2007~2009安徽省专升本考试数学试题及答案

绝密★安徽省2007年普通高等学校专升本招生考试
高等数学
注意事项：
1．本试卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，满分30分。

每小
题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的
字母填在题后的括号内。

1．下列各结函数中表示同一函数的是 （ ） A ． )tan(arctan )()(x x g x x f ==与 B ．)1lg(2)()1lg()(2+=+=x x g x x f 与
C ．1
1)(1)(2--=+=x x x g x x f 与 D ．2
2)(2
2
)(+-=+-=
x x x g x x x f 与
2．设均存在，则及)]()([lim )]()([lim x g x f x g x f a
x a
x -+→→ ( ) A ．不存在存在，)(lim )([lim x g x f a
x a
x →→ B ．存在不存在，)(lim )(lim x g x f a
x a
x →→
C ．存在存在，)(lim )(lim x g x f a
x a
x →→ D ．不存在不存在，
)(lim )(lim x g x f a
x a x →→ 3．当的是无穷小量时，无穷小量x x x x -→320 ( )
A ．高阶无穷小
B ．等价无穷小
C ．低阶无穷小
D ．同阶无穷小 4．=+)(2
x
x
e d ( )
A ．dx x )12(+
B ．dx e x x
x
++2
)12( C ．dx e x
x
+2
D ．)()12(2
x
x
e d x ++
5．若函数)(,0)(0)(,)(x f y x f x f b a x f y =>''>'=则曲线且）内有在区间（在此区间内是
( ) A ．单减且是凹的 B ．单减且是凸的 C ．单增且是凹的 D ．单增且是凸的
6．设⎰=++=)(,11
)(x f C x
dx x xf 则 ( ) A ．
x x +1 B ．2
)1(1x x +- C ．2)1(1x +- D ．2)1(x x + 7．由直线x y x x x y 轴围成的图形绕轴及,1,1=+=轴旋转一周所得的旋转体积 为 ( )
A ．π37
B ．
3π C ．π3
4
D ．π38
8．设进行的是矩阵，由下列运算可以为矩阵，为43B 34⨯⨯A （ ）
A ．
B A + B ．T
BA C ．AB D ．T
AB
9．四阶行列式第二行的元素依次为1,-2,5,3，对应的余子式的值依次为4，3，2，9，则该行列式的值为 （ ） A ．35 B ．7 C ．-7 D ．-35
10．设则有，若概率为互不相容的两个事件,0)(,0)(,>>B P A P B A （ ） A ．0)|(>A B P B ．)()|(A P B A P = C ．)()()(B P A P AB P ⋅= D ．0)|(=B A P
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，满分30分，把答案填在题中横线上。

11．由参数方程==⎩⎨⎧-=+=dx dy
x y y t
t y t x 则所确定的函数),(arctan )1ln(2_____________.
12．的值等于]ln )1[ln(lim n n n n -+∞
→________ .
13．微分方程2|0==-'=x x y e y y 满足初始条件的特解为___________. 14．设⎰⎰
==102
,),(x x I dy y x f dx I 改换积分次序后，___________.
15．幂级数=+∑∞
=R x n n n n
的收敛半径11
22__________.
16．设=∂∂+∂∂==++=y
u
x u y x y x u 时，，当1)1ln(32__________.
17．⎰
=++dx x 1
11_________.
18．矩阵_________231111211的值等于，则的秩为x x ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--.
19．设矩阵方程=⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==X B A B XA 则其中,012001,9574,_________.
20．设随机变量ξ的分布列为,5,4,3,2,1,15
)(===ξk k
k P 则概率=>ξ)3(P .
三、计算题：本大题共9个小题，其中第21-27小题每题7分，
第28-29小题每题8分，共65分。

