简单的抽象代数基本知识1

二.群的定义与性质
1、群的定义
设G是一个带有运算“o ”的非空集合，且其中的运 算满足以下四个条件，则称(G ,o)是一个群
(1) 封闭律: ∀a,b ∈ G 有 ao b ∈G
(2) 结合律: ∀a,b, c ∈ G 有
(a o b) o c = a o (b o c)
(3) 幺元律: 存在 e ∈ G，使 ∀a ∈ G ，有
检例验如一A=个{1系,2,统3,4是,5否}，构f成(a代,b)数=lc系m统(a，,b)最(最重小要公的倍一数) 就点不就构是成看代运数算系对统集。合因是为否，封f 闭(3,，5)即=1运5不算在的集结合果A是中否， f 还对在A不集封合闭A中。。
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(1) 如果G的一个子群H不等于G，即H ⊂ G，
则（H，*）叫做（G，*）的真子群。 (2) G的子群H的运算必须与G的运算一样，
在群中成立的性质在子群仍成立。
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4，子群的例 例3. （mZ,+）是整数加法群（Z，+） 的一个子群 例4. 行列式等于1的所有n阶矩阵作成所有n阶非奇
则称∗ 在A上是可结合的。
(3) 若对于任意的 a,b,c∈A, 有
ao(b∗c) = (aob)∗(aoc) (b∗c)oa = (boa)∗(coa)
则称运算 o对运算 ∗是可分配的。
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3，与二元运算相关的一些特殊的元素 （1）单位元
如果 ∃el ∈ A, 对于∀x ∈ A都有el o x = x ，则称 el 为运算 o 的左单位元，同理可以定义右单位元 er ，
aN ⊗ bN = (a o b)N 则称此乘法为陪集乘法
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六，商群
群(G,o) 的正规子群N的全体陪集构成的集合 L对于陪集的乘法而言构成群称为群G的商群
记为: G N
显然:
G N
= (L,⊗)
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如果el = er = e ，则称 e是运算 o的单位元。
例如，在数的加法运算中0是单位元，在数的乘法
运算中1是单位元。在集合的并中 φ 是单位元，在矩
阵加法中O是单位元，在矩阵乘法中 In 是单位元。 在x o y = x + y − 2 中2是单位元。
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（2）逆元
设 o 是非空集合A上的二元运算， e 是 o 的单
位元，对于A中的某一元素x，如果存在 x−1 ∈A， 满足： x−1 o x = x o x−1 = e 则称 x−1是x的逆元，称x是可 的并或集合的交中就没有逆元。
在给定的集合和运算中，不同元素的逆元是不同 的。单位元和某元素的逆元如果存在，则是唯一的。
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∗ 1357 1 1357 3 3357 5 5357 7 1737
3，二元运算的一些常见的性质
设Ａ是非空集合，∗ 和 o是A上的二元运算。
(1) 若对于任意 a,b∈A ，有 a ∗ b = b ∗ a ，则称 ∗
在 A 上是可交换的。
(2) 若对于任意 a,b,c∈A ，有 (a∗b)∗c =a∗(b∗c),
(3) 若群（G，o）的运算 适合交换律， 则称（G，o）为Abel群或交换群.
(4) 若G是有限集，称(G，o)为有限群，｜G｜
称为群的阶数，若G是无限集，称(G，o ) 为无限群
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3. 群的性质
(1) 若(G，*)是一个群，则∀a，b∈G
a）存在唯一的x，使得a*x=b b）存在唯一的y，使得y*a=b (2) 可逆必可约，反之不成立 （a） a*b=a*c => b=c （b） b*a= c *a => b=c (3) 对于一个带幺半群(S,*),其单位元是唯一的
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5，代数系统 由非空集合A和定义在A上的一系列运算
f1, f2,L, fm 组成的系统称为代数系统， 记作 ( A, f1 , f2 ,L, fm )。
如果运算 f1 , f2 ,L , fm 对A的子集B封闭，则称 (B, f1 , f2 ,L, fm ) 为 ( A, f1 , f2 ,L, fm ) 的子系统。
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(2) am=e当且仅当n∣m; as=at 当且仅当n∣(s-t)。
(3) 设k是一个正整数，若G中元素a的阶为n，
则ak 的阶就为 3，循环群
n gcd(n, k)
定义1.设a是群G的一个元素。于是a的所有幂的集 合 an，n=0，±1，±2，… 做成G的一个子 群，记为﹤a﹥。此群称为由a生成的子群。
e o a = a o e = a ,称 e 为幺元；
(4) 逆元律: ∀a ∈ G ，存在 b ∈ G ，使
b o a = a o b = e 称b为a的逆元。
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2.关于群的定义的几点说明
(1) 只满足条件(1),(2)的集合G称为半群. (2) 满足条件(1),(2),(3)的集合G称为带幺半群.
