2014-2015年浙江省宁波市效实中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(文科)

2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高二（上）期中数学试卷
（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知等差数列{a n}中，a5+a7+a9=21，则a7的值是（）
A．7 B．9 C．11 D．13
2．（3分）如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（）
A．b=3，ac=9 B．b=﹣3，ac=9 C．b=3，ac=﹣9 D．b=﹣3，ac=﹣9
3．（3分）给出下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
4．（3分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5等于（）
A．1 B．C．D．
5．（3分）在斜二测画法下，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等的三角形的一组是（）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、
F，且EF=，则下列结论中错误的是（）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
7．（3分）已知{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最小值，那
么当S n取到最小正值时，n=（）
A．14 B．27 C．28 D．29
8．（3分）已知正四棱锥P﹣ABCD棱长都等于a，侧棱PB，PD的中点分别为M，N，则截面AMN与底面ABCD所成锐二面角的正切值为（）
A．B．C．1 D．
9．（3分）已知等差数列{a n}满足a2=3，a5=9，若数列{b n}满足，
则{b n}的通项公式为（）
A．b n=3n+1 B．b n=2n+1 C．b n=3n+2 D．b n=2n+2
10．（3分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB，BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1（包括端点A1，C1）上运动，直线BP与B1C所成角为θ，则θ的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.
11．（3分）在公比为2的等比数列{a n}中，，则a1=．
12．（3分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四
棱锥A﹣BB1D1D的体积为cm3．
13．（3分）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为．
14．（3分）若数列{a n}的前n项和为S n，若满足S n==3，则这个数列的通项a n=．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D﹣AE﹣B为90°，则直线BD与面ABCE所成角的正弦值为．
16．（3分）如图，边长为4的正△ABC顶点A在平面α上，B，C在平面α的同侧，且点C到平面α的距离是点B到平面α的距离的倍，M为BC的中点．若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形AB1C1，则M到平面α的距离是．
17．（3分）已知数列{a n}满足a n=cos，则a1+a2+a3+…+a2014=．
三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18．（8分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．19．（9分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．
（1）求证：BC⊥平面BB1A1A；
（2）求证：MN∥平面BCC 1B1．
20．（12分）已知数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S n+1=4a n+2，a1=1（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，求数列{b n}的通项公式；
（2）设c n=，求证：数列{c n}为等差数列，并求{c n}的通项公式；
（3）求数列{a n}的通项公式a n及其前5项和S5．
21．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．
（1）证明：SA⊥BC；
（2）求二面角C﹣SD﹣A的余弦值．
22．（10分）已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE 上的中点，且CD∥BE，将△ACD沿CD折起到位置A1CD，使平面A1CD与平面BCD所成的二面角A1﹣CD﹣B的大小为
θ，．
（1）若，求直线A1E与平面BCD所成的角的正切值；（2）已知G为A1E的中点，若BG⊥A1D，求cosθ的取值．
2014-2015学年浙江省宁波市效实中学高二（上）期中数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知等差数列{a n}中，a5+a7+a9=21，则a7的值是（）
A．7 B．9 C．11 D．13
