2013年全国中考数学压轴题解析汇编02(浙苏赣皖湘鄂省会)

2013 年全国数学中考压轴题分析汇编
02（浙苏赣皖
湘鄂省会城市）
【
2013·杭州 ·22 题 】（ ）先求解以下两
1
题： ① 如图 ① ，点 B 、D 在射线 AM 上，点 C 、 E 在射线 AN 上，且 AB=BC=CD=DE ，已知∠ EDM=84°，求∠ A 的度数； ② 如图② ，在直角坐标系中，点 A 在 y 轴正半轴上， AC ∥x 轴，点
B 、
C 的横坐标都是 3，且 BC=2，点
D k 在 AC 上，且横坐标为 1，
若反比率函数 y=(x ＞ 0)的图象经过点 B 、D ，求 k 的值。

x （2）
解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单写出。

解：
（ 1）① ∵在 △ADE 中，∠ EDM=∠A+∠AED ② ∵点 B 在反比率函数图象上，且横坐标为 3 k ∴∠ AED=∠ EDM-∠A ∴可设点 B
的坐标为（3，） 3∵CD=DE ∵C 的横坐标是 3，且 BC=2
∴∠ AED=∠DCE
∴点 C 的坐标为（ 3，） ∴∠ DCE=∠ EDM-
∠A 3∵在 △ ACD 中，∠ DCE=∠A+∠ADC ∵D 的横坐标为 1，且 AC ∥ x 轴 ∴∠ ADC=∠DCE-∠A
） ∴点 D 的坐标为（ 1，
3=∠EDM-2∠A ∵ 点 D 在 反 比 例 函 数 图 象 上 ∵BC=CD
k ∴∠ ADC=∠ DBC
∴1·（） =k 3∴∠ DBC=∠EDM-2∠ A ∴k=3
∵在△ABC 中
， ∠ DBC=∠A+∠ ACB y ∴∠ ACB=∠DBC-∠ A
D =∠ EDM-3∠A AC ∵ AB=BC ∴∠ A=∠ACB B ∴∠ A=∠ EDM-3∠ A
xO 1
4
（2）两小题的共同点是：用已知的量通
∴∠ A=∠EDM
过必定的等量∵∠ EDM=84° 关系去表示未知的量，成立方程解 答问题∴∠ A=21°NECA
B
D
M
2013 年全国数学中考压轴题分析汇编
02（浙苏赣皖
湘鄂省会城市）【 2013·杭州·23 题】如图，已知正方形ABCD的边长为 4，对称中心为点P，点 F 为 BC边上一个动点，点 E 在 AB 边上，且知足条件∠EPF=45°，图中两块暗影部分图
形对于直线AC 成轴对称，设它们的面积为S. 1（ 1）求证：∠APE=∠ CFP；S（2）设四边形 CMPF的面积为 S， CF=x，y=。

12 S2①求y对于x的函数分析式和自变量x 的取值范围，并求出y 的最大值；②当图中两块暗影部分图形对于点P 成中心对称时，求y 的值。

解：（1）过点P 作PG⊥AB于G，PH⊥ BC 于H。

∵AC是正方形ABCD的对角线∴y== 22xxxS∴∠ HPC=∠HCP=45°2∵∠ EPF=45°∵点 F 在 BC 边上，点 E 在 AB 边上，且∠EPF=45°
∴∠ APE+∠ HPF=180°-∠EPF-∠ HPC=90° ∴ 2≤x≤4 ∵∠ PHF=90°112∵y=x2∴∠CFP+∠HPF=90° 11∴∠APE=∠CFP ∴当，即 x=2 时， y 有最大值，最大值为 1 x2（2）① ∵P 是正方形 ABCD的对称中心，边长为 4 ②由于两块暗影部分图形
对于直线 AC 成轴对称，2∴PH=GP=2， AP=CP=2要使其对于点P 成中心对称，则两块暗影部分图形还要对于直线BD 成轴对称，此时 BE=BF 1∵CF=x∴ S=CF·PH=x PFC△2∴ AE=CF∴ S=2S=2x 82PFC△22则=x，得x=2 或 -2( 舍去 )x∵∠APE=∠CFP，∠P AE=∠ PCF=45°∴△ APE∽△ CFP2∴x=2AEAP=∴
8888CPCF2∴y==2-2
2==∴ AE=CFxx NAD18AE·GP=
∴ S =APE △ 2x1PMG ∵S=AB ·BC=8ABC △ 28E ∴S=S-S-S=8--x
BFPEABC APE PFC 四 边 形 △△△x16BCFH
∴S=2S=16--2x
1BFPE 四边形 x
2013 年全国数学中考压轴题分析汇编
02（浙苏赣皖
湘鄂省会城市）
2【 2013·南京 ·26 题】已知二次函数 y=a(x-
m)-a(x-m)（ a 、m 为常数，且 a ≠0）。

