黑龙江省大庆市高二数学下学期开学考试(3月)试题
黑龙江省大庆2023-2024学年高二下学期开学考试 数学含答案
大庆2022级高（二）下学期开学考试数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设不同的直线12:210,:210l x my l x y --=-+=，若1l 2l ，则m 的值为（）A.4- B.1- C.1D.42.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）A.28B.30C.32D.363.已知()e ln xf x x =，则()f x '＝（）A.e x xB.1e xx+C.()e ln 1x x x x+ D.1ln x x+4.设{}n a 是公差不为0的等差数列，2410,,a a a 成等比数列，则115a a =（）A.3B.52C.115D.25.一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中三个红色，两个绿色，一个黄色．若从中任取两个小球，则下列说法错误．．的是（）A.恰有一个红球的概率为35B.两个球都是红球的概率为15C.“至少一个黄球”和“两个都是红球”为互斥事件D.“至少一个绿球”和“至多一个绿球”为对立事件6.已知函数()3116ln 3x x ax f x =+-在区间[]1,3上单调递减，则a 的取值范围是（）A.()17,+∞ B.43,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.[)17,+∞ D.43,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭7.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:2l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和2l 距离之和的最小值是（）A.15+ B.2 C.165D.38.“a b ”表示实数a 整除实数b ，例如：2,4a b ==，已知数列{}n a 满足：121,2a a ==，若()12n n a a +⋅，则213n n n a a a ++=-，否则21n n n a a a ++=-，那么下列说法正确的有（）A.429a = B.1n n a a +<C.对任意*n ∈N ，都有()31313n n a a -++ D.存在*,0n n a ∈=N 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.直方图中x 的值为0.030B.估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分C.估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为90分D.估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠.若8n S S ≤，则（）A.10a <B.0d <C.80a = D.170S ≤11.若函数()()ln 0cf x ax b x a x=+-≠在x c =处取得极值，则（）A.240b ac ->B.ac b +为定值C.当0<a 时，()f x 有且仅有一个极大值D.若()f x 有两个极值点，则1x a=是()f x 的极小值点12.已知双曲线22:1C x y -=的左焦点为F ，直线l 经过左焦点F 与双曲线的左支分别交于两点,A B ，点P 是右支上一点，则下列说法正确的是（）A.当直线l 存在斜率k 时，则(,1][1)k ∈-∞-+∞B.线段||AB 的最小值为2C.PAB 的面积1,)PAB S ∈++∞△D.当点P 的纵坐标为1时，PAB 的垂心(,)H m n 一定满足221n m =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若圆22:410+++-=C x y mx y 关于直线31y x =+对称，则m =______．14.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为17和p .若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为1356，则p =_______.15.谢尔宾斯基三角形由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的一种分形，它是按照如下规则得到的：在等边三角形ABC 中，连接三边的中点，得到四个小三角形，然后去掉中间的那个小三角形，最后对余下的三个小三角形重复上述操作，便可获得谢尔宾斯基三角形.记操作n 次后，该三角中白色三角形的个数为n a ，则4a =_______，若黑色三角形个数为n b ，则n b =_______.16.已知对任意实数x 都有()()2e xf x f x ='+，且()00f =，若不等式()()1f x a x <-（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是_______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列{}n a 满足()22n S n n n *=+∈N，等比数列{}nb 满足12b =，664b=.（1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .18.已知函数()2e xf x x -=（0x >）．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间和极值．19.某学校为举办庆祝建党100周年演讲比赛活动，需要2名同学担任主持人．经过初选有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进入了最后的主持人选拔．（1）若这5名同学通过选拔的可能性相同，求甲和乙都通过选拔的概率；（2）已知甲、乙、丙是男生，丁、戊是女生，要求主持人为一男一女，男生和女生分成两组分别选拔．若每个男生通过选拔的可能性相同，每个女生通过选拔的可能性也相同，求男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率．20.已知数列n {}a 的前n 项和为n S ，11a =，给出以下三个命题：①22n n a a +-=；②n {}a 是等差数列；③2122n n n S S a n ++=-++（1）从三个命题中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并进行证明；（2）利用（1）中的条件，证明数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和34nT <.21.已知函数21()(1)ln 1()2f x x a x a x a =-+++∈R .（1）若a<0，且1y =与函数()y f x =的图象相切，求a 的值；（2）若()1f x ≥对(0,)∀∈+∞x 成立，求实数a 的取值范围.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率12e =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于,,,A B C D 四个点，若该两条直线的斜率分别为12,k k ，且123 4k k⋅=-，求AOC的面积；（3）如图，在（2）的条件下，椭圆上一点P，位于,A C之间，求四边形PAOC面积的最大值.大庆2022级高（二）下学期开学考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设不同的直线12:210,:210l x my l x y --=-+=，若1l 2l ，则m 的值为（）A.4-B.1- C.1D.4【答案】D 【解析】【分析】由直线平行的性质列方程求解即可.【详解】由题意()()2210m ⨯---⨯=，解得4m =，经检验，符合题意.故选：D.2.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）A.28B.30C.32D.36【答案】A 【解析】【分析】根据抽样比即可求解.【详解】由题意可知抽取到的男性职工人数为10032064500⨯=，女性职工人数为1006436-=，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多643628-=．故选：A3.已知()e ln xf x x =，则()f x '＝（）A.e x xB.1e xx+C.()e ln 1x x x x+ D.1ln x x+【答案】C 【解析】【分析】由导数的运算法则验算即可.【详解】由题意()e ln 1e ln e ·x xx x x f x x x x='+=+.故选：C.4.设{}n a 是公差不为0的等差数列，2410,,a a a 成等比数列，则115a a =（）A.3B.52C.115D.2【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得24210a a a =⋅，运算可得10a =，再根据等差数列通项可求得115,a a 得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，由题意可得24210a a a =⋅，即()()()211139a d a d a d +=++，解得10a d =，又0d ≠，10a ∴=，则1111010a a d d =+=，54a d =，11510542a d a d ∴==.故选：B.5.一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中三个红色，两个绿色，一个黄色．若从中任取两个小球，则下列说法错误．．的是（）A.恰有一个红球的概率为35B.两个球都是红球的概率为15C.“至少一个黄球”和“两个都是红球”为互斥事件D.“至少一个绿球”和“至多一个绿球”为对立事件【答案】D 【解析】【分析】根据古典概型，分别计算样本空间和事件空间，再根据相关定义逐项分析.【详解】从6个球中任取2个球共有6530⨯=种取法，设三个红球记为1，2，3，两个绿球记为a ，b ，一个黄球记为h ，记事件A 为恰有一个红球，{(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(3,),(3,),(3,),A a b h a b h a b h =(,1),(,1),(,1),(,2),(,2),(,2),(,3),(,3),(,3)}a b h a b h a b h ，即33333()655P A ⨯+⨯==⨯，A 正确；记事件B 为两个球都是红球，{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}B =，321()655P B ⨯==⨯，B 正确；记事件C 为至少一个是黄球，表示2个球中有1个是黄球，另一个是红球或绿球，2个球都是红球，则不可能包含黄球，即C 和B 不可能同时发生，是互斥事件，C 正确；记事件D 为至少一个绿球，则D 包含恰有1个绿球，记事件E 为至多一个绿球，则E 也包含恰有1个绿球，所以D E ⋂≠∅，所以“至少一个绿球”和“至多一个绿球”不是对立事件，D 错误；故选：D ．6.已知函数()3116ln 3x x ax f x =+-在区间[]1,3上单调递减，则a 的取值范围是（）A.()17,+∞B.43,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.[)17,+∞ D.43,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】利用函数导数与函数单调性的关系将问题转化为216a x x≥+恒成立问题，构造函数()216g x x x=+，利用导数求得()g x 的最大值，从而得解.【详解】因为()3116ln 3x x ax f x =+-，则()216f x x a x=+-'，由题意知()0f x '≤在区间[]1,3上恒成立，即216a x x≥+在区间[]1,3上恒成立.令()216g x x x =+，[]1,3x ∈，所以()()()232222216216224x x x g x x x x x x-'+==+--=，因为()22241330x x x ++=++≥>，所以当12x <<时，()0g x '<，当23x <<时，()0g x '>，所以()g x 在()1,2上单调递减，在()2,3上单调递增，又()21611711g +==，()21634317333g +==<，所以()()max 117g x g ==，则17a ≥，即a 的取值范围是[)17,+∞.故选：C.7.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:2l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和2l 距离之和的最小值是（）A.15+ B.2C.165D.3【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义可得动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为焦点F 到直线1:4360l x y -+=的距离加1，由点到直线的距离公式计算可得选项.【详解】由题可知1x =-是抛物线24y x =的准线，设抛物线的焦点为F ，则()1,0F ，所以动点P 到2l 的距离等于P 到1x =-的距离加1，即动点P 到2l 的距离等于1PF +.所以动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为焦点F 到直线1:4360l x y -+=的距离加1，即其最小值是406135-++=.故选：D8.“a b ”表示实数a 整除实数b ，例如：2,4a b ==，已知数列{}n a 满足：121,2a a ==，若()12n n a a +⋅，则213n n n a a a ++=-，否则21n n n a a a ++=-，那么下列说法正确的有（）A.429a = B.1n n a a +<C.对任意*n ∈N ，都有()31313n n a a -++ D.存在*,0n n a ∈=N 【答案】C 【解析】【分析】根据递推关系可计算413a =，58a =，故可判断AB 的正误，利用数学归纳法可证：32-n a 除3余1，331,n n a a -除3余2，且32-n a ，3n a 为奇数，31-n a 为偶数，故可判断CD 的正误.【详解】因为121,2a a ==，故()122|a a ，故32153a ⨯=-=，而()232|a a ，故435213a ⨯-==，故A 错误.但2|()34a a ，故51358a -==，此时45a a >，故B 错误.下面用数学归纳法证明：32-n a 除3余1，331,n n a a -除3余2，且32-n a ，3n a 为奇数，31-n a 为偶数.当1n =时，1231,2,5a a a ===，此时1a 除3余1，23,a a 除3余2，且1a ，3a 为奇数，2a 为偶数.设当n k =时，32k a -除3余1，331,k k a a -除3余2，且32k a -，3k a 为奇数，31k a -为偶数.则当1n k =+时，313313k k k a a a +-=-为奇数，32313k k k a a a ++=-为偶数，3332313k k k a a a +++=-为奇数，又31k a +与31k a --除3余数相同，故31k a +除3余1，故32k a +除3余2，故33k a +除3余2，由数学归纳法可得32-n a 除3余1，331,n n a a -除3余2，且32-n a ，3n a 为奇数，31-n a 为偶数.故31n a +除3余1，31-n a 除3余2，故3131n n a a +-+除3余0，即()31313|n n a a +-+，故C 正确.由C 的分析可得{}n a 没有项使得0n a =，否则n a 除以3的余数为0，故D 错误.故选：C.【点睛】方法点睛：对于给定的数列的递推关系，要研究数列的若干性质，注意从而特殊情况总结出一般规律，再利用数学归纳法证明即可.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.直方图中x 的值为0.030B.估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分C.估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为90分D.估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分【答案】AD 【解析】【分析】根据直方图面积为1可判断A ，再根据直方图中平均数、中位数与众数的求法判断BCD .【详解】对A ，()0.0050.0100.0150.04101x ++++⨯=，故()0.07101x +⨯=，解得0.03x =，故A 正确；对B ，该市普法知识竞赛成绩的平均数为()0.005550.010650.015750.03850.04951084⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故B 错误；对C ，由表可得小于90分的人数频率()0.0050.0100.0150.030100.60.5+++⨯=≠，故竞赛成绩中位数不为90，故C 错误；对D ，由表可得估计该市普法知识竞赛成绩的众数为90100952+=分，故D 正确；故选：AD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠.若8n S S ≤，则（）A.10a <B.0d <C.80a =D.170S ≤【答案】BD 【解析】【分析】由已知得到等差数列{}n a 的首项一定为正数，且公差小于零，然后利用条件逐一判断即可.【详解】若8n S S ≤，即等差数列前8项和达到最大，则等差数列{}n a 的首项一定为正数，且公差小于零，故A 错误，B 正确；又8870a S S =-≥，故C 错误，9980a S S =-≤ ，()191717201717a a S a +==∴≤，D 正确；故选：BD.11.若函数()()ln 0cf x ax b x a x=+-≠在x c =处取得极值，则（）A.240b ac ->B.ac b +为定值C.当0<a 时，()f x 有且仅有一个极大值D.若()f x 有两个极值点，则1x a=是()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】【分析】求导()22ax bx cf x x++='，由题意可知，x c =是方程20ax bx c ++=的一个变号实数根，则Δ0>，即可判断A ；由20ac bc c ++=判断B ；当a<0时，可得，当()0,x c ∈时()0f x ¢>，当(),x c ∈+∞时()0f x '<，即可判断C ；将1b ac =--代入20ax bx c ++=整理得()10x x c a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则方程有不相等的实数根1a 与c ，分类讨论，结合极值点的定义可判断D.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，则0x c =>，()222b c ax bx cf x a x x x ++=++='，由题意可知，x c =是方程20ax bx c ++=的一个变号实数根，则2Δ40b ac =->，故A 正确；由20ac bc c ++=得，1ac b +=-，故B 正确；当a<0时，因为0c >，所以函数2y ax bx c =++开口向下，且与x 轴正半轴只有一个交点，当()0,x c ∈时，()0f x ¢>，当(),x c ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在()0,c 上单调递增，在(),c +∞上单调递减，则()f x 有且仅有一个极大值，故C 正确；将1b ac =--代入20ax bx c ++=整理得()10x x c a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则方程有不相等的实数根1a 与c ，即1c a≠，当10c a <<时，()10,,x c a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 时，()10,,f x x c a ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭'时，()0f x '<，所以()f x 在()10,,,c a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则1x a=是()f x 的极大值点，x c =是()f x 的极小值点，当10c a <<时，()10,,x c a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 时，()0f x ¢>；当1,x c a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在()10,,,c a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则x c =是()f x 的极大值点，1x a=是()f x 的极小值点，故D 错误，故选：ABC.12.已知双曲线22:1C x y -=的左焦点为F ，直线l 经过左焦点F 与双曲线的左支分别交于两点,A B ，点P 是右支上一点，则下列说法正确的是（）A.当直线l 存在斜率k 时，则(,1][1)k ∈-∞-+∞B.线段||AB 的最小值为2C.PAB 的面积1,)PAB S ∈++∞△D.当点P 的纵坐标为1时，PAB 的垂心(,)H m n 一定满足221n m =-【答案】BCD 【解析】【分析】取特值说明判断A ；设直线l 方程，与双曲线方程联立求出弦长及面积的最小值判断BC ；求出垂心H 的位置判断D.【详解】双曲线22:1C x y -=的左焦点为(F ，对于A ，当1k =-或1k =时，直线l 与双曲线C 的渐近线y x =±之一平行，直线l 与C 只有一个交点，因此1k ≠±，A 错误；对于B ，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l的方程为x ty =221x ty x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩消去x得：22(1)10t y --+=，显然2210Δ440t t ⎧-≠⎨=+>⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1221221101y y t y y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=<⎪-⎩，即21t <，则||AB =2222(1)42211t t t+==-≥--，当且仅当0=t 时取等号，B 正确；对于C ，由选项B 知，222(1)||1t AB t +=-，点2200000(,)(1,1)P x y y x x =-≥到直线l的距离d =因此PAB的面积022111||(1211PABS AB d x t t =⋅=+≥+⋅--1(112=⋅≥+，当且仅当01,0x t ==时取等号，（函数y =对2[0,1)t ∈单调递减，函数12y =对2[0,1)t ∈单调递增），因此PAB的面积1,)PAB S ∈+∞△，C 正确；对于D ，令点(,)T x y '''是双曲线22:1C x y -=上任意一点，有()()1x y x y ''''-+=将向量(,)OT x y '''=绕原点O 逆时针旋转π4得(,)OT x y =，点(,)T x y ，则ππi (i)(cos isin )()()i 4422x y x y x y x y ''''''+=++-++，于是x y x y ⎧-=⎪⎨+=''''⎪⎩，因此12xy =，即双曲线C 绕原点O 逆时针旋转π4后得双曲线12xy =，令345345111,,,,,222M x N x Q x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是双曲线12xy =上任意三点，()00,R t s 为MNQ △的垂心，则00MR QN NR QM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，而0300403411,,,22MR t x s NR t x s x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()45454545111,1,222QN x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()353511,2QM x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，于是0304530403541102211022t x s x x x t x s x x x ⎧⎛⎫---=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪---= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得03450345142t x x x s x x x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，因此0012t s =，即MNQ △的垂心在双曲线12xy =上，从而双曲线C 上任意三点构造的三角形垂心仍在双曲线C 上，所以当点P 的纵坐标为1时，PAB 的垂心(,)H m n 一定满足221m n -=，即221n m =-，D 正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：等轴双曲线上任意三点构造的三角形垂心仍在该双曲线上.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若圆22:410+++-=C x y mx y 关于直线31y x =+对称，则m =______．【答案】2【解析】【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数m 的值.【详解】圆C 的圆心为,22m C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由题意可知，圆心在直线31y x =+上，则3122m ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，解得2m =，当2m =时，此时方程表示圆，满足题意.故答案为：2.14.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为17和p .若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为1356，则p =_______.【答案】18【解析】【分析】利用独立事件同时发生的概率求解.【详解】由题意得()161317756p p -+=，解得18p =.故答案为：1815.谢尔宾斯基三角形由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的一种分形，它是按照如下规则得到的：在等边三角形ABC 中，连接三边的中点，得到四个小三角形，然后去掉中间的那个小三角形，最后对余下的三个小三角形重复上述操作，便可获得谢尔宾斯基三角形.记操作n 次后，该三角中白色三角形的个数为n a ，则4a =_______，若黑色三角形个数为n b ，则n b =_______.【答案】①.81②.312n -.【解析】【分析】根据题设条件可得两个数列的递推关系，故可求4,n a b .【详解】由题设每次操作，前一个图形中的每一个白色三角形均可以得到下一个图形中的3个小白色三角形，故13n n a a -=，而130a =≠，故{}n a 为等比数列，故3nn a =，则481a =，而每一个图形中的黑色三角形是前个图形中的黑色三角形与白色三角形截得的小黑色三角形构成，故11113n n n n n b b a b ----=+=+，而11b =，故12113311333132n n n n b ---=++++==- ，而11b =也符合该式，故312n n b -=.故答案为：81，312n -.16.已知对任意实数x 都有()()2e xf x f x ='+，且()00f =，若不等式()()1f x a x <-（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是_______.【答案】32342e 3e a ≤<【解析】【分析】由题设中导数与原函数的关系可求得()2e xf x x =，利用导数讨论其符号后可得其图象，结合图象可求参数的取值范围.【详解】设()()xf xg x =e ，则()()()2e x f x f x g x '-'==，故()2g x x c =+即()2exf x x c =+即()()2e xf x x c =+，而()00f =，故0c =，所以()2e x f x x =，故()()21e xf x x +'=，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-，()0f x ¢>，故()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()min 1(1)ef x f =-=-，而x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，令()()1g x a x =-，则()(),f x g x 的图象如图所示，因为不等式()()1f x a x <-的解集中恰有两个整数，且()021f a '=>>，故结合图象可得()()()()2233f g f g ⎧-<-⎪⎨-≥-⎪⎩即234e 36e 4aa --⎧-<-⎨-≥-⎩，故32342e 3e a ≤<故答案为：32342e 3e a ≤<.【点睛】方法点睛：不等式的整数解个数问题，应利用导数刻画函数的单调性后刻画函数的图象，结合不同图象的位置求出参数的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列{}n a 满足()22n S n n n *=+∈N，等比数列{}nb 满足12b =，664b=.