解答应写出文字说明，计算应写出必要的演算步骤。

21
．求极限⎰
⎰-→x x x dt
t t t dx
t 0
2/30
)sin
(lim
2.
22．求函数阶导数的n x y )1ln(-=.
23．计算不定积分⎰+-dx x x x
x ）（ln 212
.
24.计算定积分⎰-++1
1
22)1(dx x x .
25．判别无穷级数 +⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+12
9637
531963531633131的敛散性.
26．设函数.,,00
01sin )(22的值处可导，求常数在c b a x x c bx ax x x x x x f =⎪⎩
⎪⎨⎧
≤++>+=
27．计算二重积分⎰⎰≤+≤=+D
y x y x y x D dxdy e
}41|),{(,222
2其中.
28．求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-4
8733375221
24321
43214321x x x x x x x x x x x x .
29．设随机变量ξ密度函数为.,)(+∞<<-∞=-x Ae x p x
求：（1）常数A ;
（2）ξ落在（，∞）内的概率； （3）数学期望E ξ,方差D ξ
四、证明与应用题：本大题共3小题，第30-31题每题8分，第32题9分，共25分。

30．证明：当2
2)1(ln )1()1,0(x x x x <++∈时，
.
得 分
得 分 评卷人
得 分
31．设，为正整数满足阶方阵)(k O A A n k =
证明:1
)(---），并求（阶单位阵为可逆A E n E A E .
32．在第一象限内，求曲线上一点，1222=+y x 使在该点处的切线与曲线及两个坐轴所围成的面积最小，并求最小值.
绝密★启用前安徽省2008年普通高等学校专升本招生考试
高等数学
注意事项：
1．本试卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，满分30分。

每小
题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的
字母填在题后的括号内。

1．函数)1(log 322++-=x x y 的定义域为 （ ）
A ． ]3,0[
B ．]3,1[-
C ．]3,1(-
D ．),3[+∞ 2．设函数1
1)(1
1+-=x x
e e x
f ，则x =0是)(x f 的 ( )
A ．可去间断点
B ．跳跃间断点
C ．无穷间断点
D ．振荡间断点
3．当+
→0x 时，无穷小量dt t x f x ⎰
=
20
sin )(是无穷小量x 3的
（ ） A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量
C ．同阶但非等价无穷小量
D ．等价无穷小量
4．若函数13)(2
3
+-=x x x f 在区间]2,1[上 ( ) A ．单调增加且凹 B ．单调增加且凸 C ．单调减少且凹 D ．单调减少且是凸
5．已知,2)(0='x f 则=--+→h
h x f h x f x )
()(lim 000 ( )
A ．4
B ．41
C ．2
D ．2
1
6．设⎰
⎰
=
x x
dy y x f dx I ),(10
，交换积分次序得=I （ ）
A ．⎰
⎰y
y
dx y x f dy
),(10
B ．⎰⎰y
y
dx y x f dy 2),(1
C ．
⎰
⎰10
10
),(dx y x f dy D ⎰
⎰2),(1
y y
dx y x f dy
7．设==X C AXB B A n X C B A 则成立且有可逆阶矩阵，均为,,,,,, （ ）
A ．1
1
--CB A B ．1
1
--CA B C ．C B A 1
1
-- D ．1
1
--B CA 8．设A 是二阶可逆矩阵，且已知⎪⎭
⎫
⎝⎛=-4321)2(1T A ，其中T A 为A 的转置矩阵，则A= ( )
A ．⎪⎭⎫
⎝⎛43212 B ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛432121 C ．1
42312-⎪⎭⎫
⎝⎛ D ．1
423121-⎪⎭⎫ ⎝⎛ 9．将两个球随机地投入四盒子中，则后面两个盒子中没有球的概率为 ( )
A ．
31 B ．4
1
C ．61
D ．121 10．设随机变量X 服从正态分布),2(2
σN ,且4.0}42{=<<X P ,则概率}0{<X P 等于 ( ) A ．0.6 B ．0.3 C ．0.2 D ．0.1
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，满分30分，把答案填在题中横线上。