（1）求证：无论 a 与 m
为何值，该函数与 x 轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象
的极点为 C ，与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 D 。

①
当
△ABC
的面积等于
1 时，求
a 的值；
②
当△ ABC
的面积与
△ABD 的面积相等时，求
m 的值。

12
解：（ 1）当
y=0 时，
a(x-m)-a(x-m)=0 2·1·|am+am| ∴S=ABD △2∵a ≠ 0 12=|am+am|
22∴ x-(2m+1)x+m+m=0 222∵
=(2m+1)-4(m+m) 12=|a| ·|m+m|
222=4m+4m+1-4m-4m 111=1 ＞ 0
由 ① 可 得 S=·1·|-a|=|a|
ABC △2482∴方程 a(x-m)-a(x-m)=0
恒有两个不相等的实∵ S=S
ABCABD △△数根 112∴ |a| ·|m+m|=|a| 故，无论 a 与 m 为何
值，该函数与 x 轴总有两个
28
12
公共点 ∵a ≠0 （ 2）由 y=a(x-
m)-a(x-m)=a(x-m)(x-m-1)=0 2
∴|m+m|= 4 解得： x=m 或 m+1
1122 当 m+m=时， m+m-=0 ∴点 A 的坐标为（ m ， 0） 44 点 B
的坐标为（ m+1，0）
解得 m=或 ∴ AB=m+1-
m=1 221122①
由 y=a(x-m)-a(x-m)=a(x-m-) -a 得 112422 时，
m+m+=0
当 m+m=-4411
极点
C 的坐标为（
m+， -a ）
解
得
m=
2∵△ ABC 的面积等于 1
∴ ·1·|-a|=1
∴m=或或24222∴a=±82② ∵当 x=0 时， y=am+am 2∴点 D
的坐标为（ 0， am+am）
2013 年全国数学中考压轴题分析汇编02（浙苏赣皖
湘鄂省会城市）【2013·南京·27题】对于两个相像三角形，
假如沿周界按对应点次序围绕的方向同样，那么称这两个三角
形互为顺相像；假如沿周界按对应点次序围绕的方向相反，那
么称这两个三角形互为逆相像。

比如，如图①，
△ABC∽△ A’ B’，且C’沿周界 ABCA 与 A’ B’A’环C’绕的方向同样，
所以△ABC与△ A’B’互C’顺相像；如图为②，△ABC∽△ A’B’，C’
且沿周界ABCA 与 A’B’A’C环’绕的方向相反，所以△ABC与
△A’ B’互为C’逆相像。

AAA’ A’C’ C’ CB’图B’① BCB图②（1）依据图I、
图II 和图III 知足的条件，可获取以下三对相像三角形：
① △ ADE与△ ABC；② △GHO与△KFO；③ △ NQP与△NMQ。

此中，互为顺相像的是；互为逆相像的是（填写全部符
合要求的序号）（2）如图③，在锐角△ABC 中，∠ A＜∠ B＜
∠C，点 P 在△ABC 的边上（不与点 A、 B、C 重合）。

