第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (1)

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、简单的逻辑联结词
1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．
2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．
3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：
p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．
二、全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x 属于M，有p(x)成立”．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．
(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M 中的元素x0，使p(x0)成立”．
三、含有一个量词的命题的否定
命题命题的否定
∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)
∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)
1．若p是真命题，q是假命题，则() A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题答案：D
2．下列命题中的假命题是()
A．∃x0∈R，x0＋1
x0＝2 B．∃x0∈R，sin x0＝－1 C．∀x∈R，x
2>0 D．∀x∈R,2x>0
答案：C
3．命题“∃x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是() A．∃x0∉∁R Q，x30∈Q B．∃x0∈∁R Q，x30∉Q
C．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q
1
解析：选D
4．命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：__________________.
答案：所有的三角形都不是等边三角形
5．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
答案：[－22，2 2 ]
小结
1.逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
含有逻辑联结词命题的真假判定
典题导入
[例1]已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是()
A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④
[答案] D
由题悟法
1．“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤
(1)准确判断简单命题p、q的真假；
(2)判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假．
2．含有逻辑联结词的命题的真假判断规律
(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；
(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；
(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
以题试法
2
3
1．(1)如果命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：
①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“p 或q ”是假命题．其中正确的结论是 ( )
A ．①③
B ．②④
C ．②③
D ．①④
(2)(2012·江西盟校联考)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(4，＋∞)
B ．[1,4]
C ．[e,4]
D ．(－∞，1]
解析：(1)选A “非p 或非q ”是假命题⇒“非p ”与“非q ”均为假命题⇒p 与q 均为真命题． (2)选C “p ∧q ”是真命题，则p 与q 都是真命题．p 真则∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，需a ≥e ；q 真则x 2＋4x ＋a ＝0有解，需Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4.p ∧q 为真，则e ≤a ≤4.
全称命题与特称命题的真假判断
典题导入
[例2] 下列命题中的假命题是 ( ) A ．∀a ，b ∈R ，a n ＝an ＋b ，有{a n }是等差数列 B ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0 C ．∀x ∈R,3x ≠0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 [答案] B
由题悟法
1．全称命题真假的判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立； (2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可． 2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
以题试法
2．下列命题中的真命题是 ( )
A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0cos x 0＝3
5 B ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0>1
C ．∀x ∈R ，x 2≥x －1
D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 解析：选C
全称命题与特称命题的否定
4
典题导入
[例3]命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是() A．所有能被2整除的整数都是奇数B．所有不能被2整除的整数都不是奇数
C．存在一个能被2整除的整数是奇数D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数[答案] D
若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________．
答案：所有能被2整除的整数都不是奇数
由题悟法
常见词语的否定形式有：
原语
句
是都是>
至少有
一个
至多有一
个
对任意x∈A
使p(x)真
否定
形式
不
是
不都
是
≤
一个也
没有
至少有两
个
存在x0∈A使
p(x0)假
以题试法
3．已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是() A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
解析：选C
拓展
[典例]命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是() A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数[答案] B
针对训练
1．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________．
答案：∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3
2．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．
答案：有些可以被5整除的数，末位不是0。