11．=+∞→)sin 1
2sin (lim x x
x x x _____________.
12．曲线1ln =+y xy 在点M (1，1)处的切线方程是________ .
13．函数x x x f +=3
)(在[0，1]上满足拉格朗日中值定理的ξ= ． 14．=++⎰-1
12)cos 1|(|dx x x x x ___________.
15．设)(22
y x e z x -=，则全微分===|1
0y x dz __________.
16．级数∑∞
=⋅1
3n n n
n x 收敛域为__________.
17．矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+22102012t t t t ，且A 的秩为2，则常数t =__________.
18．矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=723312211A ，则=|2|T
AA _________.
19．设随机变量X 服从二项分布B(20，p ),且数学期望E (2X +1)=9,则p =_________. 20．已知6.0)(,2.0)(==B A P A P , 则)|(A B P = ．
三、解答题：本大题共11个小题，其中第21-26小题每题7
分，第27-29小题每题8分，第30-31小题每题12分，共90分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21
．已知1)](1
1
[lim 2=+-++∞→b ax x x x ,求常数
a ,
b .
22．设函数2
)(sin x x y =,求y '．
23．求不定积分⎰+dx x 2
2
sin 1）（.
24.计算⎰∞+e
dx x x 12
|
ln |.
25．求微分方程x
y
x y dx dy -=2)(满足条件1|1==x y 的特解.
26．设.),ln(y
z y x z x
y x z ∂∂+∂∂-=求
27．求二重积分⎰⎰
≤≤≤+=+D
x y x y x y x D dxdy y x }0,2|),{(,2222其中积分区域.
28．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=+a x x x x x x x x 3
213212137533
2,问a 取何值时该线性方程组有解?在有解时
求出线性方程组的通解.
29．已知4321,,,αααα为n 维向量,且秩(321,,ααα)=2, 秩(432,,ααα)=3.证明: （1）1α能由32,αα线性表示; （2）4α不能由321,,ααα线性表示.
30．已知连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<-+-≤=1
,1.11,
)1(1,0)(2x x x C x x F 求: (1) 常数C ; (2) X 的概率密度)(x f ;(3)概率P {X > E (X )}．
?
,)2(.;)1(.10,,03,01,3.312122112221取得最大值为何值问当体积轴旋转而成的旋转体的绕体积轴旋转而成的旋转体的绕试求其中所围成的平面区域和直线是由抛物线所围成的平面区域及和直线是由抛物线设V V a V y D V x D a a x y x y D y x a x x y D +<<=======
安徽省2009年普通高等学校专升本招生考试
高等数学
注意事项：
1． 试卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内。

1．
A x f x x =→)(lim
是0x x →时，函数A x f -)(为无穷小量的是（ ）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件
2．设函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠+0,0,)21()(1
x a
x x x f x 在0=x 处连续，则=a （ ）
A ．1
B ．e
C ．2e
D ．2
-e 3．函数x
xe
y -=在区间（3，5）内是（ ）
A ．单调递增且凸
B ．单调递增且凹
C ．单调递减且凸
D ． 单调递减且凹 4．已知
⎰+=C x dx x f sin )(则⎰'
)(x ＝（ ）
A ．x cos
B ．x sin
C ．x cos -
D ．x sin - 5．设dx y x f dy I y
⎰
⎰
=1
),(，交换积分次序得=I （ ）
A ．⎰
⎰1
12),(x
dy y x f dx B ．⎰⎰1
1
),(dy y x f dx
C ．
⎰
⎰
1
2
),(x dy y x f dx D ．⎰
⎰x
dy y x f dx 0
10
),(
6．下列级数中发散的是（ ）
A ．∑∞
=021n n B ．∑∞
=+131
n n n
C ．1)1(1+-∑∞
=n n n n
D ．n n n 1
)1(1
∑∞
=-
7．已知A A A A A A n A 表示的行列式，表示，且阶方阵，为**)(42==的伴随矩阵），则=n （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．已知向量⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110,000,121321a a a ，则（ ）
A ．1a 线性相关
B ．21,a a 线性相关
C ．21,a a 线性无关
D ．321,,a a a 线性相关 9．学习小组有10名同学，其中6名男生，4名女生，从中随机选取4人参加社会实践活动，则这4人全为男生的概率是（ ） A ．
141 B ．143 C ．74 D ．7
1 10．已知=+===)(,8.0)|(,4.0)(,3.0)(B A P A B P B P A P 则（ ）
A ．0.7
B ．0.46
C ．0.38
D ．0.24
二、填空填：本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。

