关于数学理论在音乐中应用的探析

关于数学理论在音乐中应用的探析
王琛瑜
【摘要】本文通过数学中同余理论以及函数与音乐中钢琴琴键以及基本乐理的结合论证,尝试在音乐教学中尝试引入数学理性客观精准的思维模式,从而达到更好的教学效果.
【期刊名称】《黄河之声》
【年(卷),期】2015(000)021
【总页数】1页(P76)
【关键词】数学;音乐;高校音乐教育;同余;函数
【作者】王琛瑜
【作者单位】南京师范大学中北学院,江苏南京 211111
【正文语种】中文
高校教育中，数学广泛应用于物理，化学，计算机，金融，建筑等诸多学科。

但与艺术类学科，尤其是音乐的结合，则薄弱得多。

在音乐教学中，通过数学中同余理论以及函数与音乐中钢琴琴键以及基本乐理的结合论证，希望可以在音乐教学中尝试引入数学非常理性客观精准的思维模式，从而达到更好的教学效果。

音乐，是不同类型声音的有序排列的产物。

物体振动产生的声波，通过空气传播引起我们耳鼓微小震动。

一个声音是高是低，主要取决于振动的特定速率。

每秒振动的次数称为音频，频率越高，则入耳的音调越高，反之，则入耳的音调越低。

在音乐中，不论黑键白键，具有连续键位的任意两键间的音程称为半音。

相距12
个半音的两个音，所产生的振动频率存在一个2倍关系。

对人耳而言，这两种声
音看来是相关联的，人们定义他们互为八度音。

运用到数学中，我们称键位y比x 高k个八度音，则可列出
y—x=12k,k=1,2,3.......
上述两数间联系我们称为同余。

如果两个整数的差y—x能被一个正整数m整除，则称y与x同余，模为m，记
为Y≡x（mod m）。

整数m称为模，例如
39≡4（mod 5），因39—4=35，35能被5整除；
109≡21（mod 11），因109－21=88，88能被11整除；
定义y≡x（mod m）也可以说成是y与x相差m的整数倍，即y—x=km，或
y=x+km。

对某个整数k，给定任一整数m，与x同余的全体整数构成的集合称为x的剩余类，或同余类，表为[x]m.如果x是一个剩余类中的特定元，则余下元都
可由x加上m的整数倍生成。

通常，剩余类中的最小非负整数用来表示该剩余类，并称这样的剩余类为最小剩余，给定任何一个类，容易看出最小剩余就是特定元整除模后的余数。

例如，[748]5=[3]5，因为3是748整除5后的余数，同余类的
加法运算定义如下
钢琴键盘上音是循环重复的，我们知道一个八度后接另一个八度，而其中音符的音名也是C,D,E,F,G,A,B几个字母的依序重复。

为什么C在间隔12个半音后还能得
到C？或者说为什么琴键上相距八度（12个半音）的整数倍的两个音由同一个字
母表示？从同余理论考虑，每一个字母都是该键位的模为12的同余类的命名，这12个类中的每一个都可自成一个调。

因此我们将白键上的音初始定义如下：
在乐理中，C升高半音，既可称为升C，又可以称为降D，即音高相同而意义和记法不同的音，我们称之为等音。

他们用相同的数字定义。

由此我们可以得出钢琴键盘上所有键位，通过最小剩余计算而得出的相对应的音名，循环往复的音名。

在钢琴教学中。

音乐记谱主要依赖于分散于五线谱各线各间的椭圆形音符，在引入同余概念后，我们也可尝试将音符确定的位置和音高数字化。

调式中的音，按照高低次序（上行或下行），由主音到主音排列起来就叫做音阶。

（《音乐理论基础》—李重光）。

大调音阶由7个音组成，按照全全半全全全半模式的音程关系排列。

每个音阶的第一个音，我们称为该音阶的主音。

小字一组中央C开始的一个八度内大调音阶转化成键位数列为0,2,4,5,7,9,11,12。

如果我们以D为主音做一个大调音阶，将之前以中央C为主音的音阶键位列中的每一个键位加2，则得到这样一组键位数列2,4,6,7,9,11,13,14。

与之类似，我们可以以小字一组中任何一个音为起始，通过键位数列的加法运算，构成大调音阶。

以降A为例，它比中央C高出八个键位，则得出对应的序列是8,10,12,13,15,17,19,20。

一个音阶里面，所有音名要求以C,D,E,F,G,A,B七个英文字母顺序循环排出，且每个字母只出现一次。

因为初始主音为降A，后面相同键位数表示的两个等音都要选择降号。

在乐理中，我们会提到五度相生律，这是公元前6世纪由古希腊哲学家、科学家毕达哥拉斯及其学派就提出的。

它以一音为基音，然后将频率比为3：2的纯五度音程作为生律要素，分别向基音两侧同时生音。

以C为基音，按照五度相生原理向上可生出G、D、A、E、B，向下可生出F、降B、降E、降A、降D、降G。

从C向升号调进行，前后两个调相差一个升号，主音相差五度，从琴键来看即相差7个半音。

所以对前一个主音加7就能获得下一个调的主音。

反之，从C逆时针向降号调进行，前后两个调相差一个降号，主音相差四度，从琴键来看相差5个半音。

这种结论产生了我们之前说过的两个数论函数，运用这些函数可以通过一部音乐作品起始处升降号的数量非常精确直观地推导出该部作品调性即主音。

如果n是调号中升号的数目，则主音由下式给定
如果n是调号中降号的个数，则主音由下式给定
我们知道D大调必须在调号中有两个升调号，
即。

在当今社会，数学与音乐基础理论，作曲，合成，电子音乐制作等方面结合愈发密切。

一些现代作曲家已经尝试用数学计算代替作曲。

他们将作曲的过程公式化，把把音程、节奏、音色等素材都编成数码，然后按照需求发出指令，用计算机进行筛选，再将其结果编写成乐曲并演奏出来。

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【相关文献】
[1] 韩宏艳.对数学和音乐的思考[J].北方音乐,2012,01.
[2] 张琼.趣味数学与音乐的联系[J].数理化学习(教育理论),2011,09.。