【解答】解：在等差数列{a n}中，
∵a5+a7+a9=21，
∴3a7=21，得a7=7．
故选：A．
2．（3分）如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（）
A．b=3，ac=9 B．b=﹣3，ac=9 C．b=3，ac=﹣9 D．b=﹣3，ac=﹣9
【解答】解：由等比数列的性质可得ac=（﹣1）×（﹣9）=9，
b×b=9且b与奇数项的符号相同，
∴b=﹣3，
故选：B．
3．（3分）给出下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④
【解答】解：分别与两条异面直线都相交的两条直线，可能相交也可能异面，故
根据面面垂直的判定定理，当一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面一定相互垂直，故B正确；
垂直于同一直线的两条直线可能平行与可能相交也可能异面，故C错误；
由面面垂直的性质定理，当两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故D正确；
故选：D．
4．（3分）数列{a n}的前n项和为S n，若a n=，则S5等于（）
A．1 B．C．D．
【解答】解：∵，
∴…+==．
∴．
故选：B．
5．（3分）在斜二测画法下，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等的三角形的一组是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据斜二测画法的规则，A、B、D中正三角形的底边AB都没有改变，而三角形的高都平行于y轴或与y轴重合，因此它们的高相等，故A、B、D 中三组三角形的直观图是全等的．而对于C，画成直观图之后，第一个三角形中，C到AB的距离变成原来的，第二个三角形中，C到AB的距离保持不变，因此两个三角形的直观图不全等．
6．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、
F，且EF=，则下列结论中错误的是（）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，
∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，
从而A，B，C正确．
∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，
∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，
故D错误．
故选：D．
7．（3分）已知{a n}为等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和S n有最小值，那
么当S n取到最小正值时，n=（）
A．14 B．27 C．28 D．29
【解答】解：前n项和S n有最小值，所以首项小于0，公差大于0
由＜﹣1，可知，a14与a15异号，
又因为公差小于0，所以a15＞0，a14＜0．
因为＜﹣1，所以||＞1
即|a15|＞|a14|，所以a14+a15＞0
又因为S n=
所以当a1+a n为正时，S n为正
而a14+a15=a1+a28．
所以当n=28时，S n＞0
综上，当n=28时，S n取得最小正值．
故选：C．
8．（3分）已知正四棱锥P﹣ABCD棱长都等于a，侧棱PB，PD的中点分别为M，N，则截面AMN与底面ABCD所成锐二面角的正切值为（）
A．B．C．1 D．
【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN于E，则PE=EO，
又BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，
过A作直线l∥BD，则l⊥EA，l⊥AO，
∴∠EAO为所求二面角的平面角．
又EO=AO=a，AO=a，
∴tan∠EAO=．
故选：B．
9．（3分）已知等差数列{a n}满足a2=3，a5=9，若数列{b n}满足，则{b n}的通项公式为（）
A．b n=3n+1 B．b n=2n+1 C．b n=3n+2 D．b n=2n+2
【解答】解：由已知，等差数列{a n}，d=2，则{a n}通项公式a n=2n﹣1，b n+1=2b n ﹣1
﹣1=2（b n﹣1 ）
两边同减去1，得b n
+1
∴数列{b n﹣1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
b n﹣1=2×2 n﹣1=2n，
∴b n=2n+1
故选：B．
10．（3分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱AB，BC，BB1两两垂直且长度相等，点P在线段A1C1（包括端点A1，C1）上运动，直线BP与B1C所成角为θ，则θ的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：画出图形，建立空间直角坐标系，如图所示；
设棱长AB=1，
则B（0，0，0），C（0，1，0），B 1（0，0，1），
设P（﹣a，1﹣a，1）（0≤a≤1），
则=（﹣a，1﹣a，1），=（0，1，﹣1），
∴cosθ=||
=||
=，
当a=0时，cosθ=0，
当a≠0时，cosθ=•=•；
∵0＜a≤1，
∴≥1，
∴≥1，当且仅当a=1时“=”成立；
∴cosθ≤，即0≤cosθ≤；
又∵0≤θ≤，
∴≤θ≤，
即θ的取值范围是≤θ≤．
故选：C．
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.