（1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，2nn b =（2）()12122n n T n +=-⋅+【解析】【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式，求出等比数列{}n b 的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列{}n b 的通项公式；（2）求得()212nn n a b n =+⋅，利用错位相减法可求得n T .【小问1详解】解：当1n =时，113a S ==，当2n ≥时，()()()2222121212121n n n a S S n n n n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+--=+⎣⎦，13a =也满足21n a n =+，所以，对任意的n *∈N ，21n a n =+.设等比数列{}n b 的公比为q ，则5561264b b q q ===，所以，2q =，因此，111222n n n n b b q--==⨯=.【小问2详解】解：因为()212nn n a b n =+⋅，所以，()23252212nn T n =⋅+⋅+++⋅ ，()()21232212212n n n T n n +=⋅++-⋅++⋅ ，两式相减：()()()1211812322222212621212n nn n n T n n -++--=⋅+⋅++⋅-+⋅=++⋅- ()12122n n +=-+-⋅，于是()12122n n T n +=-+.18.已知函数()2e xf x x -=（0x >）．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间和极值．【答案】（1）1ey x =（2）单调递减区间为(2,)+∞，单调递增区间为(0,2)，极大值为24(2)e f =，没有极小值.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，（2）对函数求导，由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值【小问1详解】()2e x f x x -=，∴2()(2)e x f x x x -'=-，∴1(1)ef '=，而1(1)e f =，∴11(1)e ey x -=-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1ey x =.．【小问2详解】由（1）知()(2)e x f x x x -'=--（0x >）易得2x >时，()0f x '<，函数()f x 在()2,+∞上单调递减，当02x <<时，()0f x '>，函数()f x 在()0,2上单调递增，所以函数()2e xf x x -=（0x >）的单调递减区间为(2,)+∞，单调递增区间为(0,2)，所以函数()2e xf x x -=（0x >）在2x =处取得极大值24(2)e f =，没有极小值.19.某学校为举办庆祝建党100周年演讲比赛活动，需要2名同学担任主持人．经过初选有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进入了最后的主持人选拔．（1）若这5名同学通过选拔的可能性相同，求甲和乙都通过选拔的概率；（2）已知甲、乙、丙是男生，丁、戊是女生，要求主持人为一男一女，男生和女生分成两组分别选拔．若每个男生通过选拔的可能性相同，每个女生通过选拔的可能性也相同，求男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率．【答案】（1）110（2）23【解析】【分析】（1）根据古典概型，计算出基本事件和所求事件的种类即可；（2）理解“男生甲女生丁至少有一人通过选拔”所表达的含义，即是或者是甲通过丁不通过，或是丁通过甲不通过，或者是二者都通过，分别计算每种情形的概率相加即可.【小问1详解】可知从5人中选出2人的样本空间为={W 甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊、丙丁、丙戊、丁戊}，共10个基本事件，记事件=A “甲和乙都通过选拔”，则={A 甲乙}，由古典概型公式知()1()()10n A P A n ==W ．【小问2详解】记=B “男生甲通过选拔”，=C “女生丁通过选拔”，=D “男生甲和女生丁至少有一人通过选拔”．易知B 、C 是相互独立事件，又可知=B D C BC BC ++，由古典概型知11(),()32P B P C ==，所以()=()()()()P D P BC BC BC P BC P BC P BC ++=++11211142.32323263=´+´+´==即男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率是23；综上，甲乙都通过的概率为110，男生甲和女生丁至少有一人通过选拔的概率是23.20.已知数列n {}a 的前n 项和为n S ，11a =，给出以下三个命题：①22n n a a +-=；②n {}a 是等差数列；③2122n n n S S a n ++=-++（1）从三个命题中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并进行证明；（2）利用（1）中的条件，证明数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和34n T <.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由①②作为条件，求出等差数列n {}a 的通项公及前n 项和，即可求证③成立；由①③作为条件，根据()()1112-==-≥⎧⎪⎨⎪⎩n n n S n a S S n ，得出222++=+n n a a n 及22n n a a +-=联立，即可求出数列n {}a 的通项公式，根据等差数列定义即可证明②成立.由②③作为条件，设等差数列n {}a 的公差d ，用d 表示等差数列n {}a 通项公及前n 项和，代入2122n n n S S a n ++=-++，求出等差数列n {}a 的公差d ，进而求出等差数列的通项公式，即可证明①成立；（2）由（1）求出等差数列n {}a 通项公，进而求出数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的通项公式，再利用裂项相消求出n T 进行放缩证明即可.【小问1详解】（1）将①②作为条件，③作为结论；设等差数列n {}a 的公差为d ，则由22n n a a +-=得，22d =，解得1d =，因为11a =，所以等差数列n {}a 的通项公式为n a n =.所以22n n nS +=，所以()()()()22212211222++++++++-=-=+n n n n n n SS n ，又因为22222-++=-++=+n a n n n n ，所以21++-=n n S S 22-++n a n ，即证2122n n n S S a n ++=-++；所以③成立；将①③作为条件，②作为结论；由2122n n n S S a n ++=-++及221n n n a S S +++=-，得222++=+n n a a n ，联立22222++-=⎧⎨+=+⎩n n n na a a a n ，解得n a n =，所以11n a n +=+，所以111+-=+-=n n a a n n ()常数，所以数列n {}a 是以首项为1，公差为1的等差数列.所以②成立；将②③作为条件，①作为结论；设等差数列n {}a 的公差为d ，则()11n a n d =+-，()12n n n S n d -=+，由2122n n n S S a n ++=-++，得()()()()211(2)(1)112222+++⎡⎤++=++-+-++⎣⎦n n n nn d n d n d n ，解得1d =，所以等差数列n {}a 的通项公式为n a n =.22+∴=+n a n 所以222+-=+-=n n a a n n ，即证22n n a a +-=，所以①成立；【小问2详解】由（1）知，n a n =，22+∴=+n a n所以()211111222+⎛⎫==⨯- ⎪⋅++⎝⎭n n a a n n n n ，因为数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，所以11111111111232435211211⎛⎫=-+-+-++-+-+ ⎪--+⎝-+⎭n T n n n n n n 11111311122122212⎛⎫⎛⎫=⨯+--=⨯-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭n n n n ，当n →+∞时，101→+n ，102→+n ，所以13111332212224⎛⎫⨯--<⨯= ⎪++⎝⎭=n T n n ，即证数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和34nT <.21.已知函数21()(1)ln 1()2f x x a x a x a =-+++∈R .（1）若a<0，且1y =与函数()y f x =的图象相切，求a 的值；（2）若()1f x ≥对(0,)∀∈+∞x 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）12a =-；（2）1(,]2-∞-.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切点横坐标即可得解.（2）根据给定条件构造函数()()211ln 2g x x a x a x =-++，按0a ≤，0a >分类讨论求解.【小问1详解】函数21()(1)ln 12f x x a x a x =-+++，求导得()(1)a f x x a x'=-++，设直线1y =与函数()y f x =的图象相切的切点横坐标为0x ，于是()()()000010x a x f x x --=='，而a<0，00x >，解得01x =，又1(1)(1)112f a =-++=，解得12a =-，所以12a =-.【小问2详解】依题意，()211ln 02x a x a x -++≥对()0,x ∞∀∈+恒成立，设()()211ln 2g x x a x a x =-++，显然()0,x ∞∀∈+，()0g x ≥恒成立，当0a >时，11(1)22g a =--<-，不符合题意，当0a ≤时，求导得()()()()11x x a a g x x a x x--=-++='，由()0g x '<得01x <<，函数()g x 在()0,1上单调递减，由()0g x '>得1x >，函数()g x 在()1,∞+上单调递增，则()()min 112g x g a ==--，于是102a --≥，解得12a ≤-，因此12a ≤-；所以所求实数a 的取值范围是1(,]2-∞-.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率12e =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知经过坐标原点的两条直线分别与椭圆相交于,,,A B C D 四个点，若该两条直线的斜率分别为12,k k ，且1234k k ⋅=-，求AOC 的面积；（3）如图，在（2）的条件下，椭圆上一点P ，位于,A C 之间，求四边形PAOC 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=（2（3【解析】【分析】（1）由题设可得关于基本量的方程组，求出,a b 后可得标准方程.（2）设()()1133,,,A x y C x y ，则可得AOC 的面积为311312x y x y -，再根据点在椭圆上和1234k k ⋅=-可求3113x y x y -=，故可求面积.（3）利用三角换元结合（2）的面积公式可得()()PAOC S βγαγ=-+-，利用同角的三角函数基本关系和基本不等式可求最大值.【小问1详解】由题设由22222914112a b c a a b c ⎧⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得224,3a b ==，故椭圆标准方程为：22143x y +=.【小问2详解】设()()1133,,,A x y C x y ，因为1234k k ⋅=-，故,OA OC 的斜率存在且不为零，所以12120x x y y ≠，故11:y OA y x x =即110y x x y -=，故C 到OA的距离为d =故AOC的面积为311312S x y x y =-，而113334y y x x =-，故32221321169y y x x =，故2231221391144916x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，故22134x x +=，故()222222231311331313313112442x x x y x y x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3113x y x y -=，故S =【小问3详解】设()00,P x y ，不失一般性，设A 在第一象限，C 在第二象限，由（2）的面积公式可得：300310011122PAOC POC POA S S S x y x y x y x y =+=-+- ，设112cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩，332cos x y ββ=⎧⎪⎨=⎪⎩，002cos x y γγ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由113334y y x x =-可得sin sin cos cos αβαβ=-，故()cos 0αβ-=，故ππ,2k k βα=++∈Z ，故()()PAOC S βγαγ=--()ππ2k αγαγ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭()()αγαγ=-+-，而()()()()()2cos sin 12cos sin αγαγαγαγ-+-=+--()()221cos sin 2αγαγ≤+-+-=，故()()cos sin αγαγ-+-≤，可取ππ4k γα=++使得等号成立，此时P 在,A C 之间，故PAOC S的最大值为.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系中，当我们考虑定值问题或最值问题时，可联立直线方程和椭圆方程，把目标表示为与斜率或截距有关的代数式，利用函数方法或基本不等式求解定点或最值，也可以利用三角换元把目标表示为与角有关的代数式，从而可得定值或最值.。
2023-2024学年黑龙江省大庆市高二下册开学考试数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年黑龙江省大庆市高二下册开学考试数学模拟试题第Ⅰ卷（选择题60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
）1．椭圆2211625+=x y 的焦点坐标是（）A．(0,3),(0,3)-B．(3,0),(3,0)-C．(0,5),(0,5)-D．(4,0),(4,0)-2．数列的一个通项公式是（）A．()21019n -B．101n -C．()2101n-D．108n -【正确答案】A 【分析】利用999 与10n 的关系确定9,99,999,9999, 的通项，然后得出题设结论．【详解】先写出9,99,999,9999, 的通项是101n -，∴数列2,22,222,2222, 的通项公式是()21019n n a =-．故选：A．3．已知圆22210x y x +--=，则其圆心和半径分别为（）A．()1,0,2B．()1,0,2-C．()1,0D．()1,0-3．C【分析】将圆的一般式化为标准式，然后求圆心和半径即可.【详解】圆的方程可整理为()2212x y -+=，所以圆心为()1,0.故选：C.4．在等差数列{}n a 中，若285,23a a ==，则5a 等于（）A ．13B ．14C ．15D ．16【详解】在等差数列{}n a 中，若285,23a a ==,则285552,228,14a a a a a =∴=∴=+，故选：B5．若两直线()1:1320l a x y ---=与()2:120l x a y -++=平行，则a 的值为()A．2±B．2C．2-D．0由题意知：(1)(1)(3)10a a -+---⨯=，整理得240a -=，∴2a =±，故选：A 6．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当{}n a 的前n 项和的最大时，n 的值为（）A．7B．8C．9D．8或9【正确答案】B因为789830a a a a ++=>，所以80a >，因为710890a a a a +=+<，所以90a <，所以当{}n a 的前n 项和的最大时，n 的值为8.故选：B.7．已知点(P -在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线上，则双曲线的离心率为（）B．27．D【分析】将P 点坐标代入渐近线方程，求出a 与b 的关系，再根据222c a b =+求出离心率.【详解】渐近线方程为：b y x a=±，由于P 点坐标在第二象限，选用by x a =-，将P ()2,2b b a a =-⨯-∴=，又2222222222377,,,444c c a b c a a a e e a =+∴=+====；故选：D.8．已知抛物线28y x =，定点A(4，2)，F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则PF PA +的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【正确答案】B 如图，作PQ，AN 与准线x=-2垂直，垂足分别为Q，N ，则|PQ|=|PF|，|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AN|=6，当且仅当Q，P，A 三点共线即P 到M 重合时等号成立．故B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年黑龙江省大庆市肇州县高二下册开学考试数学(含解析)
2023-2024学年黑龙江省大庆市肇州县高二下册开学考试数学一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知双曲线的一个焦点为)，渐近线方程为0x =，则该双曲线的标准方程为（）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=2．已知数列{}n a 满足112n n a a +=，若453a a +=，则23a a +=（）A ．19B ．1C ．6D ．123．已知抛物线2:4C y x =-，直线l 过定点P （0，1），与C 仅有一个公共点的直线l 有（）条A ．1B ．2C ．3D ．44．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12345a a a a a ++=+，560S =，则5a =（）A ．16B ．20C ．24D ．265．P 是双曲线2211620x y -=上一点，12,F F 是双曲线的两个焦点，且19PF =，则2PF =（）A ．1B ．17C ．1或17D ．2或186．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32127S a a =+，则公比q 为（）A ．2或3-B ．3C ．2D ．3-7．过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于两点A ，B ，若35AF FB =，则直线l 的斜率k =（）A ．B ．±C ．D ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作垂直于实轴的弦PQ ，若12PF Q π∠=，则C 的离心率e 为（）A1B C 1+D2+二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．若方程22142x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列说法正确的有（）A ．若24t <<，则曲线C 为椭圆B ．若曲线C 为双曲线，则2t <或4t >C ．若曲线C 为椭圆，则椭圆的焦距为2tD ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则23t <<10．数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+.若数列{}n a 单调递增，则实数a 的值可以是（）A ．-1B ．0C ．1D ．211．设等比数列{an }的前n 项和为Sn ，且满足a 6=8a 3，则（）A ．数列{an }的公比为2B ．数列{an }的公比为8C ．63S S =8D ．63S S =912．已知抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，过点F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，8AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q .下列说法正确的是（）A ．QA QB ⊥B ．AOB （O为坐标原点）的面积为C ．112AF BF+=D ．若()1,1M ，P 是抛物线上一动点，则PM PF +的最小值为52三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且其前n 项和分别为n S 和n T ．若3221n n S n T n -=+，则33a b =______．14．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12N n n a S n *+=+∈，则n a =________．15．设F 为抛物线C ：216x y =的焦点，直线l ：1y =-，点A 为C 上任意一点，过点A 作AP l ⊥于P ，则AP AF -=_________．16．已知离心率为1e 的椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>和离心率为2e 的双曲线2C ：()2222222210,0x y a b a b -=>>有公共的焦点，其中1F 为左焦点，P 是1C 与2C 在第一象限的公共点.线段1PF 的垂直平分线经过坐标原点，则22124e e +的最小值为_____________四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的步骤或文字说明或证明过程）17．（1）设抛物线22(0)x py p =>上第一象限的点M 与焦点F 的距离为4，点M 到y 轴的（2）求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-的双曲线标准方程．18．已知数列{}n a 满足11a =，11112n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．19．设等差数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 满足：11b =，22b =，且111n n n n n n a b b a b b +++-=-（n *∈N ）．(1)求等差数列{}n a 的通项公式；(2)求数列()111n n a b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ．20．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且关于x 的不等式21120a x qx -->的解集为()(),26,-∞-⋃+∞.（1）求n a ；（2）设4log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y x =±，实轴长(1)求C 的方程；(2)若直线l 过C 的右焦点与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，126x x =，求直线l 的方程.22．已知抛物线2:2C y px =过点(1,1)A ，过点(3,1)P -的直线与抛物线C 交于,M N 两个不同的点（均与点A 不重合）.(1)求抛物线C 的方程及焦点坐标；(2)设直线,AM AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值，并求出该定值.答案：1．D【分析】先确定焦点位置，再求出22,a b 即可.【详解】解：由题意得：双曲线的焦点在x 轴上，且c =2b a =，再由222c a b =+，解得：222,1a b ==，该双曲线的标准方程为2212x y -=，故选D.2．D【分析】由112n n a a +=可知数列{}n a 是公比为12q =的等比数列，再由题意结合等比数列的通项公式代入可求出答案.【详解】由112n n a a +=可知数列{}n a 是公比为12q =的等比数列，所以()()22245232323134a a a q a q a a q a a +==⋅+⋅=+⋅=+，解得.2312a a +=故选：D 3．C【分析】过抛物线外一定点(0,1)P 的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两种情况分别讨论，一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切，根据这两种情况进而求解.【详解】过点(0,1)P 的直线l 与抛物线2:4C y x =-仅有一个公共点，则该直线l 可能与抛物线的对称轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：当直线l 与抛物线的对称轴平行时，则直线l 的方程为：1y =，满足条件；当直线l 与抛物线相切时，由于点(0,1)P 在x 轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相切，易知：0x =是其中一条，不妨设另一条直线l 的方程为1y kx =+，联立直线l 与抛物线方程可得：22(24)10k x k x +++=，则有22(24)40k k ∆=+-=，解得：1k =-，所以过点(0,1)P 的直线l 的方程为：1y =或0x =或1y x =-+，故选.C 4．A【分析】利用等差数列通项和求和公式化简已知等式可求得1,a d ，由514a a d =+可得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，12345a a a a a ++=+ ，113327a d a d ∴+=+，解得：14a d =，5154530602S a d d ⨯∴=+==，解得：2d =，18a ∴=，51416a a d ∴=+=.故选：A.5．B【分析】利用双曲线的定义即可求解.【详解】由双曲线方程为2211620x y -=可得：4a =，6c =，因为P 是双曲线2211620x y -=上一点，12,F F 是双曲线的两个焦点，由双曲线的定义可知：2128PF F a P -==，又因为19PF =，所以21PF =或17，由题意可知：22PF c a ≥-=，所以217PF =，故选.B 6．B【分析】根据已知条件列方程求得q .【详解】依题意32127S a a =+，即1232132127,6a a a a a a a a ++=+=+，21116a q a q a =+，依题意10a >，所以260q q --=，由于0q >，故解得3q =.故选：B 7．A【分析】根据给定条件，设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理及向量关系求解作答.【详解】抛物线C ：22y px =的焦点(,0)2pF ，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为2p x ty =+，由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 并整理得：2220y pty p --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212122,y y pt y y p +==-，1122(,),(,)22p p AF x y FB x y =--=- ，由35AF FB = 得：1253y y =-，而122y y pt +=，则有125,3y pt y pt ==-，因此2221215y y p t p =-=-，解得t =1k t ==所以直线l的斜率k =.故选：A 8．C首先根据已知条件建立等量关系，进一步利用通径和焦距间的等量求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作垂直于实轴的弦PQ ，若12PF Q π∠=，则：△1PF Q 为等腰直角三角形．由于通径22b PQ a =，则：22b c a=，解得：2220c a ac --=，所以：2210e e --=，解得：1e =由于e ＞1，所以：1e =故选：C ．本题考查通径在求离心率中的应用，等腰直角三角形的性质的应用．属于基础题型．9．BD【分析】根据t 的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.【详解】对于A ，当402042t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩时，即23t <<或34t <<，此时曲线C 为椭圆，故A 错；对于B ，若曲线C 为双曲线，则(4)(2)0t t -⋅-<，即2t <或4t >，故B 对；对于C ，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则椭圆的焦距为，若曲线C 为焦点在y轴上的椭圆，则椭圆的焦距为C 错；对于D ，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则420t t ->->，解得23t <<，故D 对.故选：BD.10．ABC【分析】根据数列{}n a 单调递增，即2a n n <+，*n ∈N 恒成立求解.【详解】解：因为数列{}n a 单调递增，所以1n n a a +>，即11a a n n n n++>++，整理得2a n n <+，即2a n n <+，*n ∈N 恒成立.