微积分(第4章)

f ( x) f (0) f ( x) x, (0,1)
f ( x) f (0) 即 f ( x), (0,1) x 又0 x x, x 0 x 0
f ( x) f (0) lim lim f ( x) lim f ( ) A x 0 x 0 0 x
而f ( x) 0, x (a, b), f ( ) 0 f ( x2 ) f ( x1 )
依x1 , x2的任意性知, f ( x)在[a, b]上严格单增
类似地有
若f ( x) 0, 则f ( x)在[a, b]上严格递减
例6 证明不等式
x ln(1 x) x, x 0 1 x
证明： f ( x) ln(1 x)在[0, )连续可导,
对x 0, 在[0, x]上使用拉格朗日中值定理有
f ( x) f (0) f ( ) x, (0, x)
x 即 ln(1 x) , (0, x) 1
x x ln(1 x) x 1 x 1
四 柯西(Cauchy)中值定理 1 定理：设函数f ( x), g ( x)在[a, b]上满足：
(i) 在闭区间[a, b]连续； (ii) 在开区间(a, b)可导； (iii) g(x) 0, x (a, b).
f ( ) f (b) f (a) 则必存在 (a, b), 使得 g ( ) g (b) g (a)
满足条件的函数在(a, b)内必至少存在一条平行于两端点连线的切线
Y
B (b, f (b))
A (a, f (a)) O
a
b
X
（4）变形形式
①
f (b) f (a) f ( )(b a), (a, b)
a
ba ,
② 令
(a, b)
(0,1), a (b a)
x x 而 x 1 x 1
例7
x 0
设f ( x)在[0, ]( 0)上连续, 在(0, )内可导, 若
lim f ( x) A, 证明 : f ( x)在x 0点右可导, 且f (0) A
证明： 当x (0, )时,由拉格朗日中值定理有
(1) 若M m, 则f ( x) C(常数),
f ( x) 0
即[a, b]上任一点均满足定理结论,因而此时结论成立
(2) 若M m,
f (a) f (b),
M 和m至少有一个是在(a, b)内某点 处取得,
而f ( x)在(a, b)内可导, 可导的最值点肯定是极值点
f ( x) x 在x 0处有极小值, 但f ( x)在x 0处不可导
③ f ( x0 ) 0 f ( x)在x x0处有平行于x轴的切线 ④ 定理仅是必要而不充分的条件，如
f ( x) x3在x 0处有f (0) 0, 但x 0不是极值点,
⑤ 若有f ( x0 ) 0, 则x0一定不是极值点
这与已知的f ( x) 0, x (a, b)矛盾
所以f ( x)在(a, b)内至多有一个驻点
三、拉格朗日(Lagrange)中值定理
1、定理 设函数f ( x)在[a, b]上满足：
(i) 在闭区间[a, b]连续； (ii) 在开区间(a, b)可导；
f (b) f (a) 则必存在 (a, b), 使得f ( ) ba
(2)当g ( x) x时,即为Lagrange 中值定理 是其推广 ,
f ( x) f ( x0 ) 当x x0时, 有 0 x x0
f ( x) f ( x0 ) 当x x0时, 有 0 x x0
因此依函数在该点的可导以及函数极限的保号性有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 x x0 x x0
在x1与x2之间, 使得f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )
而f ( x) 0, x (a, b), f ( ) 0 f ( x2 ) f ( x1 )
依x1与x2的任意性知f ( x) C(常数)
注：依本题结论有
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) C
证明： g ( x) 0
g (b) g (a) g ( )(b a) 0, a b
f (b) f (a) [ g ( x) g (a)] g (b) g (a)
做辅助函数F ( x) f ( x)
F (a) F (b) f (a)
(a, b), 使得F ( ) 0,
f (b) f (a ) 而F ( x) f ( x) ba
f (b) f (a) f ( ) ba
2、定理中应注意的问题 （1）定理中的两个条件缺一不可 （2）当f (a) f (b)时,即为罗尔定理, 是罗尔定理的推广 （3）几何意义
例5
设f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且有
f ( x) 0, x (a, b), 则f ( x)在[a, b]上严格单增
证明： 取x1 , x2 [a, b], 且设x1 x2 , 则f ( x)在[ x1, x2 ]连续可导
( x1, x2 ), 使得f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )
第 4 章 中值定理与导数的应用
在上一章,主要介绍了函数的导数、微分的概 念以及求导数、微分的运算法则. 我们知道函数在 一点 x0 的导数反映的是函数在该点处关于自变量的 变化率,几何上表现为在平面曲线 y f ( x )上一点 ( x, y ) 处曲线的切线的斜率. 这一章我们来讨论如何利用导数 f ( x ) 的已知性 质来推断函数 f ( x )的性质, 包括函数的极值、单调性、 凹凸性以及求不定式的极限等. 中值定理是联系 f ( x ) 与 f ( x ) 的桥梁，是讨论函数性质的有效工具.
