高考调研测试数学试题

高中毕业班高考调研会考
数学科试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；满分150分．考试用时120分钟． 注意事项；
1. 答卷前；考生务必将自己的姓名、考生号；用钢笔或签字笔填写在答题卡密封线内。

2. 选择题每小题选出答案后；用2B 型铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动；用橡皮擦干净后；再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答；答案必须写在答题卡指定区域内的相应位
置上；如需改动；先划掉原来的答案；然后在写上新的答案；不准采用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁；考试结束后；将试卷和答题卡一并交回。

参考公式；
如果事件A 、B 互斥；那么 P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立；那么 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ；那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率k n k k n n P P C k P --=)1()(
锥体的体积公式1
3
V Sh = 其中S 表示底面积；h 表示高。

函数求导公式；
''''''
'''2()()()(0)u v u v uv u v uv u u v uv v v v
±=±=+-=≠
第Ⅰ卷（选择题；共50分）
一.选择题；本大题共10小题；每小题5分；共50分。

在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的
（1）已知集合M={－1；0；1}；N={y ︱y=cosx ；x ∈M}；则M ∩N 是
A ．{－1；0；1}
B ．{0；1}
C ．{0}
D ．{1} （2）函数y=cosx （sinx+cosx ）的最小正周期为 A
4π B 2
π
C π
D 2π （3）下列各组命题中；“p 或q ”形式的复合命题为假命题的是
A ．p ；函数1y x
=-
在R 上是增函数；q ；函数2
y x =在R 上连续； B ．p ；导数为零的点一定是极值点；q ；最大值点的导数一定为零； C ．p ；互斥事件一定是对立事件；q ；对立事件一定是互斥事件；
D ．p ；复数(1)i i +与复数1i --对应点关于y 轴对称；q ；复数11i
i -+是纯虚数.
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（4）已知点P （x,y ）在线性区域 x+4y ≤1
A 3
B 4
C 5 D
125
（5）盒中装有大小相同的黑、白两色小球；黑色小球15个；白色小球10个。

现从中随机取出两个；若两个同色则甲获胜；若两个不同色则乙获胜。

则甲、乙获胜的机会是 A 甲多 B 乙多 C 一样多 D 不确定的
（6）已知双曲线
124
252
2=-y x 上一点M 到右焦点F 的距离为11；N 是MF 之中点；O 为坐标原点；则|NO|等于 A
211 B 21或221 C 21 D 2
21 （7）三棱柱ABC —A 1B 1C 1中；P 、Q 分别为侧棱AA 1、BB 1上的点；且A 1P=BQ ；则四棱锥C 1—APQB 与三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积之比是
A 21
B 31
C 41
D 6
1
（8）如图；正方体1111D C B A ABCD -中；在面11ABB A 上一动点P ；到A A 1和BC 的距离相等；则P 点的轨迹是下图中的
A B C D
（9）已知f （x ）,g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数；当x<0时
()()()()()()()//0,0,0 f x g x f x g x f f x g x +=且2则不等式的解集为
()()()()()()()()
2,02,;2,00,2;,22,;,20,2A B C D -⋃+∞-⋃-∞-⋃+∞-∞-⋃
（10）台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动；离台风中心30千米内的地区为危险区；城市B 在A 的正东40千米处；B 城市处于危险区内的时间为
B 1小时 D 2小时
第Ⅱ卷（非选择题；共100分）
二、填空题；本题共4小题；共20分.
（11）211
lim
3,1
x ax bx x →++=-已知则a= ,b= . （12）体操委员会由10位女性委员和5位男性委员组成；委员会要抽6位委员组团出国考
察；若以性别作分层；并在各层按比例抽样；则此考察团共有 种组成方式.（用数字作答）
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内；则点P 到点A （4,3）的最短距离为 x ≥0,
y ≥0, D
C A
B
C 1
D 1
B 1
A 1
E
D
C
B
A
P
（13）将一张坐标纸折叠一次；使得点（0；0）与点（-1；1）重合；则这时与点（3；1）重合的点坐标为________. （14） 定义运算a*b 为；a*b=()()
a a
b b a b ⎧⎨
≥⎩；例如；1*2=1；则2
5(cos sin ),(0,)
42πααα*+∈的最大值是 .
三、解答题；本大题共6小题；共80分；解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤． （15）（本题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ；且满足2
1
),2(0211=≥=⋅+-a n S S a n n n . （Ⅰ）求证；{
n
S 1
}是等差数列； （Ⅱ）求a n 的表达式. （16）(本题满分13分)
已知函数2
(),(1)1
x
x f x a a x -=+
+
（Ⅰ）证明函数f(x)在(1,)-+∞上为单调增函数； （Ⅱ）证明方程f(x)=0没有负数根.
（17）（本题满分13分） 如图；PD 垂直正方形ABCD 所在平面；AB ＝2；E 是PB 的中点；
cos DP
；AE
3
3
=． （Ⅰ）建立适当的空间坐标系；求出点E 的坐标；
（Ⅱ）在平面PAD 内是否能够找到一点F ； 使
EF ⊥平面PCB ？若存在；求出F 的坐标； 若不存在；则说明理由。