因为()2f n n n =+在*n ∈N 时的最小值为2，所以2a <.故选：ABC.11．AD【分析】由题意，若等比数列{an }的公比为q ，有38q =求q ，根据等比数列前n 项和公式求63S S ，即可判断各选项的正误.【详解】∵等比数列{an }的前n 项和为Sn ，且满足638a a =，∴3638aq a ==，解得q =2，∴366311qS q S --==1+q 3=9.故选：AD.12．AB【分析】对于A ：先根据弦长公式求出p 得出方程，再分别求出斜率相乘即可验证；对于B ：代入面积公式转化为韦达定理即可求解；对于C ：通分代入韦达定理所得的式子即可求解；对于D ：根据抛物线的定义即可求解.【详解】∵l 过点F 且倾斜角π4，∴直线l 的方程为2px y =+，与抛物线方程联立，得2220y py p --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y p +=，212y y p =-，∴123x x p +=，()221212244y y p x x p ==，∵1248AB p x x p =++==，∴2p =，则24y x =，不妨设10y >，当0y >时，y '∴过点A的切线的斜率为1A x x k y =='=同理可得过点B的切线的斜率为2B x x k y =='=∴21A B k k p==-=-，∴QA QB ⊥，故A 项正确；1212AOB S OF y y =⋅-===△B 正确；12111122p p AF BF x x +=+++()2121242124p pp p x x x x ===+++，故C 错误；设点M 到准线的距离为d ，若()1,1M ，则122pPF d PM +=+=≥，故D 错误.故选：AB.13．1311【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的531315a a ab b b =++，再由等差数列的求和公式，转化为55S T ，从而得到答案.【详解】因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且3221n n S n T n -=+，所以3151533322a b a a a b b b =++=()()1551555252a a Sb b T +==+1521310111-==+故131114．2n【分析】由题知当2n ≥时，12n n a S -=+，进而结合已知得公比为2，再求得12a =即可求解.【详解】解：因为()12N n n a S n *+=+∈所以，当2n ≥时，12n n a S -=+，所以11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，所以，等比数列{}n a 的公比为2，所以，当1n =时，21122a S a =+=+，所以1122a a =+，解得12a =，所以1222n nn a -=⋅=故2n 15．3.【分析】设点A 坐标为()00,x y ，利用抛物线的焦半径公式可得0||4AF y =+，由点到直线的距离公式可得0||1AP y =+，代入AP AF -即可得解.【详解】由216x y =可得焦点坐标为(0,4)F ，准线方程为4y =-，设点A 坐标为()00,x y ，由抛物线的定义可得00||42=+=+pAF y y ，因为过点A 作AP l ⊥于P ，可得00||(1)1=--=+AP y y ，所以()00143F y y AP A +-+==-．故答案为.316．92##4.5【分析】设2F 为右焦点，半焦距为c ，12,PF x PF y ==，由题意，12PF PF ⊥，则222124,2,2x y c x y a x y a +=+=-=，所以()()222122224a a c +=⋅，从而有2212112e e +=，最后利用均值不等式即可求解.【详解】解：设2F 为右焦点，半焦距为c ，12,PF x PF y ==，由题意，12PF PF ⊥，则222124,2,2x y c x y a x y a +=+=-=，所以()()222122224a a c +=⋅，即2212112e e +=，故()222212122222122141145529e e e e e e e e ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当21e ==所以2212942e e + ，故答案为.9217．①210x y =；②221944x y -=．【分析】（1）设(),M x y ，根据抛物线上第一象限的点M 到yM 的坐标，再利用抛物线的定义求解；（2）设与双曲线221916x y -=有共同的渐近线的双曲线的方程为22916x y λ-=，再由双曲线过点(-求解.【详解】（1）设(),M x y ，因为抛物线22(0)x py p =>上第一象限的点M 到y所以x =则22py =，解得32y =，又因为点M 与焦点F 的距离为4，由抛物线的定义得3422p +=，解得5p =，所以抛物线方程是210x y =；（2）设与双曲线221916x y -=有共同的渐近线的双曲线的方程为22916x y λ-=，因为双曲线过点(-，所以91219164λ=-=，所以所求双曲线标准方程是221944x y -=．18．(1)12n n a n -=⋅；(2)21n n S =-．【分析】(1)利用数列递推式中的累乘法求通项.(2)利用等比数列的公式法求和.【详解】(1)由11112n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得12(1)n na n a n ++=，所以21221a a =⨯，32322a a =⨯，43423a a =⨯，…，12(2)1n n a n n a n -=⨯- ，以上各式左右两边分别相乘可得1324123123421231n n n a a a a n a a a a n --⎛⎫⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪-⎝⎭ ，即112n n a n a -=⋅，所以12(2)n n a n n -=⋅ ，公式对1n =也适合，所以12n n a n -=⋅.(2)因为12n n a n -=，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，且公比为2，首项为1，通项12n n a n -=由公式法可得数列n a n ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和()1122112n n n S ⨯-==--．19．(1)21n a n =-(2)()21n nS n =+【分析】(1)根据题意将1n =代入递推公式中，求出2a ，进而得出等差数列的公差，利用定义法求出等差数列的通项公式；(2)由(1)可知n a 的通项公式，代入递推公式，变形可得11n n b b n n +=+，即n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，求出n b ，利用裂项相消求和法即可求出n S .(1)因为()*111n n n n n n a b b a b b n N +++-=-∈所以当1n =时，12121223a b b a b b a -=-⇒=，则212a a -=所以等差数列{}n a 的公差为2，由等差数列的通项公式可得：21n a n =-(2)由（1）可知121n a n +=+，代入111n n n n n n a b b a b b +++-=-中可得：()()11121211n n n n n n b b n b b n b b n n +++--=+-⇒=+，故数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，又111b =，故1n n b b n n =⇒=，则：()()11111112121n n a b n n n n +⎛⎫== ⎪+++⎝⎭所以()1111111112122232121n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20．（1）14n n a -=；（2）24132n n n --+.【分析】（1）首先把不等式转换为方程，进一步求出首项和公比，再利用等比数列的定义求出数列的通项公式.（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和.【详解】（1）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，且关于x 的不等式21120a x qx -->的解集为()(),26,-∞-⋃+∞.则-2和6为21120a x qx --=的两根，所以()126q a -+=，()11226a -⨯=-，解得11a =，4q =.所以1114n n n a a q --==.（2）由（1）得14log 41n n n n b a a n -=+=+-，所以()1144121n n T n -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-，()141412n n n --=+-，24132n n n --=+.本题主要考查了求等比数列的通项公式，考查了分组求和，属于中档题.21．(1)22:122x y C -=(2)240x y +-=或240x y --=.【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程求出a ，b 即可求解.（2）根据直线和双曲线的联立以及126x x =即可求解.【详解】（1）根据题意，2a =，1b a=，所以a b ==所以22:122x y C -=.（2）双曲线C的半焦距2c ==，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l 方程为2x my =+，联立直线方程和椭圆方程：221222x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，所以22(1)420m y my -++=，所以12122242,11m y y y y m m +=-⋅=--，所以126x x =，所以()()12226my my ++=，所以212122()20m y y m y y ++-=，所以2222422011m m m m m -⎛⎫+-= ⎪--⎝⎭，解得12m =±.所以直线l 的方程为：122x y =±+.即240x y +-=或240x y --=.22．(1)2y x =，焦点坐标为1(,0)4.(2)证明见解析；定值为12-.【分析】（1）由题意可确定12p =，即可得抛物线方程和焦点坐标；（2）设出直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系，表示出12k k ，并化简，即可得结论.【详解】（1）由题意抛物线2:2C y px =过点(1,1)A ，所以12p =,即12p =，所以抛物线的方程为2y x =，焦点坐标为1(,0)4.（2）证明：设过点(3,1)P -的直线l 的方程为3(1)x m y -=+，即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，22412(2)80m m m ∆=++=++>,设1122(,),,)M x y Nx y （，则1212,3y y m y y m +==--，直线,AM AN 的斜率分别为1k ，2k ，所以12121212121211111(2)(2)()y y y y y y k k x x my m my m ---⋅=⋅=--++++++1212221212()1(2)()(2)y y y y m y y m m y y m -++=+++++2231(3)(2)(2)m m m m m m m m ---+=--++++2(1)14(1)2m m -+==-+,即12k k 为定值，该定值为12-.。
黑龙江省大庆2023-2024学年高二下学期开学质量检测试题 数学含答案
大庆高二年级寒假开学质量检测数学试题（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合要求）1.已知集合{}|||3A x x =<，集合{}2|40B x x x =-<，则A B ⋃=（）A.()3,4- B.()0,3 C.()0,4 D.()3,42.下列所给的四个命题中，不是真命题的为A.两个共轭复数的模相等 B.z R z z ∈⇔=C.1212z z z z =⇔=± D.2z z z=⋅3.已知命题p ：x ∃∈R ，2210mx mx -+<是假命题，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.(]0,1C.()(),01,-∞⋃+∞ D.(][),01,-∞+∞ 4.已知向量()()1,,1,1a m b ==-，且()a b b +⊥r r r ，则实数m =（）A.3B.12C.12-D.3-5.已知实数0a b >>，m R ∈，则下列不等式中成立的是（）A.b m ba m a +>+ B.11(()22ab<C.m m a b> D.22a b -->6.已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且满足()()e xf xg x x +=+，则()f x =（）A.e e 2x x -- B.e e 2x x -+C.e e 22x x x --- D.e e 22x x x --+7.下列说法正确的是（）A.函数1y x x=+的最小值是2B.函数4π()cos 0,cos 2f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值等于4C.若x ，R y ∈，则x yy x+的最小值2D.函数()33x x f x -=+的最小值是28.双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，从2F 发出的光线经过图中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且5cos ,013BAC AB BD ∠=-⋅=，则E 的离心率为（）A.173B.375C.102D.二、多选题（共4小题，每题5分，共20分.全部选对5分，部分选对2分，有选错0分）9.在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角和斜率B.直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大C.若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan αD.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0︒或90︒10.已知数列{}n a 中，()*1112,N 1n n a a n a +==-∈+，则能使13n a =-的n 可以为（）A.2021B.2022C.2023D.202411.已知函数()23sin cos f x x x x =-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象关于点π,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭对称C.函数()f x 为偶函数D.若函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度后关于y 轴对称，则ϕ可以为2π312.如图所示，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A.11D P AB ⊥B.1D P 与AC 所成的角可能是π6C.1AP DC ⋅u u u r u u u u r是定值D.当12A P PB =时，点1C 到平面1D AP 的距离为2三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，若222a b c +-=，2ab =，则cos C =____.14.若圆221:430C x y x +-+=与圆222:(2)(3)C x y m +++=有且仅有一条公切线，则m =_________.15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于,A B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB ∆则p =_________.16.已知正三棱锥-P ABC ，底面ABC 是边长为2的正三角形，若2PE EC =，且PA BE ⊥，则正三棱锥-P ABC 外接球的半径为____________．四、解答题（共6道大题，共70分）17.已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．18.法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本每天阅读时间的第75百分位数；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[70,80)和[]90,100的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[70,80)的概率.19.已知函数π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x 的最小正周期为2，()f x 的一个零点是16．（1）求()f x 的解析式；（2）当[0,](0)x m m ∈>时，()f x 的最小值为12-，求m 的取值范围．20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，数列{}n n a b ⋅是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且不等式3n T λ≥-对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，122PD PC CB BA AD =====，//AD CB ，90CPD ABC ∠=∠= ，平面PCD ⊥平面ABCD .（1）求证：PD ⊥面PCA ；（2）点Q 在棱PA 上，设()01PQ PA λλ=<< ，若二面角P CD Q --5，求λ.22.如图所示：已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为2，A 是椭圆的右顶点，直线l 过点()1,0M -交椭圆于,C D 两点，交y 轴于点,,P PC CM PD DM λμ==.记ACD 的面积为S .（1）若离心率32e =，求椭圆E 的标准方程；（2）在（1）的条件下①求证：λμ+为定值；②求S 的取值范围；大庆高二年级寒假开学质量检测数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合要求）1.已知集合{}|||3A x x =<，集合{}2|40B x x x =-<，则A B ⋃=（）A.()3,4- B.()0,3 C.()0,4 D.()3,4【答案】A 【解析】【分析】解不等式确定集合A 、B 后再求并集即可.【详解】∵{}{}|3|33A x x x x =<=-<<，{}(){}{}2|40|40|04B x x x x x x x x =-<=⋅-<=<<，∴{}()|343,4A B x x ⋃=-<<=-.故选:A.2.下列所给的四个命题中，不是真命题的为A.两个共轭复数的模相等 B.z R z z ∈⇔=C.1212z z z z =⇔=± D.2z z z=⋅【答案】C 【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，根据已知中的条件，将z a bi =+代入，解关于a ，b 的方程，求出满足条件的a ，b 的值，可以判断出A ，B ，D 为真命题，举出反例说明，也可能1212z z z z =⇔=±不成立，即可判断C 错误，进而得到答案．【详解】对于A ，设(,)z a bi a b R =+∈，其共轭复数为z a bi =-，||||z z ==模相等，故A 正确；对于B ，z R z z ∈⇔=，故B 正确；对于C ，例如11z i =+，2z =12||||z z =但不满足12=±z z ，故C 错误；对于D ，设(,)z a bi a b R =+∈，其共轭复数为z a bi =-，此时，222||z z z a b =⋅=+，故D 正确.故选C.【点睛】本题考查的知识点是复数的基本概念，其中根据复数模的计算方法及复数的基本运算法则，设复数为z a bi =+代入各个选项，判断命题的真假是解答本题的关键．3.已知命题p ：x ∃∈R ，2210mx mx -+<是假命题，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.(]0,1C.()(),01,-∞⋃+∞ D.(][),01,-∞+∞ 【答案】A 【解析】【分析】由命题p 的否定“x ∀∈R ，2210mx mx -+≥”为真命题求解．【详解】解：由题意，命题p 的否定“x ∀∈R ，2210mx mx -+≥”为真命题．当0m =时，10>恒成立；当0m ≠时，()2Δ240m m m >⎧⎪⎨=-≤⎪⎩，解得(]0,1m ∈．综上，[]0,1m ∈．故选：A ．4.已知向量()()1,,1,1a m b ==-，且()a b b +⊥r r r ，则实数m =（）A.3B.12C.12-D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示计算即可.【详解】由()()()1,,1,12,1a m b a b m ==-⇒+=-.因为()a b b +⊥r r r ，所以()()()121103a b b m m +⋅=⨯+-⨯-=⇒=．故选:A.5.已知实数0a b >>，m R ∈，则下列不等式中成立的是（）A.b m ba m a +>+ B.11(()22ab<C.m m a b> D.22a b -->【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，及特殊值，逐一分析选项即可.【详解】对于A ：当0m =时，不成立，所以A 错误；对于B ：由指数函数1()2xy =图象与性质得，其在R 是减函数，0a b >> ，11()()22ab∴<，所以B 正确；对于C ：当0m =时，不成立，所以C 错误；对于D ：幂函数2y x -=在()0,+∞单调递减，而0a b >>，所以22a b --<，所以D 错误.故选：B .【点睛】本题考查指数函数和幂函数的单调性应用，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.6.已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且满足()()e xf xg x x +=+，则()f x =（）A.e e 2x x -- B.e e 2x x -+C.e e 22x x x --- D.e e 22x x x --+【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得()()e ()()e x x f x g x x f x g x x -⎧+=+⎨-+-=-⎩，由函数的奇偶性可得()()e ()()e x xf xg x xf xg x x-⎧+=+⎨-+=-⎩，解之即可求解.【详解】由题意知，()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则()(),()()f x f x g x g x -=--=，所以()()e ()()e x x f x g x x f x g x x -⎧+=+⎨-+-=-⎩，即()()e ()()e x xf xg x xf xg x x -⎧+=+⎨-+=-⎩，解得e e 2()2x x x f x --+=.故选：D7.下列说法正确的是（）A.函数1y x x=+的最小值是2B.函数4π()cos 0,cos 2f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值等于4C.若x ，R y ∈，则x yy x+的最小值2D.函数()33x x f x -=+的最小值是2【答案】D 【解析】【分析】选项AC 可以取特殊值举反例；选项B 不符合取等号的条件；选项D 用基本不等式求得.【详解】对于A ，当=1x -时，11y x 122x 1=+=--=-<，故A 错误；对于B ，4()cos 4cos f x x x =+≥=，当且仅当4cos cos 2cos x x =⇒=±，不符合余弦函数的最值，故取不到等号，B 错误；对于C ，当1,1x y ==-时，1122x yy x+=--=-<，故C 错误；对于D ，()332x x f x -=+≥=，当且仅当330x x x -=⇒=时，取等号，故D 正确；故选：D8.双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，从2F 发出的光线经过图中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且5cos ,013BAC AB BD ∠=-⋅=，则E 的离心率为（）A.3B.5C.2D.【答案】B 【解析】【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出12,BF BF ，进而利用勾股定理可得,a c 的关系，从而可求出结果.【详解】由题意知延长,CA DB 则必过点1F ,如图：由双曲线的定义知121222AF AF aBF BF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，又因为5cos 13BAC ∠=-，所以15cos 13F AB ∠=，因为0AB BD ⋅=，所以AB BD ⊥，设113,0AF m m =>，则15,12AB m BF m ==，因此22132122AF m aBF m a ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，从而由22AF BF AB +=得1321225m a m a m -+-=，所以5a m =，则1125BF a =，225BF a =，122F F c =，又因为2221212BF BF F F +=，所以()222122255a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即223725a c =，即5e =，故选：B.二、多选题（共4小题，每题5分，共20分.全部选对5分，部分选对2分，有选错0分）9.在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角和斜率B.直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大C.若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan αD.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0︒或90︒【答案】ABC 【解析】【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可.【详解】对于A ，当直线的倾斜角为90︒时，直线没有斜率，故A 错误；对于B ，当直线的倾斜角为45︒时，斜率为1，当直线的倾斜角为135︒时，斜率为1-，故B 错误；对于C ，若一条直线的倾斜角为90α=︒，则该直线的斜率不存在，故C 错误；对于D ，当直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角是90︒，当直线与y 轴垂直时，直线的倾斜角是0︒，即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0︒或90︒，故D 正确.故选：ABC.10.已知数列{}n a 中，()*1112,N 1n n a a n a +==-∈+，则能使13n a =-的n 可以为（）A.2021B.2022C.2023D.2024【答案】AD 【解析】【分析】证明数列的周期，然后算第一个周期中等于13-的项.【详解】()*11N 1n n a n a +=-∈+ 211111111111n nn n n n n a a a a a a a ++++∴=-=-=-=-+-++-++又32111111n n nn n n n na a a a a a a a ++=-=-=-=++--+-+{}n a ∴是以3为周期的周期数列.又因为12a =，所以211113a a =-=-+，故13n a =-时()23Z n k k =+∈经检验A D 都符合.故选：AD11.已知函数()23sin cos f x x x x =-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象关于点π,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭对称C.函数()f x 为偶函数D.若函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度后关于y 轴对称，则ϕ可以为2π3【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，利用辅助角公式和周期公式即可判断；对于B ，求出()f x 后利用对称中心点的计算即可判断；对于C ，利用偶函数的判断标准判断即可；对于D ，根据三角函数变换法则进行变换后，利用关于y 轴对称进行判断即可.【详解】因为()2333π33sin cos 222262f x x x x x x x ⎛⎫=-=+-+-⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；当π12x =-时，26π0x -=，所以函数()f x 的图象关于点π,122⎛-- ⎝⎭对称，B 正确；易知函数()f x 的定义域为R ，又()ππ2266f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()π26x f x ⎛⎫≠+-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 不是偶函数，故C 错误；函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度后得到的图象对应的函数为()()ππ2226262g x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=++-=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意，函数()g x 的图象关于y 轴对称，所以ππ2π62k ϕ+=+，k ∈Z ，即ππ26k ϕ=+，k ∈Z ，当1k =时，ππ2π263ϕ=+=，故D 正确．