初中数学竞赛专题复习 第三篇 初等数论 第21章 不定方

第21章 不定方程
§21.1 二元一次不定方程
21.1.1★求不定方程2x y -=的正整数解．
解析 因为312-=，422-=，532-=，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是
2,,
x n y n =+⎧⎨=⎩ 其中n 可以取一切正整数．
21.1.2★求11157x y +=的整数解．
解析1 将方程变形得
71511y
x -=．
因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得02x =，01y =-是这个方程的一组整数解，
所以方程的解为
215,
111,x t y t =-⎧⎨=-+⎩t 为整数．
解析2 先考察11151x y +=，通过观察易得
()()1141531⨯-+⨯=，
所以
()()114715377⨯-⨯+⨯⨯=，
可取028x =-，0 21y =．从而
2815,
2111,x t y t =--⎧⎨=+⎩t 为整数．
评注 如果a 、b 是互质的整数，c 是整数，且方程
ax by c += ①
有一组整数解0x 、0y ．则此方程的一切整数解可以表示为
00,
,
x x bt y y at =-⎧⎨=+⎩
其中0t =，±1，±2，±3，…．
21.1.3★求方程62290x y +=的非负整数解．
解析 因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得
31145x y +=． ①
由观察知，14x =，11y =-是方程
3111x y += ②
的一组整数解，从而方程①的一组整数解为
()00
454180,45145,x y =⨯=⎧⎪⎨=⨯-=-⎪⎩ 所以方程①的一切整数解为
18011,453.x t y t =-⎧⎨=-+⎩
因为要求的原方程的非负整数解，所以必有
180110,4530.t t -⎧⎨-+⎩
≥③≥④ 由于t 是整数，由③、④得15≤t ≤16，所以只有t =15，t =16两种可能．
当t =15时，x =15，0y =；当t =16时，x =4，y = 3．所以原方程的非负整数解是
15,0,x y =⎧⎨=⎩4,3.x y =⎧⎨=⎩
21.1.4★求方程719213x y +=的所有正整数解．
解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小，最后再用观察法求解．
用方程
719213x y +=①
的最小系数7除方程①的各项，并移项得
213193530277y y x y --=
=-+．② 因为x 、y 是整数，故357
y u -=也是整数，于是有573y u +=．再用5除此式的两边得 373255u u y u --=
=-+．③ 令325
u v -= (整数)，由此得 253u v +=．④
由观察知1u =-，1v =是方程④的一组解．将1u =-代入③得2y =．2y =代入②得x =25．于 是方程①有一组解025x =，02y =，所以它的一切解为
2519,27.x t y t =-⎧⎨=+⎩
0,1,2,t =±±L 由于要求方程的正整数解，所以
25190,270.t t ->⎧⎨+>⎩
解不等式，得t 只能取0，1．因此得原方程的正整数解为
25,2,x y =⎧⎨=⎩6,9.x y =⎧⎨=⎩
21.1.5★求方程3710725x y +=的整数解．
解析 因为10723733=⨯+，371334=⨯+，33841=⨯+．
为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得
1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4
=37-9×(37-33)=9×33-8×37
=9×(107-2×37)-8×37=9×107-26×37
=37×(-26)+107×9,
由此可知126x =-，19y =是方程371071x y +=的一组整数解．于是
()02526650x =⨯-=-,0259225y =⨯=
是方程3710725x y +=的一组整数解．所以原方程的一切整数解为
650107,
22537,x t y t =--⎧⎨=+⎩t 是整数．
21.1.6★求方程92451000x y z +-=的整数解．
解析 设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．原方程可化为
38,351000.x y t t z +=⎧⎨-=⎩①
②
用前面的方法可以求得①的解为
38,
3,x t u y t u =-⎧⎨=-+⎩u 是整数．
②的解为
20005,
10003,t v z v =+⎧⎨=+⎩v 是整数．
消去t ，得
6000815,
200035,10003,
x u v y u v z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩,u v 是整数．
21.1.7★求方程23723x y z ++=的整数解．
解析 设23x y t +=，则
23,723.x y t t z +=⎧⎨+=⎩①
②
对于①，0x t =-，0y t =是一组特解，从而①的整数解为
3,
2,x t u y t u =--⎧⎨=+⎩u 是整数．
又02t =，03z =是方程②的一组特解，于是②的整数解为
3,27,z v t v =-⎧⎨=+⎩
v 是整数． 所以，原方程的整数解为
273,272,3.x v u y v u z v =---⎧⎪=++⎨⎪=-⎩
u 、v 是整数．
21.1.8★求方程组57952,35736x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
的正整数解． 解析 消去z ，得 210z y +=． ①．
易知04x =，02y =是它的一组特解，从而①的整数解为
4,22,x t y t =-⎧⎨=+⎩
t 是整数． 代入原方程组，得所有整数解为
4,22,2.x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩
t 是整数．
由0x >，0y >，0z >得
12t -<<，
所以t =0，1，故原方程组的正整数解为
4,2,
2;x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩3,4,1.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
21.1.9★求方程351306x y +=的正整数解的组数．
解析 因为130651435233
y y x y -+=
=-+，所以0x =437，01y =-是一组特解．于是方程的整数 解为
4375,13.x t y t =-⎧⎨=-+⎩
t 是整数． 由43750,130.t t ->⎧⎨-+>⎩ 得143735
t <<. 所以t =1，2，…，87．故原不定方程有87组正整数解．
21.1.10★★某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法? 解析 设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是
75142x y +=．①
所以
1427222855
x x y x --==--． 由于7x ≤142，所以x ≤20，并且由上式知()5|21x -．因为(5，2)=1，所以5|1x -，从而 x =1，6，11，16．①的非负整数解为
1,6,11,16,27;20;13; 6.x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩
所以，共有4种不同的支付方式．
评注 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．
21.1.11★★今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只，用100个钱买100只鸡，问公 鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?
