全国各地中考数学分类解析(159套63专题)专

2a
OA1=1．连接 BC，过点 C 作 CD⊥ｙ轴于点 D，则 BD=yB－ yC， CD=1．过点 A 作 AF∥BC，交抛物线于点 E（ x1，
yE），交 x 轴于点 F（ x 2，0）。证出 Rt△AFA1∽Rt△BCD，得到 yA
1 x 2 1 x 2 ，，再根据△ AEG∽△ BCD
yB yC
在 Rt△ECF中， EF= 1 t ， CF=OC﹣ OF=10﹣ t ， CE=CG+EG=4+5 t 2 44
2
4
2
2
由勾股定理得： EF2+CF2=CE2，即 1 t
+ 10
2
t = 4+
5t2
44
。
2
4
解得 t 1=10（不合题意，舍去） ， t 2 =6。 ∴t=6 。 【考点】 二次函数综合题， 曲线上点的坐标与方程的关系， 相似三角形的判定和性质， 锐角三角函数定义， 全等三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】（ 1）已知点 A、 B 坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。 （2）先证明△ EDF∽△ DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求 解。 （ 3）通过作辅助线构造一对全等三角形：△ CAG≌△ OCA，得到 CG、AG的长度；然后利用勾股定
专题 22：二次函数的应用（几何问题）
一、选择题
2
2
1. （ 2012 甘肃兰州 4 分） 二次函数 y＝ax ＋ bx＋c(a ≠0) 的图象如图所示，若 |ax ＋ bx ＋ c| ＝k(k ≠0) 有两
个不相等的实数根，则 k 的取值范围是【
】
A． k＜－ 3 B ． k＞－ 3 C ．k＜ 3 D ． k＞3 【答案】 D 。 【考点】 二次函数的图象和性质。 【分析】 根据题意得： y ＝ |ax 2＋ bx＋ c| 的图象如右图，
①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。 ②将 A（ 1， yA）、B（0， yB）、 C（－ 1，yC）分别代入解析式，即可求出 yA、 yB、yC的值，然
后计算 yA 的值即可。 yB yC
（Ⅱ）根据 0＜ 2a＜ b，求出 x0
b < 1 ，作出图中辅助线： 点 A 作 AA1⊥ｘ轴于点 A1，则 AA1=yA，
【答案】 解：（ 1）二次函数 y=ax2+6x+c 的图象经过点 A（ 4， 0）、 B（﹣ 1， 0），
16a+24+c=0
a= 2
∴
，解得
。
a 6+c=0
c=8
∴这个二次函数的解析式为： y=﹣ 2x2+6x+8。
（ 2）∵∠ EFD=∠EDA=90°，∴∠ DEF+∠EDF=90°，∠ EDF+∠ODA=9°0 。∴∠ DEF=∠ODA。
4k+b=0 ，解得
b=3
3 k=
4。 b=3
∴直线 AC解析式为 y 3 x 3。 4
9 直线 L1 可以看做直线 AC向下平移 CE长度单位（ 个长度单位）而形成的，
2
3
93 3
∴直线 L1 的解析式为 y x 3
x。
4
24 2
3 则 D1 的纵坐标为
4
3 1
2
9
9
。∴Ｄ1（﹣ 4， ）。
4
4
同理，直线 AC向上平移 9 个长度单位得到 L2，可求得 D2（﹣ 1， 27 ）。
∴△ EDF∽△ DAO。∴ EF = ED 。 DO DA
∵ ED = tan
1 DAE= ，∴
EF = 1 。
DA
2
DO 2
∵OD=t，∴ EF = 1 ，∴ EF= 1 t 。
t2
2
同理
பைடு நூலகம்
DF ED =
，∴ DF=2，∴ OF=t﹣
2。
OA DA
（ 3）∵抛物线的解析式为： y=﹣ 2x 2+6x+8，∴ C（ 0， 8），OC=8。
则 AA1=yA， OA1=1。
连接 BC，过点 C 作 CD⊥ｙ轴于点 D， 则 BD=yB－ y C， CD=1。 过点 A 作 AF∥BC，交抛物线于点 E（ x1，y E），交 x 轴于点 F（ x2， 0）。 则∠ FAA1=∠CBD。∴ Rt△AFA 1∽Rt△BCD。
∴ AA 1 BD
a b c ax12 bx1 c ∴
c ab c
1 x1 ，化简，得 x12＋ x1－ 2=0，
解得 x 1=－ 2（x1=1 舍去）。
∵ｙ0≥０恒成立，根据题意，有 x2≤ｘ1＜－ 1。