故选：ABD12.如图所示，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）A.11D P AB ⊥B.1D P 与AC 所成的角可能是π6C.1AP DC ⋅u u u r u u u u r是定值 D.当12A P PB =时，点1C 到平面1D AP 的距离为2【答案】AC 【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助数量积公式与点平面距离公式逐项计算即可得.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D 、()10,0,3D 、()3,0,0A 、()3,3,0B 、()13,3,3B 、()13,0,3A 、()0,3,0C 、()10,3,3C 、则()10,3,3AB = ，()10,3,3A B =-，()3,3,0AC =- ，()113,0,0D A =，()10,3,3DC =，设11A P A B λ=，()0,1λ∈，则()10,3,3A P λλ=- ，()11113,3,3D P D A A P λλ=+=- ，故()110333330D P AB λλ⋅=⨯+⨯+⨯-=，即11D P AB ⊥，故A 正确；若1D P 与AC 所成的角可能为π6，则存在()0,1λ∈，使得1π3cos ,cos 62D P AC ==成立，即111cos ,2D P AC D P AC D P AC⋅==⋅，化简得24410λλ++=，即12λ=-，由()0,1λ∈，故舍去，即1D P 与AC 所成的角故可能是π6，故B 错误；()110,3,33AP AA A P λλ=+=-，故()193339AP DC λλ⋅=+-=，故C 正确；当12A P PB =时，有1123A P A B = ，故()0,2,1AP = ，()13,0,3D A =-，设平面1D AP 的法向量为(),,m x y z =，则有20330y z x z +=⎧⎨-=⎩，令2x =，则有()2,1,2m =- ，则点1C 到平面1D AP 的距离11DC m d m ⋅===，故D 错误.故选：AC.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C的对边，若222a b c +-=，2ab =，则cos C =____.【答案】22【解析】【分析】由余弦定理代入求解即可.【详解】由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，则2222cos a b c ab C +-==，又2ab =，所以cos C=2，故答案为：2.14.若圆221:430C x y x +-+=与圆222:(2)(3)C x y m +++=有且仅有一条公切线，则m =_________.【答案】36【解析】【分析】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，故两圆圆心距离为半径之差，计算即可得.【详解】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，由221:430C x y x +-+=可得()2221x y -+=，即该圆以()2,0为圆心，1为半径，圆222:(2)(3)C x y m +++=，圆心为()2,3--，51==-且0m >，解得36m =.故答案为：36.15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于,A B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB ∆则p =_________.【答案】2p =【解析】【详解】试题分析：有2,ce a==得2,,c a b ==所以双曲线的渐近线为.y =又抛物线的准线方程为,2px =-联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得,,,.2222p p A B ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在AOB ∆中，,AB =O 到AB 的距离为2p .1222AOB pS p ∆=∴⋅== .考点：双曲线与抛物线的几何性质.16.已知正三棱锥-P ABC ，底面ABC 是边长为2的正三角形，若2PE EC =，且PA BE ⊥，则正三棱锥-P ABC 外接球的半径为____________．【答案】62【解析】【分析】据题意，根据线面垂直的判定定理，可证得BC ⊥面PAG ，进而证明PA ⊥面PBC ，由此可得到,,PA PB PC 两两垂直，将三棱锥补形成正方体，即可求出外接圆半径.【详解】设正三棱锥-P ABC 的底面中心为点O ，连接PO ，则PO ⊥面ABC ，连接AO 并延长，交BC 于点G ，连接PG ，如图所示，因为底面ABC 是正三角形，则G 为BC 的中点，PG BC ⊥，AG BC ⊥，又PG AG G ⋂=，PG ⊂面PAG ，AG ⊂面PAG ，所以BC ⊥面PAG ，又因为PA ⊂面PAG ，所以BCPA ⊥，又因为PA BE ⊥，BC BE B = ，因为2PE EC =，所以E PC ∈，故BE ⊂面PBC ，又因为BC ⊂面PBC ，所以PA ⊥面PBC ，因为PB ⊂面PBC ，PC ⊂面PBC ，所以,PA PB PA PC ⊥⊥，因为三棱锥-P ABC 是正三棱锥，且底面ABC 是边长为2的正三角形，所以,,PA PB PC 两两垂直，且PA PB PC ===将其补形成棱长为正方体，如图：所以正三棱锥-P ABC 外接球的半径为1622==.故答案为：2【点睛】方法点睛：求几何体外接球半径或体积（表面积），常用方法有：补形法，利用射影定理，建立空间直角坐标系.四、解答题（共6道大题，共70分）17.已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n =；（2）211343n n S n n =+-+⨯.【解析】【分析】（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）124,,a a a 成等比数列，2214a a a ∴=，即()()21113a d a a d +=+，()()211126a a a ∴+=+，解得：12a =，()2212n a n n ∴=+-=.（2）由（1）得：2111224na nnn b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，114n n b b +∴=，114b =，∴数列{}n b 是首项为14，公比为14的等比数列，()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()2322111124444nn n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦211343nn n =+-+⨯．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.18.法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本每天阅读时间的第75百分位数；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[70,80)和[]90,100的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[70,80)的概率.【答案】（1）0.030a =（2）84分钟（3）35【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的所有矩形面积之和为1列出方程即可求解.（2）根据百分位数的定义先确定第75百分位数的位置；再列出方程即可求解.（3）先根据分层抽样的方法确定位于分组[50,60)，[70,80)和[]90,100的年轻人的人数；再利用古典概型的概率公式即可求解.【小问1详解】因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以()0.01020.0250.0200.005101a ⨯++++⨯=，解得0.030a =.【小问2详解】因为成绩落在[)40,80内的频率为()0.0050.0100.0200.030100.65+++⨯=，落在[)40,90内的频率为()0.0050.0100.0200.0300.025100.9++++⨯=，所以第75百分位数落在[)80,90.设第75百分位数为m ，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，故第75百分位数为84，所以估计该地年轻人阅读时间的第75百分位数约为84分钟.【小问3详解】由题意，阅读时间位于[50,60)的人数为1000.110⨯=，阅读时间位于[70,80)的人数为1000.330⨯=，阅读时间位于[]90,100的人数为1000.110⨯=，所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为515010=，则抽取的5人中位于区间[50,60)有1人，设为a ，位于区间[70,80)有3人，设为1b ，2b ，3b ，位于区间[90,100)有1人，设为c .则从5人中任取3人，样本空间()()()()()()()()()(){}121312323123121323Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b b a b b a b c a b b a b c a b c b b b b b c b b c b b c =共含有10个样本点.设事件A 为“恰有2人每天阅读时间在[70,80)”，()()()()()(){}121323121323,,,,,,,,,,,,,,,,A a b b a b b a b b b b c b b c b b c =，，含有6个样本点.所以63()105P A ==，所以恰好有2人每天阅读时间位于[70,80)的概率为35.19.已知函数π()sin()0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭f x x 的最小正周期为2，()f x 的一个零点是16．（1）求()f x 的解析式；（2）当[0,](0)x m m ∈>时，()f x 的最小值为12-，求m 的取值范围．【答案】（1）π()sin π6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据题设中周期求得ω，再由零点条件可求ϕ，即得函数解析式；（2）由x 的范围求出整体角ππ6x -的范围ππ,π66m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图象，依题意须使π7ππ66m -≤，解之即得m 的取值范围.【小问1详解】由题知2π2T ω==，所以πω=．又因为1πsin 066f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ6k ϕ+=，Z k ∈，即：ππ6k ϕ=-+，Zk ∈又ππ22ϕ-<<，则π6ϕ=-，所以π()sin π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】因为π()sin π6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[0,]x m ∈，令ππππ,π666t x m ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，因为sin y t =在ππ,π(0)66m m ⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-，如图，可知须使π7ππ66m -≤，解得43m ≤，所以m 的取值范围是40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦．20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，数列{}n n a b ⋅是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且不等式3n T λ≥-对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）2n n a =，212n nn b -=（2）5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由n S 与n a 的关系式易得关于通项的递推式()122n n a a n -=≥，根据等比特征求出通项，代入{}n n a b ⋅的通项可求出n b ；（2）因212n nn b -=属于“差比数列”，运用错位相减法可求得n T ，由3n T λ≥-恒成立，即232n n λ+≥恒成立，利用数列的函数思想，求函数()*23,N 2nn f n n +=∈的最大值即可.【小问1详解】当1n =时，1122a a =-，解得12a =．当2n ≥时，1122,22n n n n S a S a --=-=-，两式相减得122n n n a a a -=-，即()122n n a a n -=≥，所以{}n a 是首项、公比均为2的等比数列，故2n n a =．又()12121n n a b n n ⋅=+-=-，故21212n nn n n b a --==．【小问2详解】因为212n n n b -=，所以23135212222-=++++ n n n T ①，234111352122222+-=++++ nn n T ②，①-②得:21111111111211121323122222222222n n n n n n n n n T -+-++--+⎛⎫⎛⎫=++++-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．所以2332n nn T +=-．不等式3n T λ≥-对一切*n ∈N 恒成立，转化为232nn λ+≥对一切*n ∈N 恒成立．令()*23,N 2nn f n n +=∈，()()()12110,2n n f n f n f n +--+-=<单调递减，()max5()12f n f ==52λ∴≥所以实数λ的取值范围为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，122PD PC CB BA AD =====，//AD CB ，90CPD ABC ∠=∠= ，平面PCD ⊥平面ABCD .（1）求证：PD ⊥面PCA ；（2）点Q 在棱PA 上，设()01PQ PA λλ=<< ，若二面角P CD Q --5，求λ.【答案】（1）证明见解析（2）12λ=【解析】【分析】（1）根据四边形AECB 为平行四边形可得12CE AD =，知AC CD ⊥，由面面垂直和线面垂直性质可得AC PD ⊥，结合PD PC ⊥可证得结论；（2）以C 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可构造方程求得λ.【小问1详解】取AD 中点E ，连接AC ，CE ，// AD CB ，AE CB =，∴四边形AECB 为平行四边形，AB CE ∴=，又12AB AD =，12CE AD ∴=，AC CD ∴⊥， 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，AC PD ∴⊥，90CPD ∠= ，即PD PC ⊥，又AC PC C = ，,AC PC ⊂平面PCA ，PD ∴⊥平面PCA .【小问2详解】取CD 中点F ，连接PF ，PC PD = ，PF CD ∴⊥，平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PF ⊂平面PCD ，PF ∴⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点，,CD CA正方向为,x y 轴正方向，作z 轴平行于直线PF ，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,A，P，()0,0,0C，()D，(PA ∴=，()CD =，CP =，(),PQ PA λ∴==，)CQ CP PQ ∴=+=，设平面CDQ 的法向量(),,n x y z =，则))00CD n CQ n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y λ=-，解得：0x =，2z λ=，()0,1,2n λλ∴=-；平面PCD y ⊥轴，∴平面PCD 的一个法向量()0,1,0m =，cos ,5m n m n m n⋅∴==⋅，解得：12λ=，满足01λ<<，12λ∴=.22.如图所示：已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的短轴长为2，A 是椭圆的右顶点，直线l 过点()1,0M -交椭圆于,C D 两点，交y 轴于点,,P PC CM PD DM λμ==.记ACD 的面积为S .（1）若离心率32e =，求椭圆E 的标准方程；（2）在（1）的条件下①求证：λμ+为定值；②求S 的取值范围；【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②330,2⎛ ⎝⎭【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解,,a b c 的值，（2）联立直线方程与椭圆方程得韦达定理给，结合向量的坐标运算即可求解83λμ+=-，由弦长公式，结合对勾函数的单调性即可求解面积的范围.【小问1详解】由题意可知322,c b e a ===222a b c =+，所以2,1a b ==，故椭圆方程为：2214x y +=【小问2详解】由（1）得2214x y +=，依题意，直线l 不垂直于坐标轴，①设直线:1,0l x ty t =-≠，设()()1122,,,C x y D x y ，由22144x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得：()224230t y ty +--=，则12122223,44t y y y y t t +==-++，由PC CM λ= 得()111y y tλ-=-，即111ty λ=-+，而PD DM μ=，同理211ty μ=-+，因此，2121212221184222334ty y t t ty ty ty y t λμ+++=-++=-+=-+=--+，所以83λμ+=-为定值.②()()222212121212222212434444t t y y y y y y y y t t t +⎛⎫-=-=+-+ ⎪+++⎝⎭，由()2,0A ，则有212222163612433t S AM y y t t t +=⋅-==+++，令233u t =+>1y u u=+在)3,+∞22333t t +>+3302S <<，所以S 的取值范围是330,2⎛ ⎝⎭.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。
黑龙江省大庆市高二数学下学期第一次月考试卷 理(含解析)
黑龙江省大庆市2016-2017学年高二数学下学期第一次月考试卷理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2＞1}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．{﹣2，﹣1，1，2} D．{﹣2，2}2．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1≤0 B．∀x∈R，x2+1＜0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∃x0∈R，x02+1≤03．函数f（x）=x﹣sinx（x∈R），则f（x）（）A．是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数B．是偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数C．是偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数D．是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数4．运行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．﹣2 B．3 C．4 D．85．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣ax+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A． C．[，+∞）D．（﹣∞，]7．对于使f（x）≥N成立的所有常数N中，我们把N的最大值叫作f（x）的下确界．若a，b∈（0，+∞），且a+b=2，则+的下确界为（）A．B．C．D．8．区间上随机取一个数x，sin的值介于到1之间的概率为（）A．B．C．D．9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（）A．V=32，n=2 B．C．D．V=16，n=410．已知向量=（，），=（cosx，sinx），=，且，则cos（x+）的值为（）A．﹣ B．C．﹣ D．11．直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）A．B．C．2 D．12．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是．14．已知在等差数列{a n}中，a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a2+a1009+a2016的值为．15．已知f（x）=ax+b﹣1，若a，b都是从区间上任取的一个数，则f（2）＜0成立的概率为．16．已知f（x）=2x2+x﹣k，g（x）=x3﹣3x，若对任意的x1∈，总存在x0∈，使得f（x1）≤g （x0）成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅲ）若a=1，请列出表格求函数f（x）的极大值．18．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．19．某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：（1）求这5天的平均感染数；（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x，y用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．21．已知椭圆E：过点（0，），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为，求k的取值范围．22．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b的取值范围；（4）对于n∈N*，证明：．2016-2017学年黑龙江省大庆一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2＞1}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．{﹣2，﹣1，1，2} D．{﹣2，2}【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即M={x|x＜﹣1或x＞1}，∵N={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N={﹣2，2}，故选：D．2．命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1≤0 B．∀x∈R，x2+1＜0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∃x0∈R，x02+1≤0【考点】2J：命题的否定．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x0∈R，x02+1≤0”故选：D．3．函数f（x）=x﹣sinx（x∈R），则f（x）（）A．是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数B．是偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数C．是偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数D．是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】利用奇函数的定义，验证f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f（x），利用导数非负，确定函数f （x）=x﹣sinx（x∈R）在（﹣∞，+∞）上是增函数．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣x﹣sin（﹣x）=﹣x+sinx=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．求导函数可得f′（x）=1﹣cosx．∵﹣1≤cosx≤1，∴f′（x）=1﹣cosx≥0．∴函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）在（﹣∞，+∞）上是增函数．故选：D．4．运行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．﹣2 B．3 C．4 D．8【考点】EF：程序框图．【分析】会根据s←s+（﹣1）n n计算s的值及判断出当n←5时跳出循环结构，即可得出答案．【解答】解：∵n←1，s←1+（﹣1）1×1；∴n←2，s←0+（﹣1）2×2；∴n←3，s←2+（﹣1）3×3；∴n←4，s←﹣1+（﹣1）4×4；∴n←5，s←3+（﹣1）5×5．当n=6时，应跳出循环程序，并输出s的值是﹣2．故选A．5．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】因为焦点在 x轴上的双曲线方程的渐近线方程为y=±，由双曲线的一条渐近线方程为y=，就可得到含a，b的齐次式，再把b用a，c表示，根据双曲线的离心率e=，就可求出离心率的值．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴渐近线方程为y=±，又∵渐近线方程为y=，∴∴∵b2=c2﹣a2，∴化简得，即e2=，e=故选A6．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣ax+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A． C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x），由题意f′（x）≤0在R上恒成立，利用二次函数的性质求出a的取值范围即可得到满足题意的a范围．【解答】解：f（x）=﹣x3+x2﹣ax+1，∴f′（x）=﹣3x2+2x﹣a，由题意f′（x）≤0在R上恒成立，∴△≤0，即4﹣4×3a≤0，解得：a≥，∴实数a的取值范围为[，+∞），故答案选：C．7．对于使f（x）≥N成立的所有常数N中，我们把N的最大值叫作f（x）的下确界．若a，b∈（0，+∞），且a+b=2，则+的下确界为（）A．B．C．D．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】理解题目所给的新定义，利用基本不等式求出+的最小值，即可求出+的下确界．【解答】解：因为a，b∈（0，+∞，且a+b=2，所以+=（a+b）（+）=（）≥×=，当且仅当，即b=3a时，等号成立，所以+的下确界为，故选：B．8．区间上随机取一个数x，sin的值介于到1之间的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】求出0≤sin x≤的解集，根据几何概型的概率公式，即可求出对应的概率．【解答】解：当0≤x≤2，则0≤x≤π，由0≤sin x≤，∴0≤x≤，或≤x≤π，即0≤x≤，或≤x≤2，则sin x的值介于0到之间的概率P=；故选A．9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（）A．V=32，n=2 B．C．D．V=16，n=4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=，边长为4的正方体V=64，所以n=3．故选B10．已知向量=（，），=（cosx，sinx），=，且，则cos （x+）的值为（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．【考点】GP ：两角和与差的余弦函数；9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量的数量积和三角函数公式可得sin （x+），再由角的范围和同角三角函数基本关系可得．【解答】解：∵向量=（，），=（cosx ，sinx ），=，∴=cosx+sinx=2sin （x+）=，∴sin （x+）=，又∵，∴＜x+＜，∴cos （x+）=﹣=﹣，故选：A ．11．直线x ﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y ﹣2）2=2截得的弦长等于（ ）A ．B ．C ．2D ．【考点】JE ：直线和圆的方程的应用．【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD ，然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D ，根据勾股定理求出弦长的一半BD ，乘以2即可求出弦长AB ． 【解答】解：连接OB ，过O 作OD ⊥AB ，根据垂径定理得：D 为AB 的中点，根据（x+2）2+（y ﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．