解析 设公鸡、母鸡、小鸡各买x 、y 、z 只，由题意列方程组
153100,3100.x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩
①② ①化简得159300x y z ++=.③
③-②得148200,x y +=
即74100.x y +=
解741x y +=得1,2.x y =-⎧⎨=⎩于是74100x y +=的一个特解为00
100,200.x y =-⎧⎨=⎩所以74100x y +=的所有整 数解为
1004,2007,x t y t =-+⎧⎨=-⎩
t 是整数． 由题意知，0x <，y ，100z <，所以，
01004100,02007100.t t <-+<⎧⎨<-<⎩
解得2550,241428.7
7t t <<⎧⎪⎨<<⎪⎩ 故425287
t <<. 由于t 是整数，故t 只能取26，27，28，而且x 、y 、z 还应满足
100x y z ++=．
所以
即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只
公鸡，4只母鸡，84只小鸡．
21.1.12★★小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套lO 次共得61分，问：小鸡至少被套中几次?
解析 设套中小鸡x 次，套中小猴y 次，套中小狗z 次，则根据题意得
95261,10.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
①② 我们要求这个方程组的正整数解．
消去z ：从①中减去②×2得7341x y +=，于是
4173
x y -=．③ 由③可以看出417x <
．从而x 的值只能是1，2，3，4，5．将③写成 21323
x y x -=-+
， 由于y 是整数，所以2x -必须是3的倍数．从而只有2、5两个值满足这一要求．
但2x =时，9y =，1z =-不是正整数．在5x =时，2y =，3z =是本题的解． 因此小鸡被套中5次．
评注 本题问“小鸡至少被套中几次?”实际上却只有一个解，“至少”两字可以省去．
21.1.13★★今有浓度为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?
解析 设甲、乙、丙盐水分别各取x 克、y 克、z 克，配成浓度为7％的盐水100克，依题意有 100,589700.x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
其中060x ≤≤，0≤y ≤60，0≤z ≤47．
解方程组可得
2004,3100.y x z x =-⎧⎨=-⎩
由0200460,0310047.x x -⎧⎨-⎩
≤≤≤≤ 得3549x ≤≤．
又35x =，60y =，5z =和49x =，4y =，47z =均满足题设，故甲种盐水最少可用35克，最 多可用49克．
§21.2 勾股数
21.2.1★★★满足方程222x y z +=的一切基本勾股数x 、y 、z （y 为偶数)，都可表示为以下形式：
22x p q =-，2y pq =，22z p q =+，①
其中p 、q 为正整数，(p ，q )=1，p q >，p 、q 一奇一偶．
解析 设正整数p 、q 满足(p ，q )=1，p q >，p 、q 一奇一偶，则
()()22
22222x y p q pq +=-+
42242224p p q q p q =-++
()2
222p q z =+=． 所以一切形如①的正整数x 、y 、z 都是方程222x y z +=的解．下面证明这样的x 、y 、z 是基本勾股 数．
设(),,x y z d =，由于p 、q 一奇一偶，所以22p q -是奇数，由22|d x p q =-，于是d 是奇数．又由22|d p q +，得()()
2222|d p q p q ++-，即2|2d p ，同理2|2d q ．因为d 是奇数，所以2|d p ，2|d q ，于是()22|,d p q ．由(),1p q =得()22,1p q =，所以1d =．这就证明了由①确定的x 、y 、z 是一组基本 勾股数．
反过来，设x 、y 、z 是一组基本勾股数，且y 是偶数，x 和z 都是奇数，则
2z x -和2
z x +都是整数． 设,22z x z x d -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则存在正整数a 和b ，使 2z x da -=，2z x db +=，(),1a b =， 于是()z d b a =+，()x d b a =-．
由于(),1z x =，所以1d =，即
,12
2z x z x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭． 由222x y z +=得
2
222y z x z x +-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭． 这就可推出上式中右面两个因式都是平方数．设
22z x p +=，22
z x q -=， 这里0p q >>．(,)1p q =，于是可得
2222,2,x p q y pq z p q =-==+．
由于z 是奇数，所以p 、q 一奇一偶．这就证明了方程222x y z +=的任意一组解x 、y 、z (y 为偶数) 都可由①表示．
评注 如果正整数x 、y 、z 满足方程222x y z +=，那么就称x 、y 、z 是一组勾股数．边长为正整数的直角三角形就称为勾股三角形．
在勾股数x 、y 、z 中，如果这三个数的最大公约数是1，那么这样的勾股数就称为基本勾股数．如果 （x ，y ，z ）=1d >，那么设
x dx =′，y dy =′，z dz =′，
则有（x ′，y ′，z ′）=1，并且由222x y z +=得
