2018届高三数学理一轮复习课后作业第3章 第7节 正弦定

课时作业 A 组 基础对点练
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π
6，则角C ＝( ) A.π
6 B ．π4 C.π6或3π4
D ．π4或3π4
解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即32＝
b 2＋
c 2－a
2
2bc ，所以
b 2＋
c 2－a 2＝3bc .又b 2＝a 2＋bc ，所以c 2＋bc ＝3bc ，即c ＝(3－1)b ＜b ，则a ＝2－3b ，所以cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝22，解得C ＝π
4.故选B. 答案：B
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝3bc ，且b ＝3a ，则下列关系一定不成立的是( ) A ．a ＝c B ．b ＝c C ．2a ＝c
D ．a 2＋b 2＝c 2
解析：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝3
2，则A ＝30°.又b ＝3a ，
由正弦定理得sin B ＝3sin A ＝3sin 30°＝3
2，所以B ＝60°或120°.当B ＝60°时，△ABC 为直角三角形，且2a ＝c ，可知C ，D 成立；当B ＝120°时，C ＝30°，所以A ＝C ，即a ＝c ，可知A 成立，故选B. 答案：B
3．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B ．π3 C.π4
D ．π6
解析：先根据正弦定理化边为角，然后根据诱导公式、倍角公式等化简．
∵b ＝c ，∴B ＝C .
又由A ＋B ＋C ＝π得B ＝π2－A
2. 由正弦定理及a 2＝2b 2(1－sin A )得 sin 2A ＝2sin 2B (1－sin A )， 即sin 2
A ＝2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2－A 2(1－sin A )， 即sin 2A ＝2cos 2A
2(1－sin A )， 即4sin 2A 2cos 2A 2＝2cos 2A
2(1－sin A )，
整理得cos 2A 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－sin A －2sin 2A 2＝0， 即cos 2A
2(cos A －sin A )＝0.
∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴cos A
2≠0， ∴cos A ＝sin A ．又0＜A ＜π，∴A ＝π
4. 答案：C
4．(2017·太原模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：∵S △ABC ＝12bc sin A ，∴3＝12×1×c ×3
2，∴c ＝4. 答案：D
5．(2017·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c
b ＜cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形
D ．等边三角形
解析：根据正弦定理得c b ＝sin C
sin B ＜cos A ，
即sin C ＜sin B cos A ，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )＜sin B cos A ，整理得sin A cos B ＜0，又三角形中sin A ＞0，∴cos B ＜0，π
2＜B ＜π.∴△ABC 为钝角三角形． 答案：A
6．(2016·高考北京卷)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b
c ＝________. 解析：先利用余弦定理建立关系式，再将所给条件代入求解即可． 在△ABC 中，∠A ＝2π3，
∴a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos 2π
3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .
∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0， ∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，∴b
c ＝1. 答案：1
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2＝2a 2，则cos A 的最小值为________．
解析：因为b 2
＋c 2
＝2a 2
，则由余弦定理可知a 2
＝2bc cos A ，所以cos A ＝a 22bc ＝1
2
×b 2＋c 22bc ≥12×2bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时等号成立)，即cos A 的最小值为12. 答案：12
8．在△ABC 中，A ＝π
3，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 解析：由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得2332＝4sin B ，解得sin B ＝1，B ＝π
2，所以△ABC
为直角三角形，所以AB ＝AC 2－BC 2＝2，所以S △ABC ＝12AB ·BC ＝1
2×2×23＝2 3. 答案：2 3
9．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.
(1)求cos A 的值；
(2)若△ABC 的面积为453，求△ABC 外接圆半径R 的大小． 解析：因为a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以可设a ＝7k ，b ＝5k ， c ＝3k (k ＞0)．
(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(5k )2＋(3k )2－(7k )22·5k ·3k ＝－
1
2. (2)由(1)知cos A ＝－1
2，因为0＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝
32
. 又△ABC 的面积为453，所以1
2bc sin A ＝453，
即12×5k ×3k ×3
2＝453，解得k ＝23或k ＝－23(舍去)． 由正弦定理得a sin A ＝2R ，得2R ＝7k sin A ＝143
32
＝28，即R ＝14.
10．(2017·武汉武昌区调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C . (1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值． 解析：(1)在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )． 由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ， ∴－sin 2B －(cos A cos C －sin A sin C )＝－cos A cos C ， 化简，得sin 2B ＝sin A sin C .
由正弦定理，得b 2＝ac ，∴a ，b ，c 成等比数列． (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.
则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，
当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0＜B ＜π，∴sin B ＝1－cos 2B ≤
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
122＝32.
∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×3
2＝ 3. ∴△ABC 的面积的最大值为 3.
B 组 能力提速练
1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( ) A.π6 B ．π4 C.π3
D ．π2
解析：易知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋22－(7)22×3×2＝12，又A ∈()0，π，∴A ＝π
3，故
选C. 答案：C
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 的大小为( ) A.π6或5π6 B ．π3或2π2 C.π6
D ．2π3
解析：由题意知，a 2＋b 2－c 22ab ＝12tan C ⇒cos C ＝cos C 2sin C ，sin C ＝1
2，又C ∈(0，π)，∴C ＝π6或5π
6，故选A. 答案：A
3．(2017·南京模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( ) A ．150° B ．120° C ．60°
D ．30°
解析：法一：∵sin C ＝23sin B ，∴由正弦定理得， c ＝23b .又a 2－b 2＝ 3 bc ，
∴由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－3bc 2bc ＝32，∴A ＝30°
.选D.
法二：由a 2－b 2＝3bc ，得sin 2A －sin 2B ＝3sin B sin C ， ∵sin C ＝23sin B ，∴sin A ＝7sin B ，∴c ＝23b ，a ＝7b ， 由余弦定理得cos A ＝12b 2＋b 2－7b 22×23b ×b ＝3
2，∴A ＝30°，选D.
答案：D
4．(2016·高考四川卷)在△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A
a ＋cos B
b ＝sin C
c .
(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝6
5bc ，求tan
B ．
解析：(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝k (k ＞0)． 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C
c 中，有 cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C
k sin C ，变形可得
sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )． 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C .
(2)由已知，b 2
＋c 2
－a 2
＝6
5bc ，根据余弦定理，有cos A ＝
b 2＋
c 2－a 22bc ＝35，
所以sin A ＝1－cos 2A ＝4
5.
由(1)，知sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B
cos B ＝4. 5．(2016·高考北京卷)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求∠B 的大小；
(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 解析：(1)由余弦定理及题设得，
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝2
2. 又因为0＜∠B ＜π，所以∠B ＝π4. (2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π
4.
2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
3π4－A
＝2cos A －22cos A ＋2
2sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A －π4.
因为0＜∠A ＜3π
4， 所以当∠A ＝π
4时，
2cos A ＋cos C 取得最大值1.。