11．设函数=⎪⎩⎪⎨⎧>≤=)(sin ,1
,01
,1)(x f x x x f 则__________
12．已知==∞
→a x
a
x x 则,4sin
lim ___________ 13．设函数)(,n x y xe y 则==_______________ 14．曲线1323+-=x x y 的拐点是_______________
15．⎰-+1
12
20091cos dx x x
x ＝__________
16．幂级数∑∞
=•13
n n
n
n x 的收敛半径为______________ 17．
⎰
+∞
∞
-++dx x x 2
21
2＝_______________
18．如果行列式x
3
2
221
5
11
-＝0，则x=______________ 19．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，且数学期望,4)(=X E 方差)(X D ＝2.4，则n ＝______________ 20
．
设
=<=<)4.1(),2.0.1(~.039544)2()1,0(~2Y P N Y X P N X 则_________
三、解答题：本大题共8小题，其中第21-25题每题7分，第26-27题每题8分，第
28题12分，共63分。

21．求极限x
x t x
dt
x sin sin lim 0
20
-⎰
→
22．求不定积分⎰
+dx x x
x x )ln 1
ln (
23．求定积分⎰
+-4
1
1dx x x
24．求微分方程x x y xy sin 2'=-的通解
25．求二重积分⎰⎰==D
x y x y D xdxdy 2,2
和是由曲线其中所围成的区域。

26．求线性议程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-+=+-+2
31343204321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解 27．已知矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32020
1,110221101,131563213C B A ，且C BX AX +=2，求矩阵X.
28．已知连续开题随机变量X 的密度函数为：
，x b ax x f ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛≤≤+=其他,010,)( 且数学期望12
7
)(=X E
求，（1）常数b a ,
(2)随机变量X 落在区间)2,2
1(内的概率，
（3）随机变量X 的方差)(X D
四、证明与应用题：本大题共3小题，其中第29题7分，第30题8分，第31题12分，共27分。

29．证明：当.1)1(1,0≥-->≥x n ，x n x n
时
30．已知二元函数
31．设D 是曲线2x y =以及该曲线在（1，1）处的切线和y 轴所围成的平面区域。

求：（1）平面区域D 的面积S ；
（2）D 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积V
参考答案及精析
一、 单项选择题（每小题3分，共30分）
1.A
2.C
3.D
4.A
5.C
6.B
7.B
8.B
9.A 10.B
二、 填空题（每小题3分，共30分）
11.1 12.4 13.（x n +）x e 14.（1，-1） 15.0 16.3 17.π 18.3 19.10 20.0.7262
三、 简答题（共63分） 21.【精析】22
sin sin lim lim sin 1cos x
x x t dx
x x x x
→→∞=--⎰
=2cos 2lim sin x x x
x
→∞⋅ =2lim
2cos x x →∞
=2. 22.【精析】原式=1ln ln x xdx xdx x
+⎰⎰ =21
ln ()ln (ln )2xd x xd x +⎰⎰ =22211
[ln (ln )](ln )22x x x d x x ⋅-+⎰ =222111
[ln ]ln 22x x x dx x x -⋅+⎰ =22111
ln ln 222x x xdx x -+⎰ =222111
ln ln .242
x x x x C -++ 23.
【精析】1
40
1
=+⎰⎰⎰
=1
40
1
+⎰⎰
=
01
+⎰⎰
=1
4
01(11)dx dx +⎰⎰
=33
1
4220122()()33
x x x x -+-
=214
1(3)33-+-+
214
1333
=--+
=2.
24.【精析】先求对应的齐次线性方程'0xy y -=的通解. 分离变量，得 dy dx
y x
= 两边积分，得 y Cx =.
用常数变易法，将C 换成C(x )，即令()y C x x =⋅，代入所给的非齐次线性方程，得
2[()'()]()sin .x C x xC x C x x x x +-⋅= 整理，得
22'()sin .x C x x x = 即
'()sin .C x x =
两边积分得
()cos ,C x x C =-+ 所以所求方程的通解为 (cos ).y x C x =-+
25.【精析】联立方程2
2y x y x
⎧=⎨=⎩，得两交点分别为（0,0）、（2,4）。