222222d x d y d z '+'='，
两边除以2d ，得222x y z '+'='．所以我们只需研究基本勾股数．在基本勾股数x 、y 、z 中，x 和y 必定一奇一偶．这一点可以用反证法证明：假定x 和y 的奇偶性相同，那么有两种可能的情况：①x 和y 同奇，②x 和y 同偶．如果x 和y 同奇，由于奇数的平方是4的倍数加1，所以22x y +是4的倍数加2，于是2z 是偶数，z 也是偶数，而偶数的平方是4的倍数，这与4的倍数加2矛盾，所以x 和y 不能都是奇数．如果x 和y 都是偶数，那么z 也是偶数，这与x 、y 、z 是基本勾股数矛盾，所以x 和y 中一奇一偶．由此也可推出z 是奇数．
21.2.2★设x 、y 、z 是勾股数，x 是质数，求证：21z -和()21x y ++都是完全平方数．
解析 ()()222x z y z y z y =-=+-．因为x 是质数，所以2x 只有1、x 、2x 三个正约数．由于0z y z y +>->，所以有
2,1.z y x z y ⎧+=⎨-=⎩
由此得221z x -=，
()21222x y x y ++=++
()2
22121x x x =+-+=+， 所以21z -和2(1)x y ++都是完全平方数．
21.2.3★求证：222n n +、21n +、2221n n ++(n 是正整数)是一组勾股数．
解析 因为n 是正整数，2222122n n n n ++>+，222121n n n ++>+．由
()()22
22221n n n +++ ()22222441n n n n =++++
()()2
22222221n n n n =++++ ()2
2221n n =++, 所以222n n +、21n +、2221n n ++是一组勾股数．
21.2.4★若勾股数组中，弦与股的差为1，则勾股数组的形式为21n +、222n n +、2221n n ++，其中n
为正整数．
解析 设弦长为c ，股长为1c -，勾为x ．
因为（c ，1c -）=1，所以x 、1c -、c 为一组基本勾股数．又c 为奇数，1c -为偶数，则x 为奇数． 设21x n =+，则()()22
2211n c c ++-=，得2221c n n =++，2122c n n -=+．
所以，勾股数组具有形式21n +、222n n +、2221n n ++．
21.2.5★★求证：勾股三角形的直角边的长能取任何大于2的正整数．
解析 当n 是大于1的奇数时，212n -和212
n +都是正整数，并且 22
2221122n n n ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 当n 是大于2的偶数时，214n -和2
14
n +都是正整数，并且 22
2221144n n n ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
由以上两式可以看出，勾股三角形的一直角边n 可取大于2的任何正整数．
21.2.6★★求证：在勾股三角形中，
(1)必有一条直角边的长是3的倍数；
(2)必有一条直角边的长是4的倍数；
(3)必有一条边的长是5的倍数．
解析 设该勾股三角形的三边的长分别为a 、b 、c （c 是斜边)，则222a b c +=．只要证明a 、b 、c 是基本勾股数时的情况．不失一般性，设b 为偶数，则
22a p q =-，2b pq =，22c p q =+， 其中p 、q 满足上述定理中的条件．
(1)若p 、q 中至少有一个是3的倍数，则b 是3的倍数；若p 、q 都不是3的倍数，设
31p k =±，31q l =±，
则
()()22
223131a p q k l =-=±-± ()22996k l k l =+±±
是3的倍数．
(2)由于p 、q 一奇一偶，所以2b pq =是4的倍数．
(3)若a 、b 都不是5的倍数，则2a 的末位数是1或9；2b 的末位数字是4或6．
1+4=5，1+6=7，9+4=13，9+6=15，由于一个完全平方数的末位数不可能是7和3，所以
222c a b =+的末位数只可能是5．于是c 的末位数是5．
评注 由此可推出，勾股三角形的面积必是6的倍数；三边之积必是60的倍数．
21.2.7★★求基本勾股数组，其中一个数是16．
解析 设勾股数组x 、y 、z ，其中x =16．
x =16=2×4×2=2×8×1，
若4m =，2n =，有(,m n )-2≠1，从而只有8m =，1n =，(,)1m n =，且m 和n 为一奇一偶．于是 22228163y m n =-=-=，
22228165z m n =+=+=．
从而，只有一组基本勾股数16、63、65．
评注 若不要求基本勾股数，则x =16=2×4×2，设4m =，2n =，得
2212y m n =-=，2220z m n =+=．
即16、12、20为一组勾股数．
又22164322x ==⨯⨯，设232m =，22n =，得
2230y m n =-=，2234z m n =+=．
即16、30、34为一组勾股数．
21.2.8★★设p 、m 、n 为一组勾股数，其中p 为奇质数，且n >p ，n >m ．求证：21n -必为完全平方数．
解析 因为p 、m 、n 为一组勾股数，n p >，n m >，则有222n m p =+．
()()222m n p n p n p =-=+-，m n p >-．
设()1m n r r p =-<≤，则有
()()2
22222p n m n n r r n r =-=--=-． 因为1r p <≤，p 为奇质数，则1r =(否则，若1r p <<，则|r 2p ，矛盾)．
由1r =，得221p n =-，从而21n -是完全平方数．
21.2.9★★直角三角形的三边的长都是正整数，其中有一条直角边的长是35，它的周长的最大值和 最小值分别是多少?
