10-11-2工程矩阵理论期末正式卷

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东 南 大 学 考 试 卷 课程名称 工程矩阵理论 考试时间 10-11-2 得分 适用专业 工科研究生 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟 一. （40%）计算题 1. （8%）假设22C ⨯的子空间1|,x x V x y C y y ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，2|,x y V x y C x y ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭。

分别求12V V ⋂，12V V +的一组基。

2. （8%）设3R 的子空间{}3(,,)|0V x y z R x y z =∈--=，(1,0,0)η=。

求0V η∈使得0min V ξηηξη∈-=-。

3. （5%）设A 是n 阶酉矩阵，分别求F A 和2A 。

4. （8%）设矩阵102001b c A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1000312B y x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

问：当参数,,,,a b c x y 满足什么条件时，矩阵A 与B 相似？ 5. （5%）设矩阵120120003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，求A +。

6. （6%）设n 阶方阵A 满足22A A E -=，且A I +的秩为r ，求行列式2A I +。

二. （20%）在线性空间22C ⨯上定义线性变换f 如下：对任意矩阵a b X c d ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
()22a b a b f X c d c d --⎛⎫
= ⎪++⎝⎭。

1. （4%）求f 在22C ⨯的基11122122,,,E E E E 下的矩阵；
2. （6%）分别求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的一组基；
3. （6%）求f 的特征值及各个特征子空间的基；
4. （4%）求f 的最小多项式。

共 2 页 第 2 页 三. （8%）设ω是n 维欧氏空间V 中的单位向量，V 上的线性变换f 定义如下：对
任意V η∈，(),f a b ηηηωω=+<>。

问：当参数,a b 取什么值的时候，f 是V 上的正交变换？
四. （12%）已知矩阵A 的特征多项式是23(1)λλ-，并且()()3r A r A I =-=，求A
的最小多项式，并求一次数不超过2的多项式()f λ，使得()At Ae
f A =。

五. （20%）证明下列命题： 1. （5%）假设线性空间V 上的线性变换,f g 满足,fgf f gfg g ==，证明：
()()V K f R g =⊕。

2. （5%）假设A 是正规矩阵，证明：关于矩阵的秩有()()r A r A +=。

3. （5%）假设,αβ是两个n 维相互正交的单位列向量，实数,p q 均小于1。

证明：
矩阵H H A I p q ααββ=--是正定的。

4. （5%）设n 阶矩阵210021002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，k 是正整数。

证明存在矩阵B ，使得k B A =。