苏教版九年级上册数学 压轴解答题达标检测卷(Word版 含解析)

苏教版九年级上册数学 压轴解答题达标检测卷（Word 版 含解析）
一、压轴题
1．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为（3，
4），一次函数2
3
y x b =-
+的图像与边OC 、AB 分别交于点D 、E ，并且满足OD BE =，M 是线段DE 上的一个动点 （1）求b 的值；
（2）连接OM ，若ODM △的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，求点M 的坐标； （3）设N 是x 轴上方平面内的一点，以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，求点N 的坐标．
2．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒）
（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形.
（2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？ 3．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作
Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右
侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点
E ．在射线CD 上取点
F ，使3
2
DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设
3AQ x =
（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．
（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣1
3
x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，
以AB为斜边作等腰直角△ABC，使点C落在第一象限，过点C作CD⊥AB于点D，作
CE⊥x轴于点E，连接ED并延长交y轴于点F．
（1）如图（1），点P为线段EF上一点，点Q为x轴上一点，求AP+PQ的最小值．（2）将直线l进行平移，记平移后的直线为l1，若直线l1与直线AC相交于点M，与y轴相交于点N，是否存在这样的点M、点N，使得△CMN为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1/
cm s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2/
cm s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于2
26cm？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
6．已知，如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P为AC的中点，Q从点A 运动到B，点Q运动到点B停止，连接PQ，取PQ的中点O，连接OC，OB．
(1)若△ABC∽△APQ，求BQ的长；
(2)在整个运动过程中，点O的运动路径长_____；
(3)以O为圆心，OQ长为半径作⊙O，当⊙O与AB相切时，求△COB的面积．
7．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．
（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．
（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．
（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．
∠，交⊙O于点E，过点8．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分BAF
⊥，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C.
E作直线ED AF
(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若10,6AB AF ==，求AE 的长.
9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，连结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．
（1）若ED ＝BE ，求∠F 的度数：
（2）设线段OC ＝a ，求线段BE 和EF 的长（用含a 的代数式表示）； （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 10．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23．点P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ． （1）若DQ ＝3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；
（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．
11．已知抛物线y ＝﹣
14
x 2
+bx +c 经过点A （4，3），顶点为B ，对称轴是直线x ＝2．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点B的坐标；
（2）如图1，抛物线与y轴交于点C，连接AC，过A作AD⊥x轴于点D，E是线段AC上的动点（点E不与A，C两点重合）；
（i）若直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，求点E的坐标；
（ii）如图2，连接DE，作矩形DEFG，在点E的运动过程中，是否存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．12．如图，PA切⊙O于点A，射线PC交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC于E，连接BD、DC和OA，DA交BP于点F；
（1）求证：∠ADC+∠CBD＝1
2
∠AOD；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）b=3；（2）点M坐标为
7
(1,)
3
；（3）
93
(,)
42
或
3654
(,)
1313
【解析】
【分析】
（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；
（2）首先求得四边形OAED 的面积，则△ODM 的面积即可求得，设出M 的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M 的横坐标，进而求得M 的坐标；