解析 设直角三角形的三边长分别是35，b ，c ，则
22235b c +=，
即()()1225c b c b +-=．
1225的大于35的正约数可作为c b +，其中最大的是1225，最小的是49，所以，直角三角形的周长的 最大值是
35+1225=1260，
最小值是
35+49=84．
21.2.10★★设n 为大于2的正整数．证明：存在一个边长都是整数的直角三角形，它的一条直角边长 恰为n ．
解析 只需证明不定方程222x n z +=，有正整数解．
利用()()2z x z x n -+=，结合z x -与z x +具有相同的奇偶性，故当n 为奇数时，由（z x -，z x +）=（1，2n ），可得不定方程的一组正整数解
（x ，z ）=2211,22n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
； 而当n 为偶数时，由条件，知n ≥4．利用
（z x -，z x +）=22,2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 可得不定方程的一组正整数解
（x ，z ）=2244,44n n ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
． 综上，可知命题成立。

21.2.11★★如果正整数a 、b 、c 满足222c a b =+．
证明：数2c ab +和2c ab -都可以表示为两个正整数的平方和．
解析 先证下述命题：如果正整数x 可表示为两个正整数的平方和，则2x 也可表示为两个整数的平 方和．
设22x u v =+，这里x 、u 、v 都是正整数，且u v ≠．则()()2
2
22222x u v u v u v =+=++-．于是，2x 可表为两个整数u v +和u v -的平方和，命题获证． 注意到，由条件有
()()2
2222222c ab c a ab b c a b ±=+±+=+±．
利用已证命题，可知
()()()2
2
24c ab c a b c a b ±=+±+-m ．
记c a b x +±=，c a b y -=m ，由222c a b =+可知x 、y 都是正整数，并且()
2224c ab x y ±=+． 若x 、y 不同为偶数，则由平方数0≡或()1mod 4，可知221x y +≡或()2mod 4，这是一个矛盾．所以，x 、y 都是偶数，从而2
2
2
22x y c ab ⎛⎫⎛⎫
±=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，这就是要证的结论．
评注 这里本质上只是恒等式()
()()22
222u v u v u v +=++-的应用，在处理竞赛问题时，代数式变形能 力显得十分重要．
21.2.12★★★矩形ABCD 中，AB x =，AD y =，且m x p =，n y q =，其中p 、q 都是质数，m 和n 是正整数，x y >，AC 为奇数，求AB 和AD 的长．
解析 由勾股定理，得222AB AD AC +=．设AC z =，则222x y z +=． 因为z 为奇数，所以x 和y 必一奇一偶．
若x 为偶数，设2x ab =，22y a b =-，22z a b =+．
又m x p =为偶数，p 为质数，则2p =，于是22m x ab ==．从而 1222m ab αβ-==．
设2a α=，2b β=，1m αβ+=-．则 ()()22y a b a b a b =-=+-
()()2222αβαβ=+-．
因为y 是奇数，则必有21β=，从而0β=，此时
()()2121n y q αα=+-=．
又2121αα+≠-，则21t q α+=，21q α-=，t s >．于是
()221t s s t s q q q q α-⋅=+=+．
因为q 为奇数，则1s q =，0.211s s q α=-==，得1α=．从而 22a α==，21b β==，
24x ab ==，223y a b =-=．
若y 为偶数，同样解得4y =，3x =，不符合x y >，所以舍去． 从而 4AB =，3AD =．
21.2.13★★★求方程2222x y z +=的满足条件x y >，（x ，y ，z ）=1的一切正整数解．
解析 显然x 和y 同奇同偶．假定x 和y 都是偶数，那么22z 上是4的倍数，2z 是偶数，z 是偶数，这与(x ，y ，z )=1矛盾，所以x 和y 都是奇数，x y +和x y -都是偶数．设 2,
2,x y u x y v +=⎧⎨
-=⎩
其中u 、v 为正整数，则 ,
.x u v y u v =+⎧⎨
=-⎩
由x 和y 都是奇数可知，u 、v 一奇一偶．下面证明（u ，v ）=1．设（x ，y ）=d ，则d 为奇数，且存在整数x ′和y ′，使
x dx =′，y dy =′，（x ′，y ′）=1， 于是
222x y d +=()
2222x y z '+'=．
由于（2d ，2）=1，所以22|d z ，|d z ，由于（x ，y ，z ）=1，所以1d =．由此得（u v +，u v -）=1．于是
（u v +，2u ）=1．
由于x u v =+是奇数，所以
（u ，v ）=（u v +，u ）=（u v +，2u ）=1． 把x u v =+，y u v =-代入原方程得
()
()2
2
22u v u v z ++-=，
即222u v z +=．由于（u ，v ）=1，所以u 、v 、z 是一组基本勾股数． 所以，当u 为奇数时，
2222,2,
,u p q v pq z p q ⎧=-⎪
=⎨⎪=+⎩ 2222
22,2,.
n x p q pq y p q pq z p q ⎧=-+⎪=--⎨⎪=+⎩ 当u 为偶数时， 2222
222,2,.