根据图像可知
2
2
2x x
D
xdxdy xdx dy =⎰⎰⎰
⎰
2
20
2
320
43(2)(2)2
12()043
16
43
4.
3
x x x dx
x x dx
x x =-=-=-=-
=-⎰⎰
26【精析】11110()2
343111312A B -⎧⎫⎪
⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭→1
11100
121102
4
22-⎧⎫
⎪⎪--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭
111100
121100
00-⎧⎫⎪
⎪→--⎨⎬⎪⎪⎩
⎭
所以原方程组可化为 12342340
21
x x x x x x x +-+=⎧⎨-+=-⎩
即
1234
234
12x x x x
x x x =-+-⎧⎨=-+-⎩
令341,0,x x ==得211,0x x ==；令340,1,x x ==得
212,1,x x =-=
并且知特解为1234120120x x x x ⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎭⎪⎪⎩⎭
.
所以原方程组的通解为
12123411120021102010x x k k x x ⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭
（12,k k 为任意常数）
27.【精析】由AX=2BX+C ，知
AX-2BX=C (A-2B)X=C 经验证，20,2A B A B -≠-即可逆，所以
1
=X C -（A-2B ）
由题知
3122021
1023
652
441
2113
10
2
21
1
1A B ⎧⎫⎧⎫⎧⎫
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
-=-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎩
⎭⎩⎭⎩⎭
，并且 11010012101011-1001⎧⎫
⎪⎪
→
⎨⎬⎪⎪⎩⎭110100011-11000-1-101⎧⎫
⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭
10-12-10011-11000-1-101⎧⎫⎪⎪
→⎨⎬⎪⎪⎩⎭
1003-1-1010-21100110-1⎧⎫⎪⎪
→⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，
所以
1311211.101---⎧⎫⎪⎪
=-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭(A-2B)
所以3-1-1101-5=-21102=05.10-123-1-3X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭
28【精析】（1）由连续型随机变量X 的密度函数的性质，知
1
()1,ax b dx +=⎰从而
21
1
1,0
2
ax =（+bx ）即
1
1,2
a b += 由数学期望的定义，知
1
(),12
x ax b dx +=
⎰从而 120
327(),12
111
17,003
212117.3212
ax bx dx ax bx a b +=+=+=⎰即
联立两方程，得 11,2
a b ==
(2)2221122
2
1111
(2)()()(+)122222
P X f x dx x dx x x ≤≤==+=⎰⎰
218
=
(3)由于1
1
222001
()()()2
E X x f x dx x x dx ==+⎰⎰
1
32
0431()2
1115
()046
12x x dx
x x =+
=+=
⎰
所以
2254911
()()()12144144
D X
E X EX =-=
-=
四、 证明与应用题（共27分） 29.【证明】
11()(1)11,=(1).11,'(x)0,x x n n n n F x x n x x nx n F n n x x n F F --=---=-+-≥-=-≥≥>∞≥令并且（1）1-n+n-1=0.当x 1时，F'(x)=nx 由于时，所以即（）在[1,+]上是递增函数，
所以F （）F(1),即
10,n x nx n -+-≥也即
-1 1.n x n x -≥（
） 1110x 1'(x)(1),0x 1,1,1,'x x x n n n F nx n n x n x F ---≤≤=-=-≤≤><≤≥当时，由于所以即（）0,所以F （）在[0,1）上是递减函数，所以F()F(1),即
(1)1n x n x --≥ 得证. 30．【证明】
2,
,,
+=+=.
y x
y y
x x
y y
x x
y y y y y
x x x x x z xe z y e x e x x
z x xe ye x
z x ye xe ye ye xe x =∂-=+⋅⋅∂∂=-∂∂-∂因为二元函数则所以则命题得证.
31．【精析】根据题意知，'
221
1
k y x
x x =====
所以在点（1,1）处的切线方程为 12(1)y x -=- 即 21y x -=- 所以，
（1）1
20[(21)]S x x dx =--⎰
1
20
32(21)11()
3
111133
x x dx
x x x =-+=-+=-+=⎰
(2)1
2
11]2
y y V dy π-+=⎰
21
0(1)2[1)]430
y y y dy π
π+=-++=⎰
模拟试卷（一）
一. 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

