平面向量数量积教案
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5、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、
6、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
教学重点
掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算
教学难点
能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识导图】
［考情展望］
１。以客观题的形式考查平面向量数量积的计算,向量垂直条件与数量积的性质。
∴a+b与a-ｂ垂直、
(２)｜ｋa＋ｂ｜2=k２a2+2ka·b+b2＝ｋ2＋2ka·b+１,
(｜ａ-kb｜)2=3(１＋k2)－6ka·ｂ。
由条件知,k2＋2kａ·b+1=3(1+ｋ2)－6ka·b,
从而有,a·b=(k>0)、
(3)由(2)知a·b＝= (ｋ＋ )≥ ,
当k= 时,等号成立,即k=±1、
2、1非零向量垂直的充要条件:a⊥b⇔ａ·ｂ=0⇔｜a＋b｜=|a-ｂ｜⇔x1ｘ２＋y1y2＝0、２本例２中常见的错误是可不能借助向量减法法则把表示成 — ,导致求解受阻。
类型三 平面向量的模及其应用
已知=(coｓθ,siｎθ),＝(1＋ｓinθ,1＋cosθ),其中0≤θ≤π,求｜ |的取值范围及｜ ｜取得最大值时θ的值。
１、【答案】—1
【解析】a在b方向上的投影是
|ａ|cosθ=2×cｏｓ120°=-1、
2、【答案】
【解析】∵(３a+2ｂ)·(λa－b)
＝3λa2+(2λ-3)a·b－2b2
＝３λa2－2b2=１2λ－１8＝0、
∴λ= 、
3。【答案】２ 、
【解析】|２ａ－b｜2=(２ａ－b)２=4｜a｜2—４a·ｂ+|b｜2=4×1—4×0+４=8,∴｜2a-b｜＝2、
a⊥ｂ⇔ａ·ｂ=0
ａ⊥ｂ⇔x１x2+y1y2＝0
向量ａ与ｂ的夹角
coｓθ＝
cosθ=
３、证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有:
(1)要证AB＝ＣＤ,可转化证明 2= 2或|｜=| ｜、
(2)要证两线段AB∥CD,只要证存在唯一实数≠0,使等式 =λ成马上可、
(3)要证两线段AB⊥ＣＤ,只需证 ·=0。
适用学科
高中数学
适用年级
高一
适用区域
苏教版区域
课时时长(分钟)
2课时
知识点
平面向量的数量积、平面向量数量积的运算律、平面向量数量积的性质及其坐标表示
教学目标
1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义、
2、了解平面向量的数量积与向量投影的关系、
3。掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。
4、能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
１、平面向量a与b的夹角为6０°,a＝(2,０),｜b｜=1,则|a＋2b|＝__＿___＿_、
2、若a=(2,3),b＝(-4,7),则a在b方向上的投影为_____＿、
3、ａ,b为平面向量,已知ａ＝(4,3),２a＋b=(3,18),则a,ｂ夹角的余弦值为____＿___、
答案与解析
1、【答案】2 、
【规范解答】(1)如图所示, ＝ +, ＝ + ＝ － ,
∴ · =(+ )·(-)= 2－2=｜｜2－| |2=9－２5=—16、
(2)
法一如图所示,以AB,AＤ所在的直线分别为x轴与ｙ轴建立平面直角坐标系,由于正方形边长为１,
故B(1,0),C(1,１),D(０,1)。