x p q pq y pq p q z p q ⎧=-+⎪=-+⎨⎪=+⎩ 由于u v >，所以 2222
222,2,,
x p pq q y p pq q z p q ⎧=+-⎪⎪=--⎨⎪=+⎪⎩ 这里(p ,q )=1，p q >，p 、q 一奇一偶．
21.2.14★★★★求证方程424x y z +=没有正整数解．
解析 假定方程424x y z +=有正整数解，设在所有正整数解中z 最小的解是(0x ，0y ，0z )． 假定0z 是偶数，则0x 和0y 皆奇或皆偶．
若0x ，0y 皆奇，则42
00x y +是4的倍数+2，不是完全平方数，更不是完全四次方数，这与424000x y z +=矛
盾．
若0x ，0y 皆偶，设
012x x =，012y y =，012z z =，
则
()
()()4
24
111222x y z -=，
于是
42411144x y z +=，
可见1y 是偶数，设112y y ='，则
42
4111x y z +'=，
所以（1x ，1y '，1z ）也是方程424x y z +=的一组解，且10z z <，这与0z 最小矛盾． 由上述讨论可知，0z 是奇数，此时0x 和0y 一奇一偶．
若0x 为奇数，由题21.2.1得
222002220,2,
,
x p q y pq z p q ⎧=-⎪
=⎨⎪=+⎩ 这里(p ,q )=1，0p q >>，p 、q 一奇一偶，于是
224400x z p q =-，
()2
4400q x z p +=．
所以（q ，00x z ，p ）是方程424x y z +=的一组正整数解，但是0p z <，这与0z 最小矛盾． 若0y 为奇数，由题21.2.1得，
2022
022202,,,
x pq y p q z p q ⎧=⎪=-⎨⎪=+⎩ 这里（p ，q ）=1，0p q >>，p 、q 一奇一偶．
若p 为奇数，因(p ，q )=1，由2
0x 2pq =，可设
2p r =，22q s =，（r ，s ）=1，
由于2
220
z p q =+，由21.2.1得 22p a b =-，2q ab =，220z a b =+，
这里(a ，b )=1，0a b >>，a 、b 一奇一偶，且
222
2
,
.r a b s ab ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
由于(a ,b )=1，所以可设2a u =，2b v =，于是244r u v =-，即424v r u +=．显然，(v ，r ，u )是方程
424x y z +=的一组正整数解，但是u z <，这与z 最小矛盾．
若p 为偶数，同样可推出类似的结果． 综上所述，方程424x y z +=没有正整数解．
§21.3 其他不定方程
21.3.1★求方程323652x x x y y ++=-+的整数解(x ，y )的个数． 解析 原方程可化为
()()()2123x x x x x ++++
()()112y y y =-++，
因为三个连续整数的乘积是3的倍数，于是，上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．
21.3.2★将150写成至少2个连续正整数的和，共有多少种不同的方式? 解析 设()()1501a a a k =+++++L ，其中a 、k 都是正整数，于是
()()2221300235a k k ++==⋅⋅．
因为()()21221a k k a k +++=++是奇数，所以2a k +与1k +为一奇一偶，且21a k k +>+>1，所以2213,225
,k a k +=⎧⎨+=⋅⎩215,2235,
k a k +=⎧⎨
+=⋅⋅⎩2
135,225,
k a k +=⋅⎧⎨+=⋅⎩2212,235
,k a k ⎧+=⎪⎨+=⋅⎪⎩22
123,25,k a k ⎧+=⋅⎪
⎨+=⎪⎩
解得(a ，k )=(49，2)，(28，4)，(3，14)，(36，3)，(7，11)．
所以，共有5种不同的方式．
21.3.3★★求满足0x y <<
的不同整数对（x ，y ）的对数． 解析 因为22000205=⨯
= 即
由此可知，x 必具有25t ，y 必具有25k 形式，并且20t k +=(t ，k 均为正整数)． 又0x y <<，所以t k <．
当1t =，19k =时，得(5，1805)； 当2t =，18k =时，得(20，1620)； 当9t =，11k =时，得(405，605)． 因此，不同整数对的个数为9． 21.3.4★★不定方程
()22223x y z w x y z w +++=+++
的正整数解(x ，y ，z ，w )有多少组? 解析 原方程可以化为
()()()()2
2
2
2323232336x y z w 2
-+-+-+-=，
而36表示成四个奇数的平方和只有如下两种方式： 36=1+1+9+25，36=9+9+9+9，
所以，方程的正整数解(x ，y ，z ，w )为
(1，1，3，4)、(2，2，3，4)、(1，2，3，4)、(3，3，3，3) 以及它们的排列，故共有12+12+24+1=49组．
21.3.5★★求关于x 、y 的方程()22208x y x y +=-的所有正整数解．
解析 因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x 、y 都是偶数．
设2x a =，2y b =，则()2104a b a b 2+=-，同上可知，a 、b 都是偶数．设2a c =，2b d =，则()2252c d c d +=-，所以，c 、d 都是偶数．设2c s =，2d t =，则()226s t s t 2+=-，于是
()
()2
21313213s t 2
-++=⨯，
其中s 、t 都是偶数．所以
()
()2
21321313s t 2
-=⨯-+2222131511⨯-<≤．
所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而()2
13t +为337，329，313，289，257，故只能是()2
13t +=289，从而137s -=．于是6,
4,s t =⎧⎨
=⎩20,
4.s t =⎧⎨
=⎩
因此，48,
32,