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四，陪 集
定义1. 设(G，*)是群，H是G的子群，a，b∈G，
若有h∈H， 使得b =a*h，则称b合同于a(左模H)，
记为b≡a（左mod H）。
合同关系(左模H)是一个等价关系。
定义2.群G在合同关系（左模H）下的一个等价类 叫做H的一个左陪集。即: a*H={a*h|h∈ H}。简记为aH
同样可以定义b合同于a(右模H)和右陪集
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陪集的性质 （1）若H为G的有限子群，则|aH| = |H|。 （2）H本身也是H的一个陪集。
（3）aH=H的充分必要条件是a∈H。
（4）a在陪集aH中。 根据这点，把a叫做左陪集aH的一个陪集代表元。 （5）对于左陪集aH中任意元素b，都有aH=bH （6）aH=bH的充分必要条件是a-b∈H。 （7）任意两个左陪集aH和bH或者相等或者不
设 f 是非空集合A到A的一个映射，则称f 是A上
的一个一元运算。
代数运算通常用*和 o 表示，有时也读作乘。
例如，∀x, y ∈ R，定义 z=x+y-2，显然，z ∈ R，可
记作 z = x ∗ y 或 z = x o y。
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因此，整数集、实数集上的加、减、乘法是二 元运算，非零实数集上的除法是二元运算，矩阵集 合上的矩阵加法、矩阵加法是二元运算，幂集上的 交、并对称差是二元运算，命题集合上的析取、合 取、蕴含等价、不可兼析取是二元运算。
(4) 设(S,*)是一个幺半群,如果多任意的 a, b ∈ S
满足: a ∗ b = b ∗ a ，则称S是可交换半群
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4，子群
定义: 设（G，*）是一个群， H ⊆ G，如果 (H，*)
仍是一个群，则（H，*）叫做（G，*）的子群。 关于子群定义的说明
f (n1 , n2 ) = n1 + n2
例如， f (3,5) = 8, f (5,3) = 8, f (3,9) =12
例2. 设有函数 g : I 2 → I ，对于任意 (i1, i2 )∈ I 2 ，
g(i1, i2 ) = i1 − i2
例如 ，g(3,5) = −2, g(5,3) = 2, g(−9,2) = −11
但减法运算不是正整数集N上的二元运算.
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2，一元运算和二元运算的表示方法
当A是有限集时，A上的一元运算和二元运 算有时采用运算表的方式来定义 。 例如 设 A = {1,3,5,7}, A上的一元运算~和二元 运算*用运算表定义如下:
ai ~ (ai ) 17 35 53 71
整数集、实数集上的、求相反数是一元运算， 非零实数集上的求倒数是一元运算，矩阵集合上的 矩阵的转置是一元运算，幂集上的求补是一元运 算，命题集合上的否定是一元运算。
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例1. 设有函数 f : N2 → N ,对于任意 (n1 , n2 ) ∈ N 2
编编
码码
理理
论论
基基
础础
哈尔滨工程大学理学院
信息与计算科学系
林锰
第二章 简介抽象代数基本知识
1 群的相关概念 2 环的相关概念 3 域及域上多项式 授课预计 (2学时)
本章教学基本要求
熟练掌握群、环、域的基本理论和方法，并对模的 概念有所理解。了解环、域、理想、唯一分解环的定义, 以及域的扩张概念。能够计算群的元素阶，环中可逆元 零因子、素元，掌握Lagrange定理，群、环同态和同构 基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。 了解多项式的 根和性质，掌握重根和导数的定理和理论。
相交。
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五，正规子群
1，定义: 设 (G,o) 是群，N是G的子群，若对于a∈G，有
aN=Na,则称N是群G的正规子群.简记为: N < G
2，陪集乘法: 设N是G的正规子群，令 L = {aN a ∈ G}.
即L是N的所有不同陪集构成的集族. 任取: aN , bN ∈ L 定义:
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定义2. 如果群G可以由它的某元循循素环环a群群生必必成是是，即AAbb有eell:群群
a∈G使G=<a>，则G叫做一个循环群，或巡回
群。上面定理中的<a>称为由a生成的循环子群。 4. 有限和无限循环群
设a为群G的一个元素， （1）如果a的周期为无穷大，则<a>是无限循环群
它由彼此不同的元素:
…，a-2，a-1，e，a，a2，… 组成。
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（2）如果a的周期为n，则<a>为n元循环群，它由n 个不同的元素
e，a，a2，a3，…，an-1 组成。
n元循环群<a>中，元素ak 是<a>的生成元的充
要条件是（n，k）=1。
关注于意群的几循个环重群要的的生结成论元:不唯一. (1) 循环群的子群一定是循环群， (2) 若|G|是素数，则群G一定是交换群， (3) 若|G|≤5，则群G一定是交换群， (4) 若G是有限循环群|G|=n，∀x ∈ G, 都有xn = e。
重点：环、域，理想。环的同态，最大理想，商域,环、 理想、同态基本原理、域的扩张
难点：商群、商环。多项式和多项式的根。
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7.1§2.1 群 的 相 关 概 念
一、代数系统 1,二元运算的定义
设f 是非空集合A×A到A的一个映射，则称f 是A 上的一个二元运算。
异矩阵的乘法群的一个子群. 5，平凡子群 任一群G都有两个明显的子群,称为G的平凡子群
由由其其单单位位元元素素组组成成的的子子群群{{11}}，，称称为为GG的的单单位位 子子群群；；GG本本身身也也是是GG的的子子群群。。
其余的子群（如果有的话）称为非平凡子群。
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三，循 环 群 1, 元素的周期
设〈G，*〉是一个群，e为单位元，对a∈G，
使得 an = e 的最小正整数n 称为元素a的阶（周期） 如果对于任意的正整数n，都有 an ,≠则e称元素a
的阶是无限的。 2，周期的性质:
设群G中元素a的阶为n，则：
(1) e，a, a2，a3，…，an-1为n个不同元素