有限单元法课后习题全部答案_王勖成

∫
∂ 2φ ∂ 2φ ∂φ ∂φ k − ∫ k 2 + k 2 + Q δφ d Ω + ∫ δφ d Ω − ∫ αφ − q − k δφ d Γ Ω Γ − Γ Γ q q ∂y ∂n ∂n ∂x
欧拉方程： k
∂ 2φ ∂ 2φ + +Q = k 0 ∂x 2 ∂y 2
习题 1.2： 在用有限元法求解时，边界条件总是满足的，控制方程的不完全匹配，会产生误差。题中所 ，代入边 给出的近似函数： φ =a0 + a1 x + a2 x + a3 x ，应该满足边界条件，对于情况（1）
2 3
界条件可得 = a0 0, = a3
1 − a1 L − a2 L2 ，从而 L3 x3 x3 x3 2 ) + a ( x − ) + 2 L2 L L3
∫
= =
∑{ A
m k =1 m
T
( N j ( xk )) [ A( N i ( xk )ai ) − f ( xk )]
m
}
( N j )A( N i )ai − ∑ AT ( N j ) f = k 1= k 1
T
∑A
= Ka-P
(写成矩阵形式)
因此， kij =
d 2 w dw d 3 w 0 dx 2 δ dx − dx3 δ w = 0
L
1.5 如有一问题的泛函为 = Π ( w)
∫
L
0
EI d 2 w 2 kw2 + qwdx ，其中 E, I, k 是常数，q 2 + 2 dx 2
∫
L
0
∂Π kaL5 qL3 5qL2 = 4 EILa + − = 0 → a= − ∂a 30 6 120 EI + kl 4 5qL2 w= x( L − x) − 120 EI + kl 5
精确解 w( ) =
5qL4 L 当 x = ， wmax = − 2 480 EI + 4kL4
L 2
5qL4 ？？？， 应该是三角级数更接近精确解。 因为是最小位能原理建立的 384 EI
泛函，因此近似解比精确解要偏小。因此只要比较三角函数和幂函数的结果，就可以知道哪 个更精确了。另外，取不同的阶数，逼近速度不同，三角函数更快。 （注意：只要满足强制边界就可以，怎么判断是强制还是自然？）
习题 1.7
在选择近似函数时， 已经事先满足的边界条件为强制边界条件。 而自然边界条件则是在将等 效形式化为弱形式时包含在边界积分场上的边界条件。 对于 2m 阶微分算子，含 0 到 m-1 阶导数的边界条件称为强制边界条件，近似函数应该事先 满足。含 m 到 2m-1 阶导数的边界条件称为自然边界条件，近似函数不必事先满足。对于给 定的微分方程，判断其阶次，再依据边界所含导数阶数可区分两类边界。 思考题 1.8 泛函在什么条件下有极值？了解泛函是否有极值的意义何在？



余量为： R ( x) = A(u ) − f ( x) = A( N i ( x) ai ) − f ( x)




