长沙数学高一上期中经典测试题(含答案解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：11828]已知集合{
}
2
20A x x x =-->，则A =R
A ．{}
12x x -<< B ．{}
12x x -≤≤
C ．}{
}
{
|12x x x x <-⋃
D ．}{}{
|1|2x x x x ≤-⋃≥
2．(0分)[ID ：11826]设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）
B ．（﹣∞，2]
C ．（2，+∞）
D ．[2，+∞）
3．(0分)[ID ：11825]设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，
则B = ( ) A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
4．(0分)[ID ：11824]已知集合
{}
{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合
C 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．(0分)[ID ：11821]若集合{}
|1,A x x x R =≤∈，{
}
2
|,B y y x x R ==∈，则A B =
A ．{}|11x x -≤≤
B ．{}|0x x ≥
C ．{}|01x x ≤≤
D ．∅
6．(0分)[ID ：11819]在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．13,24⎛⎫
⎪⎝⎭
7．(0分)[ID ：11818]已知函数f (x )＝23,0
{log ,0
x x x x ≤>那么f 1(())8
f 的值为( )
A ．27
B ．
127
C ．－27
D ．－
127
8．(0分)[ID ：11808]已知函数()1ln 1x
f x x
-=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．11,32
⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．12,43⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．12,
23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
9．(0分)[ID ：11802]设奇函数()f x 在(0)+∞，
上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()
0f x f x x --<的解集为（ ）
A ．(1
0)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，
， D ．(1
0)(01)-⋃，，
10．(0分)[ID ：11795]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |1
4
x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |－2≤x ＜4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x ＜－1}
D ．{x |－1≤x ≤3}
11．(0分)[ID ：11788]已知函数22
21,2,
()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩
且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）
A ．(4,5)
B ．[4,5)
C ．(4,5]
D ．[4,5]
12．(0分)[ID ：11787]已知函数21(1)()2(1)
a x x f x x x x x ⎧++>⎪
=⎨
⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实
数a 的取值范围是 A ．[]0,1
B ．(]0,1
C ．[]1,1-
D ．(]1,1-
13．(0分)[ID ：11747]若函数6
(3)3,7
(),7
x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．()1,3
D ．()2,3
14．(0分)[ID ：11743]设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）
A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B ．23
3231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛
⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C ．23332
122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D ．2332
3122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
15．(0分)[ID ：11804]已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3
()1f x x =-；当
11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当1
2x >
时，11()()22
f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．2
二、填空题
16．(0分)[ID ：11927]如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为
________.
17．(0分)[ID ：11920]已知函数2
1,1
()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩
，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 18．(0分)[ID ：11906]1232e 2
(){log (1)2
x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为
____________．
19．(0分)[ID ：11903]若函数()y f x =的定义域是[0,2]
，则函数()g x =的定义域是__________．
20．(0分)[ID ：11887]已知函数(
)
2
()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.
21．(0分)[ID ：11879]已知2a =5b =m ,且
11
a b
+=1,则m =____. 22．(0分)[ID ：11861]已知函数()()212
log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大
值或最小值，则m 的取值范围为______．
23．(0分)[ID ：11840]函数()2
21,0
ln 2,0
x x f x x x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点的个数是______． 24．(0分)[ID ：11926]已知()2
x a x a
f x ++-=
，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()
f x 与()
g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.
25．(0分)[ID ：11864]已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩
0x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．
三、解答题
26．(0分)[ID ：12006]已知函数()()()
sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12
x π
=
时，()f x 取得最大值4：当712
x π
=
时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 27．(0分)[ID ：11992]已知函数()x
f x b a =⋅，（其中,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点(1,6),(3,24)A B （1）求()f x 的解析式
（2）若不等式11120x x
m a b ⎛⎫⎛⎫++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在(],1x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 28．(0分)[ID ：11975]已知函数2
2()f x x x
=+
. （1）求(1)f ，(2)f 的值；
（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2
(1)2(1)1
f x x m x -≥-+
+-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 29．(0分)[ID ：11968]已知函数()2
2f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4. （1）求a ，b 的值； （2）设函数()()
f x
g x x
=
，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.