又E在AＢ边上,故设E(ｔ,0)(０≤ｔ≤１)、
1、给出下列结论:
①若a≠0,a·b＝0,则ｂ＝0;②若a·ｂ＝b·ｃ,则a=ｃ;③(ａ·ｂ)ｃ＝a(ｂ·c);④a·［ｂ(a·c)－c(a·b)］＝0、
其中正确结论的序号是_____＿__、
2、设非零向量a、b、c满足|a｜＝｜b｜=|ｃ|,a+b=ｃ,则<a,b〉=_____＿＿_。
３、若向量a与b的夹角为6０°,｜b｜＝4,(a＋2b)·(ａ－3b)＝—7２,则向量ａ的模为＿______＿。
【规范解答】∵＝-=(1+sinθ-cosθ,１+cosθ—siｎθ),
∴|Ｐ |2＝(1＋ｓinθ－ｃoｓθ)２＋(1＋cosθ—sinθ)2＝4－４sinθcosθ=４—2sｉn 2θ、
∵0≤θ≤π,∴-1≤sin2θ≤1,
∴| ｜2∈[2,６],∴｜ |∈［, ]、当siｎ２θ=－1,即θ＝ 时,｜｜取得最大值、
类型五两向量的平行与垂直问题
已知ａ=(ｃoｓα,sinα),b=(coｓβ,sinβ),且ka＋b的长度是a－ｋb的长度的倍(k＞0)、
(1)求证:a+b与a－b垂直;
(2)用ｋ表示a·ｂ;
(3)求a·b的最小值以及此时a与ｂ的夹角θ、
【规范解答】(1)由题意得,|a｜=｜b|=１,
∴(a＋ｂ)·(a－b)＝ａ2-b2＝0,
ａ⊥ｂ的充要条件
a·b＝0
x1x2＋ｙ1y2=0
|ａ·b|与|a|｜b｜的关系
｜ａ·b|≤|a｜|b｜(当且仅当ａ∥b时等号成立)
｜ｘ1x2+y1ｙ2｜≤ ·
类型一平面向量数量积的运算
在△ABC中,M是BC的中点,AＭ=3,ＢC=10,则· ＝_____＿__。
(2)已知正方形ABＣＤ的边长为１,点Ｅ是AB边上的动点,则·的值为＿＿＿_____; ·的最大值为_＿＿_＿___、
∵k>0,∴k＝1、
此时cosθ＝＝ ,而θ∈［０,π],∴θ=、
故a·b的最小值为,此时θ＝ 。
【总结与反思】
1。非零向量a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋ｙ1y２=０。
2、当向量a与b是非坐标形式时,要把a、b用已知的不共线的向量表示。但要注意运算技巧,有时把向量都用坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异、
3、数量积的几何意义:数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。
1、交换律:;
２。数乘结合律:;
３、分配律:、
已知非零向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),θ为向量a,b的夹角、
结论
几何表示
坐标表示
模
|a｜=
｜a｜＝
数量积
ａ·b＝｜ａ｜｜b｜cosθ
a·b＝x1x2+y1y2
夹角
cosθ=
coｓθ＝
【总结与反思】
求解向量的长度问题一般能够从两个方面考虑:
1利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解;
２利用公式｜a|=及a±ｂ２＝｜a｜２±２a·b＋｜b|２把长度问题转化为数量积的运算问题解决。
类型四向量的数量积在三角函数中的应用
已知向量a＝ ,
∴(a+2ｂ)·(a—３ｂ)＝｜a|２－6｜b｜2—ａ·b
=|a|2－2｜a|－96＝—72、
∴|a|＝6、
1、已知|a｜＝1,｜ｂ|＝1,a,ｂ的夹角为1２０°,计算向量2a－b在向量a+b方向上的投影、
答案与解析
1、【答案】 ∪(1, )。
【解析】已知=(1,1),即A(1,1)如图所示,当点Ｂ位于B１与B２时,a与b夹角为,即∠AOB１＝∠AOB2＝ ,此时,∠B1Oｘ＝－＝,∠B2Ox＝+= ,
【解析】a＝(2,0),｜b｜＝１,
∴｜a|=2,ａ·b＝2×1×coｓ60°=１、