（3）分两种情况进行讨论，①四边形OMDN 是菱形时，M 是OD 的中垂线与DE 的交点，M 关于OD 的对称点就是N ；②四边形OMND 是菱形，OM=OD ，M 在直线DE 上，设出M 的坐标，根据OM=OD 即可求得M 的坐标，则根据OD ∥MN,且OD=MN 即可求得N 的坐标． 【详解】
（1）在2
3
y x b =-+中，令x=0，解得y=b ， 则D 的坐标是(0,b)，OD=b ， ∵OD=BE ，
∴BE=b ，则点E 坐标为（3,4-b ），
将点E 代入2
3
y x b =-+中，得：4-b=2+b,
解得：b=3； (2)如图，∵OAED S 四边形=
11
()(31)3622
OD AE OA +=⨯+⨯=, ∵三角形ODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3, ∴13
=42
ODM OAED S S ∆=
四边形 设M 的横坐标是a ，则13
322
a ⨯=， 解得：1a =， 将1x a ==代入2
33
y x =-
+中，得： 27333
y =-⨯+=
则点M 坐标为7
(1,)3
；
（3）依题意，有两种情况：
①当四边形OMDN 是菱形时，如图(1),M 的纵坐标是
32
，
把32y =
代入2
33
y x =-+中，得： 23332x -+=，解得：94
x =， ∴点M 坐标为93
(,)42
， 点N 坐标为93(,)42
-；
②当四边形OMND 是菱形时，如图(2)，OM =OD =3， 设M 的坐标2
(,3)3
m m -
+， 由OM=OD 得：2
22
(3)93
m m +-+=， 解得：36
13
m =
或m=0(舍去)， 则点M 坐标为3615(
,)1313， 又MN ∥OD ，MN=OD=3， ∴点N 的坐标为3654(
,)1313
， 综上，满足条件的点N 坐标为93(,)42-或3654(
,)1313
．
【点睛】
本题考查一次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、图形的面积计算、菱形的性质、方程等知识，解答的关键是认真审题，找出相关知识的联系点，运用待定系数法、数形结合法、分类讨论法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
2．（1）4；（2）t 为4s ，203s ，283
s 时，⊙P 与⊙Q 外切． 【解析】
试题分析：（1）四边形APQD 为矩形，也就是AP=DQ ，分别用含t 的代数式表示，解即可；
（2）主要考虑有四种情况，一种是P 在AB 上，一种是P 在BC 上时．一种是P 在CD 上时，又分为两种情况，一种是P 在Q 右侧，一种是P 在Q 左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可．
试题解析：（1）根据题意，当AP=DQ 时，四边形APQD 为矩形．此时，4t=20-t ，解得t=4（s ）．
答：t 为4时，四边形APQD 为矩形 （2）当PQ=4时，⊙P 与⊙Q 外切．
①如果点P 在AB 上运动．只有当四边形APQD 为矩形时，PQ=4．由（1），得t=4（s ）； ②如果点P 在BC 上运动．此时t ≥5，则CQ ≥5，PQ ≥CQ ≥5＞4，∴⊙P 与⊙Q 外离； ③如果点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的右侧．可得CQ=t ，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，⊙P 与⊙Q 外切．此时，t-（4t-24）=4，解得t=
20
3
（s ）； ④如果点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的左侧．当CP-CQ=4时，⊙P 与⊙Q 外切．此时，4t-24-t=4， 解得t=
28
3（s ）， ∵点P 从A 开始沿折线A-B-C-D 移动到D 需要11s ，点Q 从C 开始沿CD 边移动到D 需要20s ，而
28
3
＜11， ∴当t 为4s ，
203s ，283
s 时，⊙P 与⊙Q 外切． 考点：1.矩形的性质；2.圆与圆的位置关系．
3．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或6
5
AP =或3AP = 【解析】 【分析】
（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的
性质得1
2
AH BH AB ==，求得CD 、FD ； （2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定
理得3
2
QM AM x ==
，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论； （3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得
AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当4
07
x <<
时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当4273
x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即2
3x ≥，同
理得AP ． 【详解】
解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x = ∴4AB x =
∴在Rt ABQ △中，225BQ AQ AB x =+=
∵OD m ⊥，m l ⊥ ∴//OD l ∵OB OQ = ∴1
22
AH BH AB x === ∴2CD x = ∴3
32
FD CD x =
= （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q ∴3AP AQ x == ∵4PC = ∴64CQ x =+
过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：
∵90BAQ ∠=︒ ∴//OM AB ∵
O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒
∴点O 是BQ 的中点 ∴1322
QM AM AQ x ==
=
∴39
64422
OD MC CQ QM x x ==-=+-=+ ∵15
22
OE BQ x =
= ∴95
42422
DE OD OE x x x =-=
+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形 ∴13x =，25x =-（不合题意，舍去） ∴39AP x ==
∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9． （3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF = ①点P 在A 点的右侧时，如图：