30．(0分)[ID ：11937]为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第(
)*
x x ∈N
天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①
2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．
（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；
（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．B 3．C 4．D
5．C
6．C
7．B
8．D
9．D
10．D
11．A
12．C
13．B
14．C
15．D
二、填空题
16．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a＝－5∴a＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于
17．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实
18．2【解析】【分析】先求f（2）再根据f（2）值所在区间求f（f（2））【详解】由题意f（2）=log3（22–1）=1故f（f（2））=f（1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数
19．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))
20．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得
21．10【解析】因为2a=5b=m所以a=log2mb=log5m由换底公式可得
=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数
22．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没
23．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个
24．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决
25．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
解析：B 【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}
|12A x x x =<->或，
所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
2．B
解析：B 【解析】 试题分析：当
时，，此时
成立，当
时，，当时，，即
，当
时，
，当
时，
恒成立，所以a 的取值范围为
，故选B.
考点：集合的关系
3．C
解析：C 【解析】
∵ 集合{}1
24A ，，=，{}
2
|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =
∴{}{}
{}2
2
|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C
4．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
求解一元二次方程，得
{}
()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .
因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，
原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】
本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
求出集合B 后可得A B .
【详解】
因为集合{}
|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{
}
2
|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则
A B ={}|01x x ≤≤，选C
【点睛】
本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}
|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}
|,y y f x x D =∈表示函数的值域，
()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪
⎝⎭
⎨
⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩
,利用零点存在定理可得结果.
【详解】
因为函数()43x
f x e x =+-在R 上连续单调递增，
且11
44
11
22114320
4411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭
⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
内，故选C. 【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
7．B
解析：B
【分析】
利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出 f 1(())8
f 的值． 【详解】 f
＝log 2＝log 22－3＝－3，f
＝f (－3)＝3－3＝
.
【点睛】
本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】
根据题意，函数()1ln 1x
f x x
-=+， 则有
101x
x
->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11ln
ln 11x x
f x f x x x
+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11x
t x -=
+，则y lnt =， 12111
x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln
1x
f x x
-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪
⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩
，
解可得：
1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
； 故选:D ．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．
9．D
解析：D 【解析】
由f (x )为奇函数可知，
()()
f x f x x
--＝
()2f x x
<0.
而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内
10．D
解析：D 【解析】
依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.
11．A
解析：A 【解析】
不妨设123x x x <<，当2x <时，()()2
12f x x =--+，此时二次函数的对称轴为
1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且
12
12
x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.
12．C
解析：C 【解析】
x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a a
f x x f x x x
=+
+'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，
而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.
点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．
13．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】
解：函数6
(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩
单调递增， ()30
1373a a a a
⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩
解得934a ≤<
所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭
． 故选：B ． 【点睛】
本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
14．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知函数为偶函数，把2332
31log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，转化为同一个单调区间上，再
比较大小． 【详解】
()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛
⎫∴= ⎪⎝⎭．
22330
3
3
2
2
333log 4log 31,122
2,log 42
2--
-
-
>==>>∴>>，
又()f x 在(0，+∞)单调递减，
∴()233
23log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
2332
3122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故选C ．
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
15．D
解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22
f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期
函数,所以,又函数
是奇函数,所以
,故选
D ．
考点：函数的周期性和奇偶性．
二、填空题
16．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于 解析：－8
【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.
点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足
f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
17．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3
【解析】 【分析】
由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】
由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，
当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，
解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪
-≤⎨⎪-≠-⎩
，解得13a ；
当1x >时，由2
()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以11
11a a ->⎧⎨+>⎩
，解得2a >，
综上可得：实数a 的取值范围为(]
2,3. 【点睛】
本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
18．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数
解析：2 【解析】 【分析】
先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】
由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】
本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.
19．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))
解析：3,14⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】
首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，
∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，
解得01314
x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，
综上3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
． 点睛：对于抽象函数定义域的求解
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
20．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞
【解析】 【分析】
根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】
要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数2
2y x ax =-+对称轴在
2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即22
2
2220
a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.
【点睛】
本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.
21．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得
=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数
解析：10 【解析】
因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得
11
a b
+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．
(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．
22．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没
解析：{|2m m >或2}3
m <- 【解析】 【分析】
分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】
解：∵函数()()2
12
log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，
则函数2
(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.