最小二乘配点法取权函数

∂ wj = A( N i ai )δ ( x − xk ) 其中j=1,...,n; k=1,...,m 且m ≥ n ∂a j
= δΠ ( w)
∫
L
0
d 2w d 2w δ wdx EI 2 δ 2 + kwδ w + q= dx dx
L L
∫
L
0
d 4w EI 4 + kw + q δ wdx dx
d 2 w d (δ w) d 3w + EI 2 − EI 3 δ w dx dx 0 dx 0
（2） 选取满足边界条件的幂级数近似解
= x(L − x)(a1 + a2 x + ....) 取一次 w = ax(L − x) w ′ = w dw d 2w ′′ = = aL − 2ax ， w = −2a dx 2 dx
= Π ( w)
EI 2 k 2 2 4a + a x ( x − L) 2 + qax( x − L) dx 2 2 ka 2 L5 qaL3 = 2 EILa 2 + − 60 6
= Π ( w)
∫
L
0
EI d 2 w 2 kw2 + qwdx 2 + 2 dx 2
= （1） 选取满足边界条件 的三角级数近似解 w
∑ a sin
i =1 i
n
iπ x ， L
= a sin w = Π ( w)
πx
L
L
′ ，= w
πx dw aπ πx d 2w aπ 2 ′′ = ，w = − = sin cos 2 2 dx L L dx L L
配点法仅考虑了有限个点的局部特性，子域法则要求在有限个子域 Ωi 内残量的积分
∫
Ωi
R( x)dx = 0 为零，子域的个数仍然取决于未知函数个数，通常选取各子域的并集为整个
待求区域，一般情况可以选择各子域大小相同，但对于某些局部变化较复杂的区域，可以缩 小 子 域 的 大 小 ， 使 得 子 域 分 布 更 合 理 。 例 如 取 子 域 为
δΠ
∂φ ∂δφ ∂φ ∂δφ +k − Qδφ d Ω − ∫ [αφ − q ] δφ d Γ k Ω Γq ∂y ∂y ∂x ∂x ∂ 2φ ∂ 2φ ∂φ − ∫ k 2 + k 2 + Q δφ d Ω + ∫ k δφ d Ω − ∫ [αφ − q ]δφ d Γ Ω Γ Γq ∂y ∂n ∂x
（1）
φ = a1 ( x −
上式中的最后一项
x3 前面没有待定系数，这是由于使用了在 x=L 处φ=1 的强制边界条件。 L3
从物理意义上说，相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将（1） 式代入教材（1.2.26）式，得到残量：
R( x) = a1 (−6
x 6x 6x ) + a2 (2 − ) + 3 + Q( x) 2 L L L
= AT ( N j )A( N i ) k ji ， 系数矩阵对称，且无需积分。 ∑ k =1
m
复习题 1.7 自然边界条件强制边界条件的区别何在?为什么这样命名？对于一个给定的微分方程，如何 区分这两类边界条件？
自然边界条件与强制边界条件，二者都是针对边值条件来说的。边值条件一般有三类边界条件。第一类：狄里克莱(Dirichlet) 条件；第二类，诺依曼(Neumann)条件；第三类，前两者的混合条件，也叫洛平(Robin)条件
d 4w 微分方程： EI + kw + q = 0 dx 4
边界条件： = 2
d 2w dx x =
d 2w d 3w d 3w ， = = 0 = 0 dx 2 x L dx 3 x 0= dx3 x L 0= =
分强制边界和自然边界。 补充题 试作加权余量发的最小二乘配点法，并给出所得到的求解方程系数矩阵的特点分析。 （最小二乘配点法思路是， 利用使求解域内所选各点处误差平方的总和为最少的条件， 去建 立求解试函数系数的方程。配点法是强迫余量误差在所选点上为 0，最小二乘配点法则是余 量在所选点上的误差，满足平方和最小。 ） 解：近似函数为 u ( x) = N i ( x)ai ，不失一般性
Ω = {x | 0 ≤ x ≤ L / 2}, Ω= {x | L / 2 ≤ x ≤ L} ，则利用 = = 1 2 ∫ R( x)dx 0, ∫ R( x)dx 0 ，
Ω1 Ω2
可以求出待定系数 a1 , a2 。 伽辽金法作为加权余量法的特殊形式，权函数选择为插值函数 N1 , N 2 ， 这里 N1 ( x) = x − 2 , N 2 ( x) = x − ，这样，利用
= δΠ 0 且或 δ 2Π >
< 0 ， 泛函极值性对于判断解的近似性质有意义，利用它可以对解的
上下界做出估计。 思考题 1.9 什么是里兹法？通过它建立的求解方法有什么特点？里兹方法收敛性的定义是 什么？收敛条件是什么？ 里兹法： 在某一函数空间寻找试探函数， 利用加权值的独立变分性将该函数的驻值问题转化 为该函数关于权值的极值问题。其特点是：试探函数是全域的，解的精度依赖于试探函数的 选取，其收敛性有明确的结论。 收敛性意义：当在 ∞ 维空间中选取试探函数，当试探函数的数目趋于 ∞ 时，利用里兹法得 到的近视解将收敛于精确解。 收敛条件：1 完备性，2 试探函数满足 Cm −1 连续性 思考题 1.0 里兹法的优缺点？举例说明 优点：理论简单，收敛性有严格的理论基础，得到的求解方程的系数矩阵是对称的，在场函 数事先满足强制边界条件情况下，解具有上下界性质。 缺点： 当求解域的形状很不规则时候， 里兹法所要找的试探函数难以满足全部的强制边界条 件，这样会降低精度。另外，由于其是基于变分原理，对于没有等价泛函的问题无法处理。 习题 1.6 两端简支弹性基础上的梁受均不载荷。
不同的求解方法，如配点法、子域法和伽辽金法，只是残量在某种意义上某个区域加权积分 为零。 配点法强制残量 R(x)在有限个点严格为零，点的个数取决于未知数个数，这里为 2，通常取 所选的点在域内均匀分布，则取 x=L/3 和 x=2L/3 处，R(x)=0,这样得到
L 2L = R( ) 0, = R( ) 0 ，从而可以解出待定系数 a1 , a2 。带入（1）式可以得到 φ 。 3 3
EI a 2π 2 πx k 2 2 πx π x dx sin 2 + a sin + qa sin 2 ∫0 L 2 L L 2 L EIa 2π 4 kLa 2 2 L qa = + + π 4 L3 4
∂Π EI π 4 a kLa 2 Lq 4qL4 = 3 + + = − 0→a= π ∂a 2L 2 EI π 5 + kπ L4 w= − 4qL4 πx 4qL4 L ， 当 ， sin w x = = − max 2 EI π 5 + kπ L4 L EI π 5 + kπ L4
是给定函数，w 是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件.
= δΠ ( w)
∫
L
0
d 2w d 2w EI 2 δ 2 + kwδ w + qδ wdx dx dx
L
∫
L
0
L d 2 w d 2δ w d 2 w d (δ w) d 3 w d (δ w) − EI = dx EI EI dx 2 2 dx 2 dx 0 ∫0 dx 3 dx dx dx L d 2 w d (δ w) d 3w d 4w = EI 2 − EI 3 δ w + ∫ EI 4 δ wdx 0 dx dx 0 dx dx 0 L L
加权余量要求
∫
Ω
w j Rd Ω =0
= j Rd Ω ∫Ω w
∂ T A ( N i ( x)ai )δ ( x − xk ) [ A( N i ( x)ai ) − f ( x)]d Ω Ω ∂a j = ∫ AT ( N j ( x))δ ( x − xk ) [ A( N i ( x)ai ) − f ( x)]d Ω Ω
2
x3 L
Hale Waihona Puke x3 L∫Ω
N i ( x) R ( x)dx = 0, = i 1, 2 可以求出待
定系数 a1 , a2 。 对于其余边界条件情况可依此类推。
练习题 1.4，注意近似函数要满足边界条件，从而可知截面及坐标系如图所示：
，很多同学把积分区域弄错了，也有不少同学计 算错误。这里，由于边界为零，采用泛函及其弱形式得到的积分结果是相同的。最终计算得 到：a1=4608/(13π4), a2=-512/(15π4), a3=-1536/(85π4)。 练习题 1.5，泛函的欧拉方程基本没太多问题，泛函为零得到边界条件：
Γφ 自然边界： αφ − q − k Γ − Γ q 强制边界： k