11．（3分）在公比为2的等比数列{a n}中，，则a1=2．
【解答】解：∵公比为2的等比数列{a n}中，，
∴8a1=（2a1）2
∵a1≠0
∴a1=2
故答案为：2
12．（3分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6cm3．
【解答】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，
所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．
故答案为：6．
13．（3分）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积为6π．
【解答】解：一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则它的边长是a，所以=，∴a=2，
这个圆锥的全面积是：2π+×2π××2=6π
故答案为：6π．
14．（3分）若数列{a n}的前n项和为S n，若满足S n==3，则这个数
列的通项a n=．
【解答】解：已知：，①
则：，（n≥2）②
①﹣②得：，
所以：，
数列{a n}是以a2为首项，，
当n=1时，求得a2=4，
则：，
a1=3不符合该通项公式；
则：．
故答案为：．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，使二面角D﹣AE﹣B为90°，则直线BD与面ABCE所成角的正弦值
为．
【解答】解：作DO⊥AE，垂足为O，
由于二面角D﹣AE﹣B为90°，则DO⊥平面ABCE，
连接BO，则∠DBO为直线BD和平面ABCE所成的角，
在三角形ADE中，AD=DE=2，AE=2，则DO=，
在三角形ABO中，AB=4，AO=，∠BAE=45°，
则BO==，
即有DB==2，
则sin∠DBO=．
故答案为：．
16．（3分）如图，边长为4的正△ABC顶点A在平面α上，B，C在平面α的同侧，且点C到平面α的距离是点B到平面α的距离的倍，M为BC的中点．若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形AB1C1，则M到平面α的距
离是．
【解答】解：设B到平面α距离为a，则点C到平面α的距离为a，M到平面α距离为h=a，
射影三角形两直角边的平方分别4﹣a2，4﹣a2，
设线段BC射影长为c，则4﹣a2+4﹣a2=c2，（1）
又线段AM射影长为，所以（）2+a2=12，（2）
由（1）（2）联立解得a=，
∴h=，
故答案为：．
17．（3分）已知数列{a n}满足a n=cos，则a1+a2+a3+…+a2014=
．
【解答】解：，
所以：，
，
，
，
，
数列的周期为：3，
所以：a1+a2+a3=0
进一步求得：a1+a2+a3+…+a2014=，
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18．（8分）已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{b n}的前n项和公式．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差d．
因为a3=﹣6，a6=0
所以解得a1=﹣10，d=2
所以a n=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12
（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q
因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，
所以﹣8q=﹣24，即q=3，
所以{b n}的前n项和公式为
19．（9分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A 1C的中点．
（1）求证：BC⊥平面BB1A1A；
（2）求证：MN∥平面BCC1B1．
【解答】证明：（1）∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵平面BB1C1C⊥平面BB1A1A，
∴BC⊥平面BB1A1A．
（2）证明：连接BC1，AC1．
在△ABC1中，∵M，N是AB，A1C的中点，∴MN∥BC1．
又∵MN⊄平面BCC1B1，
∴MN∥平面BCC1B1．
20．（12分）已知数列{a n}中，S n是它的前n项和，且S n+1=4a n+2，a1=1（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，求数列{b n}的通项公式；
（2）设c n=，求证：数列{c n}为等差数列，并求{c n}的通项公式；
（3）求数列{a n}的通项公式a n及其前5项和S5．
【解答】（1）解：当n=1时，S2=a1+a2=4a1+2，解得a2=5．
∵S n
=4a n+2，a1=1（n∈N*）．
+1
=S n+1﹣S n=4a n+2﹣（4a n﹣1+2），
∴当n≥2时，a n
+1
﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），
化为a n
+1
∴b n=2b n﹣1．
b1=a2﹣2a1=3．
∴数列{b n}是等比数列，b n=3•2n﹣1．
﹣c n=﹣===，
（2）证明：c n
+1
∴数列{c n}为等差数列，c1==．
∴c n==．
（3）解：由（2）可得=（3n﹣1）•2n﹣2．
∴a1=1，a2=5，a3=16，a4=44，a5=112．
∴S5=1+5+16+44+112=178．
21．（10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．