圆心O 到直线AB 的距离OD==，而半径OB=，则在直角三角形OBD 中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=故选D ．12．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）A．a＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+＞0．当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小．【解答】解：∵定义域为R的奇函数y=f（x），∴F（x）=xf（x）为R上的偶函数，F′（x）=f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+＞0．∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．F（）=a=f（）=F（ln），F（﹣2）=b=﹣2f（﹣2）=F（2），F（ln）=c=（ln）f（ln）=F（ln2），∵ln＜ln2＜2，∴F（ln）＜F（ln2）＜F（2）．即a＜c＜b故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是 5 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据题中的抛物线方程并且结合抛物线的有关定义可得：焦点坐标为（，0），准线方程为x=，进而得到答案．【解答】解：由题意可得：抛物线的方程为y2=10x，所以根据抛物线的定义可得：焦点坐标为（，0），准线方程为x=，所以抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是 5，．故答案为：5．14．已知在等差数列{a n}中，a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a2+a1009+a2016的值为15 ．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系可得a1+a2017=10再利用等差数列的性质即可得出．【解答】解：∵a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，∴a1+a2017=10=2a1009，∵数列{a n}是等差数列，则a2+a1009+a2016=3a1009=15．故答案为：15．15．已知f（x）=ax+b﹣1，若a，b都是从区间上任取的一个数，则f（2）＜0成立的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】本题利用几何概型求解即可．在a﹣o﹣b坐标系中，画出f（2）＜0对应的区域，和a、b都是在区间内表示的区域，计算它们的比值即得．【解答】解：f（2）=2a+b﹣1＜0，即2a+b＜1，如图，A（，0），B（0，1），S△ABO==，∴P==116．故答案为：．16．已知f（x）=2x2+x﹣k，g（x）=x3﹣3x，若对任意的x1∈，总存在x0∈，使得f（x1）≤g （x0）成立，则实数k的取值范围是k≥3 ．【考点】2H：全称命题．【分析】对任意x1∈，x0∈，都有f（x1）≤g（x0）成立，即f（x）在区间上的最大值小于或等于g（x）的最大值，利用导数求g（x）的最大值，再由二次函数的最值求f（x）的最大值即可．【解答】解：若对任意x1∈，x0∈，都有f（x1）≤g（x0）成立，即f（x）在区间上的最大值都小于或等于g（x）的最大值，∵g（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=3x2﹣3，令3x2﹣3=0，解得x=±1，当x∈（﹣1，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，3]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故当x=1时，函数g（x）取到极小值，也是该区间的最小值g（1）=﹣2，又g（﹣1）=2，g（3）=18．∴g（x）在上的最大值为18．而f（x）=2x2+x﹣k为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣，故当x=3时取最大值f（3）=21﹣k，由21﹣k≤18，解得k≥3．∴实数k的取值范围是k≥3．故答案为：k≥3．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅲ）若a=1，请列出表格求函数f（x）的极大值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出．由函数f（x）在x=1处的切线与x轴平行，利用导数的几何意义能求出a的值．（Ⅱ）当a=2时，f（x）=lnx﹣2x，f'（1）=ln1﹣2=﹣2，利用导数的几何意义能求出函数f （x）在x=1处的切线方程．（Ⅲ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x，．令f'（x）=0，解得x=1，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况列表表示，由此能求出f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣ax，∴f（x）的定义域为（0，+∞），．∵函数f（x）在x=1处的切线与x轴平行，∴f'（1）=1﹣a=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=2时，f（x）=lnx﹣2x，∴f'（1）=ln1﹣2=﹣2，∴函数f（x）在x=1处的切点为（1，﹣2）．∵，∴k=f'（1）=1﹣2=﹣1，∴函数f（x）在x=1处的切线方程为y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0．（Ⅲ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x，．令f'（x）=0，解得x=1，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：所以f（x）在x=1处取得极大值f（1）=﹣1．18．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由于a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1，d，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（Ⅱ）由（I）可得b n==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n==n2+2n．（Ⅱ）===，∴T n===．19．某流感病研究中心对温差与甲型H1N1病毒感染数之间的相关关系进行研究，他们每天将实验室放入数量相同的甲型H1N1病毒和100只白鼠，然后分别记录了4月1日至4月5日每天昼夜温差与实验室里100只白鼠的感染数，得到如下资料：（1）求这5天的平均感染数；（2）从4月1日至4月5日中任取2天，记感染数分别为x，y用（x，y）的形式列出所有的基本事件，其中（x，y）和（y，x）视为同一事件，并求|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由已知利用平均数公式能求出这5天的平均感染数．（2）利用列举法求出基本事件总数n=10，设满足|x﹣y|≥9的事件为A，设满足|x﹣y|≤3的事件为B，利用列举法能求出|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率．【解答】解：（1）由题意这5天的平均感染数为：．（2）（x，y）的取值情况有：（23，32），（23，24），（23，29），（23，17），（32，24），（32，29），（32，17），（24，29），（24，17），（29，17），基本事件总数n=10，设满足|x﹣y|≥9的事件为A，则事件A包含的基本事件为：（23，32），（32，17），（29，17），共有m=3个，∴P（A）=，设满足|x﹣y|≤3的事件为B，由事件B包含的基本事件为（23，24），（32，29），共有m′=2个，∴P（B）=，∴|x﹣y|≤3或|x﹣y|≥9的概率P=P（A）+P（B）=．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．21．已知椭圆E：过点（0，），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为，求k的取值范围．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，运用判别式大于0和韦达定理，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得垂直平分线方程，求得与坐标轴的交点，可得三角形的面积，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得b=，e==，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆E的方程为+=1；（II）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，此方程有两个不等实根，可得△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，整理得3+4k2﹣m2＞0 ①．由根与系数的关系，可得线段AB的中点坐标（x0，y0）满足x0==﹣，y0=kx0+m=，∴AB的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x+）．此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为（﹣，0），（0，﹣），由已知得||•||=．整理得m2=，k≠0 ②将②代入①得4k2﹣+3＞0，整理得（3+4k2）（4k2﹣8|k|+3）＜0，k≠0，解得＜|k|＜，所以k的取值范围为（﹣，﹣）∪（，）．22．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b的取值范围；（4）对于n∈N*，证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由函数f（x在x=0处取得极值，则有f'（x）=0，从而求解；（2）由由f'（x）＞0得增区间；由f'（x）＜0得减区间；（3）将方程f（x）=﹣x+b转化为g（x）=f（x）﹣（﹣x+b），利用根的分布求解；（4）由（2）可知当x≥0时ln（x+1）≤x2+x（当且仅当x=0时等号成立），可得到ln＜，求得前n项不等式，采用累加法及对数函数的性质，即可证明不等式成立．【解答】解：（1）由已知得f′（x）=﹣2x﹣1=，∵f'（x）=0，∴=0∴a=1，（2）由（1）得f′（x）=，（x＞﹣1）由f'（x）＞0得﹣1＜x＜0，由f'（x）＜0得x＞0，∴f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；（3）令g（x）=f（x）﹣（﹣x+b）=ln（x+1）﹣x2+x﹣b，x∈（0，2）则g′（x）=﹣2x+=﹣，令g'（x）=0得x=1或x=﹣（舍），当0＜x＜1时g'（x）＞0，当1＜x＜2时g'（x）＜0，即g（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）上有两个不等实根，等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点，∴⇒⇒，∴ln3﹣1＜b＜ln2+，即实数b的取值范围为ln3﹣1＜b＜ln2+；（4）由（2）可得，证明：（3）由（1）可得，当x≥0时ln（x+1）≤x2+x（当且仅当x=0时等号成立），设x=，则ln（1+）＜+，即ln＜①，∴＞ln，＞ln，＞ln，…，＞ln，将上面n个式子相加得： +++…+＞ln+ln+ln+…+ln =ln（n+1），故：．。
黑龙江省大庆市2023-2024学年高二下学期开学考试 数学含答案
大庆2023-2024学年度下学期开学考试高二年级数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟试卷总分：150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一､单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分）1.若集合{4},{31}M xN x x =<=≥∣，则M N ⋂=（）A.{}02x x ≤< B.123xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C.{}316x x ≤< D.1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2.命题“x ∀∈R ，23210x x -+>”的否定是（）A.x ∀∈R ，23210x x -+>B.x ∃∈R ，23210x x -+≤C.x ∃∈R ，23210x x -+< D.x ∀∈R ，23210x x -+<3.已知0a >，0b >，且满足2a b ab +=，则a b +的最小值为（）A.2B.3C.3+D.32+4.计算25log 25log ⋅=（）A.3B.4C.5D.65.已知向量,a b 满足()()2540a b a b +⋅-=，且1a b == ，则a 与b 的夹角θ为（）A.34π B.4π C.3πD.23π6.设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是()A.0.45B.0.6C.0.65D.0.758.函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能为（）A.B. C. D.二､多选题（本题共4个小题，每题5分，共20分）9.已知椭圆C ：221625400x y +=，关于椭圆C 下述正确的是（）A.椭圆C 的长轴长为10B.椭圆C 的两个焦点分别为(0,3)-和(0,3)C.椭圆C 的离心率等于35D.若过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,P Q ，则32||5PQ =10.双曲线的标准方程为2213y x -=，则下列说法正确的是（）A.该曲线两顶点的距离为23B.该曲线与双曲线2213x y -=有相同的渐近线C.该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1D.该曲线与直线l ：)32y x =-，有且仅有一个公共点11.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,M xy 在抛物线C 上，若4MF =，则（）A.03x =B.03y =C.21OM =D.F 的坐标为()0,112.已知函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，则（）A.图象C 关于直线512x π=对称B.图象C 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C.将cos 2y x =的图象向左平移12π个单位长度可以得到图象C D.若把图象C 向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 是奇函数三､填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________.14.已知点P 是椭圆224520x y +=1上一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，若1PF ⋅2PF ＝0，则△P 12F F 的面积为________．15.已知圆221:20O x y ax +-+=与直线l 相切于点(3,1)P ，则直线l 的方程为__，设直线l 与圆222:(1)(1)4O x y -+-=相交于A ，B 两点，则||AB =__.16.如图，已知正三角形ABC 的三个顶点都在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，且3AB =，则球O 的半径为__________．则球O 的表面积为__________．四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =--，且m n ⊥u v v .（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18.某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m 的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；(2)从[4，6)，[6，8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人，求恰有1人在[6，8)组中的概率．19.已知抛物线C 顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(5,25-3的直线过抛物线C 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，（1）求抛物线方程；（2）求弦AB 的长度；20.在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝4，AB ＝2.以BD 的中点O 为球心，BD 为直径的球面交PD 于点M .(1)求证：平面ABM ⊥平面PCD ；(2)求直线PC 与平面ABM 所成的角的正切值．21.椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，其中)22,0F ，O 为原点.椭圆上任意一点到1F ，2F 距离之和为23（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）过点()0,1P 的斜率为2的直线l 交椭圆于A 、B 两点.求OAB 面积.22.已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的离心率e =233，直线l 过A （a ，0），B （0，－b ）两点，原点O 到l 的距离是32（1）求双曲线的方程？（2）过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM ON ⋅=－23，求直线m 的方程？大庆2023-2024学年度下学期开学考试高二年级数学试卷考试时间：120分钟试卷总分：150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一､单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分）1.若集合{4},{31}M xN x x =<=≥∣，则M N ⋂=（）A.{}02x x ≤< B.123xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C.{}316x x ≤< D.1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.【详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D2.命题“x ∀∈R ，23210x x -+>”的否定是（）A.x ∀∈R ，23210x x -+>B.x ∃∈R ，23210x x -+≤C.x ∃∈R ，23210x x -+<D.x ∀∈R ，23210x x -+<【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x ∀∈R ，23210x x -+>”的否定为：“x ∃∈R ，23210x x -+≤”.故选：B.3.已知0a >，0b >，且满足2a b ab +=，则a b +的最小值为（）A.2B.3C.3+D.32+【答案】C 【解析】【分析】由题意得121a b+=，根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.【详解】因为2a b ab +=，所以121a b+=，所以()122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当2b aa b=时，即1a =，2b =+所以a b +的最小值为3+.故选：C4.计算25log 25log ⋅=（）A.3B.4C.5D.6【答案】A 【解析】【分析】先化简，再结合换底公式即可求解【详解】3222525253log 25log log 5log 22log 5log 232⋅=⋅=⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查对数的化简求值，属于基础题5.已知向量,a b 满足()()2540a b a b +⋅-=，且1a b == ，则a 与b 的夹角θ为（）A.34π B.4π C.3πD.23π【答案】C 【解析】【分析】利用向量的数量积即可求解.【详解】()()222545680a b a b a a b b +⋅-=+⋅-= ，1a b ==r r ，63a b ∴⋅= ，1cos 2θ∴=.又[]0,θπ∈，3πθ∴=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.6.设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得()()()2121111i i i i i i i +==-+--+，所以在复平面内表示复数1i -+的点为()1,1-在第二象限．故选B ．考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.7.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是()A.0.45B.0.6C.0.65D.0.75【答案】D 【解析】【详解】根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，则()1()()1(10.6)(10.5)0.8P C P A P B =-=---=.∴目标是被甲击中的概率是0.60.750.8P ==故选D.8.函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性排除B ；结合函数值的正负，得到正确结果.【详解】因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以y ＝f (x )·g (x )为奇函数，排除B ；由两函数的图象可知当x ∈(,)2ππ--时，y ＝f (x )·g (x )<0；当x ∈(,0)2π-时，y ＝f (x )·g (x )>0，所以只有选项A 符合题意，故选：A ．二､多选题（本题共4个小题，每题5分，共20分）9.已知椭圆C ：221625400x y +=，关于椭圆C 下述正确的是（）A.椭圆C 的长轴长为10B.椭圆C 的两个焦点分别为(0,3)-和(0,3)C.椭圆C 的离心率等于35D.若过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,P Q ，则32||5PQ =【答案】ACD 【解析】【分析】椭圆方程化为标准方程，求出,,a b c ，然后判断各选项．【详解】由已知椭圆标准方程为2212516x y +=，则5,4a b ==，∴3c =．长轴长为210a =，A 正确；两焦点为(3,0),(3,0)-，B 错误；离心率为35c e a ==，C 正确；3x =代入椭圆方程得2216325400y ⨯+=，解得165y =±，∴325PQ =，D 正确．故选：ACD ．10.双曲线的标准方程为2213y x -=，则下列说法正确的是（）A.该曲线两顶点的距离为B.该曲线与双曲线2213x y -=有相同的渐近线C.该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1D.该曲线与直线l ：)2y x =-，有且仅有一个公共点【答案】CD 【解析】【分析】根据双曲线的方程，确定双曲线的几何性质，求出顶点坐标得距离判断A ，求出双曲线的渐近线方程判断B ，由双曲线上点到焦点距离的最小值的结论判断C ，根据渐近线的性质判断D ．【详解】由已知双曲线中1,a b ==2c =，顶点为(1,0)和(1,0)-，距离为2，A 错；该双曲线的渐近线方程是y =，而双曲线2213x y -=的渐近线方程是3y x =±，不相同，B 错；该双曲线上的点到焦点的距离的最小值为1c a -=，C 正确；直线l 与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个公共点，D 正确，故选：CD ．11.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,M xy 在抛物线C 上，若4MF =，则（）A.03x =B.03y =C.OM =D.F 的坐标为()0,1【答案】AC 【解析】【分析】根据抛物线的定义逐项判断即可.【详解】由抛物线C ：24y x =，可得()1,0F ，故D 错误；由抛物线的定义可得014MF x =+=，所以03x =，故A 正确；因为点()00,Mxy 在抛物线C 上，所以204312y =⨯=，所以0y =±，故B 错误；则OM ===C 正确.故选：AC.12.已知函数()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象为C ，则（）A.图象C 关于直线512x π=对称B.图象C 关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称C.将cos 2y x =的图象向左平移12π个单位长度可以得到图象C D.若把图象C 向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 是奇函数【答案】AC【解析】【分析】利用代入检验法可判断AB 的正误，利用图象变换可判断CD 的正误.【详解】当512x π=时，()5cos 21126f x ππ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭，故图象C 关于直线512x π=对称，故A 正确.当3x π=时，()3cos 20362f x ππ⎛⎫=⨯+=-≠ ⎪⎝⎭，故图象C 不关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故B 不正确.将cos 2y x =的图象向左平移12π个单位长度可以得到图象对应的解析式为cos 2cos 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确.若把图象C 向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，故()25cos 2cos 2366g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而()510cos062g π==-≠，故()g x 不是奇函数，故D 错误.故选：AC.三､填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13.过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程求出右焦点为F (2，0)，然后把2x =代入双曲线的渐近线方程中求出y 的值，可得A ，B 两点的纵坐标，从而可求出|AB |的值【详解】双曲线的右焦点为F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为2203y x -=，将x ＝2代入2203y x -=，得y 2＝12，y =±，故|AB |＝.故答案为：【点睛】此题考查双曲线的性质，属于基础题14.已知点P 是椭圆224520x y +=1上一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，若1PF ⋅2PF ＝0，则△P 12F F 的面积为________．【答案】20【解析】【分析】根据已知求出1240PF PF =，根据12PF PF ⊥即得12F PF △的面积.【详解】因为12PF PF ⋅ ＝0，所以1PF ⊥2PF ，所以△12PF F 是直角三角形．由椭圆定义知|1PF |＋|2PF |＝又2221212||||100PF PF F F +==，②由2①－②得122||||80PF PF ⋅=，因为90P ∠=︒，所以12121||||4120202PF F S PF F P =⨯=⋅= .故答案为：20.15.已知圆221:20O x y ax +-+=与直线l 相切于点(3,1)P ，则直线l 的方程为__，设直线l 与圆222:(1)(1)4O x y -+-=相交于A ，B 两点，则||AB =__.【答案】①.40x y +-=②.【解析】【分析】先代入切点的坐标求出a ，再求出圆心1O 的坐标，利用圆的切线与过切点的半径垂直求出直线l 的斜率，从而求出直线的方程；再求出圆心2O 到直线l 的距离，利用垂径定理求弦长.【详解】将点(3,1)P 代入圆的方程，得91320a +-+=，即4a =，∴圆心坐标为1(2,0)O ，110132O P k -==-，得切线l 的斜率为1-.∴直线l 的方程为：11(3)y x -=-⨯-，即：40x y +-=；圆222:(1)(1)4O x y -+-=的圆心坐标为2(1,1)O ，半径为2，则2O 到直线l 的距离为d ==，AB ∴=故答案为：40x y +-=；.【点睛】关键点点睛：利用垂径定理求弦长是解题关键.本题考查运算求解能力，是中档题.16.如图，已知正三角形ABC 的三个顶点都在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，且3AB =，则球O 的半径为__________．则球O 的表面积为__________．【答案】①.2②.16π【解析】【分析】由题意得，正三角形ABC ，则2R ==，可求球O 的表面积.【详解】设正ABC 的外接圆圆心为1O ，知1O A =，在1Rt OO A △中，∵球心O 到平面ABC 的距离为1，∴2OA ==，∴球O 的表面积为24216ππ⨯=．