则 1－ x 2≥1－ x1，即 1－x2≥3。
∴ yA 的最小值为 3。 yB yC
【考点】 二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。 【分析】（Ⅰ）将 a=1， b=4， c=10 代入解析式，即可得到二次函数解析式。
如图，连接 EC、 AC，过 A 作 EC的垂线交 CE于 G点．
∵∠ ECA=∠OAC，∴∠ OAC∠= GCA（等角的余角相等） 。
在△ CAG与△ OCA中，
∵∠ OAC∠= GCA， AC=CA，∠ ECA=∠OAC，
∴△ CAG≌△ OCA（ ASA）。∴ CG=AO=，4 AG=OC=。8
（ 1）求点 A、 B 的坐标；
（ 2）设 D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ ACD 的面积等于△ ACB 的面积时，求点 D的坐标；
（ 3）若直线 l 过点 E（ 4， 0），M为直线 l 上的动点，当以 A、 B、 M为顶点所作的直角三角形有且只有三
个时，求直线 l 的解析式．
【答案】 解：（ 1）在 y=
5
2 条，
分别是 L1 和 L2，则直线与对称轴 x=﹣ 1 的两个交点即为所求的点 D。
18 设 L1 交 y 轴于 E，过 C作 CF⊥Ｌ1 于 F，则 CF=h= ，
5
∴ CE
CF
sin CEF
18
CF
5 9。
sin OCA 4 2
5
设直线 AC的解析式为 y=kx+b ，
将 A（﹣ 4， 0）， B（0， 3）坐标代入，得
84
1
1
∴OC=3， AB=6， S ACB
AB OC
6 3 9。
2
2
在 Rt△AOC中， AC= OA 2 +OC 2 42 +32 5 。
设△ ACD中 AC边上的高为 h，则有 1 AC?h=9，解得 h= 18 。
2
5
如图 1，在坐标平面内作直线平行于
AC，且到
AC的距离
18 =h=
，这样的直线有
设直线 l 的解析式为 y=k 1x+b1，则有
4
12
k+b=
5
5 ，解得
4k+b=0
3 k=
4。 b=3
∴直线 l 的解析式为 y=
3 x+3 。
4
同理，可以求得另一条切线的解析式为
3 y= x﹣ 3。
4
综上所述，直线
l 的解析式为 y=
3 x+3 或 y=
3 x﹣ 3。
4
4
【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直
又 FE=5，则在 Rt△MEF中， -
ME= 52
32
4 ， sin
4 ∠ MFE=
，cos∠MFE=3
。
5
5
在 Rt△FMN中， MN=MN?si∠n MFE=×3
4
12 ，
55
FN=MN?co∠s MFE=×3 3
9 。
55
则 ON=4 。∴Ｍ点坐标为（ 4 ， 12 ）。
5
55
直线 l 过 M（ 4 ， 12 ）， E（4， 0）， 55
FA1 ，即 yA
CD
yB yC
1 x2 1
1 x2 。
过点 E 作 EG⊥AA1 于点 G，易得△ AEG∽△ BCD。
∴ AG BD
EG ，即 y A yE
CD
yB yC
1 x1。
∵点 A（ 1， yA）、 B（ 0， yB）、 C（－ 1， y C）、 E（ x 1， y E）在抛物线 y=ax 2+bx+c 上， ∴ｙA=a+b+c，y B=c， yC=a－b+c， yE=ax12+bx 1+c，
B（ x 2， 0），x1 ﹤0﹤ x 2，与 y 轴交于点 C， O为坐标原点， tan CAO tan CBO 1． （ 1）求证： n 4m 0 ； （ 2）求 m、 n 的值；
1
得到 y A y E yB yC
1 x1 ，然后求出 yA、 yB、 yC、 yE 的表达式，然后 y 0≥０恒成立，得到 x 2≤ｘ1＜－ 1，从而利
用不等式求出
yA
的最小值。
yB y C
2. （ 2012 上海市 12 分） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y=ax 2+6x+c 的图象经过点 A（ 4， 0）、 B
D 点．从一次函数的
观点来看，这样的平行线可以看做是直线
AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线
AC的解析式，再求
出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得
D 点坐标。这样的平行线有两条。