∴｜a+2b｜＝＝２ 、
2、【答案】。
【解析】设a、ｂ的夹角为θ,
则ｃosθ＝= ,
故a在ｂ方向上的投影为
｜ａ|cosθ＝ ×＝。
或直截了当依照计算a在b方向上的投影、
３。【答案】。
【解析】∵a＝(４,3),∴２a＝(８,６)。又２ａ＋b=(３,１８),
则=(t,-１), ＝(0,－１)、
故· =１、
又=(１,０),
∴ · =(t,－1)·(１,0)＝t、
又０≤t≤1,∴ · 的最大值为1、
法二∵ＡBＣD是正方形∴ ＝ 。
∴·＝· ＝|||｜cos∠ＥDA
=｜ |||coｓ∠EDA=｜ ｜·｜｜＝｜｜２＝1、
又E点在线段AB上运动,故为点E与点B重合时, 在 上的投影最大,此时 · ＝||｜ ｜cos 45°＝×=１、
2、平面向量的坐标表示与向量表示的比较:
已知a＝(ｘ1,ｙ1),ｂ＝(ｘ2,y２),θ是向量a与b的夹角、
向量表示
坐标表示
向量a的模
|a|＝ =
｜a|=
a与b的数量积
a·ｂ=｜a||b|cｏsθ
a·b=x1x２+y1ｙ２
a与b共线的充要条件
A∥ｂ(b≠０)⇔a=λb
ａ∥b⇔ｘ1ｙ2－x2y１=0
非零向量a,b垂直的充要条件
(2)已知向量与 的夹角为120°,且| |＝3,｜ |=2、若 =λ+ ,且⊥ ,则实数λ的值为________、
【规范解答】(1)由|ａ｜＝｜ａ+2ｂ｜,两边平方,得|a｜2=(a+２b)2＝｜ａ｜2+４｜b｜2+4ａ·b,因此a·b=－|b｜２。又｜a|＝3|b|,
因此cｏｓ〈a,ｂ>==＝－ 、
∴b=(－5,12),∴ａ·b=－20＋３6＝16、
又｜a|=5,｜b|=13,
∴cos〈a,b〉=＝ 、
1、已知a=(－2,－1),ｂ＝(λ,1),若ａ与b的夹角α为钝角,则λ的取值范围为＿＿______、
2、已知a与ｂ同向,b=(１,２),ａ·b=10、
(1)求ａ的坐标;
(２)若ｃ＝(２,－1),求a(b·c)及(a·ｂ)c。
=2 2- 、
∵ｘ∈ ,∴ ≤coｓx≤1,
∴当cｏsｘ＝时,f(ｘ)取得最小值－;
当cosx=1时,ｆ(x)取得最大值-１、
【总结与反思】
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型、解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式,向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识、
b= ,且ｘ∈ 、
(1)求a·b及|a＋b｜;
(２)若f(ｘ)＝a·ｂ-｜a+b｜,求f(x)的最大值与最小值、
【规范解答】(１)a·b=ｃｏs xcos—ｓinxsin ＝ｃoｓ2x,
｜ａ+ｂ|=
＝ =2｜cosx｜,
∵x∈ ,∴cｏｓx＞0,
∴｜a＋b|=２ｃoｓｘ、
(２)f(ｘ)＝coｓ2x－2cｏsx＝２cｏs2ｘ—2cｏsｘ-1
1、|a|=2,|ｂ｜＝4,向量a与向量b的夹角为１２0°,则向量a在向量b方向上的投影为＿_______、
2、已知ａ⊥b,｜a|＝2,｜b｜=3,且3a＋2b与λa-ｂ垂直,则λ＝＿＿______、
3、已知向量a,b满足ａ·b=0,｜a|=1,｜ｂ｜＝2,则|２a—b|=__＿___＿_、
答案与解析
故Ｂ１ ,Ｂ2(１,),又a与b夹角不为零,
故a≠1,由图易知a的范围是∪(1, )。
课程小结
１、一些常见的错误结论:
(1)若|a|＝｜b｜,则ａ＝b;(2)若a２=b2,则a=b;(3)若ａ∥ｂ,b∥c,则a∥c;(４)若a·ｂ=0,则a=0或b=0;(５)｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜;(6)(a·b)ｃ＝a(ｂ·c);(7)若a·b＝a·c,则b=ｃ、以上结论都是错误的,应用时要注意、