*1. 当x →0时，
()f x e x
x =--+2
3
21与()g x x =2比较是（ ）
A. f x ()是较g x ()高阶的无穷小量
B. f x ()是较g x ()低阶的无穷小量
C. f x ()与g x ()是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量
D. f x ()与g x ()是等价无穷小量
*2. 设函数
()()()()
f x x x x x =---122003……，则
()
f '0等于（ ）
A. -2003
B. 2003
C. -2003!
D. 2003!
3. 设
{}{}
a b =-=112304，，，，，，则向量
a 在向量
b 上的投影为（ ）
A. 5
6
B. 1
C. -56
D. -1
*4. 设y y
12
、
是二阶线性常系数微分方程
y P y P y
"'
++=
12
0的两个特解，则
c y c y
1122
+（）
A. 是所给方程的解，但不是通解
B. 是所给方程的解，但不一定是通解
C. 是所给方程的通解
D. 不是所给方程的通解
*5. 设幂级数
a x
n
n
n=
∞
∑
0在x=2处收敛，则该级数在x=-1处必定（）
A. 发散
B. 条件收敛
C. 绝对收敛
D. 敛散性不能确定
二. 填空题：本大题共10个小题，10个空。

每空4分，共40分，把答案写在题中横线上。

6. 设
()()
f x x x
g x f e x
+=++=-
1431
2，()
，则
()
g x
'=
_________。

7. lim
x
x
k
x
e
→∞
+
⎛
⎝
⎫
⎭
⎪=
1
2
，则k=__________。

8. 函数y x x
=-+
555
在区间
[]
15
，上的最小值是__________。

9. 设a≠0，则
()
ax b dx
+=
⎰2002
__________。

*10. 定积分
()
x e dx
x x
+=
+
⎰122
1
__________。

*11. 广义积分
x dx
-
+∞
⎰=
3
2
1__________。

*12. 设
()()
z y ye y
x x
=+>
ln cos1
，则
∂
∂
z
y
=
__________。

13. 微分方程y y y
"'
++=
220的通解为__________。

*14. 幂级数()
--=∞
∑121
1n n
n n x 的收敛半径为__________。

15. 设区域D 由y 轴，y x =，y =1所围成，则
xdxdy D
⎰⎰=
__________。

三. 解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分。

解答时要求写出推理，演算步骤。

16. 求极限
lim cos x x x →∞-⎛
⎝ ⎫⎭
⎪11。

*17. 设
()f x e x k x x ()=+≠=⎧
⎨
⎪⎩⎪--11
1
1
12
，试确定k 的值使f x ()在点x =1处连续。

18. 设
y e x e x e
=++，求曲线上点（1，2e+1）处的切线方程。

19. 设x x 2+是f x ()的原函数，求xf x dx '()01
⎰。

20. 设z xe y x
=sin ，求∂∂∂∂∂∂22z x y
z
y x ，。

*21. 已知平面π121：x y z ++=，π223：-++=x y z 。

22. 判定级数()-+-=∞
∑11
1
21n n n n 的收敛性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收
敛。

