益阳市第十六中学下学期高二数学期中考试试卷(文科)

益阳市第十六中学2006年下学期高二数学期中考试试卷(文科)
（时量:120分钟 总分:150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．如果a 、b 是满足不等式ab<0的实数，那么 A ．|a+b|>|a －b|
B ．|a+b|<|a －b|
C ．|a －b|<||a|－|b||
D ． |a －b|<|a|+|b| 2．下列各式中，最小值为2的是
A ．x
y y x +
B ．
2
322++x x
C ．tanx ＋cotx
D ． x x
-+55
3．若直线(a+2)x+(a+3)y －5 =0与直线6x+(2a －1)y －7=0互相垂直，则a 的值为 A ．1
B ．29-
C ．－1或2
9- D ．2
9
-
或1 4．当点(x ,y)在直线x+3y=2上移动时, z =3x
+9y+3的最小值是
A ．3
8
B ．223+
C ．0
D ．9
5．A 点关于8x+6y=25的对称点恰为原点，则A 点的坐标为 A ．(2,
23) B ．)6
25,825( C ．(3, 4) D ．(4, 3)
6．不等式组⎩
⎨⎧<+-≥+-02,
063y x y x 表示的平面区域是
7．已知x 2
+y 2
= 1 ,若x + y －k ≥0对符合条件一切x 、y 都成立,则实数k 的最大值为
A ．2
B ．－2
C ．0
D ．1
8．圆x 2
＋y 2
＋2x ＋6y ＋9＝0与圆x 2
＋y 2
－6x ＋2y ＋1＝0的位置关系是
A.相离
B.相外切
C.相交
D.相内切 9．椭圆(1－m)x 2
－my 2
=1的长轴长是
A.
m m --112 B.m m --2 C.m m 2 D.m
m
--11
10．设F 1, F 2是椭圆22
194
x y +=的两个焦点，P 在椭圆上，已知P, F 1, F 2是一个Rt △的
三个顶点，且|P F 1|>|P F 2|，则|P F 1| : |P F 2|的值是 A.25或2 B.27或23 C.25或23 D.2
7
或2
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．不等式521<-≤x 的解集是____________________________. 12．不论m 为何实数，直线(m-1)x －y+2m+1=0恒过定点_______________.
13．圆心在x 轴上，经过原点，并且与直线y ＝4相切的圆的一般方程是 14．椭圆x 2
＋4y 2
=16被直线y=x ＋1截得的弦长为 ． 15．有下列命题：
（1）若两条直线平行，则其斜率必相等；
（2）若两条直线的斜率乘积为－1, 则其必互相垂直； （3）过点（－1，1），且斜率为2的直线方程是
21
1
=+-x y ； （4）同垂直于x 轴的两条直线一定都和y 轴平行; （5）若直线的倾斜角为α，则πα≤≤0. 其中为真命题的有_____________(填写序号) 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16．解关于x 的不等式
).(02
R a a x a
x ∈<--（12分）
17．已知P 是直线 上一点，将直线 绕P 点逆时针方向旋转θ（2
0πθ<
<）所得直线为1 ：
0223=--y x .若继续绕P 点逆时针方向旋转
θπ-2
角，得直线2 ：01132=-+y x .
求直线 的方程．（12分）
18．某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形.
上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2
. 问x 、y 分别为多少时用料最省?（14分）
19．某厂生产甲、乙两种产品，生产每吨甲、乙产品所需煤、电力和所获利润如下表所示：
在生产这两种产品中，要求用煤量不超过350t ，电力不超过220kW.问每天生产甲、乙两种产品各多少，能使利润总额达到最大？（14分）
20．求与直线 y=x 相切，圆心在直线 y=3x 上且被 y 轴截得的弦长为22的圆的方程． （14分）
21．椭圆12222=+b
y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点. （1）求
2
21
1b a +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤2
2，求椭圆长轴的取值范围.(14分)
[参考答案]
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．]1,3()7,3[-⋃ 12．)3,2(- 13．x 2＋y 2
±8x ＝0 14．
5
38
4 15． （2） 三、解答题（本大题共6题，共80分）
16．（12分）[解析]：原不等式⇔0))((2<--a x a x . 分情况讨论
（i ）当a ＜0或a ＞1时，有a ＜a 2
，此时不等式的解集为}|{2a x a x <<；
（ii ）当10<<a 时，有a 2
＜a ，此时不等式组的解集为};|{2a x a x <<
（iii ）当a=0或a=1时，原不等式无解．
综上，当a ＜0或a ＞1时时，原不等式的解集为； 当10<<a 时，原不等式的解集为};|{2a x a x << 当a=0或a=1时，原不等式的解集为φ.
17．（12分）[解析]：由题意知点P 是1 与2 的交点，且2 ⊥，则由 3220
23110x y x y --=⎧⎨+-=⎩
⇒ 71
x y =⎧⎨
=-⎩，即P （7，－1），又2312
=-= k k ，所以直线 的方程为：)7(23
1-=+x y 即02323=--y x ．
18．（14分）[解析]：由题意得 xy+41x 2
=8,∴y=
x
x 482
-=48x x -(0<x<42). 于定, 框架用料长度为 L=2x+2y+2(x 2
2
)=(23+2)x+x 16≥4246+.
当(
23+2)x=x
16
,即x=8－42时等号成立. 此时, 用料最省.
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+0,0,22054,35049y x y x y x
19．（14分）[解析]：设每天生产甲、乙两钟产品分别 为x t 、y t ，利润总额为z 万元.那么：
z=y x 612+
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域 y x z 612+=，作出以上不等式组所表示的平面
区域，即可行域（如右图）. 作直线02:=+y x l ，把直线l 向右上方平移至l '位置
时，直线经过可行域上点M ，现与原点距离最大，此时z=y x 612+取最大值. 解方程组⎩⎨⎧=+=+220
54350
49y x y x 得M （30，20）
答：生产甲产品30t ，乙产品20t ，能使利润总额达到最大.
20．（14分）
[解析]：设圆心坐标为0)r(r ),3,(001>半径为x x O ，则
r x x =-2
30
00
2x r =⇒，
又2
2
02
)2(,22r x AB =+∴=
22202
02
0±=⇒=+⇒x x x ，2=∴r
即圆的方程为：
4)23()2(4)23()2(2222=-+-=+++y x y x 或．
21．（14分）[解析]：设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：
又将 代入x y -=1
122
2
2=+b
y a x 0)1(2)(2
22222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022
221b a a x x +=+∴>∆ 222221)1(b a b a x x +-=代入①化简得 2112
2=+b a .
(2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==a b a b a b a c e 又由（1）知1
2222
-=a a b
2
6
252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴
a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5].。