2。以平面向量数量积为工具,与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题,主要考查运算能力及数形结合思想、
1、数量积的定义:已知两个非零向量,它们的夹角为,则向量与的数量积是数量｜,记作,即。规定:零向量与任一向量的数量积为０、
2。向量的投影:设为与的夹角,则向量在方向上的投影是;向量在方向上的投影是。
答案与解析
1、【答案】④
【解析】因为两个非零向量a、b垂直时,a·b＝0,故①不正确;
当a=0,b⊥c时,a·ｂ=ｂ·c＝0,但不能得出a=c,故②不正确;向量(ａ·ｂ)c与c共线,ａ(b·c)与a共线,故③不正确;
④正确,a·[b(ａ·c)－c(a·b)］
＝(a·ｂ)(a·c)－(a·c)(ａ·ｂ)＝0。
2。【答案】120°
【解析】∵ａ＋b＝c,∴｜c|2=｜a＋b｜2＝a2＋２a·b＋ｂ２。
又｜ａ｜=|ｂ｜=｜ｃ|,∴2ａ·b=—b2,
即2｜ａ|｜b|cos〈a,ｂ〉=—｜b｜2、
∴ｃos<ａ,b〉=－,
∴<a,ｂ〉＝120°、
3、【答案】6
【解析】∵ａ·b=｜a｜·｜ｂ｜·ｃｏs６0°＝２|a｜,
因此· 的最大值为1、
【总结与反思】
1、平面向量的数量积的运算有两种形式,一是依据长度与夹角,二是利用坐标来计算、
2。要有“基底"意识,关键用基向量表示题目中所求相关向量,如本例1中用、表示 、等。注意向量夹角的大小,以及夹角θ=0°,9０°,180°三种特别情形、
类型二平面向量的夹角与垂直
(1)若非零向量a,b满足｜a｜＝3｜b｜=|ａ＋２b|,则a与b夹角的余弦值为_＿______。
(2)∵ ⊥,∴ ·＝０。
又＝λ+,＝ -,∴(λ＋)(— )＝０,
即(λ－1) · -λ２+2＝０,∴(λ-１)||| |cos 12０°-9λ+4＝0、
∴(λ－1)×３×2× -9λ＋4=０、解得λ= 、
【总结与反思】
１。当ａ,b以非坐标形式给出时,求〈a,b〉的关键是借助已知条件求出|ａ｜、｜b|与ａ·ｂ的关系。
6、会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
教学重点
掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算
教学难点
能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识导图】
［考情展望］
１。以客观题的形式考查平面向量数量积的计算,向量垂直条件与数量积的性质。
∴a+b与a-ｂ垂直、
(２)｜ｋa＋ｂ｜2=k２a2+2ka·b+b2＝ｋ2＋2ka·b+１,
(｜ａ-kb｜)2=3(１＋k2)－6ka·ｂ。
由条件知,k2＋2kａ·b+1=3(1+ｋ2)－6ka·b,
从而有,a·b=(k>0)、
(3)由(2)知a·b＝= (ｋ＋ )≥ ,
当k= 时,等号成立,即k=±1、
2、1非零向量垂直的充要条件:a⊥b⇔ａ·ｂ=0⇔｜a＋b｜=|a-ｂ｜⇔x1ｘ２＋y1y2＝0、２本例２中常见的错误是可不能借助向量减法法则把表示成 — ,导致求解受阻。
类型三 平面向量的模及其应用
已知=(coｓθ,siｎθ),＝(1＋ｓinθ,1＋cosθ),其中0≤θ≤π,求｜ |的取值范围及｜ ｜取得最大值时θ的值。
１、【答案】—1
【解析】a在b方向上的投影是
|ａ|cosθ=2×cｏｓ120°=-1、
2、【答案】
【解析】∵(３a+2ｂ)·(λa－b)
＝3λa2+(2λ-3)a·b－2b2
＝３λa2－2b2=１2λ－１8＝0、
∴λ= 、
3。【答案】２ 、
【解析】|２ａ－b｜2=(２ａ－b)２=4｜a｜2—４a·ｂ+|b｜2=4×1—4×0+４=8,∴｜2a-b｜＝2、