∴243x x += ∴4x = ∴312AP x == ②点P 在A 点的左侧时 I.当点C 在Q 右侧时 i.当 4
07
x <<
时，如图：
∵47DE x =-，3DF x = ∴473x x -= ∴25
x =
∴635AP x x ==
ii.当4273
x ≤<时，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =（不合题意，舍去）
II. 当点C 在Q 的左侧时，即23
x ≥，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =
∴33AP x ==
∴综上所述，当12AP =或65
AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形． 故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =
或3AP = 【点睛】
本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．
4．（1）AP +PQ 的最小值为4；（2）存在，M 点坐标为(﹣12，﹣4)或(12，8)．
【解析】
【分析】
（1）由直线解析式易求AB 两点坐标，利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE ＝CE ＝4，C 点坐标为（4，4）DB ＝∠CEB ＝90︒，可知B 、C 、D 、E 四点共圆，由等腰直角△ABC 可知∠CBD ＝45︒，同弧所对圆周角相等可知∠CED ＝45︒，所以∠OEF ＝45︒，CE 、OE 是关于EF 对称，作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于Q ，AK ⊥EC 于K ．把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题．
（2）由直线l 与直线AC 成45︒可知∠AMN ＝45︒，由直线AC 解析式可设M 点坐标为
（x ，122
x +），N 在y 轴上，可设N （0，y ）构造K 字形全等即可求出M 点坐标． 【详解】
解：（1）过A 点作AK ⊥CE ，
在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90︒，AC ＝BC ，
∵CE ⊥x 轴，
∴∠ACK +∠ECB ＝90︒，∠ECB +∠CBE ＝90︒，
∴∠ACK ＝∠CBE
在△AKC 和△CEB 中，
AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△AKC ≌△CEB （AAS ）
∴AK ＝CE ，CK ＝BE ，
∵四边形AOEK 是矩形，
∴AO ＝EK ＝BE ，
由直线l ：y ＝﹣
13
x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，可知A 点坐标为（0，2），B （6，0）
∴E 点坐标为（4，0），C 点坐标为（4，4），
∵∠CDB ＝∠CEB ＝90︒，
∴B 、C 、D 、E 四点共圆，
∵CD CD =，∠CBA ＝45︒，
∴∠CED ＝45︒，
∴FE 平分∠CEO ，
过P 点作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于G ，过A 点作AK ⊥EC 于K ．
∴PH ＝PQ ，
∵PA +PQ ＝PA +PH ≥AK ＝OE ，
∴OE ＝4，
∴AP +PQ ≥4，
∴AP +PQ 的最小值为4．
（2）∵
A点坐标为（0，2），C点坐标为（4，4），
设直线AC解析式为：y＝kx+b
把（0，2），（4，4）代入得
2
44
b
k b
=
⎧
⎨
=+⎩
解得
1
2
2 k
b
⎧
=⎪
⎨
⎪=⎩
∴直线AC解析式为：y＝1
2
2
x+，
设M点坐标为（x，1
2
2
x+），N坐标为（0，y）．
∵MN∥AB，∠CAB＝45︒，
∴∠CMN＝45︒，
△CMN为等腰直角三角形有两种情况：
Ⅰ．如解图2﹣1，∠MNC＝90︒，MN＝CN．
同（1）理过N点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）理得：SN＝CR，MS ＝NR．
∴
4
1
24
2
x y
x y
-=-
⎧
⎪
⎨
+-=
⎪⎩
，解得：
12
8
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴M点坐标为（﹣12，﹣4）
Ⅱ．如解图2﹣2，∠MNC＝90︒，MN＝CN．
过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）得：MS＝CF，CS＝FN．
∴
44
1
244
2
x y
x
-=-
⎧
⎪
⎨
+-=
⎪⎩
，解得：
12
12
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴M点坐标为（12，8）
综上所述：使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为（﹣12，﹣4）或（12，8）．
【点睛】
本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是中用转化的思想思考问题，学会添加常用辅助线，在平面直角坐标系中构造K 字形全等三角形求点坐标解决问题，属于中考压轴题．
5．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .
（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22(5)(2)t t -+＝
25据此求出t 值.
（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值.
【详解】
解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.
（2）由题意得：22(5)(2)t t -+＝25，
解得：1t ＝0，2t ＝2；
当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；
（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下： 长方形ABCD 的面积是：56⨯＝()230cm ，
使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝()24cm ，
()15242
t t -⨯⨯=， 解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．
即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．
【点睛】
本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值.