x y =⎧⎨
=⎩160,
32.x y =⎧⎨
=⎩
21.3.6★★已知p 、q 均为正整数，且p q >，
()()240p
p q p q p q q
++⋅+-+
=， 求pq 的最大值．
解析 原式化为2240p
p pq q
++=，因为p 、q 均为正整数，且p q >，所以p q 是正整数．
设
p k q
=(k 是正整数)，则p qk =，有22240qk q k k ++=，所以()2
1240k q +=．而 22240602154=⨯=⨯， 所以
60,1;k q =⎧⎨
=⎩或15,
3.k q =⎧⎨=⎩
于是
60,1;p q =⎧⎨
=⎩或45,
3.p q =⎧⎨=⎩
所以pq 的最大值是45×3=135．
21.3.7★★设x 、y 、z 为整数，且3x y z ++=，3333x y z ++=，求222x y z ++的值． 解析 不妨设x y z ≥≥，将3z x y =--代入3333x y z ++=得到 ()8
39xy x y x y
=+-+
+． 因为x 、y 都是整数，所以 1,2,
x y xy +=⎧⎨
=⎩4,5,
x y xy +=⎧⎨
=⎩2,1,
x y xy +=⎧⎨
=⎩8,
16,x y xy +=⎧⎨
=⎩
前两个方程组无解，后两个方程组解得1x y z ===；4x y ==，5z =-．所以2223x y z ++=或57． 21.3.8★★已知正整数m 、n 满足
n +=，
求n 的最大值．
解析 设70a m =-n , 所以
22a n +=,
于是22104a -是完全平方数，令222104a b -=(b 是正整数)，则
()()2104a b a b -+=,
由于a b -和a b +同奇偶，即为偶数，所以a b +的最大值为52×104．故2n 的最大值为()22104a b +=， n 的最大值为104，此时2775m =．
21.3.9★★已知三个两两互质的正整数x 、y 、z 满足方程组
333222
3,7,x y xyz z x y z ⎧++=⎪
⎨+=⎪⎩
求222x y z ++的值．
解析 由3333x y xyz z ++=，得 ()()3
3330x y z xy z ++---=,
所以
()()2220x y z x y z xy yz zx +-++-++=．
因为
()()()222
222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=-++++>⎣
⎦,所以
0x y z +-=,即z x y =+．
所以
()()()22272y z x z x z x y x y =-=-+=+，
故72y x y =+，于是3x y =，4z y =．
由于1=（x ，y ）=（3y ，y ）=y ，所以，3x =，1y =，4z =，于是22226x y z ++=．
21.3.10★★设a 、b 、c 、d 都是质数，且a >3b >6c >12d ，22221749a b c d -+-=．求2222a b c d +++ 的所有可能值．
解析 由22221749a b c d -+-=为奇数，可知a 、b 、c 、d 不全为奇数，只能是d 为偶数，即2d =．于是，2221753a b c -+=．再由条件，31a b +≥，知
222861a b b b -++≥，
又21b c +≥，故
()()2
222228216211334415a b c c c c c c -++++++=++≥，
即有233441738c c +≤．结合215c d +=≥，可知21738220
33
c -≤
，故246c ≤，进而7c <，综合5c ≥， 得5c =．进而()()2263175325172823a b a b a b -+=-=-==⨯，利用a b +与a b -具有相同的奇偶性及()(),,2a b a b a b a +-=+=2 (因为a ，b 为质数)，可知只能是()(),32,54a b a b -+=，故（a ，b ） (43，11)．所以
222217492a b c d +++=+()
221999b d +=．
21.3.11★★设n 是正整数，记1×2×…×n 为n !(例如1!=1，2!=1×2，5!=1×2×3×4×5)，若存在整数2a 、3a 、4a 、5a 、6a 满足 356
2431362!3!4!5!6!
a a a a a =++++, 这里0i a i <≤，i = 2，3，4，5，6．求2222223456a a a a a ++++的值．
解析 在题设等式的两边乘以6！，得
31×20=3×4×5×26a +4×5×36a +5×46a +56a +6a ，
因为31×20除以6余2，所以6a 除以6余2，而0≤6a <6，故6a =2． 2345103345455a a a a =⨯⨯+⨯++，
所以5a 除以5余3，于是53a =． 23420344a a a =⨯++，
所以4a 是4的倍数，于是40a =． 2353a a =+，
所以3a 除以3余2，于是32a =，从而21a =． 所以
22222
23456a a a a a ++++
2222212032=++++ 18=．
21.3.122007
=的正整数解(x ，y )的组数．
解析 2006=，所以
2220072006
220062007
y xy
+-⨯⨯
是有理数，所以y n ，
所以x m ，于是
2006
2007m n
+
=， 而2006=2×17×59，即2006共有(1+1)(1+1)(1+1)=8个不同的正因数，所以，(m ，n )共有8 组正整数解，(x ，y )也有8组正整数解． 21.3.13★★求满足方程()222x y x y xy +=++的所有正整数x 、y ． 解析1 原方程可以变形为 ()22220x y x y y -++-=．
这个关于x 的整系数一元二次方程有整数根，所以它的判别式是完全平方数，即
()()2
222423124y y y y y ∆=+--=-++
()2
1632y =--
是完全平方数．
由于20163(2)16y --≤≤，所以 ()2
16320y --=，1，4，9，16．
解得2y =，4．于是可得2,4,x y =⎧⎨=⎩4,2,x y =⎧⎨=⎩4,
4.