*23. 求微分方程y x y x '+
=11
2满足初始条件y x |==10的特解。

*24. 求
()x y dxdy
D
+⎰⎰，其中区域D 是由曲线y x y x ==-33
，及y =1所围成。

*25. 求微分方程y y y e x
"'++=-4393的通解。

26. 求函数
()f x tdt
x
=⎰ln 12
的极值点与极值，并指出曲线的凸凹区间。

*27. 将函数()f x x x =
++21
56展开成x 的幂级数。

*28. 求函数()()f x y x y x y ,=---422
的极值点与极植。

【试题答案】
一.
1. ()f x g x e x f x g x x x x x x x
x x x ()()
lim ()()lim lim =
=-+=-+=--+-→→→23
21
2
0023
202121，
故选C 。

2.
f f x f x x x x x x '()lim
()()
lim()()()0001220030
0=--=---→→……
=-⨯-⨯⨯-=-()()()!1220032003…… 选C
3. 解：
a b 在上的投影为：
P a a a b a a b a b a b b
rjb =⋅∧=⋅⋅⋅=⋅=
-⨯+⨯+⨯++=cos()131024
304
1
2
2
2
应选B
4. 解：当y y 12、线性无关时，c y c y 1122+是方程y P
y P y "'++=120的通解；当y y 12、线性相关时，不是通解，故应选B 。

5. 解：
a
x n
n
n =∞
∑0
在x =2处收敛，故幂级数的收敛半径R ≥2，收敛区间
⊃-()22，，而()()
-∈-⊂-122，，R R ，故a
x n
n
n =∞
∑1
在x =-1处绝对收敛。

故应选C 。

二. 6. 解：
()
()()f x x x x x x ()+=++--+=+-++148455241512
22
令u x =+1得：
f u u u f x x x ()()=-+⇒=-+45245222
()
g x f e e e g x e e x x x x x
()'()==-+=-+-----452
8522
7. 由
lim lim x x
x x k
k
k k x k x e e k k →∞→∞+⎛⎝
⎫
⎭
⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦
⎥⎥
==⇒==
112112
222，
8. 解：y x x '()=->∀∈55015，，，故y 在[1，5]上严格单调递增，于是最小值是y x |==11。