当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.
故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 2
4(2)(2)
04m m m m
--->，
求得 2m >；
当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.
故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 2
4(2)(2)
04m m m m
--->，
求得2
3
m <-
.
综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3
m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3
m <-. 【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.
23．4【解析】【分析】当时令即作和的图象判断交点个数即可当时令可解得零点从而得解【详解】方法一：当时令即作和的图象如图所示显然有两个交点当时令可得或综上函数的零点有4个方法二：当时令可得说明导函数有两个
解析：4 【解析】 【分析】
当0x >时，令()2
ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-，作y ln x =和2
2y x x =-的
图象，判断交点个数即可，当0x <时，令()
210f x x =+-=，可解得零点，从而得解. 【详解】
方法一：当0x >时，令()2
ln 20f x x x x =-+=，即2ln 2x x x =-.
作y ln x =和2
2y x x =-的图象，如图所示，显然有两个交点，
当0x <时，令()
210f x x =+-=，可得1x =-或3-. 综上函数的零点有4个.
方法二：当0x >时，()2
ln 2f x x x x =-+，()21221
'22x x f x x x x
-++=-+=，令
()'0f x =可得()2'2210f x x x =-++=，
()'01f =，()'230f =-<，说明导函数有两个零点，
函数的()110f =>，()30f <，可得0x >时， 函数的零点由2个．
0x <时，函数的图象如图：
可知函数的零点有4个． 故答案为4． 【点睛】
本题考查了对分段函数分类问题和利用构造函数，把方程问题转换为函数交点问题，函数
()()y f x g x =-零点的个数即等价于函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数，通过
数形结合思想解决实际问题．
24．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决
解析：(0,1), 【解析】
(),,2
x x a x a x a
f x a x a ≥++-⎧=
=⎨<⎩
， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈
点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围
25．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详
解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计
解析：11
(,6)3
【解析】 【分析】
画出分段函数的图像，由图像结合对称性即可得出。

【详解】 函数20
66,034,
x x x f x
x x 的图像如下图所示， 不妨设123x x x <<，则2x 、3x 关于直线3x =对称， 所以236x x +=，且1x 满足17
03
x -<< 则
123
1
3
61x x x
故123x x x ++的取值范围是11,63⎛⎫
⎪⎝⎭。

【点睛】
解决本题的关键是要会画分段函数的图像，由图像结合对称性经过计算得出123x x x ++的取值范围。

三、解答题 26．
（1）()4sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（2）1439t +≤< 【解析】 【分析】
（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式； （2）先确定23
x π
+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果.
【详解】
（1）解：由题意知74,212122
T A πππ==-=，得周期T π= 即
2π
πω
=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+
当12
x π
=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412π
ϕ⎛⎫
⨯
+= ⎪⎝
⎭
，得πsin φ16
得
2()6
2k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，，得23
()k k Z π
ϕπ=+∈，
,ϕπ<∴当0k =时，=3
πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
（2）()()210h x f x t =+-=，即()1
2
t f x -= 当,66x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
当23
2
x π
π
+
=
时，4sin
42π
=
要使()12t f x -=有两个根，则1
42
t -≤
<，得19t +≤<
即实数t 的取值范围是19t +< 【点睛】
本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.
27．
（1）()=32x
f x ⋅；（2）1112
m ≤. 【解析】
试题分析：（1）由题意得2,3a b ==，即可求解()f x 的解析式；
（2）设11()()()x x
g x a b =+，根据()y g x =在R 上为减函数，得到min 5()(1)6
g x g ==
，再由11()()120x
x
m a b
++-≥在(]
,1x ∈-∞上恒成立，得5
216
m -≤
，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析：
（1）由题意得()x
3
6a 2,b 3,f x 32a 24a b b ⋅=⎧⇒==∴=⋅⎨⋅=⎩
（2）设()x
x
x
x
1111g x a b 23⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()y g x =在R 上为减函数 ∴当x 1≤时()()min 5g x g 16
==
x
x
1112m 0
a b ⎛⎫⎛⎫∴++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在(]x ,1∞∈-上恒成立，即5112m 1m 612-≤⇒≤ ∴ m 的取值范围为：11
m 12
≤
点睛：本题主要考查了函数解析式的求解和不等式的恒成立问题的应用，解答中涉及到函数满足条件的实数的取值范围的求法，以及函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，同时注意合理进行等价转化是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.