（1）证明：SA⊥BC；
（2）求二面角C﹣SD﹣A的余弦值．
【解答】（1）证明：作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，
由侧面SBC⊥⊥底面ABCD，
得SO⊥底面ABCD
∵SA=SB，∴AO=BO，
又∠ABC=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，SA⊥BC，
∴由三垂线定理，得SA⊥BC．
（2）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD，
∵SA=SB，∴AO=BO．又∠ABC=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，
由（1）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，∴SA⊥AD，
∵AB=2，BC=2，SA=SB=．
∴A（），S（0，0，1），C（0，﹣，0），
D（，﹣2，0），
∴=（0，﹣，﹣1），=（，﹣2，﹣1），
=（），
设平面CSD的法向量=（x，y，z），
则=0，=0，
∴，
取y=，得=（，，﹣2），
设平面SDA的法向量=（x1，y1，z1），
，
∴，
取，得=（），
∵cos＜＞==﹣
由图形称二面角C﹣SD﹣A是锐二面角，
∴二面角C﹣SD﹣A的余弦值为．
22．（10分）已知直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE 上的中点，且CD∥BE，将△ACD沿CD折起到位置A 1CD，使平面A1CD与平面BCD所成的二面角A1﹣CD﹣B的大小为
θ，．
（1）若，求直线A1E与平面BCD所成的角的正切值；
（2）已知G为A1E的中点，若BG⊥A1D，求cosθ的取值．
【解答】解：（1）直角三角形ABE，AB⊥BE，AB=2BE=4，C，D分别是AB，AE 上的中点，且CD∥BE，将△ACD沿CD折起到位置，使平面A1CD与平面BCD所成的二面角A1﹣CD﹣B的大小为θ，
当θ=时，
求得：△A1BC为等边三角形
取BC得中点F，
BF=CF=1
进一步利用勾股定理解得：
FE=
所以：直线A1E与平面BCD所成的角的正切值：
tanθ=
（2）取DE中点H，连接GH，BH
因为G是A1E中点
所以GH∥A1D
因为BG⊥A1D
所以BG⊥GH
所以A1C=CB=2，BE=2，A1D=DE=
所以GH=，EH=
cos∠BEH=
利用余弦定理得：
BH=
所以勾股定理得BG=
因为BE⊥面A1BC
所以∠A1BE=90°
A1E=2BG=2，A1B=2，A1C=A1B=BC=2
所以cosθ=cos60°=
赠送初中数学几何模型【模型五】
垂直弦模型：图形特征：
运用举例：
1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.
(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.
O D
A
B C
E
A
O
D C
B
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

（1）求︵
AB l＋
︵
CD l的值；
（2）求AP2＋BP2＋CP2＋DP2的值；
3. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ，BD 交于点P ． (1)如图1，设⊙O 的半径是r ，若︵AB l ＋︵
CD l ＝πr ，求证：AC ⊥BD ；
(2)如图2，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为G ，AE 交BD 于点M ，交⊙O 于点E ；过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，DH 交AC 于点N ，交⊙O 于点F ；若AC ⊥BD ，求证：MN ＝EF ．
P
B
C
O
A
D
H
M
N E
G
P B
C O A
D
图1 图2
4. 如图，在⊙O 中，弦AB 丄弦CD 与E ，弦AG 丄弦BC 与F 点，CD 与AG 相交于M 点．
(1)求证：︵BD ＝︵
BG ；(2)如果AB =12，CM =4，求⊙O 的半径．
5.（1）如图1，在⊙O 中，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，求证：AE =BE ； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2，PA 、PB
组成⊙O 的一条折弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE =PE +PB .可以通过延长DB 、AP 相交于点F ，再连接AD 证明结论成立.请写出证明过程.
（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 上优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，
则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明.
B
A
O
E
E
F
D
B
O
P
E
D
B
O
P
图1 图2 图3
6.已知：四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AC ⊥BD 于E ，F 为AB 中点。

（1）如图1，若连接FE 并延长交DC 于H ，求证：FH ⊥DC ；
（2）如图2，若OG ⊥DC 于G ，试判断线段OG 与EF 的关系，并说明理由。

H
E
F
D
B
O
A
C
G
F
E
B
C
O
A
D
图1 图2。