过点 P 画
直线截△ ABC，使截得的一个三角形与△ABC 逆相像。

请依据点
P 的不一样地点，研究过点P 的截线的情况，画出图形并说明截
线知足的条件，不用说明原因。

解：（1）依据定义，联合图形
和条件可知，互为顺相当点 P 位于 CM 上时，过点 P 能画出两条截线 2
似的是①②；互为逆相像的是③ 。

PQ、PQ，使∠CPQ=∠CBA，∠
APQ=∠ CBA，22232223此时，△CPQ、△APQ 均
与△ ABC 互为逆相像。

AHG2223 MCOPDEP2QM2PQNBCKF1图 II 图 III 图
条件： DE∥BC（2）由题意，IQQBA13条件： GH∥ KF条件：∠
NQP=∠M
分以下三种状况：第三种状况：当P 在AB边上时，作
∠BCD=∠ A，第一种状况：当 P 在 BC 边上时，过点 P 能画出 CD 交 AB 于 D，作∠ ACE=∠B， CE交 AB 于 E。

两条截线 PQ、PQ，使∠ CPQ=∠A，∠ BPQ=∠A，当 P 在 AD 上（不含 D）时，过点 P 能画出一条12121此时，△PQC、△ PBQ 均与△ ABC 互为逆相似。

截线 PQ，使∠APQ=∠ACB，此时，△AQP 与
△12111111 C ABC互为逆相像。

Q1当P在DE上时，过点P能画出两条截线 PQ、222P PQ，使∠ APQ=∠ACB，∠ BPQ=∠ ACB，此时，232223 △AQP、△QBP均与△ABC互为逆相像。

2232BAQ2当 P 在BE 上（不含 E）时，过点 P 能画出一条3第二种状况：当P 在AC 边上时，作∠ CBM=∠A，截线 PQ，使∠ BPQ=∠ ACB，此时，△QBP 与△343443BM 交 AC 于 M 。

ABC互为逆相像。

当点 P位于 AM 上（不含M ）时，过点P 能画出 1 一条截线PQ，使
111111
∠APQ=∠ABC，此时，△APQ
与△ ABC互为逆相像。

2013 年全国数学中考压轴题分析汇编02（浙苏赣皖湘鄂省会城市） C Q2Q3Q1Q4APDPEPB123
2013 年全国数学中考压轴题分析汇编02（浙苏赣皖湘鄂省会城市）【 2013·合肥·22 题】某大学生利用暑期40天社会实践参加了一家网店的经营，认识到了一种成本20元 /件的新式商品在第x 天销售的有关信息以下表示。

销售量 p
（件） p=50-x 1x 当 1≤x ≤20时， q=30+2 销售单价 q （元 /件）
525 当 21≤ x ≤ 40时， q=20+ x （ 1）请计算第几日该商品的销售
单价为 35 元/ 件？ （2）求该网店第 x 天获取的收益 y 对于 x 的函数关系式； （ 3）在 40 天中该网店第几日获取的收益最大？
最大收益是多少？
1∴收益 y 对于
x 的函数关系式为：
解：（1）当
1≤x ≤20 时 ， q=
2
解 得 x=10
当 21≤ x ≤ 40时，
q=
解得 x=35 12
（3）当 1≤ x ≤ 20
时，故，第 10 天或第
2
35 天该商品的销售单价为 35 元 / 件。

∴当 x=15 时， y 有最大值为 612.5 （2）由题意得， y=p(q-20)， 则 26250 当 1≤x ≤20时
当 21≤x ≤40时，由 y 知， y 随
x
y 2 的增大而减小 12∴当 x=21 时， y
有最大值，此时最大值为
226250 当
21≤ x ≤ 40时
y x ∵612.5＜725 ∴在这 40 天中，第 21 时节获取的收益最大， 最
大收益为 725 元。

x
2013 年全国数学中考压轴题分析汇编 02（浙苏赣皖湘鄂省会城市） 【2013·合肥 ·23 题】我们把有不平行于
底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为
“准等腰梯
形 ”，如图 1，四边形 ABCD 即为 “准等腰梯形 ”，此中∠ B=∠ C
（1）在图 1 所示 “准等腰梯形 ”ABCD 中，选择适合的一个极点
引一条直线将四边形ABCD 切割成一个等腰梯形和一个三角形
或切割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种表示图即可）；ABBE（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E为边BC 上一点，若 AB∥ DE，AE∥DC，求证：；DCEC（3）在由不平行于 BC 的直线 AD 截△PBC所得的四边形ABCD中，∠ BAD 与∠ ADC 的均分线交于点 E, 若 EB=EC，请问当点 E 在四边形ABCD 内部时（即图 3 所示情况），四边形 ABCD能否是“准等腰
梯形”，为何？若点E不在四边形ABCD内部时，状况又将如何？写出你的结论。