（ 3）本问关键是理解“以 A、B、 M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过
A、
B 点作 x 轴的垂线，其与直线 l 的两个交点均可以与 A、B 点构成直角三角形， 这样已经有符合题意的两个
直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以
AB 为直径作圆，当直线与圆相切时，
根据圆周角定理，切点与 A、B 点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。
4. （ 2012 广东肇 庆 10 分）已知二次函数 y mx 2 nx p 图象的顶点横坐标是 2，与 x 轴交于 A（ x1，0）、
线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。
【分析】（ 1） A、 B 点为抛物线与 x 轴交点，令 y=0，解一元二次方程即可求解。
（ 2）根据题意求出△ ACD 中 AC边上的高，设为 h．在坐标平面内，作 AC的平行线，平行线之间
的距离等于 h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的
2
4
9
27
综上所述， D点坐标为： D1（﹣ 4， ）， D2（﹣ 1， ）。
4
4
（ 3）如图 2，以 AB为直径作⊙ F，圆心为 F．过 E 点作⊙Ｆ 的切线，这样的切线有
2 条．
连接 FM，过 M作 MN⊥ｘ轴于点 N。
∵Ａ（﹣ 4，0），B（ 2，0），∴Ｆ（﹣ 1，0），⊙Ｆ半径 FM=FB=3。
（Ⅰ）当 a=1， b=4， c=10 时，①求顶点 P 的坐标；②求
y A 的值；
y B yC
（Ⅱ）当 y0≥０恒成立时，求
yA 的最小值．
yB yC
【答案】 解：（Ⅰ）若 a=1， b=4， c=10，此时抛物线的解析式为 y=x 2+4x+10。
①∵ y=x 2+4x+10=（ x+2） 2+6，∴抛物线的顶点坐标为 P（－ 2， 6）。
2
②∵点 A（1， y A）、 B（ 0， y B）、C（－ 1，y C）在抛物线 y=x +4x+10 上，
∴ｙA=15， yB=10， yC=7。∴ y A = 15 =5 。 y B yC 10 7
（Ⅱ）由 0＜ 2a＜ b，得 x 0
b < 1。
2a
由题意，如图过点 A 作 AA1⊥ｘ轴于点 A1，
（﹣ 1，0），与 y 轴交于点 C，点 D 在线段 OC上，OD=t，点 E 在第二象限， ∠ADE=90°，tan ∠DAE=1 ，EF⊥OD， 2
垂足为 F．
（ 1）求这个二次函数的解析式；
（ 2）求线段 EF、 OF的长（用含 t 的代数式表示） ；
（ 3）当∠ ECA=∠OAC 时，求 t 的值．
如图，过 E 点作 EM⊥ｘ轴于点 M，
则在 Rt△AEM中， EM=OF=﹣t 2， AM=OA+AM=OA+EF=14+t ， 2
由勾股定理得： AE 2 AM 2 EM 2
2
1 4+ t
+t
2 2。
2
在 Rt△AEG中，由勾股定理得： EG= AE2 AD2
2
4+ 1 t
+t
2
2
82
2
5 t2 44 。 4
理求得 AE、EG的长度（用含 t 的代数式表示） ；最后在 Rt△ECF 中，利用勾股定理，得到关于 t 的无理方
程，解方程求出 t 的值。
3. （ 2012 广东广州 14 分） 如图，抛物线 y=
3x2
3 x+3 与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），
84
与 y 轴交于点 C．
∵|ax 2＋ bx＋c| ＝k(k ≠0) 有两个不相等的实数根， ∴k＞ 3。故选 D。 二、填空题 三、解答题 1. （ 2012 天津市 10 分） 已知抛物线 y=ax2+bx+c （0＜ 2a＜b）的顶点为 P（ x 0，y 0），点 A（ 1，yA）、 B（ 0， yB）、 C（－ 1， yC）在该抛物线上．
3x2
3 x+3 中，令 y=0，即
3x2
3 x+3=0 ，解得 x1=﹣4， x 2=2。
84
84
∵点 A 在点 B 的左侧，∴ A、 B 点的坐标为 A（﹣ 4， 0）、 B（ 2， 0）。
（ 2）由 y=
3x2
3 x+3 得，对称轴为 x=﹣ 1。
84
在 y=
3x2
3 x+3 中，令 x=0，得 y=3。