江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学高二数学下学期期末考试试题 理

2014-2015学年第二学期期末联考试卷
高二理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两卷，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1. 如果654321,,,,,a a a a a a 的方差为3，那么2)3(1-a .2)3(2-a .2)3(3-a . 2)3(4-a .2)3(5-a .2)3(6-a 的方差是
A.0
B.3
C.6
D. 12
2. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于19秒。

右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。

设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为
A.0.9,35
B.0.9,45
C.0.1,35
D.0.1,45 3. 在（x -
x
21）10的展开式中，x 4
的系数为 A.-120 B.120 C.-15 D.15
4.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是 A.234 B.346 C.350 D.363
5.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
A.
112-π B.1π C.21-π D.2
π
6. 已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤ A.0.16 B.0.32 C.0.68 D ，0.84
7. 设集合I={1，2，3，4，5}，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中的最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有
A.50种
B.49种
C.48种
D.47种
8. 821998822109,)21(a a a x a x a x a x a a x +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++=- A.-1 B.-2 C.-512 D.510
9.设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论：①c a ＞c
b ；②
c a ＜c b ；③
log ()log ()b a a c b c ->-.
其中所有的正确结论的序号是 .
A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
10. 射击三次标个选手同时射同一个目若这概率都是个射击选手击中目标的,5,3
2
5则至少有一次五人全部击中目标的概率是
53355335])32(-[1-1 D. ])32(-[1-1 C. ])31(-B.[1 ])31(1.[-A
11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体
的三视图，则此几何体的体积为
A.6
B.9
C.12
D.18
12. 一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离
是4cm ，则该球的体积是 A.
33π100cm B.33π208cm C.3
3π500cm D.33
π3416cm 第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图
表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 . 14. 已知x 、y 的取值如下表所示
从散点图分析，y 与x 线性相关，且ˆ0.95y
x a =+，则a =__________ 15. 任取实数a ，b ∈[]1,1-，则a ，b 满足__________.
16.甲罐中有5个红球，2个白球和3个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）.
①()2
5
P B =
； ②()15
|11
P B A =；
③事件B 与事件1A 相互独立； ④123,,A A A 是两两互斥的事件；
⑤()P B 的值不能确定，因为它与123,,A A A 中哪一个发生有关.
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本大题满分12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得
10
1
80i
i x
==∑，101
20i i y ==∑，101
184i i i x y ==∑，10
21
720i i x ==∑.
（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
附：线性回归方程y bx a =+中，12
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑，a y bx =-，
18.（本大题满分12分） 一批零件中有10个合格品和2
取到2个合格品才能安装成功，若取出次品，则不再放回.
（1）求最多取3次零件就能安装成功的概率； （2）求安装成功前已取出的次品数ξ的概率分布，期望和方差. 19. （本大题满分12分） 如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.
(1)证明：AE ⊥PD ;
(2)若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为
E —A
F —C 的余弦值. 20. （本大题满分12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
(1)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .
附：
21. （本大题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答。