（不用说明原因）∴ EG=EH解：（1）以下
图所示∴EF=EH PPP AAA
∵EB=EC∴ Rt△BFE≌Rt△ CHE
DDD CCCBBB
∴∠ FBE=∠HCE ∵EB=EC图 1∴∠ EBC=∠ ECB （ 2 ）∵AE∥CD ， AB∥ED ∴∠ FBE+∠EBC=∠HCE+∠ ECB ∴∠ AEB=∠ C ，∠ B=∠DEC ∴∠ ABC=∠ DCB ∴△ ABE∽△ DCE ∵AD 不平行于 BC∴ ∴四边形 ABCD 是“准等腰梯形”CDEC当点E不在四边形ABCD内部时，有两种状况：
∵∠ B=∠ C 一、当点 E 在边 BC 上时，四边形ABCD 为“准∴∠ AEB=∠ B 等腰梯形”∴ AB=AE 二、当点 E 在四边形 ABCD的
外面时，四边形∴ DCEC ABCD为“准等腰梯形”（3）当
点 E 在四边形 ABCD 内部时，四边形 ABCD AA是“准等腰梯形”。

原因以下： G 过点E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，
EH⊥CD DD于 H。

FH∵ AE 均分∠ BAD E∴EF=EG CCBEB∵ED 均分∠ ADC图3图2
2013 年全国数学中考压轴题分析汇编
02（浙苏赣皖
湘鄂省会城市）
【2013·武汉 · 题】已知四边形 ABCD 中， 、
24
E F 分别是 AB 、 AD 边上的点， DE 与 CF 交于点 G 。

（1）
如图① ，若四边形 ABCD 是矩形，且 DE ⊥CF ，求证：；
成（ 2）如图 ② ，若四边形
ABCD 是平行四边形，
尝试究：当∠ B 与∠ EGC 知足什么关系时，使得 CFCD
立？并
证明你的结论；
DE （ 3）如图 ③ ，若 BA=BC=6， DA=DC=8，
∠BAD=90°，DE ⊥CF ，请直接写出的值。

CF CFDE 解：（1）
∵DE ⊥CF ，即∠ DGF=90°
∴CDAD ∴∠ ADE+∠ CFD=90°
∴ ∵四边形
ABCD 是矩形
CFCD
∴∠ A=∠ CDF=90°
AFDFADG ∴∠ ADE+∠ AED=90°
GEE ∴∠ AED=∠ CFD
∴△ AED ∽△ DFC 图 ② 图
∴ （ 3）=。

解
BCCB
析以下： CFCDCF24DEAD 连结 AC 、BD 交于 H 。

成立。

证
明（ 2）当 ∠B+∠EGC=180°时 ， CFCD 由已知条件，易证
AC ⊥ BD ， AH=CH
以下：
∵在四边形
AEGF
中，∠
BAD=90°，
∠EGF=90°
∵∠ CGD+∠ EGC=180°
∴∠ AEG+∠AFG=180°
∴∠ B=∠ CGD ∵∠ AEG+∠BED=180° ∵四边形 ABCD 是平行四边
形
∴∠ BED=∠AFG ∴∠ B=∠ CDF 易 证 ∠ EBD=∠FAC
∴∠ CGD=∠CDF ∴△ BED ∽△ FAC ∵∠ DCG=∠FCD （公共角）
∴ = ∴△ CDG ∽△ CFD
在 Rt △ABD 中，由勾股
DEBD
CFACCFDF
定理可求得 BD=10，由面
∴ CDDG2448
，则 AC= 积相等
AB ·AD=BD ·AH
可 求 得 AH=∵AB ∥ CD 55∴∠ A+∠ B=180°
DE4825∴=10÷=CF245∴∠A=∠EGC A∵∠DGF=∠EGC（对顶角）F∴∠A=∠DGF E∴∠ADE=∠GDF（公共角）GBDH∴△ADE∽△GDF∴DGAD图③C
2013年全国数学中考压轴题分析汇编02（浙苏赣皖湘鄂省会城市）2【2013·武汉·25题】如图，点P 是直线l：y=-2x-2 上的点，过点 P 的另一条直线m 交抛物线y=x 于 A、B 两点。