依费马定理知 : 存在 (a, b), 使得f ( ) 0
2、定理中应注意的问题
①定理是充分而不必要的，因此有些函数虽不满足定理的 条件，也有定理的结论。如 函数y x2 x [1, 2] ②几何意义
满足条件的函数曲线y f ( x)
在(a, b)中至少有一条平行于x轴的切线
则f ( x)在(a, b)内至多有一个驻点
证明： 用反证法证明
设f ( x)在(a, b)内有两个驻点x1, x2 , 且x1 x2则有
f ( x1 ) f ( x2 ) 0
而f ( x)在[ x1, x2 ] [a, b]上可导
( x1 , x2 ) (a, b), 使得f ( ) 0
二、罗尔(Rolle)中值定理
1、定理 设函数f ( x)在[a, b]上满足：
(i) 在闭区间[a, b]连续； (ii) 在开区间(a, b)可导；
(iii) f (a) f (b)
则必存在 (a, b), 使得f ( ) 0
证明
f ( x)在[a, b]上连续
f ( x)在[a, b]上存在最大值M 和最小值m
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 x x0 x x0
f ( x0 ) 0
（2）定理中应注意的问题 ① 称f ( x0 ) 0的点x0为f ( x)的驻点或稳定点 ② 定理条件中f ( x)在x0可导不能省略, 如
(0,1), 使得f (1) 2 f ( ) 2 f ( )
证明： 令F ( x) x2 f ( x), 则F ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导
(0,1), 使得F (1) F (0) F ( )
而F ( x) 2xf ( x) x2 f ( x)
F ( x)在[a, b]上满足罗尔定理的条件 (a, b), 使F ( ) 0
即f ( )
f (b) f (a) g ( ) 0, g ( ) 0, g (b) g (a)
f ( ) f (b) f (a) g ( ) g (b) g (a)
本章主要内容
§4.1 微分中值定理
§4.2 泰勒公式
§4.3 洛必达法则 §4.4 函数的单调性和凸凹性 §4.5 函数的极值与最值 §4.6 函数作图
§4.1 微分中值定理 一、费马定理
1、函数极值
设f ( x)在O ( x0 )有定义, 若对x O ( x0 )
有f ( x) f ( x0 )(或f ( x) f ( x0 )), 则称f ( x0 )是f ( x)的
f (1) 2 f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ) f ( )
2
例4
设f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且有f ( x) 0,
x (a, b), 证明f ( x)在[a, b]上是常数
证明： 对x1 , x2 (a, b), 则f ( x)在x1与x2之间连续可导
一个极小（大）值, 此时称x0为极小（大）值点
极大值和极小值统称为极值，取得极值的点统称为极值点
2、费马定理
（1）定理 证明
若f ( x)在x0可导, 且x0为极值点, 则必有f ( x0 ) 0
设x0为f ( x)的极大值点(极小值点类似处理), 则
0, 使得当x O ( x0 )时有f ( x) f ( x0 )
y
4 3
y
2 1
A
B
O
a
1
2 b x
-1
O
1
2x
③定理的三个条件缺一不可，否则结论可能不成立
y
y
y
O
a
b
x
a
x0
b
x
O
a
b
x
b点间断
x0不可导
f (a) f (b)
3、应用举例 例1 证明方程 sin x x cos x 0在(0, )内必有实根
证明： 令F ( x) x sin x, x [0, ], 则有
证明： 作辅助函数
f (b) f (a ) F ( x) f ( x) ( x a) ba
f ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导
F ( x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且有
F (a) f (a), F (a) F (b)
F (b) f (a)
f (b) f (a) f [a (b a)](b a), (0,1)
③
再令b a h, 则有f (a h) f (a) f (a h)h,
(0,1), h b a
3、应用举例 例3 设f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
F ( x)在[0, ]连续可导, 且有F (0) F ( ) 0
(0, ), F ( ) sin cos 0
所以方程 sin x x cos x 0在(0, )内必有实根
例2
设f ( x)在(a, b)内二阶可导, 若f ( x) 0, x (a, b),
2 说明：
(1)证明时不能分别对 ( x)与g ( x)采用Lagrange f 中值定理
f (b) f (a) f ( )(b a), (a, b),
g (b) g (a) g ( )(b a), (a, b)
两式相除得出,因为两式中的不一定相同, 所以不能相除得出