人教A版高中数学选修学基础过关训练第一章三角函数二

§1.3 三角函数的诱导公式(二)
一、基础过关
1． 已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为
( )
A ．－1
2
B.12 C ．－
3
2
D.32 2． 若sin(3π＋α)＝－1
2
，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于
( )
A ．－1
2
B ．12
C.3
2
D ．－32 3． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭
⎫π
4＋α的值等于
( )
A ．－1
3
B.13 C ．－223
D.223
4． 若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭
⎫3
2π－α＋2sin(2π－α)的值为
( )
A ．－2m
3
B.2m 3 C ．－3m
2
D.3m 2 5． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π
2
，则tan φ等于
( )
A ．－
3
3
B.
33
C ．－ 3
D. 3
6． 已知cos(75°＋α)＝1
3
，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是
( )
A.13
B ．23
C ．－13
D ．－23
7．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 8．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭
⎫α＋3π2＝－tan α.
二、能力提升
9． 已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭
⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.
10．化简：sin ⎝⎛
⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭
⎫4k ＋1
4π－α (k ∈Z )． 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 12．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．
三、探究与拓展
13．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨
⎪⎧
sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)
同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
答案
1．A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.89
2
8．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)
sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦
⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α
＝
(－tan α)·(－sin α)·cos α
sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α
＝
sin 2α
－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭
⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin α
cos α
＝－tan α＝右边． ∴原等式成立． 9．2
10．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦
⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则
原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦
⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π
4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝
⎛⎭⎫π
4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π
4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则
原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦
⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭
⎫π
4－α
＝－sin ⎝⎛⎭⎫π
4＋α＋ cos ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝⎛⎭
⎫π
4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π
4＋α＝0. 综上所述，原式＝0. 11．解 sin ⎝⎛⎭
⎫－π
2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π
2＋α ＝－sin α.
∴sin α·cos α＝60169，
即2sin α·cos α＝120
169.①
又∵sin 2α＋cos 2α＝1，② ①＋②得(sin α＋cos α)2＝289
169，
②－①得(sin α－cos α)2＝49
169.
又∵α∈⎝⎛⎭⎫
π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝17
13，③
sin α－cos α＝7
13
，④
③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝5
13.
12．解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭
⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2. ∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)
5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α
＝－sin 3α－cos α
5sin α－3sin ⎝⎛⎭⎫π2－α
＝－(sin 3α＋cos α)
5sin α－3cos α
＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α ＝sin 2α
sin 2α＋cos 2α·tan α＋1
3－5tan α
＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝23
1＋22＋1
3－5×2
＝－1335.
13．解 由条件，得⎩⎨⎧
sin α＝2sin β， ①
3cos α＝2cos β. ②
①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±2
2，
因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2， 所以α＝π4或α＝－π
4
.
当α＝π4时，代入②得cos β＝3
2，
又β∈(0，π)，
所以β＝π
6，代入①可知符合．
当α＝－π4时，代入②得cos β＝3
2，
又β∈(0，π)，
所以β＝π
6，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝π4，β＝π
6满足条件．。