（1）若直线 m 的分析式为 y=-，求 A、B 两点的坐标；22（2）①若点P的坐标为（-2，t），当PA=AB时，请直接写出点 A 的坐标；②试证明：对于直线l 上随意给定的一点 P，在抛物线上都能找到点A，使得 PA=AB成立。

（3）设直线 l交 y 轴于点 C，若△AOB 的外心在边 AB 上，且∠BPC=∠ OCP，求点 P 的坐标。

解：（ 1）联立抛物线和直线m 的分析式得（ 3）∵△ AOB 的外心在边 AB 上∴∠ AOB=90°13 过点A、B作x轴的垂线，垂足为E、F。

，即 2x +x-3=0 x =-易证得△AEO∽△ OFB，则解得 x=1或 222设 A（r， r），B（t ，t ），此中 r＜0，t ＞0，则 OE=-r，∵当 x=1 时， y=1；当x=时， y= 22AF=r， OF=t， BF=t 2422∴-rt=rt，得rt=-1∴点 A 坐标为（，），点 B 坐标为（1，1）24设直线 m 的分析式为 y=kx+b，，联立抛物线分析式（2）① ∵点 P（ -2，t）在直线 l：y=-2x-2 上2可得 x-kx-b=0，
由韦达定理得， rt=-b ∴ t=2 ，即 P（-2，2）∴b=1，则点 D 坐标为（ 0， 1）可设直线 m 的分析式为 y=kx+2k+2 由直线 l：y=-
2x-2 得，点C 坐标为（0，-2）2联立抛物线分析式有：x-kx-2k-3=0 ∴DC=3 22设 A（ x，x）， B（ x， x），则 x+x=k， xx=-2k-3∵∠ BPC=∠OCP∴DP=DC=311221212∵ PA=AB∴ 2x=x-2设
点 P 坐标为（ n， -2n-2），过点 P 作 PK⊥ y 轴于122上述三式消去 k 和 x 得， x +4x+3=0 K，则 PK=|n| ，DK=|-2n-3| 211解得 x= -
1 或 -3 222∵ PK+DK=DP=9 1∴点A 坐标为 (-1， 1) 或 (-3 ， 9) 222∴n+(-2n-3)=9，即5n+12n=0 2②设P（n，-2n-2），A（a，a），过点 P、 A、B∴ n=0(舍去)或5作x轴的垂线，垂足
分别为 P’、 A’、B’。

1214∵PA=AB∴AA’是梯形PP’B’B的中位
线
55∴ P’A’=A’，
B’2AA’=PP’+BB’∴点则 -2n-2=-2 ×()-2=
P坐标为（，）2∴a-n=x-a，2a=-2n-2+y55BB2∴B（x，y）即（ 2a-n ， 2a+2n+2 ）BB yyll代入抛物线解析式得：
mm22222a+2n+2=(2a-n)=4a+4an+n KPAPA22D 即2a+4an+n-2n-2=0 BB2222∵=16n-8(n-2n-2)=8n+16n+16=8(n+1)+8＞ 0 xxP’A’OB’∴EOF 对于随意的n，对于 a 的方程总有两个不相等的 C 实数根，即对
于直线 l 上随意给定的一点P，在抛物线上都能找到两个知足
条件的点 A。

2013 年全国数学中考压轴题分析汇编02（浙苏赣皖
湘鄂省会城市）【2013·长沙·25 题】设a、b是随意两个不等实数，我们规定：知足不等式a≤x≤b的实数 x 的全部取值的
全体叫做闭区间，表示为[a，b] 。

对于一个函数，假如它的自变
量 x 与函数值 y 知足：当 m≤x≤n时，有 m≤y≤n，我们就称此函
数是闭区间 [m，n]上的“闭函数”。

2013
y=是（1）反比率函数
闭区间 [1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明原因；x（2）
若一次函数y=kx+b(k ≠0)是闭区间 [m ， n] 上的“闭函数”，求此函
数的分析式；是闭区间 [a， b]上的“闭函数”，务实
数 a、 b 的值。