x y =⎧⎨
=⎩ 解析2 原方程可以变形为 ()22220x y x y y -++-=．
因为
()()2
222423124y y y y y ∆=+--=-++
()2
16320y =--≥，
所以
()
2
16
293
y -<≤
， 323y -<-<，15y -<<．
所以y =1，2，3，4．代入原方程可得2,
4,x y =⎧⎨
=⎩4,2,x y =⎧⎨
=⎩4,
4.x y =⎧⎨=⎩
21.3.14★★★求所有的整数数组(a ，b ，c ，x ，y ，z )，使得
1,1,,
.a b c x y z a b c xyz x y z abc ⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
≥≥≥≥≥≥ 解析 如果yz ≥3，并且bc ≥3，那么
33a a b c xyz x ++=≥≥3x y z abc a ++=≥≥．
所以，式中的所有不等号均为等号，这要求a b c ==，x y z ==，3bc =，3yz =，这是不可能的． 从而，2yz ≤或者2bc ≤．不妨设2yz ≤，则()(),1,1y z =或()2,1．
情形1()(),1,1y z =，此时a b c x ++=，2x abc +=，故2abc a b c =+++，可知2a ≥，从而
24a abc a b c a <=+++≤，故14bc <≤，于是()()(),2,1,3,1b c =或()2,2．分别代人可求得
()(),,,,,5,2,1,8,1,1a b c x y z =，()3,3,1,7,1,1或()2,2,2,6,1,1．
情形2：()(),2,1y z =，2a b c x ++=，3x abc +=，即有26abc a b c =+++，同上可知126bc <≤即
3bc ≤，因此，()()(),1,1,2,1b c =或()3,1，对应地，可求得
()(),,,,,8,1,1,5,2,1a b c x y z =或()3,2,1,3,2,1(当()(),3,1b c =)时无解)．
综上，结合对称性，可知()(),,,,,5,2,1,8,1,1a b c x y z =，()8,1,1,5,2,1，
()3,3,1,7,1,1，()7,1,1,3,3,1，()2,2,2,6,1,1，()6,1,1,2,2,2或()
3,2,1,3,2,1共7组解．
21.3.15★★★ 求证：方程，x y z u x y z u +=+没有各不相同的正整数解． 解析 不失一般性，设x y <，z u <，x z <，则y u >，即有x z u y <<<．于是 1x ≥，2z ≥，3u ≥，4y ≥． ()1
1u x y y x y y u ++>+≥
()()11u
u u =+⨯+
2u u u z u u u u z u >=+>+．
所以原方程无各不相同的正整数解．
21.3.16★★★ 求方程354x t -=的正整数解(),s t ； (2)求方程325x t -=的正整数解(),s t ．
解析 (1)由354x t -=知，()()110mod 4s
--≡，故s 为偶数，设2s u =(u 为正整数)．故
()()25343232t u u u =-=-+，
由于32u -与32u +不能都被5整除，故有321u -=，故1u =，2s =，1t =．
(2)在325x t -=两边mod3得，()()11mod3t
--≡-，故t 为偶数，于是()20mod 4t ≡．再在325x t -=两边mod4得，()()11mod 4s -≡，得s 为偶数，设2s u =，2t v =（u 、v 为正整数)，则()()225323232u v u v u v =-=-+，
故321,325,
u v u v ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得1u v ==，故2s t ==． 21.3.17★★★ 求方程2321x y ⋅+=，的正整数解．
解析 当1x =时，27y =，无正整数解．
当2x =时，213y =，无正整数解．
当3x ≥时，y 不是3的倍数，也不是2的倍数，所以可设61y k =±(k 为正整数)，于是
()()2
3216112311x k k k ⨯+=±=±+． 化简后得
()2231x k k -=±．
当1k =时，2231x -=±，求得
3,5;x y =⎧⎨=⎩ 4,7.x y =⎧⎨=⎩
当2k ≥时，由于22x -无大于1的奇约数，所以k 是偶数，但此时31k ±是奇数．
所以原方程只有两组正整数解：
3,5;x y =⎧⎨=⎩ 4,7.x y =⎧⎨=⎩
21.3.18★ 某个团体有48名会员，但是只有一半人有制服．在某次检阅仪式时，他们排成一个6×8的长方阵，恰好可把没有制服的会员隐藏在长方阵的内部．后来又来了一批会员，但总数还是有一半人没有制服，在接下来的检阅仪式，他们排成了一个不同的长方阵，又恰好可把无制服的会员隐藏在长方阵的内部．问：新来的会员有多少人?
解析 设新的方阵是()x y x y ⨯≤的，则外围的会员数为224x y +-，内部的会员数为()()22x y --，由题意
()()22224x y x y --=+-，
整理得，()()448x y --=，
所以
42,44x y -=⎧⎨-=⎩或41,48,x y -=⎧⎨-=⎩
解得6,8,x y =⎧⎨=⎩（舍）或5,12.x y =⎧⎨=⎩
所以，新来的会员数为5124812⨯-=(人)．
21.3.19★★ 某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么，满足上述要求的排法的方案有多少种?
解析 设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，1k +，2k +，
…，()1k n +-，由题意可知
()
11002n n kn -+=，
即()21200n k n +-=⎡⎤⎣⎦．
因为k 、n 都是正整数，且3n ≥，所以()21n k n <+-，且n 与()21k n +-的奇偶性不同．将200分解质因数，可知5n =或8n =．当5n =时，18k =；当8n =时，9k =．共有两种不同方案．
21.3.20★★ 某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有同学多少人．
解析 设原长方形队列有同学8x 人，由已知条件知8120x +和8120x -均为完全平方数．于是可设
228120,8120,x m x n ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩①②
其中m 、n 均为正整数，且m n >．
①－②，得22240m n -=，即
()()4240235m n m n +-==⨯⨯．
由①、②可知，2m 、2n 都是8的倍数，所以m 、n 均能被4整除．于是m n +，m n -均能被4整除．所以
60,4;m n m n +=⎧⎨-=⎩或20,12.m n m n +=⎧⎨-=⎩
解得32,28;m n =⎧⎨=⎩或16,4.m n =⎧⎨=⎩
所以，22812032120904x m =-=-=；或22812016120136x m =-=-=．故原长方形队列有同学136人或904人．
21.3.21★★ 已知某个直角三角形的两条直角边长都是整数，且在数值上该三角形的周长等于其面积的整数倍．问：这样的直角三角形有多少个?