故答案为：①2；②16π.【点睛】本题主要考查球的表面积，关键是构造的直角三角形中找半径.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量(),m a b c =+，()sin sin ,sin sin n B A C B =-- ，且m n ⊥u v v .（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2【解析】【分析】（1）由m n ⊥得出()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B +-+-=，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的大小；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求出bc 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案.【详解】（1）(),m a b c =+ ，()sin sin ,sin sin n B A C B =-- ，m n ⊥ ，()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B ∴+-+-=，由正弦定理得()()()0b a b a c c b +-+-=，整理得222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0A π<< ，3A π∴=；（2）在ABC ∆中，3A π=，2a =，由余弦定理知2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-，由基本不等式得2242bc b c bc +=+≥，当且仅当b c =时等号成立，4bc ∴≤，11sin 4222ABC S bc A ∆∴=≤⨯⨯=，因此，ABC ∆.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式以及正弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于中等题.18.某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m 的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；(2)从[4，6)，[6，8)两组中按分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人，求恰有1人在[6，8)组中的概率．【答案】（1）m=0.1，平均时间为5.08；（2）815【解析】【分析】(1)首先根据概率之和为1即可计算出m 的值，然后通过计算每一组的概率乘时间并求和即可计算出平均学习时间；(2)本题首先可以通过分层抽样的相关性质来确定[)4,6以及[)6,8两组中所抽取的人数，然后写出从6人中抽取2人的所有可能事件以及恰有一人在[)6,8组中的所有可能事件，两者相除，即可得出结果．【详解】（l）由直方图可得：0.0620.0820.222m 0.0621⨯+⨯+⨯++⨯=，所以m 0.1=，学生的平均学习时间：10.1230.1650.470.290.12 5.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由直方图可得：[)4,6中有20人，[)6,8中有10人，根据分层抽样，需要从[)4,6中抽取4人分别记为1234A A A A 、、、，从[)6,8中抽取2人分别记为12B B 、，再从这6人中抽取2人，所有的抽取方法有12131411122324A A A A A A A B A B A A A A 、、、、、、、2122343132414212A B A B A A A B A B A B A B B B 、、、、、、、共15种，其中恰有一人在[)6,8组中的抽取方法有1112212231A B A B A B A B A B 、、、、、324142A B A B A B 、、共8种，所以，从这6人中抽取2人，恰有1人在[)6,8组中的概率为815．【点睛】本题考查了频率分布直方图的相关性质以及分层抽样的相关性质，考查了补全频率分布直方图以及利用频率分布直方图求平均数，考查了分层抽样的使用以及概率的求法，考查了推理能力，是中档题．19.已知抛物线C 顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(5,-的直线过抛物线C 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，（1）求抛物线方程；（2）求弦AB 的长度；【答案】（1）24y x =；（2）163.【解析】【分析】（1）由题意设抛物线为22y px =，结合所过的点求抛物线方程；（2）由（1）及题设有直线:1)AB y x =-，联立抛物线，应用韦达定理及弦长公式求AB .【小问1详解】由题意，可设抛物线为22y px =，又抛物线经过点(5,-，所以10202p p =⇒=，则抛物线方程为24y x =.【小问2详解】由（1）知：抛物线焦点为(1,0)，则直线:1)AB y x =-，代入抛物线消去y ，得23(1)4x x -=，则231030x x -+=，显然0∆>，所以103A B x x +=，1A B x x =，则1623AB ===.20.在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝4，AB ＝2.以BD 的中点O 为球心，BD 为直径的球面交PD 于点M .(1)求证：平面ABM ⊥平面PCD ；(2)求直线PC 与平面ABM 所成的角的正切值．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】(1)先证明PD ⊥平面ABM ，再证明平面ABM ⊥平面P CD.(2)设平面ABM 与PC 交于点N ，连接BN ，MN ，再证明∠PNM 就是PC 与平面ABM 所成的角，再解三角形求得直线PC 与平面ABM 所成的角的正切值.【详解】（1）证明：依题设，M 在以BD 为直径的球面上，则BM ⊥PD因为PA ⊥平面ABCD ，则PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD ，则AB ⊥PD ，因此有PD ⊥平面ABM，所以平面ABM ⊥平面PCD .(2)设平面ABM 与PC 交于点N ，连接BN ，MN，因为AB ∥CD ，所以AB ∥平面PCD ，则AB ∥MN ∥CD .由(1)知，PD ⊥平面ABM ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影，所以∠PNM 就是PC 与平面ABM 所成的角，且∠PNM ＝∠PCD ，tan ∠PNM ＝tan ∠PCD ＝＝2.即所求角的正切值为2.【点睛】(1)本题主要考查空间位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.(2)直线和平面所成的角的求方法一：（几何法）找→作（定义法）→证（定义）→指→求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）•sin AB n AB nα= ，其中AB 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，α是直线和平面所成的角.21.椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F，其中)2F ，O 为原点.椭圆上任意一点到1F ，2F距离之和为（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）过点()0,1P 的斜率为2的直线l 交椭圆于A 、B 两点.求OAB 面积.【答案】（1）椭圆方程为2213x y +=，离心率为3（2）613【解析】【分析】（1）根据椭圆定义得到2a =，c =2b ，得到椭圆方程和离心率；（2）直线l 方程为21y x =+，联立椭圆方程，得到,A B ，求出AB ，并求出点()0,0O 到直线21y x =+的距离，计算出三角形面积.【小问1详解】由题意得c =2a =，解得a =故2221b a c =-=，故椭圆的标准方程为2213x y +=，离心率为3c a ==；【小问2详解】直线l 方程为21y x =+，联立2213x y +=得，213120x x +=，解得12120,13x x ==-，故1224111,11313y y ==-+=-，不妨设()12110,1,,1313A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故13AB ==，点()0,0O 到直线21y x =+的距离为55d ==，故11125562213513OAB S AB d =⋅=⨯⨯= .22.已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的离心率e =233，直线l 过A （a ，0），B （0，－b ）两点，原点O 到l 的距离是32（1）求双曲线的方程？（2）过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM ON ⋅=－23，求直线m 的方程？【答案】（1）2213x y -=（2）112y x =±-【解析】【分析】（1）先求出直线l 的方程，再点到直线的距离公式建立关于a ，b ，c 的方程，解这个方程求出a ，b ，从而得到双曲线的方程；（2）设出直线m 方程1y kx =-，点M 、N 坐标()()1122,,,x y x y ，直线方程与双曲线方程联立方程组，消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入数量积计算出参数k ，得直线方程．【详解】（1）由题意直线l 的方程为1x y a b+=-，即0bx ay ab --=，所以2223332c a ab a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩，又222c a b =+，解得a 2=3，b 2=1双曲线方程为2213x y -=（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）∵B （0，－1），直线m 的斜率显然存在∴设直线m 方程为y +1=k x22131x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩得（1－3k 2）x 2+6kx －6=0由⊿＞0解得66k -<<又有x 1x 2=2631k -，122631k x x k +=-，222121212122266(1)(1)()1113131k k y y kx kx k x x k x x k k =--=-++=-+=--，∵OM ON ⋅ =－23∴x 1x 2+y 1y 2=－23∴2631k -+1=－23解得k =±12满足条件∴直线m 方程为y =±12x -1。
黑龙江省大庆实验中学高二下学期开学考试试题理(数学)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：(本卷共12小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}|23,x A y y x R ==-∈，{}|lg(3),B x y x x R ==-∈，则下列结论正确的是（ ） A. -3∈A B.A ∩B=B C.A ∪B=B D.3∈B2.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．3.下列有关命题的说法错误的是（ ）A.一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真B.“1x = ”是“1x ≥ ”的充分不必要条件C. “1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π= ”D.若命题0,200≥∈∃x R x p ：，则命题2,0p x R x ⌝∀∈<：4.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（5，6），则回归直线方程为（ ）A. $0.15 1.23y x =-+ B.$ 2.38 1.23y x =-+C.$ 1.23 2.38y x =-D.$ 1.230.15y x =-5.正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BD 与AC 所成的角等于（ ）A. 60°B. 45°C. 30°D. 90°6.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ）A. 这种抽样方法是一种分层抽样B. 这种抽样方法是一种系统抽样C. 这五名男生成绩的方差小于这五名女生成绩的方差D. 该班男生成绩的中位数小于该班女生成绩的中位数7.圆C 的半径为4，圆心在y 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．22(6)16x y +-=B ．22(4)16x y -+=C ．22(4)16x y +-=D ．22(6)16x y -+=8.已知一个k 进制数()132k 与十进制数30相等，那么k 等于（ ）A. 4B.4或7C.5D.79.已知A B C D ，，，是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，ABC,AD=2AB=6AD ⊥平面，则该球的体积为（ ） A.643π B.24πC. D.48π10.定义域和值域均为[]0,1的函数()f x ,定义1()(),f x f x =21()(()),,()n f x f f x f x ==L1(())n f f x -，则[]()(0,1)n f x x x =∈的根为f 的n 阶不动点，设12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则f 的6阶不动点的个数为( )A.6B.12C.64D.3611.F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，若3AF FB =u u u r u u u r ，则C 的离心率是（ ）C.12.已知函数()f x x aln =-1x -，1()x xg x e -=，(a 为实数，e 为自然对数的底数)，设0a <，若对任意的1x ，2[3x ∈，124]()x x ≠，212111|()()|||()()f x f xg x g x -<-恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A.2233e - B.434e - C.3344e -D.12+第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.22(sin x dx -+⎰=___ _______14.用数学归纳法证明“11111()1224n N n n n n ++++≥∈+++L ”时，由 到 时，不 等式左边应添加的项是__________15.实数[]2,2a ∈-，[)0,2b ∈.设函数3211()32f x x ax bx =-++的两个极值点为12,x x ,现向点所在平面区域投掷一个飞镖,则飞镖恰好落入使且的区域的概率为_________16.已知圆C 的圆心在抛物线22(0)x py p =>上运动，且圆C 过A 0（，t ）点，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，则AMAN AN AM +的取值范围为_________三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足113,23n n a S a +=+=，数列{}n b 满足125,13b b ==，且{}n n b a -为等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（满分12分）已知向量(cos ,sin ),(cos ),m x x n x x x R ==∈u r r ，设函数1()2f x m n =⋅+u r r . （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）若0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()4cos 6g x f x x πλ=+-求函数的最小值.19. （满分12分） 雾霾天气对城市环境造成很大影响，按照国家环保部发布的标准：居民区的PM 2.5（大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米．某市环保部门加强了对空气质量的监测，抽取某居民区监测点的20天PM 2.5的日平均浓度的监测数据，制成频率分布表，如（1）问图：（1）根据如下频率分布表，并在所给的坐标系中画出（0，100）的频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计该居民区测试点PM2.5日平均浓度的中位数；（3）从样本中PM 2.5的日平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM 2.5的日平均浓度超过75微克/立方米的概率．20. （满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PCD ABCD AB=4⊥平面平面，，22PC PD AD ===，E 为B P 中点．（1）求证：C PBD E ⊥平面；（2）求平面PAC 和平面PCD 所成二面角的大小．组别 PM 2.5浓 度（微克/立方米） 频数 （天） 频率 第一组 （0，25]5 0.25 第二组 （25，50]10 0.5 第三组 （50，75]3 0.15 第四组 （75，100） 2 0.121.（满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，且椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别是A 、B ，过点(2,0)Q 的动直线与椭圆交于M ，N 两点，连接AN 、BM 相交于G 点，试求点G 的横坐标的值．22.（满分12分）已知函数()()f x lnx mx m R =-∈．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若1,,3m e a e ⎛⎫=-∈++∞ ⎪⎝⎭，且b ax x f -≤)(恒成立，求b a 的最大值（其中e 为自然对数的底数）．。
黑龙江省大庆市数学高二下学期文数3月月考试卷
黑龙江省大庆市数学高二下学期文数3月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·内江模拟) 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）(2019·延安模拟) 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，竹松何日而长等.如图是源于思想的一个程序框图，若输入的，分别为和，则输出的（）A .B .C .D .3. （2分）下列表述正确的是①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A . ①②③B . ②③④C . ②④⑤D . ①③⑤4. （2分）(2017·石家庄模拟) 如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（15，2）表示为（）A .B .C .D .5. （2分）复数，的几何表示是（）A . 虚轴B . 线段PQ，点P，Q的坐标分别为C . 虚轴除去原点D . B中线段PQ，但应除去原点6. （2分）(2017·淄博模拟) 如图所示，由直线x=a，x=a+1（a＞0），y=x2及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 a2＜ x2dx＜（a+1）2 ．类比之，若对∀n∈N*，不等式＜A＜ + +…+ 恒成立，则实数A等于（）A . lnB . ln 2C . ln 2D . ln 57. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 给出以下四个说法：①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位；④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“ 与有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是A . ①④B . ②④C . ①③D . ②③8. （2分） (2019高一下·延边月考) 从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:身高x/cm160165170175180体重y/kg6366707274根据上表可得回归直线方程 =0.56x+ ,据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为（）A . 70.09 kgB . 70.12 kgC . 70.55 kgD . 71.05 kg9. （2分）小明同学根据右表记录的产量x（吨）与能耗y（吨标准煤）对应的四组数据，用最小二乘法求出了y关于x的线性回归方程，据此模型预报产量为7万吨时能耗为（）A . 5B . 5.25C . 5.5D . 5.7510. （2分）用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为 a 是实数，所以a2>0 ”，你认为这个推理（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 是正确的11. （2分）(2020·许昌模拟) 某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：产量 (万件)234单位成本 (元件)3a7现根据表中所提供的数据,求得关于的线性回归方程为 ,则值等于（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·龙岩期中) “已知函数，求证：与中至少有一个不小于。
黑龙江省大庆市高三数学下学期开学考试(3月)试题理
大庆铁人中学2015级高三·下学期开学考试数学试题（理科）答题时长（分钟）：120 分值：150分第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
）1.已知全集U=R ，集合{}lg(1)A x y x ==-，集合{}225B y y x x ==++，则A B =（ ）A ．∅B ．(]1,2C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞ 2.已知复数，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的虚部为4iB ．z 的共轭复数为1﹣4iC ．|z|=5D ．z 在复平面内对应的点在第二象限3.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且,m n αβ⊂⊂，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，则m n ⊥ B ．若//αβ，则//m n C ．若m n ⊥，则αβ⊥ D ．若n α⊥，则αβ⊥4.设m R ∈，则“0m =”是“直线()()1:1110l m x m y ++--=与直线()()2:12140l m x m y -+++=垂直”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）A. 丙被录用了B. 乙被录用了C. 甲被录用了D. 无法确定谁被录用了6.5))((y x y x +-的展开式中，42y x 的系数为（ ） A ．B ．5- C. 5 D ．7.设}{n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A. 若4,151==a a ，则23-=aB. 若031>+a a ，则042>+a aC. 若12a a >，则23a a >D. 若012>>a a ，则2312a a a >+8.某四面体的三视图如下图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中最大面积是（ ） A ．22 B ．4 C ．23 D ．268题图 9题图9.如上图，在长方形OABC 内任取一点(,)P x y ，则点P 落在阴影部分BCD 内的概率为（ ）A ．37e B ．12e C.2e D ．1e10.若将函数x x y 2cos 32sin +=的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象的对称轴方程为（ ）A ．)(122Z k k x ∈-=ππ B ．)(22Z k k x ∈+=ππ C. )(2Z k k x ∈=π D ．)(122Z k k x ∈+=ππPABDCE11.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为y F ,1轴上的点P 在椭圆外，且线段1PF 与椭圆E 交于点M ，若||33||||1OP MF OM ==，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．21B ．23 C. 13- D ．213+12．已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--有三个不同的零点，（其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．1a - B ．1a - C ．-1 D ．1第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省大庆市高二数学下学期开学考试试题 文-人教版高二全册数学试题
黑龙江省大庆市2016-2017学年高二数学下学期开学考试试题 文说明：１.本卷满分150分，考试时间为2小时。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．将二进制数()211100转化为四进制数，正确的是（ ） A.()4120 B.()4130 C.()4200 D.()42022．如图给出了计算601614121++++ 的值的程序框图，其中 ①②分别是( )A ．2,30+=<n n iB ．2,30+=>n n iC ．1,30+=<n n iD ．1,30+=>n n i 3．为了解某地参加2015 年夏令营的400名学生的身体健康情况，将学生编号为001,002,...,400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且抽到的最小号码为005，已知这400名学生分住在三个营区，从001到155在第一营区，从156到255在第二营区，从256到400在第三营区，则第一、第二、第三营区被抽中的人数分别为（ ）A ．15,10,15B ．16,10,14C ．15,11,14D ．16,9,154．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 5．已知x 与y 之间的一组数据：x 12 3 4y m 3.2 4.8 7.5若y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.1 1.25y x =-，则m 的值为（ ）．A ．1B ．0.85C ．0.7D ．0.56．圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的公共弦长为（ ）A.455 B.255 C.3 D.557．从集合{}2,1,2A =--中随机选取一个数记为a ，从集合{}1,1,3B =-中随机选取一个数记为b ，则直线0ax y b -+=不经过第四象限的概率为（ ） A ．29 B ．13 C ．49 D ．148.设21,F F 是椭圆C :14822=+y x 的焦点，在曲线C 上满足021=⋅PF PF 的点P 的个数为 （ ） A.0 B ．2 C ．3 D ．49．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. 312-B. 32C. 434-D. 310．如果直线()70 0ax by a b +=>>，和函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221125x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（ ） A ．34 43⎡⎤⎢⎥⎣， B ．340 43⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， C.4 3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．30 4⎛⎤ ⎥⎝⎦， 11．若“]2,21[∈∃x ，使得0122<+-x x λ成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ）A ．]22,(-∞B ．]3,22[C ．]3,22[-D ．3=λ12．已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左焦点，,A B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF x ⊥轴， 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线 BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则 Γ的离心率为 （ ）A.3B.2C.32 D.43二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省大庆市高二数学下学期开学考试试题 理-人教版高二全册数学试题