28．
（1）(1)3f =，(2)5f =；（2）()()f a f b >；详见解析（3）1-. 【解析】 【分析】
（1）根据函数解析式,代入即可求值.
（2）根据函数解析式,利用作差法即可比较()f a 、()f b 的大小.
（3）将解析式代入,化简不等式,转化为关于二次函数的恒成立问题,即可求得实数m 的最大值. 【详解】
（1）因为函数()2
2f x x x
=+
所以()22
1131
f =+
= ()222252
f =+
= （2）()()f a f b >,理由如下: 因为1a b >> 则()()f a f b -
2222a b a b
=+
-- ()()()2b a a b a b ab
-=-++
()2a b a b ab ⎛
⎫=-+- ⎪⎝
⎭
因为1a b >>,则
2a b +>，1ab >, 所以22ab
<,即20a b ab +->,()0a b -> 所以()20a b a b ab ⎛⎫-+-> ⎪⎝
⎭ 即()()f a f b >
（3）因为函数()22f x x x
=+ 则代入不等式可化为()()22212111
x x m x x -+≥-++-- 化简可得243x x m -+≥,即()221x m --≥
因为对于一切[]1,6x ∈恒成立
所以()2min
21x m ⎡⎤--≥⎣⎦ 当2x =时,二次函数取得最小值,即1m -≥
所以实数m 的最大值为1-
【点睛】
本题考查了函数的求值,单调性的证明及不等式恒成立问题的综合应用,属于基础题. 29．
(1)1,1a b == (2) 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
【解析】
【分析】
（1）先求得函数()f x 的对称轴，然后根据函数()f x 在[]2,3上的单调性列方程组，解方程组求得,a b 的值.
（2）由（1）求得函数()f x 的解析式，进而求得()g x 的解析式，将不等式
()22log 2log 0g x k x -≥分离常数2k ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得k 的取值范围.
【详解】
（1）由已知可得()()2
1f x a x b a =-+-，对称轴为1x =.
因为0a >，所以()f x 在[]2,3上单调递增， 所以()()
21,34,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1,44,a b a a b a +-=⎧⎨+-=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩ （2）由（1）可得()221f x x x =-+，则()()12f x g x x x x
==+-.
因为()22log 2log 0g x k x -≥，所以2221log 22log log x k x x +
-≥. 又[]2,4x ∈，所以()2221221log log k x x ≤
-+. 令21log t x
=，则2221k t t ≤-+. 因为[]2,4x ∈，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.
记()221h t t t =-+，1,12t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 所以当12t =
时，()max 14h t =， 所以124k ≤，解得18k ≤，故k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦. 【点睛】 本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
30．
（1）函数模型：①22212y x x =-+；函数模型②：12
8x y +=+（2）函数模型②更合
适；从第9天开始该微生物群落的单位数量超过1000
【解析】
【分析】
（1）由题意利用待定系数法求函数的解析式；
（2）将4x =，5x =代入（1）中的两个函数解析式中，结合数据判断两个模型中那个更合适。

【详解】 （1）由题意，对于函数模型①：把1,2,3x =代入2y ax bx c =++得12,4216,9324,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
解得2a =，2b =-，12c =，所以2
2212y x x =-+． 对于函数模型②：把1,2,3x =代入x y p q r =⋅+得2312,16,24,pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
解得2p =，2q ，8r =，所以128x y +=+．
（2）将4x =，5x =代入函数模型①，得36y ，52y =，不符合观测数据； 将4x =，5x =代入函数模型②，得40y =，72y =，符合观测数据．
所以函数模型②更合适．
令1281000x ++>，因为*x ∈N ，可得9x ≥，
即从第9天开始该微生物群落的单位数量超过1000．
【点睛】
本题考查不同增长的函数模型的应用，考查计算能力及分析解决问题的能力，属于中档题。