解析 设该直角三角形的两条直角边长为a 、b ，且a b ≤．那么结合勾股定理及条件，可设
2
k a b ab +=，① 其中k 为正整数．
问题转为求①的正整数解的组数．
对①两边乘以2，移项后，两边平方
()()()2
2242a b kab a b +=-+，① 化简整理，得()2480k ab k a b -++=，
因式分解，得()()448ka kb --=．
注意到，ka 、kb 为正整数，且ka kb ≤，故
()()()4,41,8,2,4ka kb --=．
分别可求得()(),,1,5,12k a b =，()1,6,8或()2,3,4．
综上可知，满足条件的直角三角形恰有3个，它们的三边长为()3,4,5，()6,8,10和()5,12,13． 21.3.22★★★ 求出所有的正整数n ，使得关于x 、y 的方程
111x y n
+= 恰有2011组满足x y ≤的正整数解(),x y ．
解析 由题设，
0xy nx ny --=⇒()()2x n y n n --=．
所以，除了2x y n ==外，x n -取2n 的小于n 的正约数，就可得一组满足条件的正整数解(),x y ．故2n 的小于n 的正约数恰好为2010个．
设11n a a k n p p =L ，其中1,,k p p L 是互不相同的素数，1,,k a a L 是非负整数．故2n 的小于n 的正约数
个数为
()()121211
2k a a ++-L ，
故()()121214021k a a ++=L ．
由于4021是素数，所以1k =,1214021a +=，12010a =．
所以，2010n p =，其中p 是素数．
21.3.23★★★ (1)是否存在正整数m 、n ，使得
()()21m m n n +=+?
(2)设是()3k ≥是给定的正整数，是否存在正整数m 、n ，使得
()()1m m k n n +=+?
解析 (1)答案是否定的．若存在正整数m 、n ，使得
()()21m m n n +=+，则
()2211m n n +=++
显然1n >，于是
()2
2211n n n n <++<+， 所以，21n n ++不是平方数，矛盾．
(2)当3k =时，若存在正整数m 、n ，满足
()()31m m n n +=+，则
2241244m m n n +=+，
()()22
23218m n +=++， ()()232123218m n m n +--++-=，
()()122m n m n -+++=，
而22m n ++>，故上式不可能成立．
当4k ≥时，若2k t =(t 是不小于2的整数)为偶数，取
2m t t =-，21n t =-，
则()()()
2242m m k t t t t t t +=-+=-， ()()224211n n t t t t +=-=-，
故这样的(),m n 满足条件．
若是：21k t =+(t 是不小于2的整数)为奇数，取
22t t m -=，222
t t n +-=， 则()222122t t t t m m k t ⎛⎫--+=++ ⎪⎝⎭ ()4321224
t t t t =+--， ()222122
t t t t n n +-++=⋅ ()4321224
t t t t =+--， 故这样的(),m n 满足条件．
综上所述，当3k =时，答案是否定的；当4k ≥时，答案是肯定的．
评注 当是4k ≥时，构造的例子不是唯一的．
21.3.24★★★ 已知三个相邻正整数的立方和是一个正整数的立方．证明：这三个相邻正整数中间的那个数是4的倍数．
解析 下列字母均表示正整数．
由条件，()()333311x x x y -+++=，()2332x x y +=，于是3y ．设3y z =，则()
2329x x z +=．显然，
()2,22x x
+≤． 如果()2,21x x +=．则39x u =，232x v +=或3x u =，2329x v +=．第一种情况下得到63812u v +=这是不可能的，因为立方数除以9得到的余数只能是0，1±．类似地，第二种情况下得到6329u v +=，同样的原因，这也导出矛盾．
现在假设()2,22x x +=．则x 、z 均为偶数．故()282x x +．由于22x +不是4的倍数，所以4x ． 21.3.25★★★ （1）求不定方程，()2mn nr mr m n r ++=++的正整数解(),,m n r 的组数．
(2)对于给定的整数1k >，证明：不定方程组()mn nr mr k m n r ++=++至少有31k +组正整数解(),,m n r ．
解析 (1)若,,2m n r ≥，由2mn m ≥，2nr n ≥，2mr r ≥得 ()2mn nr mr m n r ++++≥，
所以，以上不等式均取等号，故2m n r ===． 若{}1,,m n r ∈，不妨设1m =，则
()21nr n r n r ++=++，
于是()()113n r --=，
所以，{}{}1,11,3n r --=，故{}{},2,4n r =，{}{},,1,2,4m n r =，这样的解有3！=6组． 所以，不定方程()2mn nr mr m n r ++=++共有7组正整数解．
（2）将()mn nr mr k m n r ++=++化为()()22n k m r k m k km m ----=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．1n k m =-+，
22r k km m k m =-++-满足上式．且1,2,,2k m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
L 时，0m n r <<<． k 为偶数时，{}{}
22,,,1,1m n r l k l k kl l k =-+-++-，其中1,2,,2
k l =L 给出了不定方程的3k 组正整数解． k 为奇数时，{}{}22,,,1,1m n r l k l k kl l k =-+-++-，其中11,2,,2
k l -=L 给出了不定方程的()31k -组正整数解；m 、n 、r 中有两个12k +，另一个为()()221311112224k k k k k k k k +-+++⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭
的情况给出了不定方程的3组正整数解．
而m n r k ===亦为不定方程的正整数解．
故不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至少有31k +组正整数解．。