a⊥ｂ⇔ａ·ｂ=0
ａ⊥ｂ⇔x１x2+y1y2＝0
向量ａ与ｂ的夹角
coｓθ＝
cosθ=
３、证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有:
(1)要证AB＝ＣＤ,可转化证明 2= 2或|｜=| ｜、
(2)要证两线段AB∥CD,只要证存在唯一实数≠0,使等式 =λ成马上可、
(3)要证两线段AB⊥ＣＤ,只需证 ·=0。
适用学科
高中数学
适用年级
高一
适用区域
苏教版区域
课时时长(分钟)
2课时
知识点
平面向量的数量积、平面向量数量积的运算律、平面向量数量积的性质及其坐标表示
教学目标
1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义、
2、了解平面向量的数量积与向量投影的关系、
3。掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。
4、能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
１、平面向量a与b的夹角为6０°,a＝(2,０),｜b｜=1,则|a＋2b|＝__＿___＿_、
2、若a=(2,3),b＝(-4,7),则a在b方向上的投影为_____＿、
3、ａ,b为平面向量,已知ａ＝(4,3),２a＋b=(3,18),则a,ｂ夹角的余弦值为____＿___、
答案与解析
1、【答案】2 、
【规范解答】(1)如图所示, ＝ +, ＝ + ＝ － ,
∴ · =(+ )·(-)= 2－2=｜｜2－| |2=9－２5=—16、
(2)
法一如图所示,以AB,AＤ所在的直线分别为x轴与ｙ轴建立平面直角坐标系,由于正方形边长为１,
故B(1,0),C(1,１),D(０,1)。
又E在AＢ边上,故设E(ｔ,0)(０≤ｔ≤１)、
1、给出下列结论:
①若a≠0,a·b＝0,则ｂ＝0;②若a·ｂ＝b·ｃ,则a=ｃ;③(ａ·ｂ)ｃ＝a(ｂ·c);④a·［ｂ(a·c)－c(a·b)］＝0、
其中正确结论的序号是_____＿__、
2、设非零向量a、b、c满足|a｜＝｜b｜=|ｃ|,a+b=ｃ,则<a,b〉=_____＿＿_。
３、若向量a与b的夹角为6０°,｜b｜＝4,(a＋2b)·(ａ－3b)＝—7２,则向量ａ的模为＿______＿。
【规范解答】∵＝-=(1+sinθ-cosθ,１+cosθ—siｎθ),
∴|Ｐ |2＝(1＋ｓinθ－ｃoｓθ)２＋(1＋cosθ—sinθ)2＝4－４sinθcosθ=４—2sｉn 2θ、
∵0≤θ≤π,∴-1≤sin2θ≤1,
∴| ｜2∈[2,６],∴｜ |∈［, ]、当siｎ２θ=－1,即θ＝ 时,｜｜取得最大值、
类型五两向量的平行与垂直问题
已知ａ=(ｃoｓα,sinα),b=(coｓβ,sinβ),且ka＋b的长度是a－ｋb的长度的倍(k＞0)、
(1)求证:a+b与a－b垂直;
(2)用ｋ表示a·ｂ;
(3)求a·b的最小值以及此时a与ｂ的夹角θ、
【规范解答】(1)由题意得,|a｜=｜b|=１,
∴(a＋ｂ)·(a－b)＝ａ2-b2＝0,
ａ⊥ｂ的充要条件
a·b＝0
x1x2＋ｙ1y2=0
|ａ·b|与|a|｜b｜的关系
｜ａ·b|≤|a｜|b｜(当且仅当ａ∥b时等号成立)
｜ｘ1x2+y1ｙ2｜≤ ·
类型一平面向量数量积的运算
在△ABC中,M是BC的中点,AＭ=3,ＢC=10,则· ＝_____＿__。
(2)已知正方形ABＣＤ的边长为１,点Ｅ是AB边上的动点,则·的值为＿＿＿_____; ·的最大值为_＿＿_＿___、
∵k>0,∴k＝1、
此时cosθ＝＝ ,而θ∈［０,π],∴θ=、
故a·b的最小值为,此时θ＝ 。
【总结与反思】
1。非零向量a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋ｙ1y２=０。
2、当向量a与b是非坐标形式时,要把a、b用已知的不共线的向量表示。但要注意运算技巧,有时把向量都用坐标表示,并不一定都能够简化运算,要因题而异、
3、数量积的几何意义:数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。
1、交换律:;
２。数乘结合律:;
３、分配律:、
已知非零向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),θ为向量a,b的夹角、
结论
几何表示
坐标表示
模
|a｜=
｜a｜＝
数量积
ａ·b＝｜ａ｜｜b｜cosθ
a·b＝x1x2+y1y2
夹角
cosθ=
coｓθ＝
【总结与反思】
求解向量的长度问题一般能够从两个方面考虑:
1利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解;
２利用公式｜a|=及a±ｂ２＝｜a｜２±２a·b＋｜b|２把长度问题转化为数量积的运算问题解决。
类型四向量的数量积在三角函数中的应用
已知向量a＝ ,
∴(a+2ｂ)·(a—３ｂ)＝｜a|２－6｜b｜2—ａ·b
=|a|2－2｜a|－96＝—72、
∴|a|＝6、
1、已知|a｜＝1,｜ｂ|＝1,a,ｂ的夹角为1２０°,计算向量2a－b在向量a+b方向上的投影、
答案与解析
1、【答案】 ∪(1, )。
【解析】已知=(1,1),即A(1,1)如图所示,当点Ｂ位于B１与B２时,a与b夹角为,即∠AOB１＝∠AOB2＝ ,此时,∠B1Oｘ＝－＝,∠B2Ox＝+= ,
【解析】a＝(2,0),｜b｜＝１,
∴｜a|=2,ａ·b＝2×1×coｓ60°=１、
∴｜a+2b｜＝＝２ 、
2、【答案】。
【解析】设a、ｂ的夹角为θ,
则ｃosθ＝= ,
故a在ｂ方向上的投影为
｜ａ|cosθ＝ ×＝。
或直截了当依照计算a在b方向上的投影、
３。【答案】。
【解析】∵a＝(４,3),∴２a＝(８,６)。又２ａ＋b=(３,１８),
则=(t,-１), ＝(0,－１)、
故· =１、
又=(１,０),
∴ · =(t,－1)·(１,0)＝t、
又０≤t≤1,∴ · 的最大值为1、
法二∵ＡBＣD是正方形∴ ＝ 。
∴·＝· ＝|||｜cos∠ＥDA
=｜ |||coｓ∠EDA=｜ ｜·｜｜＝｜｜２＝1、
又E点在线段AB上运动,故为点E与点B重合时, 在 上的投影最大,此时 · ＝||｜ ｜cos 45°＝×=１、
2、平面向量的坐标表示与向量表示的比较:
已知a＝(ｘ1,ｙ1),ｂ＝(ｘ2,y２),θ是向量a与b的夹角、
向量表示
坐标表示
向量a的模
|a|＝ =
｜a|=
a与b的数量积
a·ｂ=｜a||b|cｏsθ
a·b=x1x２+y1ｙ２
a与b共线的充要条件
A∥ｂ(b≠０)⇔a=λb
ａ∥b⇔ｘ1ｙ2－x2y１=0
非零向量a,b垂直的充要条件
(2)已知向量与 的夹角为120°,且| |＝3,｜ |=2、若 =λ+ ,且⊥ ,则实数λ的值为________、
【规范解答】(1)由|ａ｜＝｜ａ+2ｂ｜,两边平方,得|a｜2=(a+２b)2＝｜ａ｜2+４｜b｜2+4ａ·b,因此a·b=－|b｜２。又｜a|＝3|b|,
因此cｏｓ〈a,ｂ>==＝－ 、
∴b=(－5,12),∴ａ·b=－20＋３6＝16、
又｜a|=5,｜b|=13,
∴cos〈a,b〉=＝ 、
1、已知a=(－2,－1),ｂ＝(λ,1),若ａ与b的夹角α为钝角,则λ的取值范围为＿＿______、
2、已知a与ｂ同向,b=(１,２),ａ·b=10、
(1)求ａ的坐标;
(２)若ｃ＝(２,－1),求a(b·c)及(a·ｂ)c。
=2 2- 、
∵ｘ∈ ,∴ ≤coｓx≤1,
∴当cｏsｘ＝时,f(ｘ)取得最小值－;
