山东省高密市第三中学高三数学 6.1向量的线性运算复习导学案

山东省高密市第三中学高三数学 6.1向量的线性运算复习导学案1．向量的有关概念
名称定义备注
向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向
量的长度(或模)
如a，AB
→
零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0
单位向量给定一个非零向量a，与a同向且模为1
的向量，叫做向量a的单位向量，可记作
a0.
a0＝
a
|a|
共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这
些向量共线或平行
向量a与b
平行记作a∥b
相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或
相等的向量
如AB
→
＝a
相反向量与向量a反向且等长的向量，叫做a的相
反向量
记作－a
2.向量的线性运算
向量
运算
定义法则(或几何意义) 运算律
加法求两个向量和的运
算
(1)交换律：a＋b＝b
＋a；
(2)结合律：(a＋b)
＋c＝a＋(b＋c)．
减法求a与b的相反向
量－b的和的运算
叫做a与b的差三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘求实数λ与向量a
的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向
与a的方向相同；当λ<0
时，λa的方向与a的方向
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋
μa；
λ(a＋b)＝λa＋
相反；当λ＝0时，λa ＝0 λb
3. 平行向量基本定理
如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb . 课前自测：
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量． ( ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．
( )
(3)已知两向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝2.
( )
(4)△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12
(AC →＋AB →
)．
( )
(5)向量AB →与向量CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上． ( ) (6)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．
( )
2． (2012·四川)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b
|b |
成立的充分条件是( )
A ．a ＝－b
B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
3．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →
＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________． 典例分析：
题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题：
①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．
给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
题型二 平面向量的线性运算
例2 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的
一个三等分点，那么EF →
等于
( )
A.12AB →－13AD →
B.14AB →＋12AD →
C.13AB →＋12DA →
D.12AB →－23
AD →
(2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13
c D.13b ＋2
3
c (1)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →
等
于
( )
A ．2OA →－O
B → B ．－OA →＋2OB →
C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →
(2)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →
，则 ( )
A.PA →＋PB →＝0
B.PC →＋PA →＝0
C.PB →＋PC →
＝0 D.PA →＋PB →＋PC →
＝0
题型三 共线向量定理及应用
例3 设两个非零向量a 与b 不共线，
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →
＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．
当堂检测1． 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →
＝0，则△ABC 的内角A 等于( )
A ．30° B．60° C．90° D．120°
3． 在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →
，
则λ＋μ等于( ) A ．1 B.12 C.13 D.2
3
课后巩固 一、选择题
1． 下列命题中正确的是
( )
A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线
B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量
D ．有相同起点的两个非零向量不平行
2． 已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )
A ．A 、
B 、
C B ．A 、B 、
D C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 二、填空题
3． 设向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →
＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；
②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________． 4． 在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →
＝____________.(用a ，b 表示) 三、解答题
5． 如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →
＝
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AD →，AB →＝a ，AC →
＝b . (1)用a 、b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →
； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．。