某某省某某市2016-2017学年高二数学下学期开学考试试题 理一、选择题1．设命题2:,2np n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ）A ．2,2n n n ∀∈>B ．2,2nn n ∀∈≤ C ．2,2n n n ∃∈≤D ．2,2nn n ∃∈=2．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的,a b 分别为16,28，则输出的a =（ ）A. 0B. 2C. 4D. 143．根据如下样本数据得到的回归方程为y bx a =+，若 4.5a =，则x 每增加1个单位，y 就（ ）A ．增加0.9个单位B ．减少0.9个单位C ．增加0.72个单位D ．减少0.72个单位4. 过点(1,2)P -的直线l 与圆22:(2)(3)9C x y -++=交于,A B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为（ ）A.30x y --= B ．10x y ++= C ．20x y += D ．240x y --=5．现有1名男同学和2名女同学参加演讲比赛，共有2道演讲备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行演讲，以下说法不．正确的是（ ） A.三人都抽到同一题的概率为14B.只有两名女同学抽到同一题的概率为14C. 其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为12D.至少有两名同学抽到同一题的概率为346．P 为双曲线221916x y -=右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左、右焦点，且021=⋅PF PF ，直线2PF 交y 轴于点A ，则P AF 1∆的内切圆半径为（ ）A ．2B ．3 C.23D ．2137．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯”之值，则判断框内可以填入（ ） A ．10?k ≤ B ．16?k ≤ C ．22?k ≤ D ．34?k ≤8．已知P 是ABC 所在平面内一点，305PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是（ ） A ．313 B ．23C ．310 D ．10139．给出如下命题，其中所有正确命题的序号是（ ） ①将八进制数326(8)化为五进制数为1324(5);②用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ，当x ＝3时的值．记v 0＝7，则v 2＝63； ③简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三者的共同特点是抽样过程中每个个体被抽到的机会均等; ④某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件．那么此样本的容量n ＝72;⑤某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为12;A ．①③⑤B ．③④⑤ C. ①②③④ D ．①②③④⑤10．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为,l P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FQ FP =-，则QF =（ ） A ．35 B ．52C ．20D ．3 11.直线y x b =+与曲线3cos 23sin 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数，且22ππθ-≤≤）有两个不同的交点，则实数b的取值X 围是（ ） A.3232(,)22-B ．323(,]22-- C.(2,2)- D ．(2,1⎤--⎦12．已知两定点()3,0A -和()3,0B ，动点(),P x y 在直线:5l y x =-+上移动，椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A ．17 B ．5 C. 34D ．5二、填空题13.已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于_____________________ 14．过点(3,0)A -作直线l 与圆226160x y y +--=交于,M N 两点，若MN=8，则l 的方程为_____________________．15．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点A ，B ，F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90AFB BAF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是______________． 16．给出如下命题：①“()1,2m ∈-”是“方程22112x y m m -=+-为椭圆方程”的充要条件; ②命题“若动点P 到两定点()()124,0,4,0F F -的距离之差的绝对值为8，则动点P 的轨迹为双曲线”的逆否命题为真命题;③若p q ∧为假命题，则,p q 都是假命题;④已知条件:{|3p x x <-，或1x >}，:>q x a .若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是1a ≥;其中所有正确命题的序号是____________________ 三、解答题17.（10分）已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy ，若将曲线C 向左平移1个单位长度后就得到了曲线1C ，再将曲线1C 上每一点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标保持不变就得到了曲线2C ，已知直线:60l x y --=.（1）求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最大值；（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交2C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.18．（12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制,各等制划分标准如表所示:同时认定,,A B C 为合格，D 为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[]50,100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取100名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为,C D 的所有数据茎叶图如图2所示.（1）求图中x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在乙校的样本中，从成绩等级为C 的学生中随机抽取2名学生，从成绩等级为D 的学生中随机抽取1名学生进行调研，求抽出的3名学生中恰有1名学生成绩在65分以上的概率．19．（12分）在某校趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会决定在颁奖过程中进行抽奖活动，用分层抽样的方法从参加颁奖仪式的高一、高二、高三代表队中抽取20人前排就座，其中高二代表队有5人．(1)把在前排就座的高二代表队5人分别记为,,,,,a b c d e ，现从中随机抽取3人上台抽奖，求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率；(2)抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的随机数,x y ，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该代表中奖的概率．20. （12分）三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等边三角形，BC 的中点为O ，1AO ⊥底面ABC ，1AA 与底面ABC 所成的角为3π，点D 在棱1AA上，且4AD AB ==. （1）求证：OD ⊥平面11BB C C ；（2）求二面角11B B C A --的平面角的余弦值.21.（12分）已知抛物线223y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点. （1）若3AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.22．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，作直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，M 为线段PQ的中点，O 为坐标原点，设直线l 的斜率为1k ，直线OM 的斜率为2122,3k k k =-． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与x轴交于点()D ，且满足2DP QD =，当OPQ ∆的面积最大时，求椭圆C 的方程．某某实验中学2016-2017学年度下学期开学初考试高二年级数学（理）答案一、选择题1A1B1CABCODBCDAD BCADC BA 二、填空题13.4 14．30x y =-=或； 15．12； 16．④ 三、解答题17.（10分）解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，曲线1C 的直角坐标方程为221x y +=，则曲线1C 上的点到直线l 的距离的最大值max 1d =.————————————————3分（2）设曲线2C 上任意一点的坐标为''(,)x y ，曲线1C 上任意一点的坐标为(,)x y ，由题意可得伸缩变换为'',x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩解得'',x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入曲线1C 的直角坐标方程为221x y +=，可得曲线2C 的直角坐标方程为2213x y +=，即2233x y +=，————————————————6分 直线1l的参数方程为1,2.2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2233x y +=化简得：2220t -=，得121t t =-，∴12||||||1MA MB t t ⋅==————————————————10分18.（12分）解：（1）由题意，可知10(0.0120.0560.0180.010)1x ⨯++++=，∴0.004x = ∴甲学校的合格率为1100.0040.96-⨯=，而乙学校的合格率为210.98100-=———6分 （2）将乙校样本中成绩等级为,C D 的6名学生分别记为123412,,,,,C C C C D D （其中34,C C 代表成绩在65分以上的2名同学），则由题意抽取3名学生的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121122131132141142231232241242341342,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C CD C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D 共12个，其中“至少有一名学生成绩在65分以上”包含{}{}{}{}{}{}{}{}131132141142231232241242,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D C C D，共8个基本事件．∴抽出的3名学生中恰有1名学生成绩在65分以上的概率为82123P==——12分19（12分）解：(1)由题意得，从高二代表队5人中随机抽取3人的所有基本事件有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},a b c a b d a b e a c d a c e a d e b c d b c e b d e共10种，设“高二代表队中a和b至少有一人上台抽奖”为事件A，则事件A的基本事件有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,a b c a b d a b e a c d a c e a d e b c d b c e共9种，所以P(A)＝910．————6分(2)由已知0≤x≤1,0≤y≤1，点(x，y)在如图所示的正方形OABC内，由6300101x yxy+-≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩得到的区域如图中阴影部分所示．所以阴影部分的面积为12×(13＋12)×1＝512．设“该代表中奖”为事件B，则P(B)＝5121＝512．————12分20.（12分）（1）连接AO，⊥OA1底面ABC，⊂BCAO,底面ABC，AOOAOABC⊥⊥∴11,，且1AA与底面ABC所成的角为AOA1∠，即31π=∠AOA.在等边ABC∆中，易求得AO=在AOD∆中，由余弦定理，得3OD==，22212OD AD OA∴+==，即1AAOD⊥.又.,//111BBODBBAA⊥∴,,,BCAOOCOBACAB⊥∴==又OOAAOOABC=⋂⊥11,，⊥∴BC平面OAA1，又⊂OD平面OAA1，BCOD⊥∴，又BBBBC=⋂1，⊥∴OD平面CCBB11.———————6分（2）如下图所示，以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 所在的直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，则()()()()123,0,0,0,2,0,0,0,6,0,2,0A C A B -故()()11123,2,0,0,2,6A B AB AC ==-=-- 由（1）可知11,4AD AA =∴可得点D 的坐标为333,0,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴平面C C BB 11的一个法向量是333,0,22OD ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭. 设平面C B A 11的法向量(),,n x y z =，由11100n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得30,30,x y y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩令,3=x 则,1,3-==z y 则()1,3,3-=n ，13cos ,13OD n OD n OD n⋅∴<>==易知所求的二面角为钝二面角 ， ∴二面角11A C B B --的平面角的余弦角值是1313-———————12分 21．（12分）解：（1）依题意可设直线1:6AB x my =+， 将直线AB 与抛物线联立21623x my y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒29610y my --=设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理得12122319y y m y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵1233AF FB y y =⇒=-，213m ⇒=， ∴斜率为3或3-.———————6分 （2）221212121211114412122()4266699639OACB AOB S S OF y y y y y y y y m ∆==•-=⨯-=+-=+≥⨯=当0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值为19.———————12分 22．（12分）解：（1）设()()1122,,,P x y Q x y ，代入椭圆的方程有，2222221122221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减：22222121220x x y y a b --+=，即()()()()21212121220x x x x y y y y a b -+-++=， 又2121122121,y y y y k k x x x x -+==-+，联立两个方程有212223b k k a =-=-，解得3c e a ==————4分（2）由（1）知c e a ==，得22223,2a c b c ==，可设椭圆方程为222236x y c +=． 设直线l的方程为x my =-()22223660m y c +-+-= 因为直线与椭圆相交，所以()()22248423660m m c ∆=-+->，由韦达定理得2121226623c y y y y m -+==+．又2DP QD =，所以122y y =-，代入上述两式有222966623m c m -=-+，所以(2124842132222OPQm S OD y y a m ∆-∆=-==2118183232m m m m==≤++， 当且仅当232m =时，等号成立． 此时25c =，代入∆有0∆>成立，所以所求椭圆方程为2211510x y +=————12分。
黑龙江省大庆市高三数学下学期开学考试(3月)试题文
黑龙江省大庆铁人中学2018届高三数学下学期开学考试（3月）试题 文满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.若集合2{|230}A x x x =--<，集合{|1}B x x =<，则A B ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞- C ．()1,1- D ．()3,1-2.已知i 为虚数单位，复数112ii-+的共扼复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知平面向量()2,a x =-，()1,3b =，且()a b b -⊥，则实数x 的值为（ ） A ．23-．23 C ．43 D ．634.为估计椭圆x24＋y 2＝1的面积，利用随机模拟的方法产生200个点(x ，y )，其中x ∈(0，2)，y ∈(0，1)，经统计有156个点落在椭圆x 24＋y 2＝1内，则由此可估计该椭圆的面积约为 ( )A ．0.78B ．1.56C ．3.12D ．6.245.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为（ ） A ．-3 B ．-3或9 C.3或-9 D ．-9或-36.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ） A ．442+．422 C.842+．837.在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S 的值是（ ） A ．55 B ．11 C.50 D ．608.甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生. 已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小. 根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是教师，乙是医生，丙是记者B ．甲是医生，乙是记者，丙是教师 C. 甲是医生，乙是教师，丙是记者 D ．甲是记者，乙是医生，丙是教师9.已知函数()sin(2)3f x x π=+，以下命题中假命题是（ ）A ．函数()f x 的图象关于直线12x π=对称 B ．6x π=-是函数()f x 的一个零点C.函数()f x 的图象可由()sin 2g x x =的图象向左平移3π个单位得到 D ．函数()f x 在[0,]12π上是增函数 10.设函数()1x f x xe =+，则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点 C.1x =-为()f x 的极大值点 D ．1x =-为()f x 的极小值点11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，F 为双曲线的右焦点，以OF 为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A ，若6AFO π∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B 32 D 2312.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()2()1xf x =-，则在区间()2,6-内关于x 的方程()()8log 20f x x -+=解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C.3 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为 ．14.已知直线1l 与直线0134:2=+-y x l 垂直，且与圆032:22=-++y y x C 相切，则直线1l 的一般方程为 ． 15.下列命题中，正确的序号是_________①若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题； ②若直线l α⊥，平面α⊥平面β，则//l β； ③“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”； 32，则圆锥与球的体积比为9:32；⑤若正数b a ,满足121=+b a ，则2112-+-b a 的最小值是2. 16.已知数列{}n a 满足11=a ,11+=+n n n a a a ,若[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]=+⋅⋅⋅++220172221a a a ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且25cos 2A =3AB AC ⋅=.（1）求ABC ∆的面积；（2）若6b c +=，求a 的值.18.汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：(1)若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为35，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？(2) 该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO 浓度的数据，并制成如图7所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO 浓度y %与使用年限t 线性相关，试确定y 关于t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的多少倍．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(n ＝a ＋b ＋c ＋d )参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式： 12211ˆˆˆni ii ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑，.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，2AB =，3CD =，M 为PC 上一点，且2PM MC =. （1）求证：//BM 平面PAD ；（2）若2AD =，3PD =，3BAD π∠=，求三棱锥P ADM -的体积.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点22P 在椭圆上，且有12||||22PF PF +=（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求AOB ∆面积的最大值.21.已知函数()()213ln ,f x x a x a R =+-∈. （1）求函数()f x 图象经过的定点坐标；（2）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程及函数()f x 单调区间； （3）若对任意[]1,x e ∈，()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为cos 1sin x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=.以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θα=，（0απ<<）（1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）设点A 、B 为射线l 与曲线1C 、2C 除原点之外的交点，求||AB 的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()||3f x x a x =-+，其中a R ∈.（1）当1a =时，求不等式()3|21|f x x x ≥++的解集； （2）若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值.不了解 了解 总计 女性 ab50 男性 153550 总计p q100P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828黑龙江省大庆市高三数学下学期开学考试（3月）试题文答案一、选择题1-5:CBBDB 6-10:AACCD 11、12：AC 二、填空题13.-10 14. 01443=++y x 或0643=-+y x 15.③④⑤ 16.1 三、解答题17.解：（1）由3AB AC ⋅=，得cos 3bc A =， 又2cos 2cos 12A A =-=2253215⨯-=，∴335bc ⋅=，即5bc =.由4sin 5A =及1sin 2ABC S bc A ∆=，得2ABC S ∆=.（2）由6b c +=，得()222226b c b c bc +=+-= ∴2222cos 20a b c bc A =+-=，即25a =18. 解：(1)设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件A ， 由已知得P (A )＝b ＋35100＝35，所以a ＝25，b ＝25，p ＝40，q ＝60. K 2的观测值k ＝100×（25×35－25×15）240×60×50×50≈4.167>3.841，故有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”.(2)由折线图中所给数据计算，得t ＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y ＝15×(0.2＋0.2＋0.4＋0.6＋0.7)＝0.42，故b ^＝2.840＝0.07，a ^＝0.42－0.07×6＝0, 所以所求回归方程为y ^＝0.07t.故预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度为0.84%，因为使用4年排放尾气中的CO 浓度为0.2%，所以预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的4.2倍. 19.解：（1）法一：过M 作//MN CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵2PM MC =，∴23MN CD =.又∵23AB CD =，且//AB CD ， ∴//AB MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形，∴//BM AN .又∵BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ，∴//BM 平面PAD .法二：过点M 作MN CD ⊥于点N ，N 为垂足，连接BN . 由题意，2PM MC =，则2DN NC =， 又∵3DC =，2DN =，∴//AB DN ， ∴四边形ABND 为平行四边形，∴//BN AD .∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD DC ⊥. 又MN DC ⊥，∴//PD MN .又∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面,MBN BNMN N =；∵AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，AD PD D ⋂=； ∴平面//MBN 平面PAD .∵BM ⊂平面MBN ，∴//BM 平面PAD . （2）过B 作AD 的垂线，垂足为E .∵PD ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，∴PD BE ⊥. 又∵AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，AD PD D ⋂=； ∴BE ⊥平面PAD由（1）知，//BM 平面PAD ，所以M 到平面PAD 的距离等于B 到平面PAD 的距离，即BE . 在ABC ∆中，2AB AD ==，3BAD π∠=，∴3BE =13P ADM M PAD PAD V V S --∆==⨯13333BE ⋅=⨯=20.解：（1）由12||||22PF PF +=222a =2a 将22P 代入22212x y b +=，得21b =.∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由已知，直线l 的斜率为零时，不合题意，设直线方程为1x my -=，点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩，得22(2)210m y my ++-=，黑龙江省大庆市高三数学下学期开学考试（3月）试题文由韦达定理，得1221222212m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，2121||||2AOBS OF y y ∆=⋅-====≤=， 当且仅当22111m m +=+，即0m =时，等号成立.∴AOB∆. 21.解：（1）当1x =时，ln10=，所以(1)4f =，所以函数()f x 的图象无论a 为何值都经过定点(1,4). （2）当1a =时，2()(1)3ln f x x x =+-.(1)4f =，3'()22f x x x=+-，'(1)1f =， 则切线方程为41(1)y x -=⨯-，即3y x =+. 在(0,)x ∈+∞时，如果3'()220f x x x=+-≥，即)x ∈+∞时，函数()f x 单调递增；如果3'()220f x x x=+-<，即x ∈时，函数()f x 单调递减.（3）23223'()22a x x af x x x x+-=+-=，0x >. 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在[1,]e 上单调递增.min ()(1)4f x f ==，()4f x ≤不恒成立. 当0a >时，设2()223g x x x a =+-，0x >.∵()g x 的对称轴为12x =-，(0)30g a =-<， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，且存在唯一0(0,)x ∈+∞，使得0()0g x =. ∴当0(0,)x x ∈时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； ∴当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增. ∴()f x 在[1,]e 上的最大值max ()max{(1),()}f x f f e =.∴(1)4()4f f e ≤⎧⎨≤⎩，得2(1)34e a +-≤，解得2(1)43e a +-≥.22.解（1）由曲线1C 的参数方程cos 1sin x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）消去参数t 得22(1)1x y +-=，即2220x y y +-=，∴曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=.由曲线2C 的直角坐标方程22(2)4x y +-=，2240x y y +-=，∴曲线2C 的极坐标方程4sin ρθ=.（2）联立2sin θαρθ=⎧⎨=⎩，得(2sin ,)A αα，∴||2sin OA α=，联立4sin θαρθ=⎧⎨=⎩，得(4sin ,)B αα，∴||4sin OB α=.∴||||||2sin AB OB OA α=-=.∵0απ<<，∴当2πα=时，||AB 有最大值2.23.解法一：（1）1a =时，()|1|3f x x x =-+由()|21|3f x x x ≥++，得|1||21|0x x --+≥， ∴不等式的解集为{|20}x x -≤≤.（2）由||30x a x -+≤，可得40x a x a ≥⎧⎨-≤⎩，或20x a x a <⎧⎨+≤⎩.即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，或2x aa x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩.1）当0a >时，不等式的解集为{|}2ax x ≤-.由12a-=-，得2a =. 2）当0a =时，解集为{0}，不合题意. 3）当0a <时，不等式的解集为{|}4a x x ≤.由14a=-，得4a =-. 综上，2a =，或4a =-.解法二：（1）当x a ≥时，()4f x x a =-，函数为单调递增函数， 此时如果不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-成立， 那么(1)4(1)0f a -=⨯--=，得4a =-；（2）当x a <时，()2f x x a =+，函数为单调递增函数， 此时如果不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-成立，黑龙江省大庆市高三数学下学期开学考试（3月）试题文那么(1)2(1)0f a -=⨯-+=，得2a =；经检验，2a =或4a =-都符合要求.。