（3）若二次函数 y= 555 2013(i)-(ii)并整理得：
(a-b)(a+b+1)=0 是闭区间 [1 ， 2013] 上“闭解：（ 1）反比率函数
x
∴a+b+1=0,,(iii) 函数”，原因以下：
y= ∵a≠ b
∵当 x=1 时， y=2013；当 x=2013 时， y=1 解
(i)(iii) 方程组的得或且函数 y=在
闭区间 [1，2013]上， y 随 x 的∵a＜b ∴增大而
减小∴当 1≤x≤2013时，有 1≤y≤2013，切合“闭，
而由“闭函数”②当 a＜2＜b 时，此时， a=函数”定义，故是闭
函数。

5（2）分以下两种状况：定义，对于b，则有以下两种
可能：①当k＞0时，y随x的增大而增大=
＜2，故不行能即 b=551255由题意知，当 x=m 时， y=km+b=m 14722当x=n时， y=kn+b=n或 =b，即
555解此方程组得：k=1，b=0∴函数分析式为
y=x解得b=或(舍去 )22②当 k＜ 0时， y随x 的增大而减小由
题意知，当x=m 时， y=km+b=n∴a=，b=52当
x=n 时， y=kn+b=m 解此方程组得： k=-1，b=m+n ③当 a≥2时，
y随x的增大而增大，则∴ 函数解析式为y=-x+m+n
=a当x=a时， y==
知，二次函（ 3 ）由y=当x=b时，y==b 数开口向上，对称轴为x=2，最小值为，且当x即 a、 b 是方程的两个根＜2时，y随x的增
大而减小；当x＞2 时， y 随 x 的增大而增大。

解得 a=＜2，b=，故舍去22①当b≤2时，y随x的增大而减小，则=b,,(i) 当 x=a 时， y=当
x=b 时， y==a ,,(ii)555
2013 年全国数学中考压轴题分析汇编02（浙苏赣皖湘鄂省会城市）综上可得，
或
2013 年全国数学中考压轴题分析汇编02（浙苏赣皖
湘鄂省会城市）【2013·长沙·26 题】如图，在平面直角坐标系中，
直线 y=-x+2 与 x 轴、 y 轴交于点 A、B，动点 P(a， b)在第一象限
内，由点 P 向 x 轴、 y 轴所作的垂线 PM、 PN（垂足为 M、 N）分
别与直线 AB y订交于点 E、 F，当点 P(a，b)运动时，矩形 PMON
的面积为定值 2. B（1）求∠ OAB 的度数；FPN（2）求证：
△AOF∽△ BEO；（ 3）当点 E、 F 都在线段 AB 上时，由三条线
段 AE、 EF、BF 构成一个三角形，记EA此三角形的外接圆面积为
S，△OEF 的面积为 S。