6．(1)BQ=8.2cm ；(2)5cm ；(3)S △BOC ＝
39625. 【解析】
【分析】
(1)根据ABC APQ ∆~∆得AC AB AQ AP
=，从而得到AQ 的长即可求出BQ 的长； （2）由点Q 与点A 重合和点Q 与点B 重合时，可以确定点O 的位置，再根据点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时，由点O 是PQ 的中点，点F 是PB 的中点可知OF 是PBQ ∆的中位线，从而得到点O 的运动轨迹是APB ∆的 中位线，即线段EF ，即可求得答案；
（3）连接AO ，过点O 作ON AC ⊥ ，先证明APQ ABC ∆~∆得到
AQ AP PQ AC AB BC == ，所以求得,AQ PQ 的值，且OP OQ =，再证明PON PAQ ∆~∆得到ON PO AQ PA =，求得ON 的值，再根据BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--即可求得答案；
【详解】
解：(1)如图1所示，
∵90,6,8C AC cm BC cm ∠===
∴10AB cm =
又∵点P 为AC 的中点，
∴3AP cm =
∵ABC APQ ∆~∆
∴AC AB AQ AP = ，即6103
AQ = 解之得： 1.8AQ =
则8.2BQ AB AQ cm =-=
(2)如图2，
当点Q 与点A 重合时，点O 位于点E 的位置， 当点Q 与点B 重合时，点O 位于点F 的位置，
则EF 是△APB 的中位线，
∴EF ∥AB ，且EF ＝
12AB ＝5，152
EF AB == 而当点Q 位于AB 上除端点外的任意一点时，
∵点O 是PQ 中点，点F 是PB 的中点，
∴OF 是△PBQ 的中位线，
∴OF ∥BQ ，
∴点O 的运动轨迹是线段EF ，
则点O 的运动路径长是5cm ；
故答案为5cm ． (3)如图3，连接AO ，过点O 作ON AC ⊥于点N ，
∵⊙O 与AB 相切，
∴PQ AB ⊥ ，即90AQP ∠= ，
∵,90PAQ BAC ACB AQP ∠=∠∠=∠=
∴APQ ABC ∆~∆
∴AQ AP PQ AC AB BC == ，即36108
AQ PQ ==
解之得： 912,55AQ PQ =
= 则65
OP OQ == ∵ON AC ⊥
∴90PNO PQA ∠=∠
=
又∵OPN APQ ∠=∠
∴PON PAQ ∆~∆， ∴ON PO AQ PA = ，即6
593
5
ON = ， 解之得:1825
ON = 则BOC ABC AOB AOC S S S S ∆∆∆∆=--
111•••222
BC AC AB OQ AC ON =-- 11611868106225225
=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 39625
= 【点睛】
本题主要考查了相似三角形和圆的综合问题，掌握圆的切线判定、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质、割补法求面积等知识点是解题关键.
7．（1）见解析；（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，见解析；（3）AH
﹣1
+1．
【解析】
【分析】
（1）在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，证明△FAG ≌△FBC ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FC ，根据等腰三角形的性质得到EG ＝EC ，即可证明.
（2）在CA 上截取CG ＝CB ，连接FA ，FB ，FC ，证明△FCG ≌△FCB ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FB ，得到FA ＝FG ，根据等腰三角形的性质得到AE ＝GE ，即可证明.
（3）分点P 在弦AB 上方和点P 在弦AB 下方两种情况进行讨论.