9. 解：()()()ax b dx a ax b d ax b a ax b c +=++=++⎰⎰200220022003
11
2003()
10. 解：
()()
x e dx e d x x e e x
x
x x x x +=
+==
-+++⎰⎰112212
1212
2220
1
22
0120
13
()
11. 解：
x dx x dx x
b b b
b b b -+∞
→+∞-→+∞
-→+∞-⎰
⎰
==-=-⎛
⎝ ⎫⎭
⎪=3
2
1
32
1
121
122212lim
lim lim
12. ()∂∂∂∂z
y x y ye y y ye x x x =⋅+⋅+-cos ln [ln ]
cos 1
(
)
=⋅+⋅+⎛⎝ ⎫⎭⎪-cos ln cos x y ye
y e x x x 1
1
13. 解：特征方程为：r r r i 212220248
21++==
-±-=-±，,
⇒=-=αβ11， 通解为
()
y e c x c x x =+-12cos sin
14. 解：
()
()a a n n n n n
n =-=--++1121121
11，
()ρ==--=→∞+→∞+-lim
lim ()n n n
n n
n n n
a a 11
1
1121121
2，所以收敛半径为
R =
=1
2
ρ
15. 解：
xdxdy dy xdx y dy y D
y
⎰⎰⎰⎰
⎰====
10
201
301
12161
6
三.
16. 解：lim cos lim cos lim lim x x x x x x x x x x x →∞→∞
→∞→∞-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=-=-=111
111211120
2
17. 解：()lim ()lim x x x f x e
→→--=+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=11
1
1112
要使f x ()在x =1处连续，应有k f f x x ===→()lim ()111
18. 解：
y e ex y e
x e x ''=+=-=112，，切线的斜率为
k y e
x ==='12
切线方程为：
()
y e e x --=-2121，即y ex =+21
19. x x 2+是f x ()的原函数()()⇒=+⇒=f x x f x 212
'
xf x dx xdx x
'()01
1
2
121
⎰⎰===
20.
解
：
()()()∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z x x xe y e xe y z x y y z x x e y x x x x
==+=⎛⎝ ⎫⎭⎪=+sin sin cos ，21
()()∂∂∂∂∂∂∂z y xe y z y x x xe y x e y
x
x x ===+cos cos cos ，21 21.
π1
的法向量为
{} n 1121=，，，
π2的法向量
{} n 2211=-，，
所求平面π与ππ12、都垂直，故π的法向量为
n n n i j k i j k
=⨯=-=-+121
2
121
1
35
所求平面又过点
()
M 0111，，-，故其方程为：
()()()1131510
⋅--++-=x y z
即：x y z -+-=3590
22. 解：
u n n n =
+1
2
满足（i ）u u n n >+1，（ii ）
lim lim
n n n u n n
→∞
→∞
=+=10
2
由莱布尼兹判别法知级数收敛
又因lim lim
n n n u n n n n →∞→∞=+=11
1
12，令
V n n =
1，则
()
n n n n n
n n =∞
-=∞
∑∑
-+=+1
1
221
111
与V n n n n =∞
=∞
∑∑
=1
11
同时发散。

故原级数条件收敛。

23.
()
y e q x e
dx c e x e dx c p x dx
p x dx
x dx x dx
=⎰
+⎰=⎰⎰+⎛⎝ ⎫⎭⎪
-⎰-
⎰()()()121
1
()=⋅+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+⎰⎰e
x e dx c x x dx c x x c x
x ln
ln ln 1
21111
由
y c
x ==⇒=100，故所求特解为
y x
x =
ln
24. 因区域关于y 轴对称，而x 是奇函数，故
xdxdy D
⎰⎰=0
ydxdy ydxdy dx ydy
y dx x dx
x x D
D x x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰====-=-⎛
⎝ ⎫⎭⎪=22212
11767
1
3
3
11
2
01
1
60
1
701
()
25. 解：特征方程：r r r r 2
1243013++=⇒=-=-，
故对应的齐次方程y y y "'++=430的通解为y c e c e x
x =+--123 （1）
因α=-3是特征值，故可设特解为
()
y Axe y Ae Axe y Ae Ae Axe Ae Axe x
x x
x x x x x
**'*"==-=---=-+--------33333333333369
代入原方程并整理得：
-=⇒=-
--299233Ae e A x x
y xe x
*=--9
23
故所求通解为：y c e c e xe x x x
=+-
---123392
26.
f x x '()ln =，令
f x x '()ln ==0
得驻点
x 01=，又
f x x f "()"()=
=>1
110，
故x 0是f x ()的极小值点，极小值为：
()()f tdt t t t ()ln ln ln 11
2
2112
1
12
1
==-=
-⎰
因
()f x x x "()=
>>1
00，曲线是上凹的
27. ()()
f x x x x x x x ()=
++=
+-+=+-
+1
2312131
2
112
131
13
()()=-⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥-<<=∞=∞=∞
++∑∑∑12213311
2132200011x x x x n n n
n n n n n n
28. 解：令
∂∂∂∂f
x x f
y
y =-==--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪420420
解得唯一的驻点（2，-2）
∂∂∂∂∂∂∂22222202
f x f x y f
y =-==-，，
∴=-==-A B C 202，，
由AC B -=>40且A =-<20，知（2，-2）是f x y (,)的极大值点 极大值为f (,)()22422448-=+--=。