(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取到的3道题中有2道甲类题，1道乙类题。

设张同学答对每道甲类题的概率都是3
5
，答对每道
乙类题的概率都是4
5
，且各题答对与否相互独立。

用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学
期望。

22. （本大题满分10分）已知函数f(x)=x a
-．
(1)若不等式f(x)≤3的解集为｛x-1≤x≤5｝，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)+f(5
x+)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
高二理科数学参考答案
13. 24 23 14. 2.6 15.
16.②④ 三、解答题：本大题共6个小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17
18.解
（1）取2次能安装成功的概率为：
1210
×119=2215； 恰好取3次安装成功的概率为：1210×112×109+122×1110
×119=113；
∴ 最多取3次成功的概率为：P =2215+113=2221
.
（2）P (ξ= 0) =2215；P (ξ= 1) =113；P (ξ= 2) = 1－2215－113=221；∴ E ξ= 1×113+ 2×221=114
.
D ξ=
E ξ2－(E ξ)2
= 1×113+ 4×22
1－(114)2 =115－1216=12139.
19. 解 (1)证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .
又 BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .
因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE . 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD =A ， 所以AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD .
所以AE ⊥PD.
(2)解：设AB =2，H 为PD 上任意一点，连接AH ，EH . 由(1)知 AE ⊥平面PAD ，
则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角. 在Rt △EAH 中，AE
所以当AH 最短时，∠EHA 最大， 即当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大. 此时tan ∠EHA
=
AE AH == 因此AH
又AD=2，所以∠ADH =45°，
所以PA =2.
解法一：因为 PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD .
过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面PAC ，
过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E-AF-C 的平面角，
在Rt △AOE 中，EO =AE ·sin30°
AO =AE ·cos30°=32,
又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO =AO ·sin45°
=4
,
又
SE ==
=在Rt △ESO 中，cos ∠
ESO=SO SE ==
解法二：由(1)知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E 、F 分别为BC 、PC 的中点，所以
E 、
F 分别为BC 、PC 的中点，所以
A （0，0，0），B
-1，0），C （C ，1，0）， D （0，2，0），P （0，0，2），E
0，0），F
（1
,122
）
， 所以31
(3,0,0),(
,,1).2
AE AF == 设平面AEF 的一法向量为111(,,),m x y z =则0,
0,
m AE m AF ⎧=⎪
⎨=⎪
⎩
因此11110,1
0.2
y z =++=取11,(0,2,1),z m =-=-则 因为BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，PA ∩AC=A ，所以BD ⊥平面AFC ， 故BD
为平面AFC 的一法向量.又BD =（）， 所以 cos ＜m , BD ＞
=
||||5m BD m
BD ==
因为 二面角E-AF-C
20.解 (Ⅰ)由所给的频率分布直方图知， “体育迷”人数为
100(100.020100.005)25
⨯⨯+⨯=，
“非体育迷”人数为75，则据题意完成22⨯列联表：
将22⨯列联表的数据代入公式计算：
2100(30104515)211221221
7525455511221221()100 3.03033
n n n n n n n n n χ⨯-⨯⨯⨯⨯-===≈⨯⨯⨯ 22100(30104515)122122175254555221221)100 3.03033n n n n n n ⨯-⨯⨯⨯⨯-==≈⨯⨯⨯. 因为3.030 3.841<，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.
（Ⅱ）由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体
1
41~(3,)
4X B X X 的数学期望为
13
()344E X np ==⨯
=
，X 的方差为
139()(1)34416D X np p =-=⨯⨯=. 21. 解()I 记事件A =“张同学所取的3道题至少取到1道乙类题”；则A =“张同学所取的3道题全为甲类题”；
事件A =“张同学所取的3道题全为甲类题”共有3
620C =种取法；而“从10道题中任取3道题”共有310120C =种取法；
所以201().1206P A =
=故5
()1().6
P A P A =-= 所以张同学至少取到1道乙类题的概率为5
.6
()II 张同学答对题的个数X 的可能值为0，1，2，3.
0X =表示张同学没有答对一道题，00
223344(0)()(1)(1)555125
P X C ==--=
; 1X =表示张同学答对一道题，包含以下两种可能，“答对一道甲类题”、“答对一道乙类题”，因此
11100
22233433428(1)()(1)(1)()(1)555555125
P X C C ==--+-=
; 2X =表示张同学答对二道题，包含以下两种可能，“答对二道甲类题”、“答对一道甲类题和一道乙类题”，
因此2
2
1
1
1223
3433457
(2)()(1)(1)()(1)
5555
55125
P X C C ==--+-=
; 3X =表示张同学所取得的三道题全部答对，因此22
0233436(3)()(1)555125
P X C ==-=
;
所以X 的分布列为
故X 的数学期望为()0123 2.125125125125
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=
22.解（1） 33333+≤≤-⇔≤-≤-⇔≤-a x a a x a x ，对应系数得2=a ；
（2）令g （x ）=f （x ）+f （x+5），结合32)(++-=x x x g 的图象，所以5)(≥x g ，故5≤m .。