【详解】
解：（1）如图2，
在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，
∵点F 是AFB 的中点，FA ＝FB ，
在△FAG 和△FBC 中，
,FA FB FAG FBC AG BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△FAG ≌△FBC （SAS ），
∴FG ＝FC ，
∵FE ⊥AC ，
∴EG ＝EC ，
∴AE ＝AG+EG ＝BC+CE ；
（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，
理由：如图
3，
在CA 上截取CG ＝CB ，连接FA ，FB ，FC ，
∵点F 是AFB 的中点，
∴FA ＝FB ， FA FB =,
∴∠FCG ＝∠FCB ，
在△FCG 和△FCB 中，,CG CB FCG FCB FC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△FCG ≌△FCB （SAS ），
∴FG＝FB，
∴FA＝FG，
∵FE⊥AC，
∴AE＝GE，
∴CE＝CG+GE＝BC+AE；
（3）在Rt△ABC中，AB＝2OA＝4，∠BAC＝30°，∴
1
223
2
BC AB AC
===
，，
当点P在弦AB上方时，如图4，
在CA上截取CG＝CB，连接PA，PB，PG，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠PAB＝45°，
∴∠PBA＝45°＝∠PAB，
∴PA＝PB，∠PCG＝∠PCB，
在△PCG和△PCB中，
,
CG CB
PCG PCB
PC PC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△PCG≌△PCB（SAS），
∴PG＝PB，
∴PA＝PG，
∵PH⊥AC，
∴AH＝GH，
∴AC＝AH+GH+CG＝2AH+BC，
∴2322
AH
=+，
∴31
AH=，当点P在弦AB下方时，如图5，在AC上截取AG＝BC，连接PA，PB，PC，PG
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠PAB＝45°，
∴∠PBA＝45°＝∠PAB，
∴PA＝PB，
在△PAG和△PBC中，
,
AG BC
PAG PBC
PA PB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△PAG≌△PBC（SAS），
∴PG＝PC，
∵PH⊥AC，
∴CH＝GH，
∴AC＝AG+GH+CH＝BC+2CH，
∴2322CH，
=+
∴31
CH=-，
∴()
233131
AH AC CH
=-=--=+，
即：当∠PAB＝45°时，AH的长为31
-或3 1.
+
【点睛】
考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用.
8．（1）详见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）通过证明OE∥AD得出结论OE⊥CD，从而证明CD是⊙0的切线；
（2）在Rt△ADE中，求出AD，DE，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠CAE＝∠DAE．
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE．
∴∠DAE＝∠AEO，．
∴AD ∥OE ．
∵AD ⊥CD ， ∴OE ⊥CD ．
∴CD 是⊙O 的切线．
（2）解：连接BF 交OE 于K ．
∵AB 是直径，
∴∠AFB ＝90°，
∵AB ＝10，AF ＝6，
∴BF ＝22106-＝8，
∵OE ∥AD ，
∴∠OKB ＝∠AFB ＝90°，
∴OE ⊥BF ，
∴FK ＝BK ＝4，
∵OA ＝OB ，KF ＝KB ，
∴OK ＝12
AF ＝3， ∴EK ＝OE ﹣OK ＝2，
∵∠D ＝∠DFK ＝∠FKE ＝90°，
∴四边形DFKE 是矩形，
∴DE ＝KF ＝4，DF ＝EK ＝2，
∴AD ＝AF+DF ＝8，
在Rt △ADE 中，AE ＝
22AD DE +＝2284+＝45 ． 【点睛】
本题考查切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
9．（1）30°；（2）EF=
；（3）CO 的长为或时，△PEB 为等腰三角形．
【解析】
试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；
（2）首先证明△HBO ≌△COD （AAS ），进而利用△COD ∽△CBF ，得出比例式求出EF 的长；
（3）分别利用①当PB=PE ，不合题意舍去；②当BE=EP ，③当BE=BP ，求出即可．
试题解析：（1）如图1，连接EO，
∵
∴∠BOE=∠EOD，
∵DO∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵BO=EO，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）如图1，作HO⊥BE，垂足为H，
∵在△HBO和△COD中
，
∴△HBO≌△COD（AAS），
∴CO=BH=a，
∴BE=2a，
∵DO∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴
∴，
∴EF=；
（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，
若△PEB为等腰三角形，设CO=x，∴OP=OC=x，则PE=EO-OP=4-x，由（2）得：BE=2x，
①当PB=PE，不合题意舍去；
②当BE=EP，2x=4-x，解得：x=，
③当BE=BP，作BM⊥EO，垂足为M，
∴EM=PE=，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴，
∴，
整理得：x2+x-4=0，
解得：x=（负数舍去），
综上所述：当CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．考点：圆的综合题．
10．（1）6
3
7
；（2）BE＝
4
3
3
；菱形与圆重叠部分的面积为
8
3
3
．
【解析】
【分析】
（1）作PT⊥BE于点T，根据垂径定理和勾股定理求BQ的值，再根据相似三角形的判定和性质即可求解；
（2）根据菱形性质和勾股定理求出菱形边长，此时点E和点Q重合，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】
解：（1）如图：
过点P作PT⊥BQ于点T，
∵AB＝2，AD＝BC＝23，DQ＝3，
∴AQ＝3，
在Rt△ABQ中，根据勾股定理可得：BQ＝7．又∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴BP＝DQ＝3，
∵∠AQB＝∠TBP，∠A＝∠BTP，
∴△AQB∽△TBP，
∴
3
,
37 BT BD
AQ BQ
==
即，
∴BT=3
3 7
，
∴BE＝2BT＝6
3
7
．
（2）设菱形BPDQ的边长为x，则AQ＝23﹣x，
在Rt△ABQ中，根据勾股定理，得AB2+AQ2＝BQ2，
即4+（23﹣x）2＝x2，
解得x＝4
3 3
.