尝试究： S+S 能否存在最小值？1212xOM 若存在，恳求出该最小值；若不存在，请说明原因。

1 解：（1）由 y=-x+2 知，∵S=(PF+OM)·PM OMPF梯形2∵当 x=0 时，
y=2∴ B（0，2），即OB=211S=PF·PE，S=OM·EM∵当y=0时，
x=2∴A （ 2 ， 0 ），即OA=2 PEFOME△△22∵ OA=OB ∴△ AOB 是等腰直角三角形∴S=S-S-S2OMPFPEFOME梯形△△∴∠ OAB=45°111=(PF+OM)PM·-PF·PE-OM·EM
（2 ）∵EM∥OB∴ 1OMOA=[PF·(PM-
PE)+OM·(PM-EM)]∵FN∥ OA
∴1ONOB222
=(PF·EM+OM· PE)∴AF·BE=ON·OM=2OM· ON
12
2∴ OM·ON=2 =PE·（ EM+OM)∵矩形 PMON 的面积为
1∴AF·BE=4=(a+b-2)(2-a+a)2∵OA·OB=4=a+b-2
∴AF·BE=OA·OB ，即2(a+b-2)+(a+b-2)
OBBE122
设 m=a+b-2，∴S+S=∵∠ OAF=∠EBO=45°
12
∴△ AOF∽△ BEO（3）易证则 S+S=m+m=(m+)-
△A ME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形∵面积之和不行能为
负数 1222∵AM=EM=2-a∴AE=2(2-a)=2a-8a+8∴当m＞-时，
S+S随 m 的增大而增大∵ BN=FN=2-b∴BF=2(2-b)=2b-8b+8 ∴当m 最小时， S+S 就最小12∵PF=PE=a+b-2 222222∴EF=2(a+b-2)=2a+4ab+2b-8a-8b+8∵ m=a+b-2=a+-2=()+2-2aa222∵ab=2∴EF=2a+2b-8a-8b+16 222∵EF= AE+BF2∴当，即a=b=时， m最小，最小∴由
线段AE、EF、BF 构成的三角形为直角三角a形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆面积为：2值为2-2 S=EF=·2(a+b-2)=(a+b-2) 1 442
2013 年全国数学中考压轴题分析汇编02（浙苏赣皖
湘鄂省会城市）222 ∴S+S的最小值 =(2-2)+ 2-2 22= 2(3-2) π +2- 12 2
2013 年全国数学中考压轴题分析汇编02（浙苏赣皖
湘鄂省会城市）【24
题】某数学活动小组在作三角
2013·南昌·
形的拓展图形，研究其性质时，经历了以下过程：（1）操作发现：在等腰△ ABC 中， AB=AC，分别以 AB 和 AC 为斜边，向△ ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 1 所示，此中 DF⊥ AB 于点 F，EG⊥ AC 于点 G，M 是 BC的中点，连结 MD 和 ME，则以下结论
正确的选项是 1（填序号即可）：①AF=AG=AB；②MD=ME ；
③整个图形是轴对称图形；④ MD ⊥ ME。

2（ 2）数学思虑：在随意△ABC 中，分别以AB 和 AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等
腰直角三角形，如图 2 所示， M 是 BC 的中点，连结MD 和 ME，则 MD 与 ME 拥犹如何的数目关系？请给出证明过程；（3）类比研究：（ i）在随意△ABC 中，仍分别以AB 和 AC 为斜边，向
△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图 3 所示， M 是 BC 的中点，连结 MD 和 ME，试判断△MED 的形状。

答：（ii）在
三边互不相等的△ABC 中(见备用图 )，仍分别以 AB 和AC 为斜边，向△ ABC 的内侧作 (非等腰 )直角三角形 ABD 和(非等腰 )直角
三角形 ACE，M 是 BC的中点，连结 MD 和 ME，要使（ 2）中的结
论仍旧成立，你以为应增添一个什么样的条件？（限用题中
字母表示）并说明原因。

解：（1）正确结论为①②③。

（3）（ i）△ MED 是等腰直角三角形。

（2）MD=ME。

证明以下：
证明方法与 (2)同样，得△ DFM≌△ MGE 过点 D 作 DF⊥AB 于 F，连结 FM；过点 E 作 EG∴ MD=ME，∠ MDF=∠EMG ⊥ AC 于 G，连结 GM。

令 DF 与 MG 交于 K， MG∥ AB，DF⊥AB ∵△ ABD 为等
腰直角三角形， DF⊥AB 则 DF⊥MG ，即∠MKD=90°1∴∠DME=90°∴F为AB的中点，且DF=AB 2∴△MED是等腰直角三角形 1 同理可证，G为AC的中点，且EG=AC（ii）当
∠A BD=∠ACE时，结论 MD=ME 仍旧成立。

