(完整word版)数字信号处理模拟试卷答案

《数字信号处理》A 卷参考答案
一大题：判断下列各题的结论是否正确，你认为正确就在括号中画“√”，否则画“X ”（共５小题，每小题３分，共１５分） 1、“√”2、“X ”3、“√”4、“X ”5、“X ” 二大题：（共2小题，每小题10分，共20分）
1、设系统由下面差分方程描述：
)1(2
1
)()1(21)(-++-=
n x n x n y n y 设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。

解：令)()(n n x δ=，)1(2
1
)()1(21)(-++-=
n x n x n y n y 2
21)2(21)3(,321
)1(21)2(,21
2
1
21)0(21)1()0(21)1(,11)1(21
)0()1(21)0(,0⎪
⎭
⎫
⎝⎛====
==++=++===-++-=
=h h n h h n h h n h h n δδδδ 归纳起来，结果为)()1(21)(1
n n u n h n δ+-⎪
⎭⎫
⎝⎛=-
2、求2
1
,4
11311)(2
1
>
--=
--z z z z X 的反变换。

解：（1）部分分式法
1
12222
116521161)(2
165
2161)21)(21(314131)(4131)(--++-=+
+-=+--
=--=--
=z z z X z z z z z z z z z X z z z X
)(]21652161[)(n u n X n
n ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=
（2）长除法⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
-= ,161,121,4
1
,31,1)(n x 三大题：证明（共2小题，每小题10分，共20分） 1、设线形时不变系统函数H(z)为：
（1）在z 平面上用几何法证明该系统是全通网络，即： （2）参数a 如何取值，才能使系统因果稳定？
解、（1）a z a z az z a z H --=--=----11
1111)( 极点：a,零点：1
-a 设取6.0=a ，零、极点分布如右下图。

a
a a a a a
a a a a
AC AB
a e a e a
z a
z e H j j e z j j 1cos 21cos 21cos 211
cos 2)(2
2
1
2
1
2
1
1
=
+-+-=
+-+-=
=--=
--=----=-ωωωωωωωω
故)(z H 是一个全通系统。

（2）1<a 才能使系统因果稳定。

2、证明离散帕斯瓦尔定理。

若)]([)(n x DFT k X =，则
∑
∑
-=-==
1
2
1
2
)
(1
)(N k N n k X N
n x
证：
为实数
a az z a z H .,11)(1
1
1-----=常数
=)(ωj e H
∑∑∑∑∑∑∑∑
-=-=-=--=-=-=-=-====⎪
⎭
⎫ ⎝⎛==
10
10
2
*
1
01
*
*
1
0101
*
1
2
)
()()()(1
)
()()(1)()(1)(1N n N n N k kn
N N n N k N n n N N k N k n x n x n x W
k X N n x W n x k X N k X k X N
k X N
四、作图题（共12分）画图题略。

五、设计题（共13分）已知模拟滤波器的传输函数为：1
321
)(2
++=
s s s H a 采用脉冲响应不变法和双线性变换法设计数字滤波器，取T=2s 。

解：脉冲响应不变法；
1
2111
1212111111
11)(1
1
2/111321)(----------+
-=--+-=+-+
+=++=
z e z e z e z e z H s s s s s H T T a 或合并为：23121121)(1)()(--------++--=z e z e e z e e z H 双线性变换法：
1
21-112
11
112262z 1111111
2
,)()(1
1------+-=-++=
++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
==--z z z z z z T s H z H z z T s a
六大题：分析与作图（共2小题，每小题10分，共20分）
1、 图示是由RC 组成的模拟滤波器，写出其系统函数)(s H a ，并选用一种合适的转换方法，将)(s H a 转换成
数字滤波器)(z H
，最后画出网络结构图。

)
t
解：模拟RC 滤波网络的频率响应函数为：RC
j j C
j R R j H a 11)(+
ΩΩ=
Ω+
=
Ω
显然，)(Ωj H a 具有高通特性，用脉冲响应不变法必然会产生频率的混叠失真。

所以应选用双线性变换法，
将)(Ωj H a 中的Ωj 用s 代替，可得到RC 滤波网络的系统函数
RC
s s s H a 1)(+
=
用双线性变换法设计公式可得：
RC T a z a a z a RC z z T z z T s H z H z z T s a 2,1
111111112112)()(11111
1
1121
1
=
+-+-+=+
+-+-=
=------+-=--
)(z H 的结构：
1
1+a (x )
(n
2、 已知FIR 滤波器的单位脉冲响应为： （1） N=6
3)3()2(;
2)4()1(;5.1)5()0(======h h h h h h
(2) N=7
3)3()2(;2)4()1(;5.1)5()0(======h h h h h h
0)3(;1)4()2(;
2)5()1(;3)6()0(==-=-=-==-=h h h h h h h
试画出它们的线性相位型结构图，并分别说明它们的幅度特性、相位特性各有什么特点。

解：（1）图略。

由)(n h 的取值可知，)(n h 满足)1()(n N h n h --=所以FIR 滤波器具有第一类线性相位特性：
ωω
ωθ5.22
1
)(-=--=N ；由于N=6为偶数，所以幅度特性关于πω=点奇对称。

（2）图略。

由)(n h 的取值可知，)(n h 满足)1()(n N h n h ---=所以FIR 滤波器具有第二类线性相位特性：
ππ
ω
π
ωθ32
212
)(-±=--±
=N ；由于N=7为奇数，所以幅度特性关于πω2,0=两点奇对称。