[精品]新人教版高中数学必修42.2.2 向量减法运算及其几何意义优质课教案

222 向量减法运算及其几何意义
一、教分析
向量减法运算是加法的逆运算生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算因此类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)首先引进相反向量的概念然后引入向量的减法(减去一个向量等于加上这个向量的相反向量)通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则结合一定数量的例题深刻理解向量的减法运算通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算渗透化归的数思想使生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想同时由于向量的运算能反映出一些物理规律从而加强了数与物理之间的联系提高生的应用意识
二、教目标：
1、知识与技能：
了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。

2、过程与方法：
通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使生掌握向量减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数方法。

3、情感态度与价值观：
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。

三、重点难点
教重点向量的减法运算及其几何意义
教难点对向量减法定义的理解
四、法指导
减法运算是加法运算的逆运算，生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。

[]五、教设想
（一）导入新课
思路1(问题导入)上节课我们定义了向量的加法概念并给出了求作和向量的两种方法由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算减去一个数等于加上这个数的相反数向量的减法是否也有类似的法则呢?引导生进一步探究由此展开新课
思路2(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算本节课我们继续习向量加法的逆运算——减法引导生去探究、发现
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①向量是否有减法？
②向量进行减法运算必须先引进一个什么样的新概念？
③如何理解向量的减法？
④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则那么向量的减法是否也有类似的法则？
活动数的减法运算是数的加法运算的逆运算数的减法定义即减
去一个数等于加上这个数的相反数因此定义数的减法运算必须先引进一个相反数的概念类似地向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算可类比数的减法运算我们定义向量的减法运算也应引进一个新的概念这个概念又该如何定义?
引导生思考相反向量有哪些性质?
由于方向反转两次仍回到原的方向因此a和-a互为相反向量
于是-(-a)=a
我们规定零向量的相反向量仍是零向量
任一向量与其相反向量的和是零向量即a+(-a)=(-a)+a=0
所以如果a、b是互为相反的向量那么a=-bb=-aa+b=0
(1)平行四边形法则
图1
如图1设向量AB=b AC=a则AD=-b由向量减法的定义知AE=a+(-b)=a-b
又b+BC=a所以BC=a-b
由此我们得到a-b的作图方法
图2
(2)三角形法则
如图2已知a、b在平面内任取一点O作OA=a OB=b则BA=a-b即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量这是向量减法的几何意义
讨论结果①向量也有减法运算
②定义向量减法运算之前应先引进相反向量
与数的相反数是-类似我们规定与a长度相等方向相反的量叫做a的相反向量记作-a
③向量减法的定义我们定义
a-b=a+(-b)
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
规定零向量的相反向量是零向量
④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则这也正是向量的运算的几何意义所在是数形结合思想的重要体现
提出问题
①上图中如果从a的终点到b的终点作向量那么所得向量是什么?
②改变上图中向量a、b的方向使a∥b怎样作出a-b呢?
讨论结果①AB=b-a
②略
（三）应用示例
如图3(1)已知向量a、b、c、d求作向量a-bc-d
图3
活动教师让生亲自动手操作引导生注意规范操作为以后解题打
下良好基础;点拨生根据向量减法的三角形法则需要选点平移作出两
个同起点的向量
作法如图3(2)在平面内任取一点O作OA=a OB=b OC=c OD=d则
BA=a-b DC=c-d
变式训练
(2006上海高考) 在ABD中下列结论中错误的是( )
A AB=DC BAD+AB=AC AB-AD=BD DAD+BC=0
分析A显然正确由平行四边形法则可知B正确中AB-AD=BD错
误D中AD+BC=AD+DA=0正确
答案
例2 如图4ABD中AB=a AD=b你能用a、b表示向量AC、DB吗?
图4
活动本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量这是用向量
证明几何问题的基础要多注意这方面的训练特别要掌握用向量表示
平行四边形的四条边与两条对角线的关系
解由向量加法的平行四边形法则我们知道AC=a+b
同样由向量的减法知DB=AB-AD=a-b
变式训练[]
1(2005高考模拟) 已知一点O到ABD的3个顶点A、B、的向量分
别是a、b、c则向量OD等于( )
Aa+b+c Ba-b+c a+b-c Da-b-c
图5
解析如图5点O到平行四边形的三个顶点A、B、的向量分别是a、
b、c
结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c
答案B
2若AC=a+b DB=a-b
①当a、b满足什么条件时a+b与a-b垂直？
②当a、b满足什么条件时|a+b|=|a-b|？
③当a、b满足什么条件时a+b平分a与b所夹的角？
④a+b与a-b可能是相等向量吗？
图6
解析如图6用向量构建平行四边形其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线
由平行四边形法则得
AC=a+b DB=AB-AD=a-b
由此问题就可转换为
①当边AB、AD满足什么条件时对角线互相垂直？(|a|=|b|)
②当边AB、AD满足什么条件时对角线相等？(a、b互相垂直)
③当边AB、AD满足什么条件时对角线平分内角？(a、b相等)
④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能因为对角线方向不同
点评灵活的构想独特巧妙数形结合思想得到充分体现由此我们可以想到在解决向量问题时可以利用向量的几何意义构造几何图形转化为平面几何问题这就是数形结合解题的威力与魅力教师引导生注意领悟
例3 判断题
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反则a+b的方向必与a、b 之一的方向相同
(2)△A B中必有AB+BC+CA=0
(3)若AB+BC+CA=0则A、B、三点是一个三角形的三顶点
(4)|a+b|≥|a-b|
活动根据向量的加、减法及其几何意义
解(1)a与b方向相同则a+b的方向与a和b方向都相同;
若a与b方向相反则有可能a与b互为相反向量
此时a+b=0的方向不确定说与a、b之一方向相同不妥
(2)由向量加法法则AB+BC=AC AC与A是互为相反向量所以有
上述结论
(3)因为当A、B、三点共线时也有AB+BC+AC=0而此时构不成
三角形
(4)当a与b不共线时|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的
平行四边形的两条对角线的长其大小不定
当a、b为非零向量共线时同向则有|a+b|>|a-b|异向则有
|a+b|<|a-b|;
当a、b中有零向量时|a+b|=|a-b|
综上所述只有(2)正确
例4 若|AB|=8|AC|=5则|BC|的取值范围是( )
A[38] B(38) [313] D(313)
解析BC=AC-AB
(1)当AB、AC同向时|BC|=8-5=3;
(2)当AB、AC反向时|BC|=8+5=13;
(3)当AB、AC不共线时3<|BC|<13[]
综上可知3≤|BC|≤13
答案
点评此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解[]
变式训练
已知a、b、c是三个非零向量且两两不共线顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0
证明已知a≠0b≠0c≠0且a bb cc a
(1)必要性作AB=a BC=b则由假设CA=c
另一方面a+b=AB+BC=AC
由于CA与AC是一对相反向量
∴有AC+CA=0
故有a+b+c=0[]
(2)充分性作AB=a BC=b则AC=a+b又由条件a+b+c=0
∴AC+c=0等式两边同加CA得CA+AC+c=CA+0
∴c=CA故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形
（四）课堂小结
1先由生回顾本节习的数知识相反向量向量减法的定义向量减法的几何意义向量差的作图
2教师与生一起总结本节习的数方法类比数形结合几何作图分类讨论
（五）作业。