2取 AB 的中点 F，
连结 DF，MF；取 AC 的中点1∵M 为 BC 的中点∴ FM∥ AC，且
FM=AC 112G，连结EG， MG。

则 DF=AB，EG=AC 122同理可证，GM∥AB ， GM=AB2与(2)同理，DF=MG，FM=EG，
∠BFM=∠CGM ∵FM∥ AC， GM∥AB ∵BF=DF∴△ BDF是等腰三角形∴四边形 AFMG 是平行四边形∵CG=EG∴△ CEG是等
腰三角形∴∠ AFM=∠AGM ∵∠ ABD=∠ ACE，即∠ FBD=∠ GCE ∵∠ AFD=∠ AGE=90°∴∠ BFD=∠ CGE∴∠ DFM=∠MGE
∵∠ DFM=∠BFM-∠BFD 11∠MGE=∠ CGM-∠ CGE ∵ FM=EG=AC，DF=GM=AB ∴∠ DFM=∠ MGE ∴△ DFM≌△ MGE∴MD=ME
22
∴△ DFM≌△ MGE（ SAS）∴ MD=ME AD EDAEFGFGCBMCBM
图 2
图 1 2013 年全国数学中考压轴题分析汇编02（浙苏赣皖
湘鄂省会城市）AA FGFGEEMMKCCBBD 备用图图3 D
2013 年全国数学中考压轴题分析汇编02（浙苏赣皖
湘鄂省会城市）2【2013·南昌·25题】已知抛物线y=-(x-a)+a (n 为正整数，且0＜a＜a＜ , ＜a)与 x 轴的交点为 A (b，nnn12nn-1n-
120)和A (b，0)，当n=1时，第1条抛物线y=-(x-a)+a与x轴的交点
为 A (0，0)和 A (b， 0)，其余依此类推。

nn111011（1）求 a，
b 的值及抛物线y 的分析式；112 （2）抛物线y 的极点坐标为（，）；3依此类推第n条抛物线y的极点坐标为（，）；（用含 n 的式子表示）；n全部抛物线的极点坐标知足的函数关
n
系式是；（3）研究以下结论：① 若用A A表示
第
条抛物线被x 轴截得的线段长，直接写出 A A的值，并求出 A A；
n-1n01n-1n ②能否存在经过点A（2，0）的直线和全部抛物线都相
交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直
接写出直线的表达式；若不存在，请说明原因。

2222 解：（1）
∵抛物线 y=-(x-a)+a 过点 A (0， 0) ∵当 y=0 时， -(x-n)+n=0 1110n222
∴-a+a=0，解得a=0或1解得x=n+n或n-n 11122 ∵a＞0
∴A (n-n，0)， A (n+n，0) 1n-1n22∴ a=1 ∴A A= n+n-(n-n)=2n 1n-1n则
抛物线 y 的对称轴为 x=1 ②假定存在知足题述条件的直线，由于直线
过点 A1由抛物线的对称性得， A (2，0) （ 2，0），则可设其表达式
为 y=kx-2k 1222∴b=2 由-(x-n)+n=kx-2k 得122242由题意知，抛物线 y=-
(x-a)+a 过点 A (2， 0) x+(k-2n)x+n-n-2k=0 222122242∴-(2-
a)+a=0，解得 a=1 或 4 ∵=(k-2n)-4(n-n-2k) 22222∵ a＞ a=1 =(4k-
4)n+k+8k 21∴a=4 ∴当 k=1 时，对于随意的 n，都有=9＞0，即
该 22∴抛物线y 的分析式为 y=-(x-4)+4 直线和全部抛物线都订交。

22（2）与(1)同理可得：设直线与抛物线y的交点横坐标为x，x，截
得 n1n2n2 抛物线y的分析式为y=-(x-9)+9的线段为MN。

32nn2242 ∴抛物线y 的极点坐标为（ 9， 9）当 k=1 时，有x+(1-2n)x+n-n-2=0 3242由抛物线 y 的极点坐标为（ 1，1）由韦达定理得， x+x=2n-1，xx=n-n-2 11n2n1n2n22抛物线 y 的极点坐标为（ 4， 4）则 MN=(x-x) 2nn1n2n2抛物线 y 的极点坐标为（ 9，9） =(x+x)-4xx 31n2n1n2n2242 ,, =(2n -1)-4(n-n-2)=9 依此类推可得22 抛物线y 的顶点坐标为（ n，n）∴ MN=3 为定值，与n 没关，即该直线被每
一条nnn ∴全部的极点坐标知足的函数关系式是：y=x(此中抛物线截得的线段的长度都相等。

x 为正整数 ) 故，存在知足题述条
件的直线，该直线的表达式（3）①由(1)可得，A A=2为y=x-2 01222 由y=-(x-n)+n得， n。