探究正弦交流电有效值与最大值的关系

探究正弦交流电有效值与最大值的关系
许文
【摘要】@@ 交变电流的最大值I<,m>和U<,m>是交变电流在一个周期内所能
达到的最大数值.交变电流的有效值I和U是根据电流的热效应定义的,即让交流与直流通过相同阻值的电阻,如果它们在相同的时间内产生的热量相等,这一直流的数
值叫做这一交流的有效值.
【期刊名称】《物理通报》
【年(卷),期】2011(000)005
【总页数】3页(P29-31)
【作者】许文
【作者单位】华中科技大学附属中学,湖北武汉,430074
【正文语种】中文
交变电流的最大值Im和Um是交变电流在一个周期内所能达到的最大数值．交变电流的有效值I和U是根据电流的热效应定义的，即让交流与直流通过相同阻值
的电阻，如果它们在相同的时间内产生的热量相等，这一直流的数值叫做这一交流的有效值．对于某一确定的交流电，其有效值与最大值间存在一定的关系．正弦交流电的有效值与最大值之间的关系，目前中学物理各种版本的教材中一般都是直接给出．在当今新课标的理念下，我们可以从理论与实验两方面对这一问题展开探究，有利于培养学生的探究能力、实验能力、分析问题与解决问题的能力．
1 理论探究
方法1：设想将正弦交流电i=Imsinωt通过阻值为R的电阻，则电阻发热的功率为
作出P-t图像(图1)，在一个周期T内电阻发热量Q1即为图中曲线下的面积(也等于图1中长为T高为即若将某一直流电流I通入该电阻，则在时间T内的发热量Q2 = I2RT．当Q1=Q2时，可得
图1
方法2：我们据交变电流有效值的定义知交流电ia=Imsinωt(图2)与ib=Imcosωt (图3)的有效值应相同．设想让它们分别通过同一电阻R，则在时间T内产生的热量均为Q ．现把时间T分成很多时间微元ΔT，则
Q=∑ia2RΔT=∑(Imsinωt)2RΔT
Q=∑ib2RΔT=∑(Imcosωt)2RΔT
则有
2Q=∑Im2(sin2ωt+cos2ωt)RΔT=
Im2R∑ΔT=Im2RT
若将某一直流电流I通入该电阻，则在时间T内发热量Q=I2RT，可得
图2
图3
方法3：设流过定值电阻R的电流按正弦规律变化，即i=Imsinωt，交流电的瞬时功率为
P=i2R=Im2Rsin2ωt
因为
代入得
此式中后一项在一个周期内平均值为零，因此在一个周期内交流电平均功率为(为最大瞬时功率的一半).如果考虑一个恒定电流I与其等效，即P=I2R，就有即
所以
方法4：设通过定值电阻R的电流按正弦规律变化，即i=Imsinωt ，交流电的瞬时功率为
P=i2R=Im2Rsin2ωt
则一个周期内电阻R上产生的热量为
因为代入得
有
此式第二项积分为零，所以如果有一个恒定电流I与其等效，即Q′=I2RT，则
所以有
2 实验探究
2.1 设计方案
如图4所示，a、b两端接6 V的正弦交流电源，R为总阻值为200 Ω的滑动变阻器，用演示交流电压表的10 V挡测滑动变阻器输出端电压的有效值U，用J2459演示示波器测滑动变阻器输出端电压的最大值Um．(这里也可用双踪示波器同时测量U与Um)
图4
2.2 数据记录与处理
按图4将各实物器材连成实验电路．调节示波器Y衰减和Y增益，使纵坐标定格为每格2 V，调节扫描范围与扫描微调，使荧光屏上显示2～3个正弦波形．实验中调节滑动头的位置，测出20组U与Um的值，并将测量值填入Excel的表中，用Excel对数据进行分析与处理．
(1)启开软件Excel，在A1中输入符号U/V，在B1中输入符号Um/V；
(2)在A2～A21 中记录U的测量值，在B2～B21中记录相应的Um测量值；
(3)选中A2：B21区域，单击图表按钮出现“图表向导对话框”，在“图表类型”中选取“X、Y散点图”，在子图表类型中选“平滑线散点图”，再依次按下一步按钮，直到完成(图5)；
(4)右击图5中任一数据点，选“添加趋势线”，在“类型”中选“线性”，在“选项”中选“显示公式”，确定后就会出现Um 与U的函数关系式．
图5
2.3 结论
在一定的实验误差范围内，正弦交流电的最大值与有效值的关系为
3 发散思考
问题：正弦交流电的有效值I与最大值Im的关系是那么当有效值与最大值关系为时，该电流一定是正弦交流电吗？
答案：电流有效值与最大值关系是的不一定都是正弦交流电．如图6所示的交变电流显然不是正弦交流电，但这个交变电流的最大值是Im ，设其有效值为I．据有效值的定义有
故
图6
4 教学反思
新课标的教学理念强调学生获取知识的过程．微积分知识已经引入到目前高中数学课程中．探究正弦交流电的有效值与最大值的关系，可以很好的引导学生从数学方法与物理实验的多角度进行探索，充分培养学生的探究能力．以实验为基础是物理教学的基本特征；物理实验对激发学生学习兴趣、启迪学生思维、培养科学方法和创新精神均能产生积极有效的作用．课堂上教师应千方百计地提供机会，让学生亲身体验物理实验操作过程，使物理创新式的学习过程成为一种“活、乐、动”的过程；在物理实验操作过程中去发现新问题、萌发新思想、形成新思路、寻找新方法、开拓新领域、获得新知识和技能．这种让他们亲自参与亲身体验的学习方法，能极大地调动其学习积极性，提高学习效率．。