2018-2019学年高二数学选修2-1课时跟踪训练：(二十二) 空间向量的数量积

课时跟踪训练(二十二)空间向量的数量积
1．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为________．2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.
3．若AB＝(－4,6，－1)，AC＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB，a⊥AC，则a＝________________________________________________________________________.
4．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.
5．如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别
在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD
的长为________．
6．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(k a＋b)∥(a－3b)，求k的值；
(2)若(k a＋b)⊥(a－3b)，求k的值．
7．已知A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，求△ABC的面积．
8．在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题．
(1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
答 案
1．解析：AB ＝(0,3,3)，AC ＝(－1,1,0)，∴cos 〈AB ，AC 〉＝332×2＝12
，∴〈AB ，AC 〉＝60°.
答案：60°
2．解析：a ·b ＝2×3×cos 60°＝3.∴|2a －3b |＝
4|a |2－12a ·b ＋9|b |2＝4×4－12×3＋81
＝61.
答案：61 3．解析：设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a·AB ＝0，a ·AC ＝0，
|a|＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝12
13或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－313，y ＝－413，
z ＝－1213.
答案：⎝⎛⎭⎫313，413，1213或⎝⎛⎭⎫－313
，－413，－1213 4．解析：∵p ＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，q ＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)，∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.
答案：－1
5．解析：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴AC ·AB ＝0，BD ·AB ＝0.又∵二面角为120°，∴〈CA ，BD 〉＝60°，∴CD 2＝|CD |2＝(CA ＋AB ＋BD )2＝CA 2＋AB 2＋BD 2＋2(CA ·AB ＋CA ·BD ＋AB ·BD )＝164，∴|CD |＝241.
答案：241
6．解：k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，
a －3
b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)
＝(7，－4，－16)．
2 (1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，
∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.
(2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，
∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0.
解得k ＝1063.
7．解：∵AB ＝(1,1,1)，AC ＝(2,1,3)，
∴|AB |＝3，|AC |＝14，AB ·AC ＝6，
∴cos ∠BAC ＝cos 〈AB ，AC 〉＝AB ·AC
|AB ||AC | ＝6
3×14＝427，
∴sin ∠BAC ＝1－cos 2A ＝1
7＝7
7，
∴S △ABC ＝1
2|AB ||AC |sin ∠BAC
＝12×3×14×77＝6
2.
8．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A (2,0,0)，
O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)，
∴1AO ＝(－2,0,2)，1B E ＝(－1,0，－2)，
∴cos 〈1AO ，1B E 〉＝－2210＝－10
10.
故AO 1与B 1E 所成的角的余弦值为10
10.
(2)由题意得1O D ⊥AC ，AD ∥AC ，
∵C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，
∴1O D ＝(x ，y ，－2)，AD ＝(x －2，y,0)，AC ＝(－2,3,0)，
2
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3，解得⎩⎨⎧ x ＝1813，y ＝1213， ∴D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0. O 1D ＝|1O D |＝ ⎝⎛⎭⎫18132＋⎝⎛⎭⎫12132＋4 ＝ 1 144132＝228613
.。