∵四边形BPDQ为菱形，∴BP=DP=4
3 3
,
又CP=BC-BP=2
3
3
,即DP=2CP,
∴∠DPC=60°，∴∠BPD=120°，
∴连接PQ,易得△BPQ为等边三角形，
∴PQ=BP,
∴点Q也在圆P上，圆P经过点B,D,Q,如图.
∴点E、Q重合，
∴BE
∴菱形与圆重叠部分面积即为菱形的面积，
∴S菱形
．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式，解决本题的关键是综合运用以上知识．
11．（1）y＝﹣1
4
x2+x+3，顶点B的坐标为（2，4）；（2）（i）点E的坐标为（
8
5
，3）
或（12
5
，3）；（ii）存在；当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的
长为4
3
．
【解析】【分析】
（1）由题意得出
2
1
441,
4
3,
1
2
4
b c
b
⎧
-⨯++=
⎪
⎪
⎨-=
⎪⎛⎫
⨯-
⎪ ⎪
⎝⎭
⎩
，解得
1,
3,
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，得出抛物线的函数表达式为：y＝
﹣1
4
x2+x+3＝﹣
1
4
（x﹣2）2+4，即可得出顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）求出C（0，3），设点E的坐标为（m，3），求出直线BE的函数表达式为：y
＝
1
2
m
-
-
x+
46
2
m
m
-
-
，则点M的坐标为（4m﹣6，0），由题意得出OC＝3，AC＝4，OM＝
4m﹣6，CE＝m，则S矩形ACOD＝12，S梯形ECOM＝1518
2
m-
，分两种情况求出m的值即可；
（ii）过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，设点F的坐标为：（a，﹣1
4
a2+a+3），则NF＝
3﹣（﹣1
4
a2+a+3）＝
1
4
a2﹣a，NC＝﹣a，证△EFN≌△DGO（ASA），得出NE＝OD＝AC＝
4，则AE＝NC＝﹣a，证△ENF∽△DAE，得出NF NE
AE AD
=，求出a＝﹣
4
3
或0，当a＝0
时，点E与点A重合，舍去，得出AE＝NC＝﹣a＝4
3
，即可得出结论．
【详解】
（1）∵抛物线y＝﹣1
4
x2+bx+c经过点A（4，3），对称轴是直线x＝2，
∴
2
1
441, 4
3,
1
2
4
b c
b
⎧
-⨯++=⎪
⎪
⎨-=
⎪⎛⎫
⨯-
⎪ ⎪
⎝⎭
⎩
解得
1,
3, b
c
=⎧
⎨
=⎩
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣1
4
x2+x+3，
∵y＝﹣1
4
x2+x+3＝﹣
1
4
（x﹣2）2+4，
∴顶点B的坐标为（2，4）；
（2）（i）∵y＝﹣1
4
x2+x+3，
∴x＝0时，y＝3，
则C点的坐标为（0，3），
∵A（4，3），
∴AC∥OD，
∵AD⊥x，
∴四边形ACOD是矩形，
设点E的坐标为（m，3），直线BE的函数表达式为：y＝kx+n，直线BE交x轴于点M，如图1所示：
则
24,
3, k n
mk n
+=⎧
⎨
+=⎩
解得：
1
,
2
46
,
2
k
m
m
n
m
-
⎧
=
⎪⎪-
⎨
-
⎪=
⎪-
⎩
，
∴直线BE的函数表达式为：y＝
1
2
m
-
-
x+
46
2
m
m
-
-
，
令：y＝
1
2
m
-
-
x+
46
2
m
m
-
-
＝0，则x＝4m﹣6，
∴点M的坐标为（4m﹣6，0），
∵直线BE将四边形ACOD分成面积比为1：3的两部分，
∴点M在线段OD上，点M不与点O重合，
∵C（0，3），A（4，3），M（4m﹣6，0），E（m，3），∴OC＝3，AC＝4，OM＝4m﹣6，CE＝m，
∴S矩形ACOD＝OC•AC＝3×4＝12，
S梯形ECOM＝1
2
（OM+EC）•OC＝