（18）（本题满分13分）
高三（1）班的一个研究性学习小组在网上查知；某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为
1
2
；该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验； （Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子）；求他们的实验至少有3次成功的概率；
（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子）；如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验；否则将继续进行下次实验；直到种子发芽成功为止；但发芽实验的次数最多不超过5次；求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望。

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（19）（本题满分14分）
已知a =(x,0)；b =(1；y), 3 3 a b a b +⊥-（ ）（）
(Ⅰ)求点P(x ；y)的轨迹C 的方程；
(Ⅱ)若直线l ；y=kx+m(km ≠0)与曲线C 交于A 、B 两点；点D(0；-1)在线段AB 的垂直
平分线上；试求实数m 的取值范围。

（20）(本题满分15分)
由原点O 向三次曲线()3230y x ax bx a =-+≠引切线；切于不同于点O 的点()111,,P x y 再由1P 引此曲线的切线；切于不同于1P 的点()222,P x y ,如此继续地作下去；…；得到点列(){}
,,n n n P x y 试回答下列问题； （Ⅰ）求1;x
（Ⅱ）1n n x x +求与的关系；
（Ⅲ）若a>0, 求证；当n 为正偶数时；;.n n x a n x a <>当为正奇数时，
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高中毕业班高考调研测试
数学参考答案及平分意见
一．选择题（每小题5分）；DCBDC DBBDB 二．填空题（每小题4分）；
（11） 4 , -5 （12） 2100 . （13）(0,4). （14） 54 . 解法提示；
（1）显然集合M 、N 只有公共元素1故选D. （
2）由11cos 21sin 222242x y x x π+⎛⎫=
+=++ ⎪⎝
⎭,知T=π；选C. （3） “p 或q ”形式的复合命题为假；即q 、p 皆假；B 中q 、 p 皆假；故选B. （4）所求距离为点A （4,3）到直线3x+4y=12的距离；选D.
（5）甲获胜的概率为2211
15101510
1222
2525
,,C C C C P P C C +==乙获胜的概率为易知12P P =,故选C.
（6）设左焦点为/F ；连结/
MF ,则/1
,2
NO MF =
∵a+c ＝12＞11；∴点M 不可能在双曲线左支上；由点M 在双曲线右支上；结合定义可得/
MF =21；故选D.
（7）利用1111111C APQB C A PQB C AA B V V V ---==可得B.
（8）易知所求为面11A ABB 上到点B 的距离与到1A A 的距离相等的点轨迹；依抛物线的定义知选B.
（9） 由x<0时；()()/
0f x g x ⋅⎡⎤⎣⎦
知奇函数()()(),0y f x g x =⋅-∞在上为减函数；
结合图象易知D 正确.
（
10
）如图；4022
BE CD CE ====＝20（千米）；()20
120
=小时；选B. （11）
由()()()()2
2
111111,ax bx x ax ax a x b a ++=--=-++=-+知
()2111
lim
lim 113,4, 5.1
x x ax bx ax a a b x →→++=-=-=∴==-- （12） 易知考察团由4女2男组成；42105
C C =2100.
13.易得对称轴为直线y=x+1,设所求点为（m ；n ）；由13
122
11
3
n m n m ++⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩ 得04m n =⎧⎨=⎩
14. ∵2
2
2
155cos sin 1sin sin (sin )2
44
ααααα+=-+=--+
≤ 2255(cos sin )cos sin 44αααα∴*+=+≤ 255(cos sin )44
αα∴*+的最大值为 三、解答题
15．(本题满分12分)
(Ⅰ)证明；)3,2,1(0),2(2,2111 =≠≥=+-∴⋅=----n S n S S S S S S a n n n n n n n n 2分 2111
=-∴
-n n S S …………………………………………………………… 4分 又21111==a S }1{n
S ∴是以2为首项；2为公差的等差数列……………………………6分 （Ⅱ）解；由（1）n n S n
22)1(21=⋅-+= 12n S n ∴=…… …………………… 8分
当n ≥2时； )
1(21)1(21211--
=--=
-=-n n n n S S a n n n （或n ≥2时；)1(2121--=-=-n n S S a n n n ） 当n=1时；2
1
11=
=a S ………………………………………………………………10分 1
,(1)21;(2)2(1)
n n a n n n ⎧=⎪⎪
∴=⎨
⎪-≥-⎪⎩……………………………………………………………………12分 （16）（本题满分13分）
解；（Ⅰ）
''
'
2
(2)(1)(2)(1)()ln (1)x x x x x f x a a x -+--+=+
+ ＝22
123ln ln (1)(1)x
x
x x a a a a x x +-++
=+++……………………3分
又∵ a ＞1； ∴ lna ＞0．
∴ 当x ＞－1时2
30,
0(1)x
a
x +； ∴f ′(x)＞0 ………………5分
∴f(x)在(1,)-+∞上为单调递增函数。

……………………………………………6分
（注；其它证法请参照给分）
（Ⅱ）假设存在x 0＜0（x 0≠－1）满足f(x 0)＝0 …………………………7分
则0
002
1
x x a
x -=-+； 002
01,011
x
x a x -∴-
+ ……………8分
解得
122
x ；这与假设x 0＜0矛盾。