黑龙江省大庆市大庆中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题
2 线段 PF1 的垂直平分线过 F2 ，若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2 ，则 e1
e2 2
的
最小值为（ ）
A． 6
B．3
C．6
D． 3
二、多选题
13．已知 、 是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ） A．若 m ， m//n ， n ，则 B．若 // ， m ， n ，则 m//n C．若 // ， m ， n ，则 m//n D．若 ， m ， I n ， m n ，则 m
a2 b2
a1 b1
（）
A． 2
3
B． 3 4
C．1
D． 4 3
r 4．平面 的一个法向量 n (2, 2,1) ， A(1,3,0) 在 内，则 P (2,1, 4) 到 的距离为
（）
A．10
B．3
C． 8 3
D． 10 3
5．若 P 2, 1 为圆 C : x 12 y2 25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是（ ）．
A． 3 2
B． 3
2
C． 1
2
D． 1 2
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9．已知数列an 中，对任意 n N* ，a1 a2 a3 L an 3n 1，则 a12 a22 a32 L a2n
（）
A． 3n 1 2
B． 1 3n 1 4
C． 9n 1
D． 1 9n 1 2
10．已知等比数列{an}，满足 log2a3+log2a10=1，且 a3a6a8a11=16，则数列{an}的公比为
A． 2x y 5 0
B． 2x y 3 0
C． x y 1 0
黑龙江省大庆市大庆中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题(解析版)
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 ，再利用均值不等式得到答案．
【详解】设椭圆长轴 ，双曲线实轴 ，由题意可知： ，
又 ， ，
两式相减，可得： ， ，
．，
，当且仅当 时取等号，
的最小值为6，
故选：C．
【点睛】本题考查了椭圆双曲线 性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示 是解题的关键，意在考查学生的计算能力．
将已知条件转化为首项和公比的方程组，解方程组即可得到公比 ．
【详解】解：依题意， ， ①，
又 ②，
联立①②得 ，
又 有意义，所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．
11.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如
【20题答案】
【答案】（1） ；（2）1或 .
【解析】
【分析】(1)根据抛物线的定义 ，即可求得p值；(2)由过抛物线焦点的直线的性质，结合抛物线的定义，即可求出弦长AB
【详解】（1）抛物线C： 的准线为 ，
由 得： ，得 .
所以抛物线的方程为 .
（2）设 ， ，由 ，
，
∴ ，
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
【详解】对于A：若 ， ，则 ， ，则 ，故A正确；
对于B：若 ， ， ，则 ，故B正确；
对于C：若 ， ， ，则m与n可异面，可平行，故C错误；
对于D：由面面垂直的性质定理可得，D正确.
故选：ABD
14.已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ， ，则（）
黑龙江省大庆市东风中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题
大庆市东风中学高二数学假期验收考试试题一、单选题（每个小题5分，共10个小题，共50分．）1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235则从 中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ） A ．17B ．1235C ．1735D ．12．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =，则1AB 与1BC 所成角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°3．已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则直线l 的方程是（ ） A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=4．圆221:26260C x y x y ++--=与圆222:4240C x y x y +-++=的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离5．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为9，则b =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知0mn ≠，则方程221mx ny +=与20mx ny +=在同一坐标系内的图形可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知点()4,0A 和()2,2B ，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则MA MB +最大值是（ ） A ．1010+B ．1010-C ．810+D ．8108．已知焦点在x 轴上的椭圆22218x y a +=，且a ，2，c 成等差数列，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF PA ⋅的最大值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．169．一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）．该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔．则该塔群最下面三阶的塔数之和为（ ）A ．39B ．45C ．48D ．5110．设等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，并且2343n n S n T n -=-对于一切N n +∈都成立，则66ab =（ ） A ．37B ．715C ．13D ．1941二、多选题（每个小题5分，共2个小题，共10分．不选或选错得0分，选不全的得3分，全对得5分．） 11．对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有______ A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++= B ．若a b ∥，则111222x y z x y z == C ．121212222222111222cos ,a b x y z x y z=++⋅++D ．若1111x y z ===，则a 为单位向量 12．过点()1,1且2ba= ） A ．22112x y -= B ．22112y x -= C ．22112y x -= D ．22112x y -= 三、填空题（每个小题5分，共4个小题，共20分．）13．在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：423 231 423 344 114 453 525 323 152 342 345 443 512 541 125 342 334 252 324 254相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为______． 14．下列关于空间向量的命题中，①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a b ∥；②若非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥，b c ⊥，则有a c ∥；③若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++，则A ，B ，C ，D 四点共面；④若向量a b +，b c +，c a +，是空间一组基底，则a ，b ，c 也是空间的一组基底．上述命题中，正确的有______．15．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，点P 是椭圆C 上点，1PF x ⊥轴，且2145PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为______． 16．在数列{}n a 中，12a =，()11*1nn na a n N a ++=∈-，则2021a =______． 四、解答题（共6个大题，共70分．17题10分，其他均12分．） 17．甲、乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为13和14．求： （1）两人都译出的概率； （2）两人中至少一人译出的概率； （3）至多有一人译出的概率．18．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC ==，13CC =，点D ，E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且1AD =，2CE =，点M 为棱11A B 的中点．（1）求证：1C M ∥平面1DB E ；（2）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．19．（12分）已知直线l 经过点()4,3P --，且被圆()()221225x y +++=截得的弦长为8，求直线l 的方程． 20．（12分）已知过抛物线()220y px p =>的焦点，斜率为()11,A x y ，()22,B x y()12x x <两点，且9AB =．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，求OAB △的面积．21．双曲线221124x y -=，1F 、2F 为其左右焦点，C 是以2F 为圆心且过原点的圆． （1）求C 的轨迹方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足12F M MP =，求M 的轨迹方程．22．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1a ，3a ，7a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．答案：1．C 2．B3．D4．A5．B6．A7．A8．C9．D10．D11．BD 12．AC 13．0.65 14．①③④ 151或1-16．217．（1）112；（2）12；（3）1112． （1）甲、乙两人独立破译一个密码，他们译出的概率分别为13和14． 两人都译出的概率为：11113412p =⨯=． （2）两人中至少一人译出的概率为：21111111113434342P ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （3）至多有一人译出的概率：2111113412P =-⨯=． 18．17．（1）证明见解析（2（1）以C 为原点，以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，可得：()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,3C ，()10,2,3B ，()2,0,1D ，()0,0,2E ，()1,1,3M ． ∴()11,1,0C M =，()10,2,1EB =，()2,0,1ED =-，设(),,n x y z =为面1DB E 的法向量，则12020n EB y z n ED x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =得()1,1,2n =-，∴10C M n ⋅=，即1C M n =，∴1C M ∥平面1DB E ；（2）由（1）知：()2,2,0AB =-，()1,1,2n =-为面1DB E 的一个法向量，设AB 与平面1DB E 所成角为θ，则3sin cos ,3AB n AB n AB nθ⋅===⋅ ∴直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为33． 19．解：由已知得圆()()221225x y +++=的圆心坐标为()1,2--，半径5r =， ①当直线l 的斜率不存在时，其方程为4x =-，由题意可知直线4x =-符合题意． ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为()34y k x +=+，即430kx y k -+-=．由题意可知22222438521k k k -++-⎛⎫+= ⎪⎝⎭+，解得43k =-． 即所求直线方程为43250x y ++=．综上所述，满足题设的直线l 的方程为4x =-或43250x y ++=． 20．（1）28y x =；（2）62 解：（1）抛物线22y px =的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线AB 的方程为22p y x ⎫=-⎪⎭，由2,22,p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩消去y 得22450x px p -+=，所以1254p x x +=， 由抛物线定义得129AB x x p =++=，即594pp +=，所以4p =． 所以抛物线的方程为28y x =．（2）由4p =知，方程22450x px p -+=，可化为2540x x -+=，解得11x =，24x =，故1y =-2y =(1,A -，(4,B ． 则OAB △面积122S =⨯⨯=21．（1）()22416x y -+=（2）2246439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【分析】（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可． （2）求解轨迹方程求谁设谁，设(),M x y ，()00,P x y 用点M 的坐标表示点P 的坐标，带入方程即可得到答案．（1）由已知得212a =，24b =，故4c ==，所以()14,0F -、()24,0F ，因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为()4,0，半径为4， 所以C 的轨迹方程为()22416x y -+=；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，则()14,F M x y =+，()00,MP x x y y =--， 由12F M MP =，得()()004,2,x y x x y y +=--，即()()00422x x x y y y +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得0034232x x yy +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为点P 在C 上，所以()2200416x y -+=，代入得2234341622x y +⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2246439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．22．（1）22n a n =+，（2）()22n nT n =+【分析】（1）由题意可得()121n a a n =+-，从而可求出1a ，进而可求得{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得()()()()144111121222212n n a a n n n n n n +===-+++++++⎡⎤⎣⎦，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】（1）因为数列{}n a 是公差为2的等差数列，且1a ，3a ，7a 成等比数列，所以2317a a a =即()()2111412a a a +=+，解得14a =，所以22n a n =+；（2）由（1）得()()()()14411122241212n n a a n n n n n n +===-++++++， 所以()111111112334122222n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
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大庆铁人中学高二学年下学期假期验收考试
数学试题
命题人：审题人：
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷选择题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
）
1、下列各组数据中，数值相等的是
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
2、儿子的身高和父亲的身高是
A. 确定性关系
B. 相关关系
C. 函数关系
D. 无任何关系
3、下列四个命题中，其中为真命题的是
A. B. C. ，使 D.
4、将正弦曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程的周期为
A. B. C. D.
5、用秦九韶算法计算，当时，
A. 16
B.
C. 32
D.
6．已知p：x≥3或x≤－2，q：x∈Z，p∧q与¬q都是假命题，则x的可取值有( ).
A．5个B．3个C．4个D．无数个
7.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、
30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法
抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8.已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y m 3 5.5 7
已求得关于y与x的线性回归方程y
^
＝2.2x＋0.7，则m的值为( )
A. 1
B. 0.85
C. 0.7
D. 0.5
9．阅读如下程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )
A．S＝2*i－2 B．S＝2*i－1
C．S＝2*i D．S＝2*i＋4
10. 已知三棱锥的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，
，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是
A. B. 1 C. D.
11．F1、F2是椭圆
x2
9
＋
y2
7
＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面
积为( )
A．7 B.
7
2
C.7
4
D.
75
2
12. 已知圆的一条切线与双曲线C：有两
个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷解答题部分
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13.曲线C 的参数方程为，为参数，则此曲线的极坐标方程为______．
14.设O是坐标原点，F是抛物线
)0
(
2
2>
=p
px
y的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x
轴正向的夹角为60°，则
|
|OA为_____________________.
15.平面上画了一些彼此相距20cm的平行线，把一枚半径为4cm的硬币任意掷在这平面上，则硬币与任一条平行线相碰的概率为______．
16.若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设函数．
Ⅰ若a是从、、0、1、2五个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求函数无零点的概率；
Ⅱ若a是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求函数无零点的概率．
18.已知曲线C1的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：．
（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）若C1与C2相交于A、B两点，设点F（1，0），求的值．
19.某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：
价格元10 15 20 25 30
日需求量11 10 8 6 5
Ⅰ求y关于x的线性回归方程；
Ⅱ当价格元时，日需求量y的预测值为多少？
线性回归方程中系数计算公式：
，其中表示样本均值．
20.如图，四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值.（文）
求二面角的余弦值．（理）
21. (12分)在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩等级为B的考生有10人．
(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数；
(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有2人的两科成绩等级均为A.在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．
22.设分别是直线和上的两个动点，并且，动点P 满足
，记动点P的轨迹为C．
求曲线C的方程；
若点D 的坐标为是曲线C上的两个动点，并且，求实数的
取值范围；
是曲线C上的任意两点，并且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交y 轴于点，求的取值范围．
数学答案
1——6 BBBCB
7——12 CDCABD
13.
14.
15.
16.
17. 解：Ⅰ函数无零点等价于方程无实根，
可得，可得
记事件A 为函数无零点，
总的基本事件共有15个：，
，
，事件A包含6个基本事件，
Ⅱ如图，试验的全部结果所构成的区域为矩形区域
事件A所构成的区域为且
即图中的阴影部分．
18.解：（I）∵曲线C1的参数方程为（为参数），∴，∴，
∴曲线C1的普通方程为．…2分
∵曲线C2：，∴3ρ2+ρ2sin2θ=12，
∴3（x2+y2）+y2=12，∴3x2+4y2=12，
∴C2的直角坐标方程为．…5分
（Ⅱ）由题意可设，与A、B两点对应的参数分别为t1，t2，
将C1的参数方程代入C2的直角坐标方程，化简整理得，5t2+4t-12=0，∴，…7分
∴，
∵，∴，∴…10分．
19. 解：Ⅰ，
，
所求线性回归方程为
Ⅱ由Ⅰ知当时，，
故当价格元时，日需求量y 的预测值为．
20. 解：Ⅰ证明：四棱柱中，，
又面，所以平面分是正方形，所以，
又面，所以平面分
所以平面平面，
所以平面分
Ⅱ解：ABCD 是正方形，，
因为平面ABCD，
所以，
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系分
在中，由已知可得，
所以分
因为平面ABCD ， 所以平面，
又， 所以平面分 所以平面的一个法向量为分
设与n 所成的角为， 则分
所以直线
与平面
所成角的正弦值为分 Ⅲ解：设平面的法向量为
，
则， 所以，
令，可得分
设二面角的大小为，
则． 所以二面角
的余弦值为
分
21.解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人，
所以该考场有10÷0.25＝40(人)．
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)
＝40×0.075＝3.
(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
401
[1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]＝2.9.
(3)因为两科考试中，共有6个A ，又恰有2人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目成绩等级为A.
设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A 的同学，则在至少一科
成绩等级为A 的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为
Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，一共有6个
基本事件．设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A ”为事件M ，所以事件M 中包含的基本事件有1个，为(甲，乙)，则P(M)＝61
22. 解：
设
．
，
又，即所求曲线方程为
；
设，则由
可得
故
在曲线C 上，
，
消去s ，得，由解得，
又
且
；
设直线MN 为，则
得：
由
解得：
，且
则直线l 为，
由
在直线l 上，
由得．。