x x x x --->⇔>，即122x x ->.
所以当7n ≥，*n N ∈时，122n n ->. 再证明0c
：
（iii ）若0c <，则当7n ≥时，*
1,n n N c
>-∈，112n n n S c n
-=->->，这与③矛盾. （iv ）若0c >，同（i ）可得矛盾.所以0c .
当0n c =时，11
0,1
02
2n n n ---
<>，满足n n n S c a ≤≤，所以0n c =. 综上所述，存在唯一的等差数列{}n c ，其通项公式为0n c =，满足题设. 【点睛】
本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差数列的证明，考查数列中的探究性问题，属于难题.
21．12α-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
【解析】 【详解】
【分析】
考察矩阵的乘法、待定系数法，容易题．
设x
y α⎡⎤=⎣⎦
，由2
A αβ=得： 3214
32x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，32111{{,43222x y x x y y α+==--⎡⎤
∴∴∴=⎢⎥+==⎣⎦
22．（1）圆:O 2ρ=，圆:C 4sin ρθ=；（2）sin 1ρθ=. 【解析】 【分析】
（1）根据题意，直接得出圆O 的极坐标方程；求出圆C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；
（2）联立两圆的极坐标方程，得到交点的极坐标为2,6A π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
、52,
6
B π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，进而可得弦AB 所在直线的极坐标方程. 【详解】
（1）由题意，以极点O 为圆心，2为半径的圆O 的极坐标方程为2ρ=； 圆C 的圆心为2,
2C π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，其直角坐标为2cos
,2sin
2
2C π
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，即()0,2C ，半径为2， 所以其直角坐标方程为：()2
224x y +-=，即2
2
40x y y +-=， 化为极坐标方程为4sin ρθ=；
（2）由24sin ρρθ=⎧⎨
=⎩
得1
sin 2θ=，∵02θπ≤<，∴6πθ=或56π，
∴2,6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭
、52,6B π⎛⎫
⎪⎝⎭，化为直角坐标为2cos ,2sin 66A ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭、552cos ,2sin 66B ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
即)
A
，()
B ，
所以直线AB 的方程为：1y =，
因此弦AB 所在直线的极坐标方程为sin 1ρθ=. 【点睛】
本题主要考查求圆的极坐标方程，考查求直线的极坐标方程，属于常考题型.
23．（1）3
8；（2）分布列见解析，()()
1
21212n n
n n n +⋅+⋅++. 【解析】 【分析】
（1）求出取出的集合N 的“集合价”为1
4
包含的基本事件的个数，集合M 的所有子集有42个，利用古典概率公式即可求概率.
（2）写出随机变量X 的所有可能取值，计算出概率，即可列出分布列，求出期望. 【详解】
（1）记“取出的集合N 的“集合价”为
1
4
”为事件A . 则当4n =时，{}1,2,3,4M =，集合M 的所有子集个数为42，
其中“集合价”14的子集（即二元集）的个数为2
4C 个，所以()2
44632168
C P A ===.
答：取出的集合N 的“集合价”为14
的概率为3
8.
（2）随机变量X 的所有可能取值为1
2，13，14，…，12
n +
则
()*
10,22k
n n C P X k n k N k ⎛⎫==≤≤∈ ⎪+⎝
⎭，随机变量X 的概率分布为
因此随机变量X 的数学期望为
()0011
122
22
k
n
n
k
n n n
n k k C E X C k k ====++∑∑
其中()()()()0000111112112112n
n n n k k k k
n n n n k k k k C C C C k k k k k k k ====⎡⎤=-=-⎢⎥+++++++⎣⎦
∑∑∑∑ ()()()()12
121212001
21111112112n n n n k k k k n n n n k k k k C C C C n n n n n n ++++++++=====-=-++++++∑∑∑∑ ()()()()12121232111212n n n n n n n n n n +++---⋅+=-=+++++
所以()()()
121
212n n n E X n n +⋅+=⋅++
答：随机变量X 的数学期望为()()
121
212n n
n n n +⋅+⋅++. 【点睛】
本题主要考查了利用古典概率公式求概率，以及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.
24．（1）(2)5f =（2）2
1
2
625,(){42
5,.
n
n n n f n n n 为偶数，
为奇数+⨯--=⨯-- 【解析】
试题分析：（1）因为{}0,1,2M ⊆，所以{}{}{}{}{}0,1,2,0,2,0,1,2M =，对应的k 分别为0,1,2,1,1，故(2)5f =．（2）通过研究相邻两项之间关系，得递推关系，进而可求通项：设当n k =时，具有性质P 的集合M 的个数为()f t ，当1n k =+时，
(1)()(1)f t f t g t +=++，关键计算(1)g t +关于t 的表达式，① 当t 为偶数时，1t +为奇
数，212
2
2
(1)22
21221t t t g t -+=++
++=⨯-；② 当t 为奇数时，1t +
为偶数，
111
2
2
2
(1)2
2
2121t t t g t +-+=++
++=-，最后根据累加法解得
2
1
2
625,(){42
5,.
n
n n n f n n n 为偶数，
为奇数+⨯--=⨯-- 试题解析：（1）当2n =时，{}{}{}{}{}0,1,2,0,2,0,1,2M =具有性质P ， 对应的k 分别为0,1,2,1,1，故(2)5f =．
（2）可知当n k =时，具有性质P 的集合M 的个数为()f t ， 则当1n k =+时，(1)()(1)f t f t g t +=++，
其中(1)g t +表达1t M +∈也具有性质P 的集合M 的个数， 下面计算(1)g t +关于t 的表达式，
此时应有21k t ≥+，即1
2
t k +≥
，故对n t =分奇偶讨论， ① 当t 为偶数时，1t +为奇数，故应该有2
2
t k +≥，
则对每一个k ，1t +和21k t --必然属于集合M ，且t 和2k t -，…，
k 和k 共有1t k +-组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M ，
故对每一个k ，对应的具有性质P 的集合M 的个数为
01111112
t k t k t k t k t k C C C +-+-+-+-+-++
+=， 所以2
12
2
2
(1)22
21221t t t g t -+=++
++=⨯-，
② 当t 为奇数时，1t +为偶数，故应该有1
2
t k +≥，
同理111
2
2
2
(1)2
2
2121t t t g t +-+=++
++=-，
综上，可得2
2
()221,(1){
()21,t t f t t f t f t t +⨯-+=+-为偶数，
为奇数，又(2)5f =，
由累加法解得2
12625,(){
42
5,t t t t f t t t +⨯--=⨯--为偶数，为奇数，
即2
1
2625,(){425,.
n n n n f n n n 为偶数，
为奇数+⨯--=⨯-- 考点：数列新定义，数列递推关系。