…………………………………12分
∴上假设不成立；
即方程f(x)=0没有负数根。

………………13分 （注；其它解法请参照给分） （17）(本大题满分13分)
解；（Ⅰ）以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系；
如图示；则A （2；0；0）；B （2；2；0）；C （0；2；0）；…设P （0；0；2m ）（m>0）,则E （1；1；m ）； …2分
∴ =AE （-1；1；m ）；DP ＝（0；0；2m ）…3分
∴ DP <cos ；13
321122
2
=⇒=++>=⋅m m m m
AE ；…∴ 点E 坐标是（1,1,1） ……………………………… 6分
（Ⅱ）∵ ∈F 平面PAD ； ∴ 可设F （x ；0；z ）EF ⇒＝（x 要使 EF ⊥平面PCB ；则须EF CB ⊥；且PC EF ⊥ ………………………… 8分 即1(-x ；-1；)1-z (⋅2；0；)0=0, 且 1(-x ；-1；()1⋅-z 0；2；-2）=0, …10分 解得1x =, 0z = …………………………………………………………………12分
∴ 存在点F （1；0；0）；即点F 是AD 的中点时；EF ⊥平面PCB 。

……………13分 （18）(本题满分13分)
解；（I ）该事件为5次独立重复试验发生3次或4次或5次……………………1分
∴P=P 5(3)+P 5(4)+P 5(5) ………………………………………………………………3分
=3
4
5
5
5551
1
()()2
2C C C ++=
…………………………………………………………6分
（II ）ξ的可能取值分别为1；2；3；4；5. ……………………………………7分
分布列如下；
……11分 ∴ E ξ=1111131
12345248161616
⨯+⨯+⨯+⨯
+⨯= ……………………13分
（19）（本题满分14分）
解；
（Ⅰ）3(,0),)()
a b
x y x +
==
3(,0),)()a b x y x -==…………………………1分 ∵ 3 3 a b a b +⊥-（ ）（）
∴(3)(3)0a b a b +-=…………………………………………………2分
∴0)3(3)3)(3(=-⋅+-+y y x x 得13
22
=-y x ∴P 点的轨迹方程为；2
213x y -=…………………………………………5分
（Ⅱ）由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=13
2
2y x m
kx y 消去y ；得(1-3k 2)x 2-6kmx-3m 2
-3=0(*)…………7分 依题意知1-3k 2
≠0, △=（-6km ）2
-4（2
13k -）(-3m 2-3)=12（m 2+1-3k 2
）>0 …8分 设x 1,x 2为方程（*）的两根；AB 中点为（x 0；y 0） 则122
613km
x x k +=- …………………………………………………………………9分
22103132k km x x x -=+=
∴ 2
031k m
m kx y -=+= 故AB 中点M 的坐标为(2313k km -；2
31k m
-)…………………………………………10分
∴线段AB 的垂直平分线方程为； )313)(1(3122k km
x k k m y ---=--
……11分
将D(0；-1)坐标代入；化简得；4m=3k 2
-1…………………………………………12分
故m 、k 满足⎪⎩
⎪⎨⎧-=>-+1340312
2
2k m k m ；消去k 2得；m 2
-4m>0；m>4或m<0,……………13分 又∵4m=3k 2
-1>-1 ,∴m>-41,故m ),4()0,41
(+∞⋃-∈ ……14分
（20）（本小题满分15分）
（Ⅰ）解；由()3
2
/
2
3136,y x ax bx y x ax b =-+=-+得
过曲线（1）上点()111,P x y 的切线1l 的方程是
y-(
)321113x ax bx -+=()
2
1136x ax b -+（x -1x ）,（10x ≠）………………2分
由它过原点；有()
322
111111336,x ax bx x x ax b -+-=--+
()3211113230,.2
a
x ax x x =≠=
即故 …… 4分 （Ⅱ）过曲线（1）上点()111,n n n P x y +++的切线1n l +的方程是
()()()322111111336n n n n n n y x ax bx x ax b x x ++++++--+=-+-………………6分
由()()11,,n n n n l P x y +过曲线上的点有
()()()323221*********,n n n n n n n n n n x ax bx x ax bx x ax b x x ++++++-+--+=-+-
∵11n n n n x x x x ++≠-,以除上式并化简得，
1113
230..22
n n n n x x a x x a +++-==-+即 …… 9分
（Ⅲ）由113.22n n x x a +=-+得()11
2
n n x a x a +-=--……………………11分
故{}12n a x a x a --=1
是以为首项，公比为-的等比数列，2
……………12分
∴1
11,1.222n n n n a x a x a -⎡⎤
⎛⎫
⎛⎫-=-=--⎢⎥ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
即………………………………13分
∵a>0,
∴当n 为正偶数时；112n n x a ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦11;2n a a ⎡⎤
⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦……14分
当n 为正奇数时；112n n x a ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=112n a a ⎡⎤
⎛⎫+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。

…15分
（其它解法请参照给分）。