当cosx=1时,ｆ(x)取得最大值-１、
【总结与反思】
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型、解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式,向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识、
b= ,且ｘ∈ 、
(1)求a·b及|a＋b｜;
(２)若f(ｘ)＝a·ｂ-｜a+b｜,求f(x)的最大值与最小值、
【规范解答】(１)a·b=ｃｏs xcos—ｓinxsin ＝ｃoｓ2x,
｜ａ+ｂ|=
＝ =2｜cosx｜,
∵x∈ ,∴cｏｓx＞0,
∴｜a＋b|=２ｃoｓｘ、
(２)f(ｘ)＝coｓ2x－2cｏsx＝２cｏs2ｘ—2cｏsｘ-1
1、|a|=2,|ｂ｜＝4,向量a与向量b的夹角为１２0°,则向量a在向量b方向上的投影为＿_______、
2、已知ａ⊥b,｜a|＝2,｜b｜=3,且3a＋2b与λa-ｂ垂直,则λ＝＿＿______、
3、已知向量a,b满足ａ·b=0,｜a|=1,｜ｂ｜＝2,则|２a—b|=__＿___＿_、
答案与解析
故Ｂ１ ,Ｂ2(１,),又a与b夹角不为零,
故a≠1,由图易知a的范围是∪(1, )。
课程小结
１、一些常见的错误结论:
(1)若|a|＝｜b｜,则ａ＝b;(2)若a２=b2,则a=b;(3)若ａ∥ｂ,b∥c,则a∥c;(４)若a·ｂ=0,则a=0或b=0;(５)｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜;(6)(a·b)ｃ＝a(ｂ·c);(7)若a·b＝a·c,则b=ｃ、以上结论都是错误的,应用时要注意、
2。以平面向量数量积为工具,与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题,主要考查运算能力及数形结合思想、
1、数量积的定义:已知两个非零向量,它们的夹角为,则向量与的数量积是数量｜,记作,即。规定:零向量与任一向量的数量积为０、
2。向量的投影:设为与的夹角,则向量在方向上的投影是;向量在方向上的投影是。
答案与解析
1、【答案】④
【解析】因为两个非零向量a、b垂直时,a·b＝0,故①不正确;
当a=0,b⊥c时,a·ｂ=ｂ·c＝0,但不能得出a=c,故②不正确;向量(ａ·ｂ)c与c共线,ａ(b·c)与a共线,故③不正确;
④正确,a·[b(ａ·c)－c(a·b)］
＝(a·ｂ)(a·c)－(a·c)(ａ·ｂ)＝0。
2。【答案】120°
【解析】∵ａ＋b＝c,∴｜c|2=｜a＋b｜2＝a2＋２a·b＋ｂ２。
又｜ａ｜=|ｂ｜=｜ｃ|,∴2ａ·b=—b2,
即2｜ａ|｜b|cos〈a,ｂ〉=—｜b｜2、
∴ｃos<ａ,b〉=－,
∴<a,ｂ〉＝120°、
3、【答案】6
【解析】∵ａ·b=｜a｜·｜ｂ｜·ｃｏs６0°＝２|a｜,
因此· 的最大值为1、
【总结与反思】
1、平面向量的数量积的运算有两种形式,一是依据长度与夹角,二是利用坐标来计算、
2。要有“基底"意识,关键用基向量表示题目中所求相关向量,如本例1中用、表示 、等。注意向量夹角的大小,以及夹角θ=0°,9０°,180°三种特别情形、
类型二平面向量的夹角与垂直
(1)若非零向量a,b满足｜a｜＝3｜b｜=|ａ＋２b|,则a与b夹角的余弦值为_＿______。
(2)∵ ⊥,∴ ·＝０。
又＝λ+,＝ -,∴(λ＋)(— )＝０,
即(λ－1) · -λ２+2＝０,∴(λ-１)||| |cos 12０°-9λ+4＝0、
∴(λ－1)×３×2× -9λ＋4=０、解得λ= 、
【总结与反思】
１。当ａ,b以非坐标形式给出时,求〈a,b〉的关键是借助已知条件求出|ａ｜、｜b|与ａ·ｂ的关系。