1
2
（4m﹣6+m）×3＝
1518
2
m-
，
分两种情况：
①S ECOM
S ACOD
梯形
矩形
＝
1
4
，即
1518
2
12
m-
＝
1
4
，
解得：m＝8
5
，
∴点E的坐标为：（8
5
，3）；
②S ECOM
S ACOD
梯形
矩形
＝
3
4
，即
1518
2
12
m-
＝
3
4
，
解得：m＝12
5
，
∴点E的坐标为：（12
5
，3）；
综上所述，点E的坐标为：（8
5
，3）或（
12
5
，3）；
（ii）存在点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上；理由如下：由题意得：满足条件的矩形DEFG在直线AC的下方，
过点F作FN⊥AC于N，则NF∥CG，如图2所示：
设点F的坐标为：（a，﹣1
4
a2+a+3），
则NF＝3﹣（﹣1
4
a2+a+3）＝
1
4
a2﹣a，NC＝﹣a，
∵四边形DEFG与四边形ACOD都是矩形，
∴∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，EF＝DG，EF∥DG，AC∥OD，∴∠NEF＝∠ODG，∠EMC＝∠DGO，
∵NF∥CG，
∴∠EMC＝∠EFN，
∴∠EFN＝∠DGO，
在△EFN和△DGO中，∠NEF=∠ODG，EF=DG,∠EFN=∠DGO，∴△EFN≌△DGO（ASA），
∴NE＝OD＝AC＝4，
∴AC﹣CE＝NE﹣CE，即AE＝NC＝﹣a，
∵∠DAE＝∠DEF＝∠N＝90°，
∴∠NEF+∠EFN＝90°，∠NEF+∠DEA＝90°，
∴∠EFN＝∠DEA，
∴△ENF∽△DAE，
∴NE NF AD AE
=
，即
4
3
＝
2
1
4
a a
a
-
-
，
整理得：
3
4
a2+a＝0，
解得：a＝﹣
4
3
或0，
当a＝0时，点E与点A重合，
∴a ＝0舍去，
∴AE＝NC＝﹣a＝
4
3
，
∴当点G落在y轴上的同时点F恰好落在抛物线上，此时AE的长为
4
3
．
【点睛】
本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，属于中考压轴题型．
12．（1）详见解析；（2）详见解析；
【解析】
【分析】
()1根据垂径定理得到BD CD
=，根据等腰三角形的性质得到
()
11
18090
22
ODA AOD AOD
∠=-∠=-∠，即可得到结论；
()2根据垂径定理得到BE CE
=，BD CD
=，根据等腰三角形的性质得到
ADO OAD
∠=∠，根据切线的性质得到90
PAO
∠=，求得90
OAD DAP
∠+∠=，推出PAF PFA
∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
()1证明：OD BC
⊥，
BD CD ∴=，
CBD DCB ∴∠=∠，
90DFE EDF ∠+∠=，
90EDF DFE ∴∠=-∠，
OD OA =，
()111809022
ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠， 190902
DFE AOD ∴-∠=-∠， 12
DEF AOD ∴∠=∠， DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，
12
ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠； ()2解：OD BC ⊥，
BE CE ∴=，BD CD =，
BD CD ∴=，
OA OD =，
ADO OAD ∴∠=∠，
PA 切O 于点A ，
90PAO ∴∠=， 90OAD DAP ∴∠+∠=， PFA DFE ∠=∠，
90PFA ADO ∴∠+∠=，
PAF PFA ∴∠=∠，
PA PF ∴=．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．。